【数学】文字と式で「〜割」と「パーセント」などの「割合」を表現できるようになりたいあなたはこちらをどうぞ【入門・基礎問題・ 中1・文字と式8】

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今回は、「〜割」と「パーセント」などの「割合」、文字と式を使って、数式で表現したいと思います。

 

文字と式は、小6や中1で習う方が多いかと思います。

 

ここでは、中学校の数学での文字と式を考えて、とくに「〜割」と「パーセント」などの「割合」について説明していきます。

 

「〜割」と「パーセント」などの「割合」の考え方自体は小学校で習いますので、

 

文字と式の6年のやり方の復習にもなるのではないかと思います。

 

じつは、中学校の数学での文字と式での「〜割」「パーセント」など「割合」の話はカンタンなんです。

 

でも、苦手とする方も多いんです。

 

カンタンなのにできなくてわるかったね!

 

どうせ頭が悪いですよ!

 

と思わないでください。

 

できない理由は、中学校の数学の文字と式ではなく、

小学校で習った「割合」の理解が不足しているからという可能性が高いです。

 

なので、たんじゅんに、数字での「〜割」「パーセント」など「割合」を理解してしまえばいいわけです。

 

そうすれば、自動的に文字と式での「〜割」「パーセント」などの「割合」の問題もできるようになります。

 

いまさら小学校の内容を勉強するのは恥ずかしい!

 

と思いますよね。

 

ヒトに聞くのは恥ずかしいかもしれませんが、このサイトで勉強すれば、恥ずかしい思いをすることはありません。

 

なので、すこしでも理解に不安がある方は、シッカリ復習して、身につけてくださいね。

 

 

というわけで、まずは数字での「〜割」と「パーセント」などの「割合」について、その考え方の復習をします。

 

その次に、文字と式を使った「〜割」と「パーセント」などの「割合」の表し方を説明したいと思います。

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「〜割」ってなに?シッカリ理解したいあなたはこちらをどうぞ

「〜割」とは?まずは数字で考えてみましょう(割合の復習)

「〜割」は、私たちの生活の中でもよく使われています。

 

たとえば、スーパーにいくと、

 

今日はお肉が3割引だよ!

 

といった感じで使われたりします。

 

他にも、テレビで野球をみていると、

 

イチロー選手は3割をこえる打率を残しています

 

といった感じでも使われたりしています。

 

 

「割合」とは?「〜割」とちがうの?

 

「割合」とは、いま対象としていることすべてのうち

 

注目しているものの量がどれだけあるか、を表現したものです。

 

「〜割」というのは、すべてを10としたときにどれだけあるか、を表しています。

「割合」というのは、すべてをいくつにするかは特に決まっていません。

 

3割というのは、すべてを10にしたときに、その10のうちの3ということになります。

4割なら、すべてを10としたときの、そのうちの4を、

5割なら、すべてを10としたときの、そのうちの5(10のうちの5なので、半分)を

表していることになります。

 

イチローが3割バッターというのは、全部で10回打ったら、そのうち3回ヒットになる、という意味になるわけです。

割合と、3割バッターの「〜割」は同じ字ですが、違うものなので気をつけましょう。

[mathjax]

「〜割」は、「分数」で表現することができます。

全部で10のうち3なので、

\( \frac{3}{10} \)

と書けます。

このように、全部を分母に、興味あるものを分子にした分数を「割合」といいます。

 

割合が分数でかけるなら、もちろん「小数」でも書けます。

3割なら、割合は\( \frac{3}{10} \)なので、割合の小数形は 0.3 となります。

 

なんで割合をつかうの?

たとえば、イチロー選手が何本ヒットを打つか考えてみましょう。

 

じゃあ200回打ったときに何本ヒットになるの?

 

って知りたいとします。

 

全部で200回です。

いまわかっているのは、3割という、10回うったら3本ヒットになるってことです。

なので、10回うつことでグループ分けしてみます。

200回は、10回が20個あります。

10回打つときには、3本ヒットになります。

200回では、それが20個あるので、3×20=60本が全部のヒットの数となります。

 

200回とかならいいですけど、

247回打ったときは?

って質問には即答しずらいですよね。

 

このように、「〜割」ってのは、不便なんです。

計算がめんどくさくなります。

 

 

もっとカンタンに計算できないの?

