【数学】円の接線の方程式の求め方(解法③:接点を求めて計算量を軽くしたい)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

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円の接線の方程式 解法③ 平行移動の活用 数学(高校)
円の接線の方程式 解法③ 平行移動の活用
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今回は、こんな質問をいただきました↓

 

点(4, 6)を通り、円 (x -1)2 + (y - 1)2 = 9 に接する直線の方程式は?

 

この問題、直接書いてないですが、円の接線を求める問題です。

 

円の接線を求める問題には、

与えられる条件によって、いろいろなパターンがあります。

 

今回の問題は、

  • 中心が原点でない
  • 与えられた点は、円上の点でない

パターンになります。

(図は動画の中で書いていますので、参考にしてくださいネ)

 

 

「接線の方程式を求める方法」はパターンによって、いくつかあります。

 

本記事では、上の問題を3つの解法で解いてみました。

  • 解法①:ラクな解法
  • 解法②:接点の座標も求めれる解法
  • 解法③:原点中心の公式を使う解法

について、解説しながら、それぞれの解法の長所短所などをまとめたいと思います。

 

これで円の接線の方程式は得点源にできた!

 

となってもらえたらな、と思います。

 

今回は、解法③:原点中心の公式を使う解法についての記事になります。

 

解法①②については、以下にあります↓

 

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【数学】円の接線の方程式の求め方(解法③:接点を求めて計算量を軽くしたい)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

解法③でのポイントは、「平行移動」を使うことです。

 

どういうことかというと、

 

与えられた円は、中心(1, 1)の、原点中心じゃない円なので、

 

接線を求めるための計算がややこしかったわけです(解法②)

 

これをもっとかんたんに解けないかなぁ~と思って、以下の方法を考えました。

 

基本的な考え方は、「平行移動を使って解きやすい状態に変える」ということです。

 

原点中心の円の接線は扱いやすいので、接線が簡単に求まる可能性があります。

 

なので、以下の戦略をとります。

 

[1],  まず原点中心の状態に平行移動させます。

 

[2],  平行移動させた状態で、接線や接点が求めます。

 

[3],  求めた接線や接点を、もう1度平行移動させて、問題で与えられた状態に戻します。

 

動画による解答は以下になります

【数学】円の接線の方程式の求め方(解法③:接点を求めて計算量を軽くしたい)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

(下の解説を読んだ後の方がわかりやすいかと思います)

 

では実際にやってみましょう!

 

点(4, 6)を通り、円 (x -1)2 + (y - 1)2 = 9 に接する直線の方程式は?

 

今回の円は、中心(1, 1)なので、原点中心にするために、

 

x方向に-1, y方向に-1 だけ平行移動させます。

 

与えられた点(4, 6)も同様に平行移動させます。

 

すると問題文は、

点(3, 5)を通り、円 x2 + y2 = 9 に接する直線の方程式は?

となります。

 

なんだかカンタンになった気がしませんか!?

 

原点中心の円の接線の方程式の問題に変わったわけです。

 

原点中心の円の接線は、とてもシンプルになります。

 

接点を(α, β)とおくと、接線の方程式は、

 

αx + βy = 9

 

と書けるんです。

 

 

え?なんで??

 

ってあなたはこちら↓

【数学】円の接線の方程式の公式の証明①:原点中心の円の場合【高校数学 数2 図形と方程式】

 

話を戻しますネ。

 

接線の方程式(αx + βy = 9)は、点(3, 5)を通るので、

 

3α + 5β = 9

 

[mathjax]

\( β = \frac{9 – 3α}{5} \) ・・・①

 

と書けます。

 

また、(α, β)は円周上の点でもあるので、

 

α2 + β2 = 9 ・・・②

 

①②の連立方程式を解くことになります。

 

α2 + \( \frac{9 – 3α}{5} \)2 = 9

 

を計算・整理すると、

 

17α2 -29 α - 72 = 0

 

となり、αについての2次方程式です。

 

解の公式を使って、

 

α = 3 , \( -\frac{24}{17} \)

 

①を使って、

 

β = 0,  \( \frac{45}{17} \)

 

となります。

 

このとき接線は、αx + βy = 9 にそれぞれ α, β を代入して、

 

(α, β) = (3, 0)のとき、

 

接線の方程式は、x=3

 

(α, β) = (\( -\frac{24}{17} \), \( \frac{45}{17} \))のとき、

 

接線の方程式は、8x -15y + 51 = 0

 

となります。

 

 

 

最後に、これらをもとに戻すために、もう一度、平行移動させます。

 

x方向に+1、y方向に+1だけ平行移動させます。

 

すると、接点と接線は以下になります。

 

(α, β) = (4, 0)のとき、

 

接線の方程式は、x=4

 

(α, β) = (\( -\frac{7}{17} \), \( \frac{62}{17} \))のとき、

 

(接線の方程式を平行移動させて、8(x -1) -15(y - 1) + 51 = 0 より)

 

接線の方程式は、8x -15y + 58 = 0

 

となります。

 

 

以上が、平行移動を使って、原点中心の円で接線を求めた解法③となります。

 

動画による解説はこちらです↓

【数学】円の接線の方程式の求め方(解法③:接点を求めて計算量を軽くしたい)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

 

というわけで、円の接線を求める解法の①~③まで示しました。

 

解いた感想としては、接線の方程式だけ求めるなら、①がラクでした。

 

しかし接点を求めるとなると、解法②や③も知っておいた方がいいかと思います。

 

結論は、どちらもできるようにしておいたらいい、でしょうか。

 

 

え、解法①で、接点は求めれないの?って?

 

 

いい質問です!

 

 

実は解法①でも、接線の方程式が求まったら、接点の座標を求めることができるんです。

 

 

 

考え方は以下です。

 

接点は2つの直線の交点です。

 

2つの直線とは、

  • 接線
  • 円の中心と接点を通る直線

のことです。

 

接線の方程式は求めた後なので、

 

円の中心と接点を通る直線の方程式を求めます。

 

中心の座標は分かっているので、傾きがわかればオッケーです。

 

接線の方程式と、円の中心と接点を通る直線の方程式は垂直に交わるので、

 

それらの傾きの積は-1となります。

 

そこから式を立てて、傾きを求めます。

 

円の中心と接点を通る直線の方程式が求まったら、

 

接線の方程式と連立させて、

 

連立方程式を解くことで接点を求めることができます。

 

 

興味がある方は、自分でチャレンジしてみてくださいね

 

 

というわけで、今回は、円の接線を求める解法③でした。

 

 

 

 

質問してくれた方、ありがとうございました!ほんと感謝です!

 

 

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