【数学】「チェバの定理」とは?定理の覚え方や問題(例題)、証明、面積比との関係などをまとめました。チェバの定理の逆もどうぞ【平面図形 中学数学 高校数学】

チェバの定理ってなに 覚え方 例題 問題 証明 面積比 逆 数学おじさん oj3math 図形
チェバの定理ってなに 覚え方 例題 問題 証明 面積比 逆 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

今回は、「チェバの定理」についての解説じゃ

 

チェバの定理は、平面図形の問題を解くときに使える定理なんじゃな

 

チェバの定理は、メネラウスの定理と一緒に学ぶ方も多いと思うんじゃが、

 

チェバの定理だけでも、しっかり学ぶと、いろいろ面白いんじゃよ

 

チェバの定理は高校数学の範囲かと思うんじゃが、

 

高校入試でも、知っていれば、一瞬で解ける場合があるから、

 

中学生も、知っておいて損はない内容なんじゃ

 

というわけで、本記事では、

①、チェバの定理は、どんな図形のときに使えるか

②、チェバの定理の覚え方

③、チェバの定理を使う問題(例題)

④、チェバの定理と面積比

⑤、チェバの定理の証明

⑥、チェバの定理の逆について

 

といった感じでまとめたいと思うんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

では解説を始めるかのぉ

トンちゃん
トンちゃん

はい!お願いします!

【数学】「チェバの定理」とは?定理の覚え方や問題(例題)、証明、面積比との関係などをまとめました。チェバの定理の逆もどうぞ【平面図形 中学数学 高校数学】

チェバの定理が使える図形とは

数学おじさん
数学おじさん

まずは、チェバの定理が使える図形だ!と気づかなければ始まらないんじゃな

チェバの定理1 数学おじさん oj3math

こんな図形のときに、チェバの定理が使えるんじゃな

具体的に言うと、

  • 三角形が対象
  • 三角形の各頂点(A,  B,  C)から、対辺(それぞれBC, CA, AB)に線分を書く
  • それらの線分が1点(点X)で交わっている

という感じなんじゃ

トンちゃん
トンちゃん

なるほどブー

 

チェバの定理とは?

数学おじさん
数学おじさん

チェバの定理とは、以下の図の、「辺の関係を表現した等式」のことをいうんじゃ

[mathjax]

数学おじさん
数学おじさん

チェバの定理

 

\( \frac{AF}{BF} × \frac{BD}{CD} × \frac{CE}{AE} = 1 \)

チェバの定理2 数学おじさん oj3math

 

トンちゃん
トンちゃん

え、なんか複雑だブー

 

よくわからないブー

 

たしかに、いきなりじゃと、なにこれ?ってなるかと思うんじゃが、

 

1つひとつ説明していくからだいじょうぶじゃ

トンちゃん
トンちゃん

お願いします!

 

 

 

 

 

チェバの定理の覚え方

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、キチンと覚えるのが大事じゃな

 

と言っても、丸暗記でなく、作り方を理解するのがオススメじゃ

 

以下の流れを頭に入れておくとラクに導けるはずじゃ

 

チェバの定理の覚え方①

三角形の頂点を1つ決める

トンちゃん
トンちゃん

じゃあ、頂点Aにするブー

チェバの定理の覚え方②

①で決めた頂点から、右回りか左回りか決める

トンちゃん
トンちゃん

じゃあ、左回りにするブー

チェバの定理の覚え方③

三角形の辺を、1つずつたどっていく

チェバの定理2 数学おじさん oj3math

Aから左回りなら、辺は、順番に、以下のようになるわけじゃ

①AF ▶️ ②BF ▶️ ③BD ▶️ ④CD ▶️ ⑤CE ▶️ ⑥AE

 

チェバの定理の覚え方④

以下の数字の部分を、辺の名前に変える

\( \frac{①}{②} × \frac{③}{④} × \frac{⑤}{⑥}  \)

チェバの定理3 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

上・下・上・下・上・下 の順番に、辺を入れていけばいいわけじゃな

トンちゃん
トンちゃん

なるほどだブー

 

チェバの定理の覚え方⑤

最後に、右辺に「=1」を付けくわえる

 

これで、チェバの定理が導けるわけじゃ

\( \frac{AF}{BF} × \frac{BD}{CD} × \frac{CE}{AE} = 1 \)

トンちゃん
トンちゃん

意外にシンプルだったブー

 

でも、さっきは、頂点Aを選んだんだけど、

 

もし、頂点をBとかCを選んだら、どうなるんだブー?