 

 

って思いますよね。

 

じつは「割合」を使うとカンタンに計算できるんです。

 

\(200× \frac{3}{10} = 60\)本

と計算することができるんです。

(上で考えた200回を10回の20個に分けた計算と一致していますよね)

 

247本でもへっちゃらです。

\(247× \frac{3}{10} = 74.1\)本

でカンタンに計算できてしまいます。

 

このように、「〜割」は、「割合」に変えることで、ラクに計算することができます。

 

ん?でもイマイチよくわからないなぁ〜

 

と思われるかもしれません。

 

次は、この計算の意味を解説しますね

割合の便利な使い方

なにか「知りたい量」があるときに、

知りたい量の「割合」がわかっていれば、「全体の量」を使うことで、

(全体の量)×(割合)=(知りたい量)・・・①式

という計算から知りたい量を求めることができるんです。

 

このように、割合がわかっていると、ラクができるわけです。

 

ちなみに、①式を書き直すと、

\((割合)= \frac{知りたい量}{全体の量} \)

とも書けます。

なので、割合を求めるときには、(全体の量)と(知りたい量)がわかればいいわけです。

 

これ、じつは、割合の定義なんです。

定義っていうのは、これはこういうものだと決めますね、ってやつです。

信号は青で進め・赤で止まれと決まっていますが、別に赤で進んで青で止まると決めてもいいわけです。

このように、定義はヒトが決めたルールのことです。

 

割合ってなに?っていったら、それはこう決めました、ってのが定義になります。

そしてこれが割合の定義式です。

\((割合)=\frac{(知りたい量)}{(全体の量)}\)

 

ここから、

(全体の量)×(割合)=(知りたい量)・・・①式

が導かれるのですが、今回は話の都合上、定義の説明をあとにしたわけです。

 

 

「〜割」と「割合」は別のものなので、気をつけてね

ここで注意点なのですが、

3割だから、(全体の量)× 3 としないように気をつけましょう!

3割は、割合でいうと、\( \frac{3}{10} \) なので、

なにかの3割を求めるときには、

(全体の量)× \(\frac{3}{10}\)

として計算します。

 

 

また、スーパーの3割とか、野球の3割バッターといったような「〜割」は、

(割合)×10をした値が使われています。

割合 0.3 だけ値引だよ!とか

割合 0.3 でヒット打つよ!とか

いうと言いにくいし、わかりにくいですよね。

そんなスーパーで買いたくないですよね。

なので、普段は10倍して、「〜割」という書き方に変えて、使いやすくしているわけです。

 

というわけで、「〜割」と「割合」はキチンと区別して理解しておきましょう!

 

「パーセント」ってなに?シッカリ理解したいあなたはこちらをどうぞ

次は、「パーセント」について考えてみましょう。

といっても、じつは、「〜割」と「パーセント」は、まったく同じ考え方なんです。

 

ただし、ちがう点が1つだけあります。

 

それが、パーセントは全体を100として考える。

 

ということです。

(ちなみに「〜割」の場合は、全体を10として考えました)

 

例えば,3パーセントを「分数」で表現すると、

全部で100のうち3なので、

\( \frac{3}{100} \)

と書けるわけです。

小数なら、3% = \( \frac{3}{100} \) = 0.03 になります。

「〜割」のときと同じで、これは「パーセント」を「割合」に変える考え方です。

 

 

パーセントの使い方ですが、

なにか「知りたい量」があるときに、パーセントから割合を出します。

知りたい量の「割合」がわかっていれば、「全体の量」を使うことで、

\((全体の量)×(割合)=(知りたい量)\)

という式から、知りたい量を求めることができます。

(これは上で定義した割合の定義式から導かれました)

 

 

注意点なのですが、

3パーセントだから、(全体の量)× 3 としないように気をつけましょう!

3パーセントは、割合でいうと、\(\frac{3}{100}\) ですので、

なにかの3パーセントを求めるときには、

(全体の量)× \(\frac{3}{100}\)

として計算します。

 

 

もしパーセントが知りたいなら、

\((パーセント)=(割合)×100\)

なので、

\((パーセント)= \frac{(知りたい量)}{(全体の量)}×100\)

とすればオッケーです。

 

このことから、「〜割」や「パーセント」は、「割合」にすることで、同じ考え方で理解できることがわかりました。

 

 

「割合」を文字と式で表現したいあなたはこちらをどうぞ

ここからは、割合について、「〜割」や「パーセント」などについて、文字と式を使って表現してみたいと思います。

(例題1−1)

スーパーのキャベツが4割引でした。定価は200円です。いくらで買えたでしょうか?

