【数学】円の接線の方程式の求め方(解法③:接点を求めて計算量を軽くしたい)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

スポンサーリンク
円の接線の方程式 解法③ 平行移動の活用数学(高校)
円の接線の方程式 解法③ 平行移動の活用
スポンサーリンク
スポンサーリンク
スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回は、こんな質問をいただきました↓

 

点(4, 6)を通り、円 (x -1)2 + (y - 1)2 = 9 に接する直線の方程式は?

 

この問題、直接書いてないですが、円の接線を求める問題です。

 

円の接線を求める問題には、

与えられる条件によって、いろいろなパターンがあります。

 

今回の問題は、

  • 中心が原点でない
  • 与えられた点は、円上の点でない

パターンになります。

(図は動画の中で書いていますので、参考にしてくださいネ)

 

 

「接線の方程式を求める方法」はパターンによって、いくつかあります。

 

本記事では、上の問題を3つの解法で解いてみました。

  • 解法①:ラクな解法
  • 解法②:接点の座標も求めれる解法
  • 解法③:原点中心の公式を使う解法

について、解説しながら、それぞれの解法の長所短所などをまとめたいと思います。

 

これで円の接線の方程式は得点源にできた!

 

となってもらえたらな、と思います。

 

今回は、解法③:原点中心の公式を使う解法についての記事になります。

 

解法①②については、以下にあります↓

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

【数学】円の接線の方程式の求め方(解法③:接点を求めて計算量を軽くしたい)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

解法③でのポイントは、「平行移動」を使うことです。

 

どういうことかというと、

 

与えられた円は、中心(1, 1)の、原点中心じゃない円なので、

 

接線を求めるための計算がややこしかったわけです(解法②)

 

これをもっとかんたんに解けないかなぁ~と思って、以下の方法を考えました。

 

基本的な考え方は、「平行移動を使って解きやすい状態に変える」ということです。

 

原点中心の円の接線は扱いやすいので、接線が簡単に求まる可能性があります。

 

なので、以下の戦略をとります。

 

[1],  まず原点中心の状態に平行移動させます。

 

[2],  平行移動させた状態で、接線や接点が求めます。

 

[3],  求めた接線や接点を、もう1度平行移動させて、問題で与えられた状態に戻します。

 

動画による解答は以下になります

(下の解説を読んだ後の方がわかりやすいかと思います)

 

では実際にやってみましょう!

 

点(4, 6)を通り、円 (x -1)2 + (y - 1)2 = 9 に接する直線の方程式は?

 

今回の円は、中心(1, 1)なので、原点中心にするために、

 

x方向に-1, y方向に-1 だけ平行移動させます。

 

与えられた点(4, 6)も同様に平行移動させます。

 

すると問題文は、

点(3, 5)を通り、円 x2 + y2 = 9 に接する直線の方程式は?

となります。

 

なんだかカンタンになった気がしませんか!?

 

原点中心の円の接線の方程式の問題に変わったわけです。

 

原点中心の円の接線は、とてもシンプルになります。

 

接点を(α, β)とおくと、接線の方程式は、

 

αx + βy = 9

 

と書けるんです。

 

 

え?なんで??

 

ってあなたはこちら↓

 

話を戻しますネ。

 

接線の方程式(αx + βy = 9)は、点(3, 5)を通るので、

 

3α + 5β = 9

 

[mathjax]

\( β = \frac{9 – 3α}{5} \) ・・・①

 

と書けます。

 

また、(α, β)は円周上の点でもあるので、

 

α2 + β2 = 9 ・・・②

 

①②の連立方程式を解くことになります。

 

α2 + \( \frac{9 – 3α}{5} \)2 = 9

 

を計算・整理すると、

 

17α2 -29 α - 72 = 0

 

となり、αについての2次方程式です。

 

解の公式を使って、

 

α = 3 , \( -\frac{24}{17} \)

 

①を使って、

 

β = 0,  \( \frac{45}{17} \)

 

となります。

 

このとき接線は、αx + βy = 9 にそれぞれ α, β を代入して、

 

(α, β) = (3, 0)のとき、

 

接線の方程式は、x=3

 

(α, β) = (\( -\frac{24}{17} \), \( \frac{45}{17} \))のとき、

 

接線の方程式は、8x -15y + 51 = 0

 

となります。

 

 

 

