今回は、こんな質問をいただきました↓
この問題、直接書いてないですが、円の接線を求める問題です。
円の接線を求める問題には、
与えられる条件によって、いろいろなパターンがあります。
今回の問題は、
- 中心が原点でない
- 与えられた点は、円上の点でない
パターンになります。
（図は動画の中で書いていますので、参考にしてくださいネ）
「接線の方程式を求める方法」はパターンによって、いくつかあります。
本記事では、上の問題を３つの解法で解いてみました。
- 解法①：ラクな解法
- 解法②：接点の座標も求めれる解法
- 解法③：原点中心の公式を使う解法
について、解説しながら、それぞれの解法の長所短所などをまとめたいと思います。
これで円の接線の方程式は得点源にできた！
となってもらえたらな、と思います。
今回は、解法②：接点の座標も求めれる解法についての記事になります。
解法①：ラクな解法については、こちらの記事をどうぞ↓
『【数学】円の接線の方程式の求め方（解法①：ラクな解き方）【高校 数学 図形と方程式 数学2】（質問ありがとうございます！）』
【数学】円の接線の方程式の求め方（解法②：接点の座標も求める）【高校 数学 図形と方程式 数学2】（質問ありがとうございます！）
今回は、円の接線の方程式と、接点を同時に求める方法を説明したいと思います。
結論からいうと、
接線の方程式と円の方程式は、どちらも接点を通るので、
連立方程式として解く
という解き方になります。
動画による解答はこちら↓
http://youtu.be/dRCukvbfHhU
（下の解説を読んだ後の方が理解しやすいです）
シッカリ解説していきますね
まずは、接線の方程式を数式にしないといけません。
というわけで、以下を使います。
円の中心が原点でない場合の接線の方程式の与え方の１つになります。
（公式）非原点中心の円に対する接線の方程式：
(x － a)2 + (y － b)2 = r2 上の点 (α, β) における接線は、
(α － a)(x － a) + (β － b)(y － b) = r2
なぜこうなるの？ってあなたは ⇒ こちら（Youtube 動画です）
接点の座標を（α, β)とおくと、接線の方程式は、以下のように書けます。
(α － 1)(x － 1) + (β － 1)(y － 1) = 32 ・・・（接線の方程式）
この接線は、与えられた点 (4, 6) を通るので、代入しましょう
(α － 1)(4 － 1) + (β － 1)(6 － 1) = 9
これを計算・整理します。
3α + 5β = 17
[mathjax]
\( β = \frac{17-3α}{5} \) ・・・①
と変形しておきます。（なぜかは後でわかります＾＾）
ここで、接点は円上の点なので、(x － 1)2 + (y － 1)2 = 9 に代入しても成り立ちます。
(α－ 1)2 + (β － 1)2 = 9 ・・・②
①、②式は、α, β の連立方程式と見ることができます。
（なので、連立方程式を解けば、接点(α, β)が求まります）
①を②に代入して、
(α－ 1)2 + (\ \frac{17-3α}{5} \) － 1)2 = 9
これを計算。整理すると、
17α2 － 61α － 28 = 0
となります。これは、αの2次方程式です。
因数分解が難しそうなので、解の公式を使ってみます。
すると、α = 4, \( － \frac{7}{17} \)
と求まります。これらを①に代入すると、βが求まります。
β = 1, \( \frac{62}{17} \)
まとめると、
接点は (4, 1) , (\( －\frac{7}{17} \), \(\frac{62}{17} \)
となります。
あとは接線の方程式が必要なので、
(α － 1)(x － 1) + (β － 1)(y － 1) = 32 ・・・（接線の方程式）
に接点の座標を代入して計算・整理すればオッケーです。
接点 (4, 1) のとき、
(4 － 1)(x － 1) + (1 － 1)(y － 1) = 9
より、
ｘ＝４
接点 (\( －\frac{7}{17} \), \(\frac{62}{17}) \) のとき、
(\( －\frac{7}{17} \) － 1)(x － 1) + (\(\frac{62}{17} \) － 1)(y － 1) = 9
より、
8x － 15y +58 = 0
となります。
以上から、まとめると、
接点 (4, 1) のとき、接線の方程式 ｘ＝４
接点 (\( －\frac{7}{17} \), \(\frac{62}{17}) \) のとき、8x － 15y +58 = 0
となります。
解法①と比べて、計算がややこしいですが、
接点の座標も途中で求めることができる
というメリットがあることがわかりました。
解説動画はこちらです
というわけで、本記事では、円の接線の解法②について、接点も同時に求めれる方法を解説しました。
でもやっぱり、計算がややこしいのは避けたいですよね。
そこで解法③では、計算量を軽くできそうな解き方を示しました。
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