今回は、こんな質問をいただきました！
\( 2x^2 + 7x + 6 \) の因数分解ってどうすればいいの？
では先生、お願いします～
「２次式の因数分解」の問題じゃな
２次式の因数分解では、
\( x^2 \) の項は、係数が「１」であることが多いんじゃ
\( x^2 + 3x + 2 \) のような感じですか？
そのとおりじゃ
でもこの問題では、
\( 2x^2 + 7x + 6 の、x^2の係数は\) 「２」となっておる。
あんまり慣れてない形ではないかのう
そうなんですよ。
あんまり見たことなかったんで、できなくて。
どうやって、因数分解すればいいのですか？
じつは、こういう場合でも、
因数分解の「たすきがけ」のやり方をシッカリ理解していれば、
きちんとできるんじゃよ
そうなんですか！
因数分解は、なんとなくできるんだけど、
もっと確実にできるようになりたいです！
ぜひ、たすきがけでのやり方を教えてください！
よし！
では、いっしょにやっていくとするかのぅ
はい！
というわけで、本記事では、
「たすきがけを使った因数分解」
で、この問題を解いてみるようです。
【数学 質問解答】因数分解の難問について：複雑なたすきがけ（質問ありがとうございました！）【中学数学 中３ 因数分解】
因数分解には、大きく分けて２つのやり方があるんじゃ。
今回はその１つの、「たすきがけ」の方法で解いてみる。
はい！
ただ、「たすきがけのやり方」がよくわかってないんです～
だいじょうぶじゃ
「たすきがけの基礎」はきちんと説明しているから、
そっちを見てもらえば、わかるようになるはずじゃ
おーい、にゃんこくん、教えてあげて～
にゃんこくん、ありがとう
たすきがけのやり方は、決まっているんじゃ
なので、そのやり方をシッカリ身につけるようにするのじゃ
やり方が同じってことは、
１つ身につければ、
同じパターンの問題は、全部、解けるようになるってことですか？
そのとおり！
きちんとできるようになれば、あとでラク～になるわけじゃ
ぜんぶ解けるようになりたいです！
なれる！
そのためにまず、この問題の「やり方」を、シッカリ理解するのじゃ
わかりました！
それでは今回の問題を考えてみることにしよう
\( 2x^2 + 7x + 6 \) を因数分解してください、でした
まず最初の手順①
いま、\( x^2 \) の項が１以外の２なので、
かけ算して、\( x^2 \) の係数になるような数字を考えるのじゃ
\( x^2 \) の係数が１以外の数のときは、いつもこう考えるんですか？
そのとおり！
\( x^2 \) の項が２なので、かけ算して２になるのは、
１×２ でいいんですか？
大正解じゃ
次は、その１と２を使って、下のように表を書いてほしいんじゃ
（表）
| 1 | ||
| 2 |
さっきの１と２を一番左に書けばいいんですね。
そう
これができたら、次のステップにいこう
\( 2x^2 + 7x + 6 \) の文字がない項は、６だね。
たすきがけ手順②
かけ算して、数字の項となるような２つの数を考えるんじゃ
かけ算して６になる数って
- １×６
- ２×３
の２つの場合がありまよね？これでいいんですか？
それで大正解！
でもじつは、マイナスの場合もあるから、気をつけるんじゃ
- (－１)×(－６)
- (－２)×(－３)
もかけて６になる組み合わせなんじゃ
ほんとだ！
これは気をつけないと忘れちゃう
じゃあ、かけて数字の項６になるのは、
全部で４パターンあるってことですか？
そうなんじゃ。
まとめると、かけ算して６になる数のパターンは４つじゃ
- １×６
- ２×３
- (－１)×(－６)
- (－２)×(－３)
これら４つのパターンを、１つひとつ調べていって、
因数分解に必要な数をみつけていけばいいというわけじゃ
なんかめんどくさそうですねぇ
そうなんじゃ。
でもじつは、このめんどくささは、我々人類の役に立ってるんじゃよ。
パソコンやスマホを守る「暗号」に使われてたりするんじゃ。
そうなんですか！くわしく聞きたいです！
そうじゃな。機会があったら、話してみよう。
いまは、因数分解をシッカリやってみるのが先決じゃな。
そうですね！じゃあ、つぎはどうすればいいんですか？
つぎは、かけ算して、数字の項６になるパターンの１つ目を考えてみるんじゃ
じゃあ、１×６からですね！
(2-1), １×６のパターン
上でつくった表は以下じゃ
| 1 | ||
| 2 |
つぎは、この表の、まん中の列をうめていくのじゃ
いま考えてるのは、１×６のパターンなので、
表のまん中の列には、１と６を書くのじゃ。
