【数学】微分(びぶん)とは?微分のイメージと、わかりやすい例はこちらです【微分 数学II 数学III 高校数学】

微分とは マスジャック oj3math 微分
微分とは マスジャック oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

今日は、微分(びぶん)についての内容じゃ

 

微分ってむずかしそう!ってあなたが、

 

あ、微分ってこういうものなのね!とイメージをつかんでもらえたらと思うんじゃ

 

では、はじめるかのぉ

 

微分」は、高校数学で習うんじゃが、学校の授業では、

 

  • 微分の定義はこれで・・・
  • 多項式の微分のやり方はこれで・・・
  • 三角関数、指数関数、対数関数の微分のやり方はこうで・・・
  • 練習問題を解いて、できるようにしましょう

 

という感じで進んでいくのが普通かのぉ

 

高校の授業時間数や、受験を考えると、このやり方は理にかなっておるんじゃが、

  • 微分って、そもそも、なに?
  • なぜ、微分を学ぶの?
  • どう、微分が役立っているの?

といったことを知る機会が少ないのは残念なことだと思うんじゃ

 

微分は世の中の様々なとこで活用されていて、とても重要じゃ

 

大学の理系学部や経済学部などでは、微分は必須と言えるんじゃ

 

また、もしあなたが社会人で、数学を1から学ぶなら、

意味をしっかり理解することは、

最終的には、急がば回れで、理解が速くなるはずじゃ

 

そこで本記事では、

微分の意味

微分を使う理由

微分がどこで役立っているか

といったことをまとめようと思うんじゃ

 

また、分かりやす具体例を示して、

微分ってこんな感じなんだ

というイメージをつかんでもらえたらと思うんじゃ

 

それによって、

微分って面白いなぁ

将来、役に立ちそうだなぁ

今日の勉強をとりあえず頑張れそう

と思ってもらえたらと思うんじゃ

 

微分を習ったことない方も理解できるように書くから、

1つずつシッカリ読んでほしんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

では、解説をはじめるかのぉ

 

微分(びぶん)とは?微分のイメージと、わかりやすい例はこちらです

[mathjax]

微分の定義は、以下の式で習うと思うんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

\( \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} \)

 

これを習って、そーいうことね!

 

って理解できる方は少ないじゃろう

 

むしろ、なにこれ?って方が多いのではないかのぉ

 

そこで、この意味を解説してみようと思うんじゃ

 

微分の定義の意味

 

数学おじさん
数学おじさん

先に結論を述べておくことにするかのぉ

 

微分というのは、関数の、ある瞬間での性質を表したものなんじゃ

 

例えば、速さであれば、

 

単なる速さではなく、あの瞬間の速さを求めたい、

 

その時役立つのが微分、というわけじゃ

 

え、どういうこと?

 

って方は、以下を読んでいってほしいんじゃ

 

平均の速さ

ここでは、分かりやすい例から、微分の意味について考えてみようと思うんじゃ

 

こんな例を考えてみるかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

Aさんは、家から図書館まで10キロの道のりがあります。

 

Aさんは10時に出発したら、11時に到着しました。

 

この時、Aさんの自転車での速さは、毎分何キロでしょうか?

速さ一定 マスジャック oj3math

こういう問題は、中学生の頃、解いたことがあるのではないかのぉ

 

求めるのは速さじゃが、

 

数学おじさん
数学おじさん

(速さ)=(道のり)÷(時間)

 

という公式を使えばいいんじゃな

 

すると、今回の道のりは、10キロ

時間は、11時ー10時=1時間=60分

とわかるから、

 

速さ= 10キロ÷60分=約 0.17 キロ/分

 

と答えが出るわけじゃな

 

え?これが微分と、どう、関係するの?

 

って思うかもしれないんじゃが、関係があるんじゃよ

 

少しこらえて、次の場合を考えてみてほしいんじゃ

数学おじさん
数学おじさん

Aさんは、家から図書館まで10キロの道のりがあります。

 

Aさんは10時に出発したら、11時に到着しました。

 

ちなみに、途中でくだり坂があるので、

 

そこでは自転車の速さは、一定ではなく、速くなりました。

 

この時、Aさんの自転車での速さは、毎分何キロでしょう?

速さ変化 微分 マスジャック oj3math

坂道があるから、①と②では、速さがちがうわけじゃ

 

なので、最初の問題のように、

速さ=道のり÷時間

として計算できないわけなんじゃ

 

困った・・・

 

となるわけじゃな

 

坂道で自転車の速さが、変化する時は、

 

その瞬間・瞬間で、速さが変わっているわけじゃ

 

なので、正確に速さを知ろうと思ったら、

 

その「瞬間の速さ」を考える必要があるわけじゃ

 

そこで、瞬間の速さって、どう、求めたらいいの?

