今回は、方程式なら必ず使える、4つのルールをご紹介します。
方程式を解くときの基本アイデアですので、シッカリ理解してくださいね。
前回は、方程式とは、同じものを左右に並べたものだといいました。
この状態は、てんびんをイメージするとわかりやすいかと思います。
てんびんは、2つの手があって、それぞれにものをのせることができます。
両手に同じ重さのものがのったときに、つりあった状態になります。
方程式は、同じものを左右に並べて書く、といいましたが、
てんびんも、同じものを左右に並べていますよね。
なんです。
このイメージをもってもらうと、今回の内容がわかりやすいかと思います。
では本題に入りますね。
「方程式」なら必ず使える、4つのルールとは?
今回、方程式(等式)で必ず使える、4つのルール(性質)まとめるんですが、
最初にいっちゃうと、その4つは、
の4つなんです。
そして、考え方はどれも同じなんです。
なのでまずは、「たす」をシッカリ理解するようにしましょう。
そうすると、ほかの「ひく・かける・わる」はわかりやすくなります。
今回の話をわかりやすくするために、以下の例を使ってみます。
AくんとBさんがいました。
Aくんはみかんを3個もっています。
Bさんはみかんを3個もっています。
Aくんのみかん(3個)と、Bさんのみかん(3個)は、
おなじ3個なので、等しい関係です。
なので、これを(日本語をつかった)方程式として、
と表現できます。
この状態のイメージとしては、
てんびんの左右に、みかんが3個ずつのっている状態になります。
この例を使いながら、4つのルールを説明しますね。
まずは「たす」からです。
[1],(方程式の「たす」のルール)方程式の左右に、それぞれ同じものを足しても、そのまま「=」は成り立つ
が成り立っていました。
この続きの話です。
AくんとBさんには、友達のCくんがいました。そして、
Cくんは、Aくんにみかん2個、Bさんにみかん2個あげました。
すると、AくんとBさんのみかんの個数は、どちらも同じ5個になります。
なので、Cくんからみかんをもらった後の状態も、
と表現することができますよね。
ですよね。
ではこれを、数学っぽく書いてみます。
Aくんのみかんの個数を x とし、Bさんのみかんの個数を y とします。
もともと、どちらも3個でした(x=3、y=3)。
なので、
と表現できます。
(ちなみに「・・・(1)」は目印なので、方程式とは関係ありません)
次に、AくんとBさんは、Cくんから、それぞれ 2 個のみかんをもらいました。
すると、Aくん、Bさんのみかんの個数は、どちらも (3 + 2) 個で、等しいです。
この状態は
と表現することができます。
等号「=」の左側(x+2)は、Aくんのみかんの個数を表していて、
等号「=」の右側(y+2)は、Bさんのみかんの個数を表しています。
2つの方程式
と
を見比べると、
等しい式(方程式など)では、
右と左の両方に、同じものを足しても、
そのまま等式が成り立つ
同じ量のみかんをあげれば、つりあったまま、当たり前ですよね
ここで注意する点があります。
ということです。
Aくんに5個、Bさんにあげなかったとします。すると、
Aくんは3+5=8個
Bさんは3+0=3個
で、AくんとBさんのみかんの量は同じになりません。
また、
ということです。
Aくんに5個、Bさんに3個あげたら、
Aくんは3+5=8個
Bさんは3+3=6個
で、AくんとBさんのみかんの量は同じになりません。
つまり、
ということです。
方程式(等式)に変化を加えても、そのまま「=」を成り立たせたかったら、
等式の左辺と右辺の
足しましょう!というわけです。
どうでしょうか、なっとくしてもらえましたか?
これが方程式(等式)の「たす」のルールです。
では次は、「ひく」のルールを説明しますね。
[2],(方程式の「ひく」のルール)方程式の左右から、それぞれ同じものをひいても、そのまま「=」は成り立つ
Aくんから1個、Bさんから同じ1個、みかんを取り上げるとします。
すると、どちらもみかんは2個になります。
なので、もともと
が成り立っているときに、
が成り立ちます。
これを数学っぽくいうと、
となります。
これだけです。
「たす」のルールと同じように、
ことに注意しましょう
[3],(方程式の「かける」のルール)方程式の左右に、それぞれ同じものをかけても、そのまま「=」は成り立つ
Aくんのみかんを5倍にして、Bさんのみかんも5倍にするとします。
すると、どちらもみかんは3×5=15個で等しいままです。
なので、もともと
が成り立っているときに、
が成り立ちます。
これを数学っぽく言うと、
となります。
「たす・ひく」のルールと同じように、
ことに注意しましょう
[4],(方程式の「わる」のルール)方程式の左右を、それぞれ同じもので割っても、そのまま「=」は成り立つ
Aくんのみかんを3で割って、Bさんのみかんも3で割るとします。
すると、どちらもみかんは3÷3=1個で等しいままです。
なので、もともと
が成り立っているときに、
が成り立ちます。
これを数学っぽくいうと、
となります。
「たす・ひく・かける」のルールと同じように、
ことに注意しましょう。
これで方程式(等式)で成り立つ、4つのルールが出そろいました。
[1]~[4]のルールのことを、教科書や参考書では、以下のように書いています。
[mathjax]
x=yが成り立っている時、別の数字や文字cがあったときに、
\( x + c = y + c \)
\(x -c=y-c\)
\(x×c=y×c\)
\(x÷c=y÷c\)
が成り立ちます。
これだけみると、なんだこれ?って思うかもしれませんが、
この記事を読んだあなたなら、
これらの式が意味するところがわかるかと思います。
というわけで、本記事では、方程式なら必ず使える、4つのルールについてご紹介しました。



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