【数学】「方程式」なら必ず使える、4つのルールとは?【入門・基礎問題・ 中1・1次方程式3】

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今回は、方程式なら必ず使える、4つのルールをご紹介します。

 

方程式を解くときの基本アイデアですので、シッカリ理解してくださいね。

 

 

 

前回は、方程式とは、同じものを左右に並べたものだといいました。

この状態は、てんびんをイメージするとわかりやすいかと思います。

 

てんびんは、2つの手があって、それぞれにものをのせることができます。

両手に同じ重さのものがのったときに、つりあった状態になります。

 

方程式は、同じものを左右に並べて書く、といいましたが、

てんびんも、同じものを左右に並べていますよね。

 

方程式は、てんびんが釣り合ってる状態のようなもの

なんです。

このイメージをもってもらうと、今回の内容がわかりやすいかと思います。

 

 

では本題に入りますね。

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「方程式」なら必ず使える、4つのルールとは?

今回、方程式(等式)で必ず使える、4つのルール(性質)まとめるんですが、

 

最初にいっちゃうと、その4つは、

たす・ひく・かける・わる

の4つなんです。

 

そして、考え方はどれも同じなんです。

なのでまずは、「たす」をシッカリ理解するようにしましょう。

 

そうすると、ほかの「ひく・かける・わる」はわかりやすくなります。

 

 

今回の話をわかりやすくするために、以下の例を使ってみます。

 

AくんとBさんがいました。

Aくんはみかんを3個もっています。

Bさんはみかんを3個もっています。

 

Aくんのみかん(3個)と、Bさんのみかん(3個)は、

おなじ3個なので、等しい関係です。

 

なので、これを(日本語をつかった)方程式として、

(Aくんのみかんの個数)=(Bさんのみかんの個数)

と表現できます。

 

この状態のイメージとしては、

 

てんびんの左右に、みかんが3個ずつのっている状態になります。

 

この例を使いながら、4つのルールを説明しますね。

 

まずは「たす」からです。

[1],(方程式の「たす」のルール)方程式の左右に、それぞれ同じものを足しても、そのまま「=」は成り立つ

上の例では、
(Aくんのみかんの個数)=(Bさんのみかんの個数)

が成り立っていました。

 

この続きの話です。

AくんとBさんには、友達のCくんがいました。そして、

Cくんは、Aくんにみかん2個、Bさんにみかん2個あげました。

すると、AくんとBさんのみかんの個数は、どちらも同じ5個になります。

 

なので、Cくんからみかんをもらった後の状態も、

(Aくんのみかんの個数)=(Bさんのみかんの個数)

と表現することができますよね。

 

てんびんの両方に、同じものをのせても、つりあったまま

ですよね。

 

ではこれを、数学っぽく書いてみます。

 

Aくんのみかんの個数を x とし、Bさんのみかんの個数を y とします。

もともと、どちらも3個でした(x=3、y=3)。

なので、

x=y    ・・・(1)

と表現できます。

(ちなみに「・・・(1)」は目印なので、方程式とは関係ありません)

 

次に、AくんとBさんは、Cくんから、それぞれ 2 個のみかんをもらいました。

すると、Aくん、Bさんのみかんの個数は、どちらも (3 + 2) 個で、等しいです。

 

この状態は

x + 2 = y + 2    ・・・(2)

と表現することができます。

 

等号「=」の左側(x+2)は、Aくんのみかんの個数を表していて、

等号「=」の右側(y+2)は、Bさんのみかんの個数を表しています。

 

2つの方程式

(1)x = y

(2)x+2=y+2

を見比べると、

 

等しい式(方程式など)では、

 

右と左の両方に、同じものを足しても、

 

そのまま等式が成り立つ

ことが分かります。

 

同じ量のみかんをあげれば、つりあったまま、当たり前ですよね

 

 