 

って考えてみることにしようかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

なぜかというと、

 

瞬間の速さは、微分と関係しているんじゃよ

 

瞬間の速さ

まずは数学らしく、軸を導入しようと思うんじゃ

速さ 1−4-2 マスジャック oj3math

最初の例とほぼ同じ図じゃが、X軸とT軸が使われていることがわかるじゃろう

 

X軸は、道のりを表していて、家から図書館まで10キロという情報は、

X軸を使って表現すると、X座標が0から10に対応しているわけじゃな

 

T軸は、時間を表していて、家を10時に出て、11時に着いたという情報は、

T軸を使って表現すると、T軸座標が、10:00から、11:00に対応しているわけじゃ

 

ここまではいいかのぉ

 

では、以下の場合を考えてみたいんじゃ

速さ 1−4-3 マスジャック oj3math

全体としては、10キロを1時間で進んだのは同じなんじゃ

ただ、新しい情報が入ったんじゃ

最初の1キロから4キロは、まだ元気じゃったから速かったというんじゃ

1キロ地点は10:10に通過し、4キロ地点は10:20に通過したということじゃ

 

この時、1キロから4キロの間の速さ を考えてほしいんじゃ

 

4キロから1キロの間の距離は、4−1=3キロ

それにかかった時間は、10:20ー10:10 = 10分

 

つまり、この時の速さは、

(速さ)=3 ÷ 10 = 0.3 キロ/分

として計算できるわけじゃな

 

数学おじさん
数学おじさん

ここからが重要じゃ

この速さの計算式は、以下のようにもかけるわけじゃ

 

速さ= \(  \frac{4 – 1}{10:20 – 10:10} \)

 

分子は、道のりを出すために、2つの地点のX座標の差を使っているんじゃ

分母は、時間を出すために、2つの地点のT座標の差を使っておる

数学おじさん
数学おじさん

軸を導入したことで、2つの地点の差として、表現できるわけじゃな

 

では、今1キロから4キロの間の話じゃったんじゃが、

もっと短い距離の速さを考えてみるかのぉ

速さ 2-3 マスジャック oj3math

これは、2キロから3キロの時の図じゃな

時間は10:12から10:15となっておる

速さ= \(  \frac{3 – 2}{10:15 – 10:12} \)

と表すことができるのぉ

 

さらに短い距離を考えてみるかのぉ

速さ x1 x2 マスジャック oj3math

これは、位置 x1 から 位置 x2 の時の図じゃ

 

時間はそれぞれ t1 と t2 になっておるのぉ

 

すると、上と同じように、

 

速さ= \(  \frac{x2 – x1}{t2 – t1} \)

 

と表すことができるわけじゃ

 

関数の考え方を導入する

数学おじさん
数学おじさん

このことを、数学的にうまく表現するために、関数の考え方を導入したいんじゃ

 

いま、時間 t1 の時、位置は x1と決まるのぉ

また、時間 t2 の時、位置は x2 と決まるのぉ

 

このように

何かの値が決まると、別の値も決まる

この関係を、「関数」と呼ぶんじゃったな

 

もし、あれ?関数って何だっけ?って方は、

 

以下の記事を読んで復習するのがオススメじゃ、お〜い、ニャンコくんお願い

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は〜い、先生!

 

関数の解説記事はこちらニャン

 

【数学】「関数(かんすう)」ってなに?【比例・反比例 中学数学】

 

ニャンコくん、ありがとう

 

話を戻すとするかのぉ

 

関数には、具体的には、

 

\( y = 3x  \)   とか、\( y=x^2+3x+3 \) とかがあるんじゃ

 

また他にも、\( y=f(x)  \)  のような書き方もあるんじゃ

 

これは、『y は x の関数ですよ』ということを示している書き方じゃ

(ちなみに、f は function(関数)の略じゃな)

 

 

ここまでいいかのぉ

 

 

では、問題に戻るとするかの

 

この問題では、時刻 t が決まると、位置 x が決まる、という関係じゃ

 

つまり、x は tの関数というわけじゃな

 

じゃから、

 

\( x = f(t) \)  

 

と書けるわけじゃ

 

より具体的には、

時刻 t1 の時の位置 x1 は、\( x1=f(t1) \)  と書けて、

時刻 t2 の時の位置 x2 は、\( x2=f(t2) \) と書けるわけじゃ

 

これを使うと、速さの式は、以下のように書きかえることができるんじゃ

 

速さ= \(  \frac{x2 – x1}{t2 – t1} \)

 

速さ= \(  \frac{f(t2) – f(t1)}{t2 – t1} \)

 

極限(きょくげん)の考え方を導入する

思い出してほしんじゃが、

 

もともと考えたかったのは、「瞬間の速さ」じゃったわけじゃ

 

「瞬間の速さ」というのは、その時・その場所での速さ、と考えれるんじゃ

 

つまり、

速さ= \(  \frac{f(t2) – f(t1)}{t2 – t1} \)

において、2つの時間の間隔

 

 \(  t2 – t1 \) 

 

が、めちゃくちゃ小さくすれば

 

その瞬間の速さを表すことができるわけじゃ

 

ここの考え方には、

 

う〜ん、納得いかない!