 

頂点のどこを選んでも、オッケーなんじゃよ

 

重要なのは、同じ手順をシッカリ間違えずにやることなんじゃ

 

つまり、選んだ頂点から、右回りか左回りを決めて、辺をたどるんじゃ

 

そして、上下上下上下に辺の名前を、入れていけばオッケーなんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

どの頂点でも、オッケーなんですか?

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

トンちゃん
トンちゃん

ということは、

 

チェバの定理は1つじゃなくて、

 

辺の並べ方によって、書き方がいろいろあるわけですか?

そのとおりじゃ

 

じゃから、辺の名前などまで丸暗記するのではなく、

 

作り方を理解した方が、テスト中などもスムーズに答えれる、というわけじゃ

トンちゃん
トンちゃん

なるほどだブー

 

 

 

 

 

 

では次はチェバの定理を使って、問題を解いてみるかのぉ

チェバの定理を使う問題(例題)

チェバの定理 問題 例題 数学おじさん oj3math

問題はこうじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

上の図で、

AF : BF = 3 : 2

AE : CE = 1 : 2

のとき、

BD : CD はなんでしょうか?

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどだブー

 

これはチェバの定理が使える図になってますね!

そのとおりじゃ

 

上で説明した、チェバの定理が使える条件に当てはまっておるのぉ

 

チェバの定理を覚え方の手順で、作り出すと、

 

\( \frac{AF}{BF} × \frac{BD}{CD} × \frac{CE}{AE} = 1 \)

 

と書けるわけじゃ(ここまでスムーズにできるように練習しておくのが重要じゃ)

 

この式の中のわからないところは、AF,  BF,  BD,  CD, CE,   AE  の6つなんじゃ

 

問題では、

AF : BF = 3 : 2

AE : CE = 1 : 2

が与えられておるから、それらを代入してみようかのぉ

AF = 3,  BF = 2,  AE = 1,  CE = 2

を入れるわけじゃ。すると、

 

\( \frac{3}{2} × \frac{BD}{CD} × \frac{2}{1} = 1 \)

 

となるわけじゃ

 

\( \frac{BD}{CD}  = 数字 \)

 

の形にすれば、BD :  CD  がわかるんじゃ

(え?なんで?と思う方も、とりあえず、読んでみてほしいんじゃ)

 

じゃから、

 

\( \frac{BD}{CD}  = 数字 \)

 

の形になるように、

 

\( \frac{3}{2} × \frac{BD}{CD} × \frac{2}{1} = 1 \)

 

を変形をしていくわけじゃ

 

まず、

\( \frac{3}{2} × \frac{BD}{CD} × \frac{2}{1} = 1 \)

の左辺は、かけ算でつながってるので、順番を入れかえもオッケーじゃな

 

これは、乗法(かけ算)の交換法則と呼ばれているルールじゃな

 

なにそれ?

って方は、こちらの記事で解説しているんじゃ

お〜い、ニャンコくん、解説記事をお願い!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ
トンちゃん
トンちゃん

ありがとうブー、読んでみるブー

 

では、話を元に戻すと、

 

\( \frac{3}{2} × \frac{BD}{CD} × \frac{2}{1} = 1 \)

 

の左辺は、かけ算でつながってるので、順番を入れかえると、以下のようにできるんじゃ

 

\( \frac{3}{2} × \frac{2}{1} × \frac{BD}{CD}  = 1 \)

 

すると、前の2つの分数のかけ算は計算できて、

 

\( \frac{3}{1}  × \frac{BD}{CD}  = 1 \)

 

となるわけじゃな

 

思い出してほしいのは、今回の計算の目的は、

 

\( \frac{BD}{CD}  = 数字 \)

 

の形にすることじゃったわけじゃ

 

\( \frac{3}{1}  × \frac{BD}{CD}  = 1 \)

 

この式まで計算できたので、\( \frac{3}{1}   \) がなくなれば、目的の形になるわけじゃ

 

こういう時は、\( \frac{3}{1}  \) の逆数を、両辺にかけ算するといいんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

えっと、逆数ってなんですか?