すると、表は下のようになる
（表１）
| 1 | 1 | |
| 2 | 6 |
じつは、１と６の上下を入れかえて、
６を上に、１を下にした表も書けるんじゃ
（表２）
| 1 | 6 | |
| 2 | 1 |
表が２つになりましたね
そうじゃ
つぎは、右の列をうめていくんじゃが、
表が２つあると混乱するかもしれないな
表は２つあるけど、１つずつ考えてみればいいんじゃ
まず（表１）から解説お願いします！
（表１）はまんなかの列までうまっておったな
（表１）
| 1 | 1 | ① |
| 2 | 6 | ② |
つぎは、左の列の青の１と、まんなかの列の６をかけ算するのじゃ
「ななめにかけ算する」とおぼえておけば間違えないじゃろう
すると、１×６＝６で、計算結果が６になるから、
それを表の②のところに書けばオッケーじゃ
| 1 | 1 | ① |
| 2 | 6 | ② ６ |
同じように、赤文字についても計算するんじゃ
左の列の赤の２と、まんなかの列の１をかけ算するのじゃ
２×１＝２で、計算結果が２になるから、
それを表の①のところに書けばオッケーじゃ
（表１）
| 1 | 1 | ① ２ |
| 2 | 6 | ② ６ |
これで（表１）のできあがりじゃ
ポイントは、左とまん中の数字を、「ななめにかけ算」してるとこじゃ
この計算方法を ”たすきがけ” と呼んでいる理由は、
ななめのかけ算が、たすきがけに似てるからなんじゃ
そういうことだったんですね！
なぜ、たすきがけっていうのか疑問だったんですよ～
なぞが解けました！
よし！それでは最後のステップの説明じゃ
たすきがけの手順③
因数分解につかえるかどうかを調べる
そのためには、できあがった表を使うんじゃ
（表１）
| 1 | 1 | ① 2 |
| 2 | 6 | ② 6 |
どう調べるかというと、
上の表の①＋②をたし算をすればいいんじゃ
①＋② ＝ ２＋６ ＝ ８ でいいんですか？
大正解じゃ
この８を、因数分解したかった式
\( 2x^2 + 7x + 6 \)
のｘの項の係数「７」と比較するのじゃ
８と７なので、ちがう数字ですね。
そうじゃ、
両者は、ちがう数字だとわかったんじゃ
ということは、因数分解には使えないと判断するわけじゃ
そうなんですね、なるほどです！
じゃあ、次はどうすればいいんですか？
次の表を考えるのじゃ
じゃあ（表２）を考えるんですネ
そのとおりじゃ
（表２）は以下のとおりじゃ
（表１）と同じように、①、②をうめていくのじゃ
（表２）
| 1 | 6 | ① |
| 2 | 1 | ② |
ななめにかけ算するから、
まず、左とまん中の青文字同士を、ななめにかけ算して、
１×１＝１の答え１を、右の列の②にかけばいいんですか？
そのとおりじゃ
じゃあ、左とまん中の赤文字同士も、ななめにかけ算して、
２×６＝１２の答え１２を、右の列の①にかけばいいんですね！
そのとおりじゃ
（表２）ができました！
（表２)
| 1 | 6 | ① 12 |
| 2 | 1 | ② 1 |
では、因数分解につかえるかどうか、調べてみるのじゃ
えっと、（表２）の①＋②をたし算して、
①＋② ＝ １２＋１ ＝ １３
となりました。
１３と７なので、ちがうことがわかりました！
なので、因数分解には使えない、ってことですよね！？
これを因数分解したかった式
\( 2x^2 + 7x + 6 \)
のｘの項の係数「７」と比較すればいいんですよね？
そのとおりじゃ
これで、かけ算して数字の項６になるパターンの１つめ、
１×６のパターンは、因数分解に使えないことがわかったんじゃ
１×６- ２×３
- (－１)×(－６)
- (－２)×(－３)
なので、次のパターン２×３を考えることになるわけじゃ
わかりました！
次にいってみましょう！
(2-2), ２×３のパターン
スタートは、最初の表に戻って、以下のところからやればいいんじゃ
（表）
| 1 | ||
| 2 |
今度は、２×３のパターンを調べるので、
２と３を使って、２つの表が書けるわけじゃ。
（表３）（表４）としておこうかのぅ
（表３）
| 1 | ３ | ① |
| 2 | ２ | ② |
（表４）
| 1 | ２ | ① |
| 2 | ３ | ② |
ここからはさっきと同じで、
（表３）と（表４）の①と②を、うめればいいんですか？
そのとおりじゃ
左とまんなかの数字を、ななめにかけ算して、
右の列に書けばいいんですよね
・・・
できました！
（表３）
| 1 | ３ | ① ６ |
| 2 | ２ | ② ２ |
（表４）
| 1 | ２ | ① ４ |
