今回は、こんな質問をいただきました↓
この問題、直接書いてないですが、円の接線を求める問題です。
円の接線を求める問題には、
与えられる条件によって、いろいろなパターンがあります。
今回の問題は、
- 中心が原点でない
- 与えられた点は、円上の点でない
パターンになります。
（図は動画の中で書いていますので、参考にしてくださいネ）
「接線の方程式を求める方法」はいくつかあります。
そこで本記事では、上の問題を３つの解法で解いてみました。
- 解法①：ラクな解法
- 解法②：接点の座標も求めれる解法
- 解法③：原点中心の公式を使う解法
について、解説しながら、それぞれの解法の長所短所などをまとめたいと思います。
これで円の接線の方程式は得点源にできた！
となってもらえたらな、と思います。
【数学】円の接線の方程式の求め方【高校 数学 図形と方程式 数学2】（質問ありがとうございます！）
結論から先にいいますと、
解法①では、「点と直線の距離の公式」を使って、接線の方程式を求めます。
解法②では、「非原点中心の円の接線の方程式の公式」を使って求めます。
解法③では、問題で与えられた図を、
原点中心の円になるように、
「平行移動」を使って求めます。
もちろん、あとでもとに戻して答えにします。
じつは他にも解き方はあるのですが、
（おそらく）上の①～③よりも複雑な計算になるので、
それはまた機会をみて追加していきたいと思います。
動画による解答はこちらです↓
（下の解説を読んだ後の方が理解しやすいです）
接線の方程式を「点と直線の距離の公式」を使って求める方法
点と直線の距離の公式を使うので、
なんだったっけ？
って方は、こちらで確認してくださいね↓
[mathjax]
（公式）
点(x1, y1)と、直線 ax + by + c = 0 の距離は、
\( \frac{| a × x1 + b × y1 + c | }{ \sqrt(a^2 + b^2) } \)
ポイントは以下です。
これを、点と直線の距離の公式を使って、数式にすればあとは計算になります。
今回の問題では、円の中心の座標が（1, 1) 、半径は３なので、
あとは、接線の方程式があれば、点と直線の距離の公式を使うことができます。
接線の方程式が求めるものなんだから、わからないじゃん！
と思われるかもしれません。
こういうときは、ぜんぜんわからない！じゃなくて
問題文をみると、接線は点（4, 6)を通ることがわかります。
この条件をまだ使っていませんね。
なので、これを使って、接線の方程式をもう少し具体的に数式にしてみましょう。
接線は、ある１点を通ることが分かっている直線なので、
傾きがわかれば求まります。
いま傾きはわからなそうなので、とりあえず文字を使って書いてみます。
ある1点（ x1, y1) を通る直線の方程式は、傾きをｍとすると、
と表現できます。
点（4, 6)を通る直線（接線）の方程式は、傾きをｍとすると、
と書くことができます。
点と直線の距離の公式を使うことを考えて、以下のように変形しておきます。
カッコをはずして、すべて左辺に移項して、＝０の形にしておきます。
となりました。
これで準備は整いました。
を、数式にしてみましょう。点と直線の距離の公式を使えばオッケーです♪
- 直線は mx －y －4m + 6 = 0
- 円の中心は（１, 1)
- 半径は３
なので、点と直線の距離の公式を使います。
\( \frac{ | m ×1－1－4m＋6 | }{\sqrt{m^2+1^2}} \) = 3
あとは計算です。
文字 ｍ のみ含んだ方程式なので、ｍ＝ の形にして ｍ を求めましょう。
\( | －3m＋5 | = 3 \sqrt{m^2+1} \)
両辺2乗して、
\( (－3m＋5 )^2 = 3^2 (m^2+1) \)
整理して、ｍを求めると、
\( m = \frac{8}{15} \)
これで m が求まりました。
ｍ はもともと直線の傾きとして与えた文字でした。
なので、直線の式の ｍ に求まった値を戻しましょう。
y － 6 = m (x － 4)
もしくは、
mx －y －4m + 6 = 0
に ｍ の値を代入して計算しましょう。
すると、
\(y = \frac{8}{15}x + \frac{58}{15}\)
（もしくは \(8x － 15y + 58 = 0 \) ）
となります。
ここで注意なのですが、
接線はもう１本引くことができるということです。
円の中心が(1, 1)半径が３で、点(4, 6)から引いた接線なので、
（図を書けばわかりやすいのですが）
ｘ＝４も接線になります。
以上から、求める接線は、
\(8x － 15y + 58 = 0 \)
と
\(ｘ＝４ \)
となります。
動画による解説はこちらです↓
円の接線を求める問題では、今回示した、
点と直線の距離の公式を使うのが1番ラクかなぁ～と思います。
でももし、
とあったら話が変わってきます。
そこで解法②では、「接線の方程式」をもとめ、かつ、「接点の座標」ももとめる方法をまとめたいと思います。
長くなったので、解法②は次の記事でまとめますね↓
ちなみに、
点と直線の距離ってなんであんな公式になるの？
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