【数学 質問解答】因数分解の難問:複雑なたすきがけ【中学数学 中3 因数分解】(質問ありがとうございました!)

因数分解 難問 数学(中学校)
因数分解 難問
数学宣教師
数学宣教師

今回は、こんな質問をいただきました!

 [mathjax]
質問くまさん
質問くまさん

\( 2x^2 + 7x + 6 \) の因数分解ってどうすればいいの?

 

数学宣教師
数学宣教師

では先生、お願いします~

 

数学おじさん
数学おじさん

「2次式の因数分解」の問題じゃな

 

2次式の因数分解では、

 

\( x^2 \) の項は、係数が「1」であることが多いんじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

\( x^2 + 3x + 2 \) のような感じですか?

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

でもこの問題では、

 

\( 2x^2 + 7x + 6 の、x^2の係数は\) 「2」となっておる。

 

あんまり慣れてない形ではないかのう

 

質問くまさん
質問くまさん

そうなんですよ。

 

あんまり見たことなかったんで、できなくて。

 

どうやって、因数分解すればいいのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

じつは、こういう場合でも、

 

因数分解の「たすきがけ」のやり方をシッカリ理解していれば、

 

きちんとできるんじゃよ

 

質問くまさん
質問くまさん

そうなんですか!

 

因数分解は、なんとなくできるんだけど、

 

もっと確実にできるようになりたいです!

 

ぜひ、たすきがけでのやり方を教えてください!

 

数学おじさん
数学おじさん

よし!

 

では、いっしょにやっていくとするかのぅ

 

 

質問くまさん
質問くまさん

はい!

数学宣教師
数学宣教師

というわけで、本記事では、

 

「たすきがけを使った因数分解」

 

で、この問題を解いてみるようです。

 

【数学 質問解答】因数分解の難問について:複雑なたすきがけ(質問ありがとうございました!)【中学数学 中3 因数分解】

 

数学おじさん
数学おじさん

因数分解には、大きく分けて2つのやり方があるんじゃ。

 

今回はその1つの、「たすきがけ」の方法で解いてみる。

 

質問くまさん
質問くまさん

はい!

 

ただ、「たすきがけのやり方」がよくわかってないんです~

 

数学おじさん
数学おじさん

だいじょうぶじゃ

 

「たすきがけの基礎」はきちんと説明しているから、

 

そっちを見てもらえば、わかるようになるはずじゃ

 

おーい、にゃんこくん、教えてあげて~

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

たすきがけのやり方は、以下でくわしく解説してるにゃん↓

 

【数学】因数分解のやり方①:たすきがけ【中学数学 中3 因数分解】

 

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう

 

たすきがけのやり方は、決まっているんじゃ

 

なので、そのやり方をシッカリ身につけるようにするのじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

やり方が同じってことは、

 

1つ身につければ、

 

同じパターンの問題は、全部、解けるようになるってことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおり!

 

きちんとできるようになれば、あとでラク~になるわけじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

ぜんぶ解けるようになりたいです!

 

数学おじさん
数学おじさん

なれる!

 

そのためにまず、この問題の「やり方」を、シッカリ理解するのじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

わかりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

それでは今回の問題を考えてみることにしよう

質問くまさん
質問くまさん

\( 2x^2 + 7x + 6 \) を因数分解してください、でした

 

数学おじさん
数学おじさん

まず最初の手順①

 

いま、\( x^2 \) の項が1以外の2なので、

 

かけ算して、\( x^2 \) の係数になるような数字を考えるのじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

\( x^2 \) の係数が1以外の数のときは、いつもこう考えるんですか?

数学おじさん
数学おじさん

そのとおり!

 

質問くまさん
質問くまさん

\( x^2 \) の項が2なので、かけ算して2になるのは、

× でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

次は、そのを使って、下のように表を書いてほしいんじゃ

(表)

1
2
質問くまさん
質問くまさん

さっきのを一番左に書けばいいんですね。

数学おじさん
数学おじさん

そう

 

これができたら、次のステップにいこう

 

数学おじさん
数学おじさん

\( 2x^2 + 7x + 6 \) の文字がない項は、だね。

 

たすきがけ手順②

かけ算して、数字の項となるような2つの数を考えるんじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

かけ算して6になる数って

  • 1×6
  • 2×3

の2つの場合がありまよね?これでいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

それで大正解!

 

でもじつは、マイナスの場合もあるから、気をつけるんじゃ

  • (-1)×(-6)
  • (-2)×(-3)

もかけて6になる組み合わせなんじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

ほんとだ!

