【数学】平方完成(へいほうかんせい)ってどうやるの?【高校数学】(質問ありがとうございました!)

平方完成 やり方 高校数学 数学おじさん oj3math 関数
平方完成 やり方 高校数学 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は「平方完成(へいほうかんせい)」がわからない!

 

というご質問を受けましたので、

 

先生に解説してもらおうと思います

 

先生!よろしくお願いします

[mathjax]

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう

 

今回は、平方完成についてじゃな

 

平方完成は、高校数学でよく使われる方法なんじゃ

 

高校生の数学では、平方完成は、

 

2次関数だけでなく、三角関数、指数関数、対数関数などはもちろん、

 

なんらかの情報を、数式にして、

 

それが関数の形であれば、平方完成して、結論を導く

 

ということがよくあるんじゃ

 

なので、平方完成はぜひ身につけておいてほしいものなんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

先生、こんにちブーンです

 

平方完成って、なんとなくわかるんですけど、

 

あんまり自信がありません・・・

 

シッカリできるようになりたいです!

 

数学おじさん
数学おじさん

ハッチくん、こんにちは

 

今回は平方完成をシッカリ解説するから、

 

ぜひ理解して、できるようになってほしいんじゃ

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回の記事を読むと、

 

①、平方完成が何かを理解できる

 

②、平方完成のやり方を理解できる

 

③、平方完成ができるようになる

 

というメリットがあるんですね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では解説をはじめるかのぉ

【数学】平方完成(へいほうかんせい)ってどうやるの?【高校数学】(質問ありがとうございました!)

数学おじさん
数学おじさん

まずは言葉の確認から始めるかのぉ

「平方(へいほう)」ってなに?

数学おじさん
数学おじさん

平方の意味はわかるかな?

ハッチくん
ハッチくん

面積の単位で、5平方メートルとか、使いますよね?

 

その平方と同じですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃよ

 

平方というのは、2乗という意味なんじゃよ

 

長方形の面積は、タテ × ヨコ で求めるじゃろ

 

タテとヨコの単位が、メートルなら、

 

メートルを2回かけているわけじゃ

 

だから、メートルの2乗という意味で、

 

平方メートル、となるわけじゃな

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

平方って、2乗ってことなんですね!

 

では、「平方完成」っていうのは、

 

2乗を完成するってことですか?

 

平方完成とは?

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃよ

 

平方完成とは、

 

平方を、完成させる

 

つまり、2乗の形を作り出す

 

ってことなんじゃよ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

2乗の形を作り出すわけですね!

 

でも、どうやったら平方完成できるのですか?

 

平方完成の考え方とは?

数学おじさん
数学おじさん

どうやって、平方完成をするかってことなんじゃが、

 

まずは、考え方を知っておくことが役立つんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

どんなことですか?

数学おじさん
数学おじさん

平方完成は、

 

①、2乗を(無理やりでも)作る

 

②、元のやつと、つじつまを合わせる

 

という2つの流れでやるんじゃよ

 

ハッチくん
ハッチくん

①、2乗を作る

 

ってのはわかるんですが、

 

②のつじつまを合わせるって

 

どういうことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

じゃあ、それを説明するために、

 

数字の平方完成をやってみるかのぉ

 

問題:3を平方完成してください

 

これを考えてみてほしいんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

え、こんな問題やったことないです・・・

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

実は先生も見たことないかもしれない(笑)

 

じゃが、平方完成のやり方を確認するには、

 

ちょうどいい問題じゃないかのぉ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

えっと〜、3を平方完成するなら、平方根を使えばできますよね?

 

例えば、こんな感じです

 

\( 3 = (\sqrt{3})^2  \)

 

これで3を2乗の形にできました!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおり!大正解じゃ

 

このように、平方根の考え方を使えば、

 

数字の平方完成は可能なんじゃ

 

しかしこの考え方は、

 

文字や式の平方完成には応用が利かないんじゃよ

 

今回の数字の平方完成の問題について、

 

平方根を使うのは数学的には正しいんじゃが、応用は効かないんじゃ

 

じゃから、応用が利く、別の考え方を身につけてほしいわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

ちなみに、平方根について、復習しておきたいなって方などは

 

こちらで解説しておるから、見ておくといいよ

 

お〜い、にゃんこくん、平方根の解説記事を出してくれる?

