【数学】円の接線の方程式の求め方(解法②:接点の座標も求める)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

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円の接線の方程式 解法② 接点 連立方程式 数学(高校)
円の接線の方程式 解法② 接点を連立方程式から求める
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今回は、こんな質問をいただきました↓

 

点(4, 6)を通り、円 (x -1)2 + (y - 1)2 = 9 に接する直線の方程式は?

 

この問題、直接書いてないですが、円の接線を求める問題です。

 

円の接線を求める問題には、

与えられる条件によって、いろいろなパターンがあります。

 

今回の問題は、

  • 中心が原点でない
  • 与えられた点は、円上の点でない

パターンになります。

(図は動画の中で書いていますので、参考にしてくださいネ)

 

 

「接線の方程式を求める方法」はパターンによって、いくつかあります。

 

本記事では、上の問題を3つの解法で解いてみました。

  • 解法①:ラクな解法
  • 解法②:接点の座標も求めれる解法
  • 解法③:原点中心の公式を使う解法

について、解説しながら、それぞれの解法の長所短所などをまとめたいと思います。

 

これで円の接線の方程式は得点源にできた!

 

となってもらえたらな、と思います。

 

今回は、解法②:接点の座標も求めれる解法についての記事になります。

 

 

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【数学】円の接線の方程式の求め方(解法②:接点の座標も求める)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

 

今回は、円の接線の方程式と、接点を同時に求める方法を説明したいと思います。

 

結論からいうと、

接線の方程式と円の方程式は、どちらも接点を通るので、

連立方程式として解く

という解き方になります。

 

動画による解答はこちら↓

http://youtu.be/dRCukvbfHhU

 

(下の解説を読んだ後の方が理解しやすいです)

 

シッカリ解説していきますね

 

まずは、接線の方程式を数式にしないといけません。

 

というわけで、以下を使います。

 

円の中心が原点でない場合の接線の方程式の与え方の1つになります。

 

(公式)非原点中心の円に対する接線の方程式:

 

(x - a)2 + (y - b)2 = r2 上の点 (α, β) における接線は、

 

(α - a)(x - a) + (β - b)(y - b) = r2

 

なぜこうなるの?ってあなたは ⇒ こちら(Youtube 動画です)

 

 

接点の座標を(α, β)とおくと、接線の方程式は、以下のように書けます。

 

(α - 1)(x - 1) + (β - 1)(y - 1) = 32  ・・・(接線の方程式)

 

この接線は、与えられた点 (4, 6) を通るので、代入しましょう

 

(α - 1)(4 - 1) + (β - 1)(6 - 1) = 9

 

これを計算・整理します。

 

3α + 5β = 17

 

[mathjax]

\( β = \frac{17-3α}{5} \) ・・・①

 

と変形しておきます。(なぜかは後でわかります^^)

 

ここで、接点は円上の点なので、(x - 1)2 + (y - 1)2 = 9 に代入しても成り立ちます。

(α- 1)2 + (β - 1)2 = 9 ・・・②

 

①、②式は、α, β の連立方程式と見ることができます。

(なので、連立方程式を解けば、接点(α, β)が求まります)

 

①を②に代入して、

(α- 1)2 + (\ \frac{17-3α}{5} \) - 1)2 = 9

 

これを計算。整理すると、

 

17α2 - 61α - 28 = 0

 

となります。これは、αの2次方程式です。

 

因数分解が難しそうなので、解の公式を使ってみます。

 

すると、α = 4, \( - \frac{7}{17} \) 

 

と求まります。これらを①に代入すると、βが求まります。

 

β = 1,  \(  \frac{62}{17} \) 

 

まとめると、

 

接点は (4, 1) , (\( -\frac{7}{17} \), \(\frac{62}{17} \) 

 

となります。

 

あとは接線の方程式が必要なので、

 

(α - 1)(x - 1) + (β - 1)(y - 1) = 32  ・・・(接線の方程式)

 

に接点の座標を代入して計算・整理すればオッケーです。

 

接点 (4, 1) のとき、

(4 - 1)(x - 1) + (1 - 1)(y - 1) = 9

より、

x=4

 

 

接点 (\( -\frac{7}{17} \), \(\frac{62}{17}) \) のとき、

(\( -\frac{7}{17} \) - 1)(x - 1) + (\(\frac{62}{17} \) - 1)(y - 1) = 9

より、

8x - 15y +58 = 0

 

となります。

 

以上から、まとめると、

 

接点 (4, 1) のとき、接線の方程式 x=4

 

接点 (\( -\frac{7}{17} \), \(\frac{62}{17}) \) のとき、8x - 15y +58 = 0

 

となります。

 

解法①と比べて、計算がややこしいですが、

 

接点の座標も途中で求めることができる

 

というメリットがあることがわかりました。

 

解説動画はこちらです

【数学】円の接線の方程式の求め方(解法②:接点の座標も求める)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

 

 

というわけで、本記事では、円の接線の解法②について、接点も同時に求めれる方法を解説しました。

 

 

でもやっぱり、計算がややこしいのは避けたいですよね。

 

そこで解法③では、計算量を軽くできそうな解き方を示しました。

 

 

 

 

 

数学おじさん
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というわけで今日はこれくらいにするかのぉ

秘書ザピエル
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あ、先生!告知をさせてください

数学おじさん
数学おじさん

おーそうじゃった

秘書ザピエル
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実はいろんなお悩みを聞いているんです

質問くまさん
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勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ

シャンシャン
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ハッチくん
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数学おじさん
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!

秘書ザピエル
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はーい、先生!   数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

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