| 2 | ３ | ② ３ |
大正解じゃ！
じゃあ、つぎは何をすればよかったかな？
えっと、因数分解につかえるかどうか調べる？？
そのとおりじゃ
ではやってみてごらん
\( 2x^2 + 7x + 6 \) のｘの項の係数は、７です。
（表３）のとき、
①＋② ＝ 6＋2 ＝ ８
７と８で、一致しないので、因数分解に使えませんネ
（表４）のとき、
①＋② ＝ ４＋３ ＝ ７
７と７で、２つが同じになりました！
同じになったら、因数分解に使えるってことですよね？
そのとおりじゃ
では、使い方を説明しよう
まずは同じになった（表４）が必要じゃ
（表４）
| 1 | ２ | ① ４ |
| 2 | ３ | ② ３ |
この表を使って、因数分解の式をつくるんじゃ
ポイントは、（表４）を以下のようにみることじゃ
| (x | +2) | ① 4 |
| (2x | +3) | ② 3 |
１段目と２段目の青と赤をかけ算すると、
(x+2)(2x+3) をつくるんじゃ
じつは、これが因数分解の答えなんじゃ
え！そうなんですか！？
ということは、
\( 2x^2 + 7x + 6 ＝ ( x + 2 )(2x + 3) \)
ってことですか？
そのとおりじゃ
なので、テストで答えだけ書くのなら、
解答欄に、\( ( x + 2 )(2x + 3) \) と書けば正解じゃ
なるほどです！
これで、たすきがけの因数分解もできそうです！
それはよかった！
ただ、１つだけ覚えておいてほしいんじゃが、
因数分解は、必ず点数がとれるんじゃ
え？なぜですか？
因数分解は、答えが出たら、「展開（てんかい）」してみる
答えがあっているか、確かめることができるからじゃ
これをやることで、
計算ミスをみつけることができるわけじゃ
入試だと、１点でも落としたくないですもんね
そのとおりじゃ！
なので、因数分解ができたら、展開して確かめること！
これを忘れないようにするのじゃ
わかりました！
では、今回の問題でも、展開して、たしかめてみよう
\( ( x + 2 )(2x + 3) \)
を展開するには、分配法則をつかうのじゃ
\( ( x + 2 )(2x + 3) \)
\( ＝x × 2x + x × 3 + 2 × 2x + 2 × 3 \)
\( ＝ 2x^2 + 3x + 4x + 6 \)
同類項をまとめると以下じゃ
\( ＝ 2x^2 + 7x + 6 \)
あ、これ問題の式と同じですね！
そうじゃ
ということは、きちんと因数分解できてるってことがわかったんじゃ
これで、自信をもって、解答欄に書けますネ！
そういうことじゃ
ちなみに、数字の項の６になるパターンは４つあって、
１×６- ２×３
- (－１)×(－６)
- (－２)×(－３)
下２つは、まだ調べてないですよね？
これらはどうすればいいんですか？
それらは、もう考えなくていいんじゃ
因数分解に使えるものがみつかれば、その他は調べなくていいんじゃ
そうなんですね！わかりました！
あと、展開のとことで出てきた、
「分配法則」や「同類項の計算」がよくわからないいですけど・・・
なるほどなるほど
どちらも、高校入試などで、とっても大事なところじゃ
お～い、にゃんこくん、「分配法則」と「同類項」の記事を紹介してくれ
ついでに、「たすきがけ」もたのむ
にゃんこくん、ありがとう！
ありがとうございます！みてみますね！
どういたしましてだにゃん
というわけで、
今回は、因数分解の難問の解き方を、
たすきがけを使って解いてみました。
お～い、ザビエルくん、あとお願い！
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
- 励ましてほしい
- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
一緒に勉強する（丸つけや解説する）ことをやりながら、
あなたの勉強をサポートするという仕組みです。
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ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓
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不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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