 

また、なんでそうするブー?

まずは、逆数とは?ってとこじゃが、

 

以下の解説記事で、逆数についてまとめておるから、

1度目を通してもらえるかのぉ

お〜い、ニャンコくん、逆数のついての解説記事をお願い

 

 

次に、

 

”こういう時は、\( \frac{3}{1}  \) の逆数を、両辺にかけ算するといいんじゃ”

 

と言ったんじゃが、なぜこうするか?ってとこは、

 

方程式の考え方なんじゃよ

 

方程式の考え方は、こちらの解説記事にまとめておるんじゃ

方程式はとても重要じゃから、シッカリ理解してほしいんじゃ

 

おーい、ニャンこくん、方程式の解説記事をお願い!

数学にゃんこ
数学にゃんこ

はーい、先生!

方程式の解き方の解説記事は、こちらニャン

 

【数学】方程式の解き方③:「○x=△」の形の方程式【入門・基礎問題・ 中1・1次方程式8】

トンちゃん
トンちゃん

ありがとブー、読んでみるブー

では話を元に戻すかのぉ

 

\( \frac{3}{1}  × \frac{BD}{CD}  = 1 \)

 

まで計算できたから、

 

\( \frac{BD}{CD}  = 数字 \)

 

の形にするために、

 

\( \frac{3}{1}  \) の逆数を、両辺にかけ算するわけじゃ

 

\( \frac{3}{1}   \) の逆数は、\( \frac{1}{3}   \) じゃから、

 

\( \frac{3}{1}  × \frac{BD}{CD}  = 1 \) 

 

という式は、

 

\(  \frac{1}{3}  × \frac{3}{1}  × \frac{BD}{CD}  =  \frac{1}{3}  × 1 \)

 

と書けるわけじゃ(両辺に逆数 \( \frac{1}{3}   \) をかけ算したわけじゃな)

 

この式を計算すると、

 

\(  1 × \frac{BD}{CD}  =  \frac{1}{3}  × 1 \)

 

となるわけじゃ

 

「「×1」は省略していい 」というルールがあるから、

 

\(  \frac{BD}{CD}  =  \frac{1}{3} \)

 

と書けるわけじゃな

 

この式から、求めたかった、BD :  CD は、  1 :  3 とわかるわけじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

え、なんでこうなるんだブー?

「分数」というのは、「比」と見ることもできるんじゃな

 

\(  \frac{A}{B}  =  \frac{C}{D} \)

 

という形があったら、これは、

 

分子:分母 = 分子:分母

と書き直すことができるんじゃ

 

つまり、A :  B  =  C :  D ということじゃな

 

このように、分数から比を考えることができるんじゃな

トンちゃん
トンちゃん

なるほどだブー

数学おじさん
数学おじさん

これで、チェバの定理の問題(例題)を解けたわけじゃな

 

 

 

 

 

 

 

チェバの定理と面積比

チェバの定理は、面積比とも関係が深いんじゃ

 

上の問題、実は、面積比の考え方を知っていれば、

 

チェバの定理を使わなくても解けるんじゃ

 

なぜ、わざわざそんなことを言うかというと、

 

チェバの定理というのは、

 

面積比の考え方を、特別な図形のときに限定して便利にしたもの

 

ということを言いたいんじゃ

トンちゃん
トンちゃん

え?なんですかそれ?

