今回は、こんな質問をいただきました↓
この問題、直接書いてないですが、円の接線を求める問題です。
円の接線を求める問題には、
与えられる条件によって、いろいろなパターンがあります。
今回の問題は、
- 中心が原点でない
- 与えられた点は、円上の点でない
パターンになります。
（図は動画の中で書いていますので、参考にしてくださいネ）
「接線の方程式を求める方法」はパターンによって、いくつかあります。
本記事では、上の問題を３つの解法で解いてみました。
- 解法①：ラクな解法
- 解法②：接点の座標も求めれる解法
- 解法③：原点中心の公式を使う解法
について、解説しながら、それぞれの解法の長所短所などをまとめたいと思います。
これで円の接線の方程式は得点源にできた！
となってもらえたらな、と思います。
今回は、解法③：原点中心の公式を使う解法についての記事になります。
解法①②については、以下にあります↓
解法①：ラクな解法については、こちらの記事をどうぞ↓
『【数学】円の接線の方程式の求め方（解法①：ラクな解き方）【高校 数学 図形と方程式 数学2】（質問ありがとうございます！）』
解法②：接点の座標も求めれる解法
『【数学】円の接線の方程式の求め方（解法②：接点の座標も求める）【高校 数学 図形と方程式 数学2】（質問ありがとうございます！）』
【数学】円の接線の方程式の求め方（解法③：接点を求めて計算量を軽くしたい）【高校 数学 図形と方程式 数学2】（質問ありがとうございます！）
解法③でのポイントは、「平行移動」を使うことです。
どういうことかというと、
与えられた円は、中心（1, 1)の、原点中心じゃない円なので、
接線を求めるための計算がややこしかったわけです（解法②）
これをもっとかんたんに解けないかなぁ～と思って、以下の方法を考えました。
基本的な考え方は、「平行移動を使って解きやすい状態に変える」ということです。
原点中心の円の接線は扱いやすいので、接線が簡単に求まる可能性があります。
なので、以下の戦略をとります。
[1], まず原点中心の状態に平行移動させます。
[2], 平行移動させた状態で、接線や接点が求めます。
[3], 求めた接線や接点を、もう1度平行移動させて、問題で与えられた状態に戻します。
動画による解答は以下になります
（下の解説を読んだ後の方がわかりやすいかと思います）
では実際にやってみましょう！
今回の円は、中心(1, 1)なので、原点中心にするために、
ｘ方向に－1, ｙ方向に－1 だけ平行移動させます。
与えられた点(4, 6)も同様に平行移動させます。
すると問題文は、
となります。
なんだかカンタンになった気がしませんか！？
原点中心の円の接線の方程式の問題に変わったわけです。
原点中心の円の接線は、とてもシンプルになります。
接点を(α, β)とおくと、接線の方程式は、
αx + βy = 9
と書けるんです。
え？なんで？？
ってあなたはこちら↓
話を戻しますネ。
接線の方程式（αx + βy = 9）は、点(3, 5)を通るので、
3α + 5β = 9
[mathjax]
\( β = \frac{9 – 3α}{5} \) ・・・①
と書けます。
また、(α, β)は円周上の点でもあるので、
α2 + β2 = 9 ・・・②
①②の連立方程式を解くことになります。
α2 + \( \frac{9 – 3α}{5} \)2 = 9
を計算・整理すると、
17α2 －29 α － 72 = 0
となり、αについての２次方程式です。
解の公式を使って、
α = 3 , \( －\frac{24}{17} \)
①を使って、
β = 0, \( \frac{45}{17} \)
となります。
このとき接線は、αx + βy = 9 にそれぞれ α, β を代入して、
(α, β) = (3, 0)のとき、
接線の方程式は、ｘ＝３
(α, β) = (\( －\frac{24}{17} \), \( \frac{45}{17} \))のとき、
接線の方程式は、8x －15y + 51 = 0
となります。
最後に、これらをもとに戻すために、もう一度、平行移動させます。
ｘ方向に＋１、ｙ方向に＋１だけ平行移動させます。
すると、接点と接線は以下になります。
(α, β) = (4, 0)のとき、
接線の方程式は、ｘ＝4
(α, β) = (\( －\frac{7}{17} \), \( \frac{62}{17} \))のとき、
（接線の方程式を平行移動させて、8(x －1) －15(y － 1) + 51 = 0 より）
接線の方程式は、8x －15y + 58 = 0
となります。
以上が、平行移動を使って、原点中心の円で接線を求めた解法③となります。
動画による解説はこちらです↓
というわけで、円の接線を求める解法の①～③まで示しました。
解いた感想としては、接線の方程式だけ求めるなら、①がラクでした。
しかし接点を求めるとなると、解法②や③も知っておいた方がいいかと思います。
結論は、どちらもできるようにしておいたらいい、でしょうか。
え、解法①で、接点は求めれないの？って？
いい質問です！
実は解法①でも、接線の方程式が求まったら、接点の座標を求めることができるんです。
考え方は以下です。
接点は２つの直線の交点です。
２つの直線とは、
- 接線
- 円の中心と接点を通る直線
のことです。
接線の方程式は求めた後なので、
円の中心と接点を通る直線の方程式を求めます。
中心の座標は分かっているので、傾きがわかればオッケーです。
接線の方程式と、円の中心と接点を通る直線の方程式は垂直に交わるので、
それらの傾きの積は－1となります。
そこから式を立てて、傾きを求めます。
円の中心と接点を通る直線の方程式が求まったら、
接線の方程式と連立させて、
連立方程式を解くことで接点を求めることができます。
興味がある方は、自分でチャレンジしてみてくださいね
というわけで、今回は、円の接線を求める解法③でした。
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