今回は、こんな質問をいただきました↓
この問題、直接書いてないですが、円の接線を求める問題です。
円の接線を求める問題には、
与えられる条件によって、いろいろなパターンがあります。
今回の問題は、
- 中心が原点でない
- 与えられた点は、円上の点でない
パターンになります。
(図は動画の中で書いていますので、参考にしてくださいネ)
「接線の方程式を求める方法」はパターンによって、いくつかあります。
本記事では、上の問題を3つの解法で解いてみました。
- 解法①:ラクな解法
- 解法②:接点の座標も求めれる解法
- 解法③:原点中心の公式を使う解法
について、解説しながら、それぞれの解法の長所短所などをまとめたいと思います。
これで円の接線の方程式は得点源にできた!
となってもらえたらな、と思います。
今回は、解法③:原点中心の公式を使う解法についての記事になります。
解法①②については、以下にあります↓
解法①:ラクな解法については、こちらの記事をどうぞ↓
『【数学】円の接線の方程式の求め方(解法①:ラクな解き方)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)』
解法②:接点の座標も求めれる解法
『【数学】円の接線の方程式の求め方(解法②:接点の座標も求める)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)』
【数学】円の接線の方程式の求め方(解法③:接点を求めて計算量を軽くしたい)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)
解法③でのポイントは、「平行移動」を使うことです。
どういうことかというと、
与えられた円は、中心(1, 1)の、原点中心じゃない円なので、
接線を求めるための計算がややこしかったわけです(解法②)
これをもっとかんたんに解けないかなぁ~と思って、以下の方法を考えました。
基本的な考え方は、「平行移動を使って解きやすい状態に変える」ということです。
原点中心の円の接線は扱いやすいので、接線が簡単に求まる可能性があります。
なので、以下の戦略をとります。
[1], まず原点中心の状態に平行移動させます。
[2], 平行移動させた状態で、接線や接点が求めます。
[3], 求めた接線や接点を、もう1度平行移動させて、問題で与えられた状態に戻します。
動画による解答は以下になります
(下の解説を読んだ後の方がわかりやすいかと思います)
では実際にやってみましょう!
今回の円は、中心(1, 1)なので、原点中心にするために、
x方向に-1, y方向に-1 だけ平行移動させます。
与えられた点(4, 6)も同様に平行移動させます。
すると問題文は、
となります。
なんだかカンタンになった気がしませんか!?
原点中心の円の接線の方程式の問題に変わったわけです。
原点中心の円の接線は、とてもシンプルになります。
接点を(α, β)とおくと、接線の方程式は、
αx + βy = 9
と書けるんです。
え?なんで??
ってあなたはこちら↓
話を戻しますネ。
接線の方程式(αx + βy = 9)は、点(3, 5)を通るので、
3α + 5β = 9
[mathjax]
\( β = \frac{9 – 3α}{5} \) ・・・①
と書けます。
また、(α, β)は円周上の点でもあるので、
α2 + β2 = 9 ・・・②
①②の連立方程式を解くことになります。
α2 + \( \frac{9 – 3α}{5} \)2 = 9
を計算・整理すると、
17α2 -29 α - 72 = 0
となり、αについての2次方程式です。
解の公式を使って、
α = 3 , \( -\frac{24}{17} \)
①を使って、
β = 0, \( \frac{45}{17} \)
となります。
このとき接線は、αx + βy = 9 にそれぞれ α, β を代入して、
(α, β) = (3, 0)のとき、
接線の方程式は、x=3
(α, β) = (\( -\frac{24}{17} \), \( \frac{45}{17} \))のとき、
接線の方程式は、8x -15y + 51 = 0
となります。
最後に、これらをもとに戻すために、もう一度、平行移動させます。
x方向に+1、y方向に+1だけ平行移動させます。
すると、接点と接線は以下になります。
(α, β) = (4, 0)のとき、
接線の方程式は、x=4
(α, β) = (\( -\frac{7}{17} \), \( \frac{62}{17} \))のとき、
(接線の方程式を平行移動させて、8(x -1) -15(y - 1) + 51 = 0 より)
接線の方程式は、8x -15y + 58 = 0
となります。
以上が、平行移動を使って、原点中心の円で接線を求めた解法③となります。
動画による解説はこちらです↓
というわけで、円の接線を求める解法の①~③まで示しました。
解いた感想としては、接線の方程式だけ求めるなら、①がラクでした。
しかし接点を求めるとなると、解法②や③も知っておいた方がいいかと思います。
結論は、どちらもできるようにしておいたらいい、でしょうか。
え、解法①で、接点は求めれないの?って?
いい質問です!
実は解法①でも、接線の方程式が求まったら、接点の座標を求めることができるんです。
考え方は以下です。
接点は2つの直線の交点です。
2つの直線とは、
- 接線
- 円の中心と接点を通る直線
のことです。
接線の方程式は求めた後なので、
円の中心と接点を通る直線の方程式を求めます。
中心の座標は分かっているので、傾きがわかればオッケーです。
接線の方程式と、円の中心と接点を通る直線の方程式は垂直に交わるので、
それらの傾きの積は-1となります。
そこから式を立てて、傾きを求めます。
円の中心と接点を通る直線の方程式が求まったら、
接線の方程式と連立させて、
連立方程式を解くことで接点を求めることができます。
興味がある方は、自分でチャレンジしてみてくださいね
というわけで、今回は、円の接線を求める解法③でした。

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