最後に、これらをもとに戻すために、もう一度、平行移動させます。

 

x方向に+1、y方向に+1だけ平行移動させます。

 

すると、接点と接線は以下になります。

 

(α, β) = (4, 0)のとき、

 

接線の方程式は、x=4

 

(α, β) = (\( -\frac{7}{17} \), \( \frac{62}{17} \))のとき、

 

(接線の方程式を平行移動させて、8(x -1) -15(y - 1) + 51 = 0 より)

 

接線の方程式は、8x -15y + 58 = 0

 

となります。

 

 

以上が、平行移動を使って、原点中心の円で接線を求めた解法③となります。

 

動画による解説はこちらです↓

 

というわけで、円の接線を求める解法の①~③まで示しました。

 

解いた感想としては、接線の方程式だけ求めるなら、①がラクでした。

 

しかし接点を求めるとなると、解法②や③も知っておいた方がいいかと思います。

 

結論は、どちらもできるようにしておいたらいい、でしょうか。

 

 

え、解法①で、接点は求めれないの?って?

 

 

いい質問です!

 

 

実は解法①でも、接線の方程式が求まったら、接点の座標を求めることができるんです。

 

 

 

考え方は以下です。

 

接点は2つの直線の交点です。

 

2つの直線とは、

  • 接線
  • 円の中心と接点を通る直線

のことです。

 

接線の方程式は求めた後なので、

 

円の中心と接点を通る直線の方程式を求めます。

 

中心の座標は分かっているので、傾きがわかればオッケーです。

 

接線の方程式と、円の中心と接点を通る直線の方程式は垂直に交わるので、

 

それらの傾きの積は-1となります。

 

そこから式を立てて、傾きを求めます。

 

円の中心と接点を通る直線の方程式が求まったら、

 

接線の方程式と連立させて、

 

連立方程式を解くことで接点を求めることができます。

 

 

興味がある方は、自分でチャレンジしてみてくださいね

 

 

というわけで、今回は、円の接線を求める解法③でした。

 

数学おじさん
数学おじさん

今日のお話はこれくらいにしようかのぉ

秘書ザピエル
秘書ザピエル

あ、先生!告知をさせてください

数学おじさん
数学おじさん

おーそうじゃった

秘書ザピエル
秘書ザピエル

実はいろんなお悩みを聞いているんです

質問くまさん
質問くまさん

勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ

シャンシャン
シャンシャン

わからない問題があると、やる気なくしちゃう

ハッチくん
ハッチくん

1人で勉強してると、行きずまっちゃうブー

 

数学おじさん
数学おじさん

誰しもそんな経験があると思います。

 

実は、そんなあなたが

 

勉強が継続できる

 

成績アップ、志望校合格できる

 

勉強を楽しめるようになる

 

ためのペースメーカーをやっています。

 

あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。

 

具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ

 

ザピエルくんお願い!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

はい先生!

 

ペースメーカーというのは、

もしもあなたが、

  • やる気が続かない
  • 励ましてほしい
  • 勉強を教えてほしい

なら、私たちが、あなたのために、

 

一緒に勉強する(丸つけや解説する)ことをやりながら、

 

あなたの勉強をサポートするという仕組みです。

  • やる気を継続したい
  • 成績をアップさせたい
  • 楽しく勉強したい

といったあなたに特にオススメです。

 

できるだけ楽しみながら勉強できるように工夫しています。

 

ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓

 

【中学生 高校生 社会人】勉強のペースメーカーはいかがでしょう【受験 入試 資格試験】

 

不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください

 

数学おじさん
数学おじさん

というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

はーい、先生!   数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

申し込みやお問い合わせは、随時うけていますので、

 

Twitter のリプライや、ダイレクトメールでどうぞ☆

ツイッターは ⇒ こちら

 

 

よかったら、Youtube のチャンネル登録もお願いします☆

Youtube チャンネルは ⇒ こちら
登録してもらえると、とても 励みになります
ってだれがハゲやねん!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ
「高校数学」を学びたいあなたにオススメの本はこちらニャン   『「高校数学」を独学したいあなたにおすすめの参考書や本はこちらです(教科書理解編)

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ
「勉強法」についての記事はこちらニャン↓   『勉強法についての記事の一覧(まとめ)はこちらをどうぞ

 

コメント

error:Content is protected !!
タイトルとURLをコピーしました