(解答1−1)

4割引なので、10−4=6で、もともとの6割で買えたことになります。

6割というのは、割合でいうと、\( \frac{6}{10} \)となります。

割合がわかると、以下の式が使えます。

\((知りたい量)=(全体の量)×(割合)\)

いま知りたいのは、定価4割引の値段(定価6割の値段)です

\((知りたい定価6割の値段)=(もともとの値段)×(割合)\)

\((知りたい定価6割の値段)= 200 × \frac{6}{10} =120\)

として求まります。

 

(例題1−2)

スーパーのキャベツが m 割引でした。定価は200円です。いくらで買えたでしょうか?

(解答1−2)

m 割引なので、もとの (10− m)割で買えたことになります。

(10− m) 割というのは、割合でいうと、\( \frac{10− m}{10} \)となります。

割合がわかると、以下の式が使えます。

\((知りたい量)=(全体の量)×(割合)\)

いま知りたいのは、定価 m 割引の値段(定価(10− m)割の値段)です

\((知りたい定価(10− m)割の値段)=(もともとの値段)×(割合)\)

\((知りたい定価(10− m)割の値段)= 200 × \frac{10− m}{10} = 20(10− m)\)

として求まります。

 

(例題2−1)

1200円の数学の参考書の消費税5%はいくらでしょう?

(解答2−1)

5%を割合になおすと、\(\frac{5}{100}\) です

以下の式

\((知りたい量)=(全体の量)×(割合)\)

今回、全体の量は1200円で、割合は\(\frac{5}{100}\) となります。

(知りたい消費税の金額)= 1200×\(\frac{5}{100}\) = 60円

として計算できます。

 

(例題2−2)

1200円の数学の参考書の消費税 a %はいくらでしょう?

(解答)

a %を割合になおすと、\(\frac{a}{100}\) です

以下の式

\((知りたい量)=(全体の量)×(割合)\)

今回、全体の量は1200円で、割合は\(\frac{a}{100}\)となります。

(知りたい消費税の金額)= 1200×\(\frac{a}{100}\) = 12a 円

として計算できます。

 

 

 

というわけで、練習問題を用意したので、チャレンジしてみてください↓

【問題】「割合」に関係する量を文字や式で表現する練習

【数学 中1】「〜割」と「パーセント」などの「割合」を文字と式を使って表現できるようになりたいあなたはこちらをどうぞ【入門・基礎問題49 文字と式8】

(通信制限など気になる方は、1番下に解答があります)

 

今回のまとめ

今回は「〜割」と「パーセント」などの「割合」について解説しました

 

ここでは、文字と式が難しいというよりは、「割合」の考え方をシッカリ理解してもらえるように詳しく解説しました。

 

「〜割」や「パーセント」の考え方は「割合」を通じて結びつけられることがわかりました。

 

また、割合を使うことで,計算がラクになることも理解してもらえたかと思います。

 

文字と式での割合の出題は、消費税や食塩水などのパーセントの扱い方や

原価から利益を含ませた定価や定価の割引の値段など、「〜割」などの問題がよく出題されます。

 

例題や練習問題を解きながら、混同することなく1つずつ理解しながら解いていくようにしましょう!

 

というわけで、本記事では「〜割」と「パーセント」などの「割合」について、問題動画とともに解説しました。

問題解答はこちらです↓

\(【問題】追加予定  \)

 

 

 

★「文字と式」の記事はこちらにまとめてあります↓

「文字と式」を学びたいあなたはこちらをどうぞ【問題まとめ】

 

数学おじさん
数学おじさん

今日の話はこれくらいにするかのぉ

秘書ザピエル
秘書ザピエル

あ、先生!告知をさせてください

数学おじさん
数学おじさん

おーそうじゃった

秘書ザピエル
秘書ザピエル

実はいろんなお悩みを聞いているんです

質問くまさん
質問くまさん

勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ

シャンシャン
シャンシャン

わからない問題があると、やる気なくしちゃう

ハッチくん
ハッチくん

1人で勉強してると、行きずまっちゃうブー

 

数学おじさん
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数学おじさん
数学おじさん

というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

はーい、先生!   数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

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