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は〜い、先生!

 

平方根を学ぶなら、こちらの記事がおすすめにゃん

 

「平方根」のわかりやすい解説記事のまとめはこちらです

 

平方根の内容を解説した記事がまとめてあるので、

 

好きなものから読むといいにゃん!

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!ありがとう!読んでみますね!

数学おじさん
数学おじさん

それでは話を戻すかのぉ

 

いま、数字ではなく、

 

文字や式の平方完成をするためにどうしたらいいか?

 

を考えていたんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

そうなんですね〜

 

では、どうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

まず、平方完成の手順①を思い出すと、

 

①、2乗を(無理やりでも)作る

 

じゃな

 

3を2乗の形にするには、どうしたら良いかのぉ

 

 

 

ハッチくん
ハッチくん

3をもう一個かけたらいいと思います!

 

[mathjax]

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

3に3をかけ算すると、

 

\( 3×3= 3^2  \)

 

となって、平方(2乗)ができるのぉ

 

ハッチくん
ハッチくん

はい!

 

これで完成ですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

これで終わったら間違いなんじゃよ

 

なぜかというと、

 

問題は、3を平方完成するわけじゃ

 

つまり、

 

\( 3×3= 3^2  \)

 

は、元の数字3ではないじゃろ?

 

だから、3を平方完成したことにはならないんじゃよ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

元の3と、2乗にした \( 3^2  \) は、同じじ

ゃないですよね

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃ

 

そこで、平方完成の2つ目の手順

 

②、元のやつと、つじつまを合わせる

 

を考えるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

どういうことですか?

数学おじさん
数学おじさん

元のやつというのは、

 

この場合、問題で与えられた「3」のことじゃな

 

そして、(無理やり)平方完成したら、

 

\( 3^2  \) になったわけじゃ

 

すると、平方はできた代わりに、

 

元の3とはちがうものになってしまったわけじゃ

 

だから、これを元のやつ、3と同じにできないかな?

 

と発想するわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

じゃあ、どうやればいいんだブーン?

 

数学おじさん
数学おじさん

自分で勝手に、3をかけたじゃろ?

 

だから、3で割って

 

3をかけた分をキャンセルすればいいんじゃよ

 

こんな感じじゃな

 

\( \frac{3^2}{3}  \)

 

これを ②、つじつまを合わせる、と表現したんじゃ

 

これを計算してみると、

 

\( \frac{3^2}{3} = 3  \)

 

となり、元の3と一致するじゃろ

 

これで、平方完成ができた!というわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

①、2乗を作って、

 

②、つじつまを合わせる

 

という2つの操作をすればいいんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

この考え方は知っておけば、

 

2次式や2次関数、その他、様々な場面で同じようにできるんじゃよ

 

つまり、応用がきくということなんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

式とかを平方完成するときにも使える考え方として、

 

①、2乗を作って、

 

②、元のと同じにする

 

を学んだわけですね!

 

どうせ学ぶなら、応用が利く考え方の方がいいですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

では次は、平方完成の具体例を示してみるかのぉ?

 

2次式の平方完成の問題

数学おじさん
数学おじさん

具体的には、これを考えてみるかのぉ

 

\( x^2 – 4x + 5  \) を平方完成してください

 

ハッチくん
ハッチくん

こういうのです!

 

2次関数とかでよく出てきそうですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

高校数学で最初の方で習うのが2次関数

という方も多いかと思うんじゃ

 

そこでよく出てくるのが平方完成じゃな

 

ハッチくん
ハッチくん

はい!

数学おじさん
数学おじさん

2次式を平方完成するのも、

 

上の手順①、②をやればオッケーなんじゃよ

 

ハッチくん
ハッチくん

じゃあ、まずは

 

①、2乗を(無理やりでも)作る

 

を考えればいいんですよね?

 

でも、どうやって、2乗を作るんですか?

 

というか、

 

\( x^2 – 4x + 5  \) には、

 

すでに \( x^2  \) として、2乗がありますよ!