 

これは気をつけないと忘れちゃう

 

じゃあ、かけて数字の項6になるのは、

 

全部で4パターンあるってことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃ。

 

まとめると、かけ算して6になる数のパターンは4つじゃ

  • 1×6
  • 2×3
  • (-1)×(-6)
  • (-2)×(-3)

 

これら4つのパターンを、1つひとつ調べていって、

 

因数分解に必要な数をみつけていけばいいというわけじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

なんかめんどくさそうですねぇ

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃ。

 

でもじつは、このめんどくささは、我々人類の役に立ってるんじゃよ。

 

パソコンやスマホを守る「暗号」に使われてたりするんじゃ。

 

質問くまさん
質問くまさん

そうなんですか!くわしく聞きたいです!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな。機会があったら、話してみよう。

 

いまは、因数分解をシッカリやってみるのが先決じゃな。

 

質問くまさん
質問くまさん

そうですね!じゃあ、つぎはどうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

つぎは、かけ算して、数字の項6になるパターンの1つ目を考えてみるんじゃ

質問くまさん
質問くまさん

じゃあ、1×6からですね!

(2-1), 1×6のパターン

 

数学おじさん
数学おじさん

上でつくった表は以下じゃ

1
2
数学おじさん
数学おじさん

つぎは、この表の、まん中の列をうめていくのじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

いま考えてるのは、1×6のパターンなので、

 

表のまん中の列には、1と6を書くのじゃ。

 

すると、表は下のようになる

(表1)

1  1
2  6  

 

数学おじさん
数学おじさん

じつは、1と6の上下を入れかえて、

 

6を上に、1を下にした表も書けるんじゃ

(表2)

1  6
2  1  
質問くまさん
質問くまさん

表が2つになりましたね

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃ

 

つぎは、右の列をうめていくんじゃが、

 

表が2つあると混乱するかもしれないな

 

数学おじさん
数学おじさん

表は2つあるけど、1つずつ考えてみればいいんじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

まず(表1)から解説お願いします!

数学おじさん
数学おじさん

(表1)はまんなかの列までうまっておったな

(表1)

1  1  ①
2  6  
数学おじさん
数学おじさん

つぎは、左の列の青のと、まんなかの列のをかけ算するのじゃ

 

ななめにかけ算する」とおぼえておけば間違えないじゃろう

 

すると、×=6で、計算結果が6になるから、

 

それを表ののところに書けばオッケーじゃ

 

1  1  
2  6   

 

数学おじさん
数学おじさん

同じように、赤文字についても計算するんじゃ

 

左の列の赤のと、まんなかの列のをかけ算するのじゃ

 

×=2で、計算結果が2になるから、

 

それを表ののところに書けばオッケーじゃ

(表1)

1  1   
2  6   

 

数学おじさん
数学おじさん

これで(表1)のできあがりじゃ

 

ポイントは、左とまん中の数字を、「ななめにかけ算」してるとこじゃ

 

この計算方法を ”たすきがけ” と呼んでいる理由は、

 

ななめのかけ算が、たすきがけに似てるからなんじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

そういうことだったんですね!

 

なぜ、たすきがけっていうのか疑問だったんですよ~

 

なぞが解けました!

 

数学おじさん
数学おじさん

よし!それでは最後のステップの説明じゃ

 

たすきがけの手順③

 

因数分解につかえるかどうかを調べる

 

そのためには、できあがった表を使うんじゃ

(表1)

1  1  ① 2
2  6  ② 6

 

数学おじさん
数学おじさん

どう調べるかというと、

 

上の表の①+②をたし算すればいいんじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

①+② =  =  でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

この8を、因数分解したかった式

 

\( 2x^2 + 7x + 6 \)

 

xの項の係数と比較するのじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

なので、ちがう数字ですね。

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃ、

 

両者は、ちがう数字だとわかったんじゃ

 

ということは、因数分解には使えないと判断するわけじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

そうなんですね、なるほどです!

 

じゃあ、次はどうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

次の表を考えるのじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

じゃあ(表2)を考えるんですネ

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

(表2)は以下のとおりじゃ

 

(表1)と同じように、①、②をうめていくのじゃ

(表2)

1  6  
2  1  

 

質問くまさん
質問くまさん

ななめにかけ算するから、

 

まず、左とまん中の青文字同士を、ななめにかけ算して、

 

×=1の答え1を、右の列のにかけばいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

じゃあ、左とまん中の赤文字同士も、ななめにかけ算して、

 

×=12の答え12を、右の列のにかけばいいんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

質問くまさん
質問くまさん

(表2)ができました!

(表2)

1  6  ① 12
2  1  ② 1

 

数学おじさん
数学おじさん

では、因数分解につかえるかどうか、調べてみるのじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

えっと、(表2)の①+②をたし算して、

 

①+② = 12+1 = 13

 

となりました。

 

質問くまさん
質問くまさん

13なので、ちがうことがわかりました!

 

なので、因数分解には使えない、ってことですよね!?

 

これを因数分解したかった式

 

\( 2x^2 + 7x + 6 \)

 

xの項の係数と比較すればいいんですよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

これで、かけ算して数字の項6になるパターンの1つめ


1×6のパターンは、因数分解に使えないことがわかったんじゃ

 

  • 1×6
  • 2×3
  • (-1)×(-6)
  • (-2)×(-3)

 

なので、次のパターン2×3を考えることになるわけじゃ

 

 

質問くまさん
質問くまさん

わかりました!

 

次にいってみましょう!