いきなり言われたら、そうなるのは当然じゃな

 

しかし、これが理解できれば、

 

中学生でも、チェバの定理をサクッと使えるようになるはずじゃ

 

そして、チェバの定理の証明も、理解がラクになるんじゃよ

トンちゃん
トンちゃん

なるほどだブー

そこでまず、上の例題を、チェバの定理を使わずに、具体的に解いてみるかのぉ

 

そして、それを踏まえて、チェバの定理の証明をしたいと思うんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

わかったブー

 

なんか楽しみだブー

 

まずは、面積比ってなに?ってあなたは、こちらで理解しておいてほしいんじゃ

 

おーい、ニャンコくん、面積比と線分比の関係についての解説記事をお願い!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

はーい、先生!

 

面積比と線分比については、基礎編と、応用編があるにゃん

 

基礎編から読んで、次に応用編を読むのがオススメにゃん

 

(基礎編)『【数学】三角形の辺と面積の比について、2つの考え方をサクッとまとめました【中学数学 図形】

 

(応用編)『【数学】入試で差がつく、線分比と面積比の関係をサクッとまとめました【中学数学 図形】

 

トンちゃん
トンちゃん

ありがとブー、読んでみるブー

ここではサクッと紹介しておくかのぉ

三角形の線分比と面積比パート2 数学おじさん oj3math

大文字のMとNは、それぞれ、三角形ABXと三角形ACXの面積を表しておる

小文字のmとnは、それぞれ、辺BDと辺CDを表しておるんじゃ

この図の状態があった時に、

面積比と線分比には、以下の関係があるんじゃ

M  :  N = m : n

トンちゃん
トンちゃん

面積の比は、線分の比と等しい、ってことですね!

そのとおりじゃ

 

そして、比は、分数に書いてもよいから

M  :  N = m : n

というのは、

\(  \frac{M}{N}  =  \frac{m}{n} \)

と同じことなんじゃな

 

まずは、ここまでシッカリ理解してほしいんじゃ

 

ここからは、面積比と線分比の関係を、分数の形で使っていこうかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

この関係を使うと、

 

上ではチェバの定理で解いた問題を、

 

チェバの定理なしで解くことができるんじゃよ

トンちゃん
トンちゃん

そうなんですね!

 

楽しみだブー

 

もう1度、問題を思い出しておくかのぉ

チェバの定理 問題 例題 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

上の図で、

AF : BF = 3 : 2

AE : CE = 1 : 2

のとき、

BD : CD はなんでしょうか?

というやつじゃったのぉ

 

今回の発想のポイントは、

BD:CD という、線分の比を求めたいので、

面積の比から求める方法もあるよね

 

と考えるんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、線分の比を求める問題では、

 

解き方の候補として、面積比を使う方法が、あるわけなんじゃ

 

では、具体的に、上で紹介した面積比を使っていくかのぉ

チェバの定理 面積比1 数学おじさん oj3math

まず問題の図を、このように図を見てほしいんじゃ

 

すると、ピンクと緑の面積比は、BDとCDの線分比で表現できるわけじゃ

 

ここでは分数の形で書いておくと

 

\(  \frac{三角形ABX}{三角形ACX}  =  \frac{BD}{CD} \)  ・・・(式1)

 

となるわけじゃ(この式を、式1、と名前をつけておくかのぉ)

 

次に、別の面積比を考えてみるかのぉ

チェバの定理 面積比2 数学おじさん oj3math

ピンクと緑の面積比は、AFとBFの線分比で表現できるわけじゃ

 

ここでは分数の形で書いておくと

 

\(  \frac{三角形ACX}{三角形BCX}  =  \frac{AF}{BF}  =  \frac{3}{2} \)  ・・・(式2)

 

問題に辺の比が与えられているので、それを代入しておいたわけじゃ

 

この式を、式2、と名前をつけておくかのぉ

 

 

さらに、別の面積比を考えてみるかのぉ

チェバの定理 面積比3 数学おじさん oj3math

ピンクと緑の面積比は、CEとAEの線分比で表現できるわけじゃ

 

ここでは分数の形で書いておくと

 

\(  \frac{三角形BCX}{三角形ABX}  =  \frac{CE}{AE}  =  \frac{2}{1} \)  ・・・(式3)

 

問題に辺の比は与えられているので、それを代入しておいたわけじゃ

 

この式を、式3、と名前をつけておくかのぉ

 

トンちゃん
トンちゃん

面積比と線分比の関係を、別の三角形の組みに、3回使ったんですね!