ここで注意する点があります。

等号「=」の左右、片方だけに足したら、「=」は成り立たない

ということです。

Aくんに5個、Bさんにあげなかったとします。すると、

Aくんは3+5=8個

Bさんは3+0=3個

で、AくんとBさんのみかんの量は同じになりません。

 

また、

等号「=」の左右に、違う量を足したら、「=」は成り立たない

ということです。

Aくんに5個、Bさんに3個あげたら、

Aくんは3+5=8個

Bさんは3+3=6個

で、AくんとBさんのみかんの量は同じになりません。

 

つまり、

「=」の左右に、同じもの(量)をたすときだけ、「=」がそのまま成り立ちますよ

ということです。

 

方程式(等式)に変化を加えても、そのまま「=」を成り立たせたかったら

等式の左辺と右辺の

両方に、
同じものを、

足しましょう!というわけです。

 

どうでしょうか、なっとくしてもらえましたか?

 

これが方程式(等式)の「たす」のルールです。

 

では次は、「ひく」のルールを説明しますね。

[2],(方程式の「ひく」のルール)方程式の左右から、それぞれ同じものをひいても、そのまま「=」は成り立つ

Aくんから1個、Bさんから同じ1個、みかんを取り上げるとします。

 

すると、どちらもみかんは2個になります。

 

なので、もともと

 

x=y

 

が成り立っているときに、

 

-2=y-2

が成り立ちます。

 

これを数学っぽくいうと、

等式の両辺から、同じ数をひいても、等号は成り立つ

となります。

 

これだけです。

 

「たす」のルールと同じように、

ひくのが同じ数でないと、方程式(等式)は成り立たない

ことに注意しましょう

 

[3],(方程式の「かける」のルール)方程式の左右に、それぞれ同じものをかけても、そのまま「=」は成り立つ

Aくんのみかんを5倍にして、Bさんのみかんも5倍にするとします。

 

すると、どちらもみかんは3×5=15個で等しいままです。

 

なので、もともと

 

x=y

 

が成り立っているときに、

 

×5=y×5

 

が成り立ちます。

 

これを数学っぽく言うと、

 

等式の両辺に、同じ数字をかけても、等号は成り立つ

 

となります。

 

「たす・ひく」のルールと同じように、

かけるのが同じ数でないと、方程式(等式)は成り立たない

ことに注意しましょう

 

[4],(方程式の「わる」のルール)方程式の左右を、それぞれ同じもので割っても、そのまま「=」は成り立つ

Aくんのみかんを3で割って、Bさんのみかんも3で割るとします。

 

すると、どちらもみかんは3÷3=1個で等しいままです。

 

なので、もともと

 

x=y

 

が成り立っているときに、

 

÷3=y÷3

 

が成り立ちます。

 

これを数学っぽくいうと、

 

等式の両辺を、同じ数で割っても、等号は成り立つ

 

となります。

 

「たす・ひく・かける」のルールと同じように、

わるのが同じ数でないと、方程式(等式)は成り立たない

ことに注意しましょう。

 

 

 

これで方程式(等式)で成り立つ、4つのルールが出そろいました。

 

[1]~[4]のルールのことを、教科書や参考書では、以下のように書いています。

[mathjax]

x=yが成り立っている時、別の数字や文字cがあったときに、

 

\( x + c = y + c \)

\(x -c=y-c\)

\(x×c=y×c\)

\(x÷c=y÷c\)

 

が成り立ちます。

 

これだけみると、なんだこれ?って思うかもしれませんが、

 

この記事を読んだあなたなら、

 

これらの式が意味するところがわかるかと思います。

 

というわけで、本記事では、方程式なら必ず使える、4つのルールについてご紹介しました。

 

 

 

数学にゃんこ
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一次方程式の解き方などのまとめはこちらニャン

 

一次方程式の記事のまとめはこちらです

 

数学にゃんこ
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中学数学」の記事は、こちらにまとめてあるニャン

 

中学数学のまとめ記事はこちらです

 

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