 

だから、もう平方完成してるんじゃないですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

確かに \( x^2  \)  はあるから、2乗はあるのぉ

 

ここで、2次式での平方完成について、

 

1つルールを覚えてほしいんじゃ

 

xの2次式での平方完成は、

 

x が含まれる項すべてが2乗になるようにする

 

というのがルールなんじゃ

 

つまり、(xの2乗の項)+(数字)

 

という形にするのが平方完成なわけじゃ

 

実は、こうやって、変数xを一ヶ所に集めることが

数学的に重要な意味を持つんじゃがな

 

それはここではおいておこうかのぉ

 

\( x^2 – 4x + 5  \) には、

 

\( x^2   \) の項は2乗じゃが

 

\( – 4x  \) の項は2乗じゃないじゃろ

 

じゃから、平方完成できていないわけじゃな

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

じゃあ、どうすればいいんですか?

 

2次式の平方完成は、因数分解の延長

数学おじさん
数学おじさん

2次式の平方完成は

 

実は、因数分解の延長なんじゃよ

ハッチくん
ハッチくん

え、そうなんですか?

数学おじさん
数学おじさん

因数分解の公式で、以下のものがあったのを思い出してほしいんじゃ

数学おじさん
数学おじさん

因数分解の公式

 

\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)

 

\( a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 \)  

 

数学おじさん
数学おじさん

この因数分解の公式は、

 

平方完成の文脈では、平方(2乗)を作り出す公式

 

と(勝手に)呼んでいいるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

この公式は知っています!

 

でも、あらためて見ると、

 

この公式を使うと、平方(2乗)を作ることができることがわかります!

 

これを使って、2次式に平方を作ればいいんですね〜

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、問題の式をもう一度みてみるかのぉ

 

問題は

 

\( x^2 – 4x + 5  \)

 

じゃな

 

これを、因数分解の公式とくらべてみるんじゃよ

 

\( a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 \)  

 

今回は、xの項がマイナスなので、下の公式を使うんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

くらべるって、具体的には、どう、やればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

まずは、\( x^2  \) の2次の項をくらべるんじゃ


問題も、公式も、どちらも、


①、文字が2個かけ算されている(2次ということじゃな)


②、係数が1


になっておるじゃろ


つまり、文字の次数と、係数をくらべるわけじゃな

 

これらが一致した時に、2次の項は一致した


と判断するわけじゃ


今回の問題での x は、公式では a  に対応してるというわけじゃな

 

ちなみに、文字の種類(例えば、xとaとか)はちがってもオッケーなんじゃ

 

ここが間違いやすいから気をつけてほしいんじゃな

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

文字の次数とか、係数ってなんでしたっけ?

 

ちょっと自信ないです・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

いい質問じゃよ

 

次数とか係数がわからないと、式を扱うのに苦労するはずじゃ

 

ぜひしっかりマスターしてほしいんじゃ

 

それらを解説した記事があるから、それを読んでシッカリ理解してほしいんじゃ

 

お〜い、にゃんこくん、次数とか係数の解説記事を教えてー

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は〜い、先生!

 

文字の次数や係数は、こちらの記事がおすすめにゃん

 

文字式の次数や係数を学ぶなら、こちら

 

ハッチくん
ハッチくん

ありがとう!読んでみます!

数学おじさん
数学おじさん

では、次のステップにいくかのぉ

 

次は、

 

\( x^2 – 4x + 5  \)

 

の、xの項に注目するんじゃ

 

つまり

 

\( – 4x \)

 

じゃな

 

これを、因数分解の公式とくらべてみるんじゃよ

 

\( a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 \)  

 

ハッチくん
ハッチくん

どうやってくらべるんですか?

数学おじさん
数学おじさん

xの項は1次じゃから、

 

因数分解の公式の、1次の項とくらべるんじゃ

 

\( a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 \)

 

は、ぱっと見は、どれも2次の項ばかりじゃが

 

これを a の式と考えるのがポイントじゃ

 

つまり、aは文字で、bは数字と考えるわけじゃな

 

すると、aの1次の項は、


\(  – 2ab \)  


というわけじゃ

 

これを、問題の式の1次の項

 

\( – 4x \)

 

とくらべるわけじゃよ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

でも、係数が、2と4でちがいますよね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

そういう時は、問題の式を、公式に合わせるといいんじゃよ

 

具体的には、

 

\( – 4x = – 2 × x × 2\)

 

 

\( -2ab = – 2 × a × b \)  

 

のように考えるといいわけじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

2次の項を比べた時に、x と a が対応するとわかってたので

 

\( – 4x = – 2 × x × 2 \)

 

\( -2ab = – 2 × a × b \)

のように対応させるわけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

すると、この1次の項の結果から、

 

公式の b は、問題のと対応してることもわかるわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

あ!本当ですね!