そのとおりじゃ

 

では、式1、2、3を書いてみると、

\(  \frac{三角形ABX}{三角形ACX}  =  \frac{BD}{CD} \)  ・・・(式1)

\(  \frac{三角形ACX}{三角形BCX}  =  \frac{3}{2} \)  ・・・(式2)

\(  \frac{三角形BCX}{三角形ABX}  =  \frac{2}{1} \)  ・・・(式3)

 

となったわけじゃ

 

ここで、この3つの式を、かけ算してみるんじゃよ

すると、

\(  \frac{三角形ABX}{三角形ACX} × \frac{三角形ACX}{三角形BCX} × \frac{三角形BCX}{三角形ABX}  =  \frac{BD}{CD} ×  \frac{3}{2} × \frac{2}{1} \)  

となるんじゃ

 

左辺は式1、2、3の3つの左辺のかけ算、

右辺は式1、2、3の3つの右辺のかけ算

となっているわけじゃな

 

この式は、さらに計算ができるんじゃよ

左辺は、同じ三角形の面積が分母分子にあるから、約分ができるんじゃ

右辺は、数字があるから、これも約分ができるんじゃ

 

約分を実行すると、

\(  1  =  \frac{BD}{CD} ×  \frac{3}{1}  \)  

となるんじゃ

トンちゃん
トンちゃん

あ!左辺は約分されて、1になってますね!!!

そうなんじゃよ

 

すごく見やすい式になったんじゃろ

 

ただ、もうひと息、計算をするとさらにいいんじゃよ

 

両辺に \(  \frac{1}{3}  \)  をかけ算すると、

 

\(  1 ×  \frac{1}{3}  =  \frac{BD}{CD} ×  \frac{3}{1}  ×  \frac{1}{3} \)  

 

\(  \frac{BD}{CD}  =  \frac{1}{3}  \)  

 

となるわけじゃ

 

ここから、

 

知りたかった

 

BD : CD = 1 : 3

 

が求まるわけじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

あ、チェバの定理で解いた時と同じ答えが出ました!

そうなんじゃよ

 

チェバの定理を使わずとも、面積比と線分比の関係を使うことで、

 

同じ答えが導けたわけじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

 

 

 

 

 

では、これをふまえて、チェバの定理の証明をやってみるかのぉ

チェバの定理の証明

チェバの定理2 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

この時、

 

 \( \frac{BD}{CD} × \frac{CE}{AE} × \frac{AF}{BF}  = 1 \)

 

を証明せよ

 

 

わかりやすいように、最初に証明の流れをまとめておくかのぉ

 

①、面積比と線分比の関係を、上と同じように、別の三角形の組について、3回行う

 

②、できた3つの式を、上と同じように、かけ算する

 

トンちゃん
トンちゃん

上の問題と似ていますね!

 

なんだか出来そうです!

数学おじさん
数学おじさん

やってみてごらん

トンちゃん
トンちゃん

チェバの定理 証明1 数学おじさん oj3math

まず、この2つの三角形に着目すると、

 

\(  \frac{三角形ABX}{三角形ACX}  =  \frac{BD}{CD} \)  ・・・(式1)

数学おじさん
数学おじさん

いい感じじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

 

チェバの定理 証明2 数学おじさん oj3math

次は、この2つの三角形に着目すると、

 

\(  \frac{三角形ACX}{三角形BCX}  =  \frac{AF}{BF} \)  ・・・(式2)

数学おじさん
数学おじさん

その調子じゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

 

チェバの定理 証明3 数学おじさん oj3math

3つ目は、この2つの三角形に着目すると、

 