 

という方も多いかもしれないんじゃ

 

しかし、これが微分というもの本質的な考え方なんじゃ

 

納得いかなくても、とりあえず、これを認めて、先の話を聞いてほしいんじゃ

 

これを数学的に言い換えると、

 

 \(  t2 – t1 \) 

 

ゼロに近くなる「極限(きょくげん)」を考えるといい、というわけじゃ

 

これを数式で表現すると、

 

瞬間の速さ = \( \lim_{t2 \to t1} \frac{ f(t2) – f(t1) }{t2 – t1} \)

 

と書けるんじゃ

 

ちなみに、極限を式で表現するには、

\( \lim_{x \to a} x^2 \)

のように、\( \lim_{x \to a} \) という記号を使うんじゃ

 

lim は極限(リミット limit)を表し、

x → a を合わせて書くことで、x を aに極限まで近づける

という意味を表現することができるんじゃな

 

つまり、

 

瞬間の速さ = \( \lim_{t2 \to t1} \frac{ f(t2) – f(t1) }{t2 – t1} \)

 

の意味は、

 

t2 を t1 に極限まで近づけた時に、

 

すなわち、t2 ー t1 を限りなくゼロに近づけた時に、

 

道のり÷時間 をすると、瞬間の速さが計算できる、というわけじゃ

 

この式は、時刻 t1での瞬間の速さを計算しているというわけじゃな

 

瞬間の速さと、微分の関係

ここからがいよいよ本番じゃ

 

上で求めた瞬間の速さの式を見てほしんじゃ

 

瞬間の速さ= \( \lim_{t2 \to t1} \frac{ f(t2) – f(t1) }{t2 – t1} \)

 

ここで使う文字を変えてみようかと思うんじゃ

t1, t2, というのは、自分で勝手に使った文字じゃから、

別に t1, t2 である必要はないわけじゃ

 

というわけで、t1 を a、t2 を x と書き換えてみることにしよう

 

すると、

 

瞬間の速さ= \( \lim_{x \to a} \frac{ f(x) – f(a) }{x – a} \)

 

と書き直せるわけじゃ

 

これを、微分の定義式と比べてほしいんじゃ

 

微分の定義式= \( \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} \)

 

完全に一致しておるじゃろ

 

つまり、

数学おじさん
数学おじさん

微分というのは、瞬間の速さのことなんじゃ

 

これが微分のイメージなんじゃな

 

 

 

もちろん微分というのは、様々な関数について使うことができるから、

 

どれも瞬間の速さを求めているわけではないんじゃ

 

しかし、微分がどんな操作をしているかのイメージとしては、

 

関数の、ある瞬間での性質を求めている、そういうイメージを持っておけばオッケーじゃ

 

複雑な関数に出会ったら、なにこいつ?どんな関数だよ!?

 

となるかもしれないわけじゃ

 

そんな時は、とりあえず関数の全部を知るのはあきらめて、

 

一部分の性質だけでも理解しよう

 

と考えてみるんじゃ

 

すなわち、1部分、つまり、関数のその瞬間での性質を知りたければ、微分すればいい

 

というわけじゃ

 

何のために微分するの?

 

には、その関数のある瞬間での性質を知るため、

 

と答えることができるわけじゃ

 

世の中のいろいろな現象は、関数で表現することができる

 

つまり、世の中の出来事の瞬間・瞬間の性質を知りたかったら、

 

関数を作って、微分してやればいい

 

ということなんじゃな

 

微分は世の中で役に立ってそうじゃろ?

 

これが微分のイメージなんじゃな

 

というわけで、微分を学んでおくのは、

 

あとあと役に立ちそうだと思ってもらえたんじゃないかのぉ

 

では最後に、ちょっとへぇ〜という感じの例を示して終わりにしようかと思うんじゃ

 

微分の面白い、簡単な例

 

数学おじさん
数学おじさん

問題:次の式を、rについて微分してください

 

\( f(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \)

 

この式、球の体積を求める式じゃのぉ

 

「身の上に心配あーる3乗」なんて覚えた方も多いんじゃないかのぉ

 

これを r について微分してくださいということじゃ

 

やってみるかのぉ

 

\( f'(r) = 3 \frac{4}{3}\pi r^2 = 4\pi r^2 \)

 

となり、\(  4\pi r^2 \) は、球の表面積の公式が出てきたわけじゃ

 

つまり、微分すると、

 

球の体積  →   球の表面積

 

という変換ができたわけじゃな

 

中学校で習った2つの公式には、微分というつながりがあった、というわけじゃな

 

というわけで、微分のイメージと、具体例は以上じゃ

 

今日はこれくらいにしておくかのぉ

 

お〜い、ゼピエルくん、あとお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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