数学おじさん
数学おじさん

では、わかったことをまとめるかのぉ

 

平方完成をするのが目的じゃから、

 

公式 \( a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 \)  

 

を使うわけじゃ

 

そして、今回の問題は、

 

\( x^2 – 4x + 5  \)

 

というわけで、

 

公式の a はx 、bは2 に対応している

 

というところまでわかったわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

そうですね!

 

じゃあ次はどうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

では公式に、

 

aの代わりにxを

 

bの代わりに2を

 

入れてみてごらん

 

ハッチくん
ハッチくん

a = x,  b = 2を代入すればいいんですね!

 

えっと〜

 

\( a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 \)  

 

なので、

 

\( x^2 – 2×2 + 2^2 \)  

 

\( = x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2 \)  

 

となりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

つまり、

 

\(  x^2 – 4x + 4  \)  

 

があれば、

 

\( (x – 2)^2 \)

 

のように、平方が作れるわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

でも先生!

 

問題の式は、

 

\( x^2 – 4x + 5  \)

 

だから、

 

\(  x^2 – 4x + 4  \)  

 

とちがっていますよ〜

 

だから、できないんじゃないですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

たしかに、因数分解せよ、という問題なら、

 

できない!が正解じゃ

 

しかし、今は、平方完成する!

 

というのが目的なんじゃ

 

じゃから、平方完成の手順を思い出すとよいんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

平方完成は、

 

①、2乗を(無理やりでも)作る

 

②、元のやつと、つじつまを合わせる

 

という2つの流れでしたね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

①、2乗を(無理やりでも)作る

 

の手順にしたがって

 

\( x^2 – 4x + 5  \)

 

について、2乗を作るために、

 

\( = x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2 \)  

 

のように、4が必要なんじゃ

 

じゃから、問題の式に、無理やり4を登場させるんじゃよ

 

\( x^2 – 4x + 4 + 5  \)

 

すると、これは

 

\( = (x – 2)^2 + 5 \)  

 

とできるので、

 

(xの2条の項)+(定数項)

 

となって、平方完成ができるわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

けれど、勝手に4を付け加えたので、

 

元の式とちがいますよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

そこで平方完成の手順②なんじゃ

 

②、元のやつと、つじつまを合わせる

 

というやつじゃな

 

勝手に4を足したから、4を引いておけば

元のと同じになるじゃろ?

 

つまり、

 

\( x^2 – 4x + 5  \)

 

\( = x^2 – 4x + 4 – 4 + 5  \)

 

\( = (x – 2)^2 – 4 + 5  \)

 

\( = (x – 2)^2  + 1  \)

 

とできるわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

①、2乗を(無理やりでも)作る

 

②、元のやつと、つじつまを合わせる

 

という手順ですね!

 

①の2乗を作る時に、

 

因数分解の公式を、xの2乗とxの項を見ながら、

 

活用すればいいんですね!

 

その時に、文字の次数係数をきちんと比較できるようにし

ておくことが大事なんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

平方完成というのは、

 

中身は、因数分解と、

 

文字の次数や係数の比較をきちんとできるか

 

が問われているわけなんじゃ

 

もし平方完成が苦手な方は、

 

文字の次数や、係数の比較

 

因数分解

 

といったところを復習するとわかるようになるはずじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

わかりました!

 

その辺りも復習していきます!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

お〜い、にゃんこくん、次数や係数の記事や因数分解の記事を教えて〜

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は〜い、先生!

 

文字の次数係数は、こちらの記事がおすすめにゃん

 

文字式の次数や係数を学ぶなら、こちら

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

ハッチくん
ハッチくん

ありがとうございます!読んでみます!

数学おじさん
数学おじさん

じゃあ今回の解説はこのくらいにしておくかのぉ

 

お〜い、ザピエルくん、あとお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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