\(  \frac{三角形BCX}{三角形 ABX}  =  \frac{CE}{AE} \)  ・・・(式3)

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

 

トンちゃん
トンちゃん

\(  \frac{三角形ABX}{三角形ACX}  =  \frac{BD}{CD} \)  ・・・(式1)

\(  \frac{三角形ACX}{三角形BCX}  =  \frac{AF}{BF} \)  ・・・(式2)

\(  \frac{三角形BCX}{三角形 ABX}  =  \frac{CE}{AE} \)  ・・・(式3)

 

なので、あとは、式1、式2、式3、をかけ算して、

 

\(  \frac{三角形ABX}{三角形ACX} × \frac{三角形ACX}{三角形BCX} × \frac{三角形BCX}{三角形 ABX} =  \frac{BD}{CD} × \frac{AF}{BF} × \frac{CE}{AE}\)  

 

となりました

 

数学おじさん
数学おじさん

約分ができそうじゃのぉ

 

 

トンちゃん
トンちゃん

約分すると、

 

\(  1 =  \frac{BD}{CD} × \frac{AF}{BF} × \frac{CE}{AE}\)

 

となりました!

 

左辺と右辺をひっくりかえして

 

\(  \frac{BD}{CD} × \frac{AF}{BF} × \frac{CE}{AE} = 1 \)

 

左辺のかけ算の順番を変えて、

 

 \( \frac{BD}{CD} × \frac{CE}{AE} × \frac{AF}{BF}  = 1 \)

 

となりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

これで証明完了!というわけじゃな

トンちゃん
トンちゃん

はい!難しそうな定理でも、1つひとつ理解すれば、

 

証明もできることがわかりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

いきなり全部理解するのはむずかしいんじゃが、

 

ひとつ1つシッカリ理解していくことで、

 

最終的に、むずかしいことも、キチンと理解できるわけじゃ

 

 

 

 

 

 

では最後に、「チェバの定理の逆」について、まとめておくかのぉ

チェバの定理の逆

実は、チェバの定理には、逆、と言われる使い方があるんじゃよ

 

これまでの問題では、

図形の条件が満たすときに、チェバの定理の式を使えるよ

っていう流れじゃったわけじゃ

 

つまり、

図形の条件が満たす ⏩ チェバの定理の式

という流れだったわけじゃ

 

この逆の流れが、チェバの定理の逆、というお話なんじゃ

 

つまり、

チェバの定理の式が成り立つ ⏩ 図形は条件を満たす

という流れなんじゃ

 

この図形が条件を満たすというのは、具体的に言うと、

3直線が、1点で交わることを満たす、

と言えるんじゃ

 

まとめると

 

チェバの定理の式が成り立つことがわかったら、

3直線は、1点で交わることが言える

 

というわけじゃ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、

 

3直線が1点で交わるかどうかの証明に、

 

チェバの定理が使えることがある

 

というわけなんじゃ

 

3直線が1点で交わるかどうか、というのは、

 

いろいろな分野でよく出てくる話じゃな

 

ベクトルなんかでもよーく見かけると思うんじゃ

 

平面図形として扱う場合には、チェバの定理の逆を使えば、

 

3直線が1点で交わるかどうかの処理ができることがある、

 

といわけじゃな

 

このことを、「チェバの定理の逆」と呼んでいるわけじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

わかりました!

 

ちなみになんじゃが、

 

チェバの定理は、実はもう少しだけ、適用範囲が広いんじゃ

 

具体的に言うと、今回の図形の例では、

各頂点から、その対辺に線分を伸ばしたわけじゃが、

対辺の延長線と交わる場合もあるんじゃよ

(その場合、辺の比は外分比になるんじゃ)

 

今回は、チェバの定理を初めて学ぶ方向けに、そこらは省いたんじゃが、

深く勉強しておきたい方は、その辺りも調べてみると面白いかと思うんじゃ

 

 

というわけで、チェバの定理について、シッカリ解説をしてみたんじゃ

 

今回はこのくらいにしておくかのぉ

 

おーい、ゼピエルくん、あとお願い!

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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