 

(2-2),  2×3のパターン

数学おじさん
数学おじさん

スタートは、最初の表に戻って、以下のところからやればいいんじゃ

(表)

1
2
数学おじさん
数学おじさん

今度は、2×3のパターンを調べるので、

 

2と3を使って、2つの表が書けるわけじゃ。

 

(表3)(表4)としておこうかのぅ

(表3)

1    ①
2    ②

(表4)

1    
2    
質問くまさん
質問くまさん

ここからはさっきと同じで、

 

(表3)と(表4)の①と②を、うめればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

左とまんなかの数字を、ななめにかけ算して、

 

右の列に書けばいいんですよね

 

・・・

 

できました!

 

(表3)

1    ①
2  ②

(表4)

1    ①
2    ②

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

じゃあ、つぎは何をすればよかったかな?

 

質問くまさん
質問くまさん

えっと、因数分解につかえるかどうか調べる??

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ではやってみてごらん

 

質問くまさん
質問くまさん

\( 2x^2 + 7x + 6 \) のxの項の係数は、です。

 

(表3)のとき、

①+② = 6+2 = 

 

で、一致しないので、因数分解に使えませんネ

 

質問くまさん
質問くまさん

(表4)のとき、

①+② = 4+3 = 

 

で、2つが同じになりました

 

同じになったら、因数分解に使えるってことですよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、使い方を説明しよう

 

まずは同じになった(表4)が必要じゃ

(表4)

1    ①
2    ②
数学おじさん
数学おじさん

この表を使って、因数分解の式をつくるんじゃ

 

ポイントは、(表4)を以下のようにみることじゃ

(表4)
(x  +2)  ① 4
(2x  +3)  ② 3

 

数学おじさん
数学おじさん

1段目と2段目の青と赤をかけ算すると、

 

(x+2)(2x+3) をつくるんじゃ

 

じつは、これが因数分解の答えなんじゃ

 

 

質問くまさん
質問くまさん

え!そうなんですか!?

 

ということは、

 

\( 2x^2 + 7x + 6 = ( x + 2 )(2x + 3)  \)

 

ってことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

なので、テストで答えだけ書くのなら、

 

解答欄に、\(  ( x + 2 )(2x + 3)  \) と書けば正解じゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

なるほどです!

 

これで、たすきがけの因数分解もできそうです!

 

数学おじさん
数学おじさん

それはよかった!

 

ただ、1つだけ覚えておいてほしいんじゃが、

 

因数分解は、必ず点数がとれるんじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

え?なぜですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

因数分解は、答えが出たら「展開(てんかい)」してみる

 

答えがあっているか、確かめることができるからじゃ

 

これをやることで、

 

計算ミスをみつけることができるわけじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

入試だと、1点でも落としたくないですもんね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

なので、因数分解ができたら、展開して確かめること!

 

これを忘れないようにするのじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

わかりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

では、今回の問題でも、展開して、たしかめてみよう

\(  ( x + 2 )(2x + 3)  \)

を展開するには、分配法則をつかうのじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

\(  ( x + 2 )(2x + 3)  \)

 

\( =x × 2x + x × 3 + 2 × 2x + 2 × 3 \)

 

\( = 2x^2 + 3x + 4x + 6 \)

 

同類項をまとめると以下じゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

\( = 2x^2 + 7x + 6 \)

 

質問くまさん
質問くまさん

あ、これ問題の式と同じですね!

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃ

 

ということは、きちんと因数分解できてるってことがわかったんじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

これで、自信をもって、解答欄に書けますネ!

数学おじさん
数学おじさん

そういうことじゃ

質問くまさん
質問くまさん

ちなみに、数字の項の6になるパターンは4つあって、

 

  • 1×6
  • 2×3
  • (-1)×(-6)
  • (-2)×(-3)

下2つは、まだ調べてないですよね?

 

これらはどうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

それらは、もう考えなくていいんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

因数分解に使えるものがみつかれば、その他は調べなくていいんじゃ

 

質問くまさん
質問くまさん

そうなんですね!わかりました!

質問くまさん
質問くまさん

あと、展開のとことで出てきた、

 

「分配法則」や「同類項の計算」がよくわからないいですけど・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

なるほどなるほど

 

どちらも、高校入試などで、とっても大事なところじゃ

 

お~い、にゃんこくん、「分配法則」と「同類項」の記事を紹介してくれ

 

ついでに、「たすきがけ」もたのむ

 

 

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

たすきがけ」のやり方は、以下でくわしく解説してるにゃん↓

 

【数学】因数分解のやり方①:たすきがけ【中学数学 中3 因数分解】

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

質問くまさん
質問くまさん

ありがとうございます!みてみますね!

数学にゃんこ
数学にゃんこ

どういたしましてだにゃん

 

 

数学おじさん
数学おじさん

というわけで、

 

今回は、因数分解の難問の解き方を、

 

たすきがけを使って解いてみました。

 

 

数学おじさん
数学おじさん

お~い、ザビエルくん、あとお願い!

 

数学宣教師
数学宣教師

はい、秘書のザビエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

 

質問は随時うけていますので、

 

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数学にゃんこ
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わからないところが、サクッとわかる「因数分解」の解説記事をまとめました

 

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