【数学・質問解答】円の接線の方程式の求め方(解法①:ラクな解き方)【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

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円の接線の方程式 解法① 点と直線の距離 数学(高校)
円の接線の方程式 解法① 点と直線の距離
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今回は、こんな質問をいただきました↓

 

点(4, 6)を通り、円 (x -1)2 + (y - 1)2 = 9 に接する直線の方程式は?

 

この問題、直接書いてないですが、円の接線を求める問題です。

 

円の接線を求める問題には、

与えられる条件によって、いろいろなパターンがあります。

 

今回の問題は、

  • 中心が原点でない
  • 与えられた点は、円上の点でない

パターンになります。

(図は動画の中で書いていますので、参考にしてくださいネ)

 

 

接線の方程式を求める方法」はいくつかあります。

 

そこで本記事では、上の問題を3つの解法で解いてみました。

  • 解法①:ラクな解法
  • 解法②:接点の座標も求めれる解法
  • 解法③:原点中心の公式を使う解法

について、解説しながら、それぞれの解法の長所短所などをまとめたいと思います。

 

これで円の接線の方程式は得点源にできた!

 

となってもらえたらな、と思います。

 

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【数学】円の接線の方程式の求め方【高校 数学 図形と方程式 数学2】(質問ありがとうございます!)

結論から先にいいますと、

 

解法①では、「点と直線の距離の公式」を使って、接線の方程式を求めます。

 

解法②では、「非原点中心の円の接線の方程式の公式」を使って求めます。

 

解法③では、問題で与えられた図を、

原点中心の円になるように、

平行移動」を使って求めます。

もちろん、あとでもとに戻して答えにします。

 

じつは他にも解き方はあるのですが、

(おそらく)上の①~③よりも複雑な計算になるので、

それはまた機会をみて追加していきたいと思います。

 

 

 

動画による解答はこちらです↓

(下の解説を読んだ後の方が理解しやすいです)

 

 

接線の方程式を「点と直線の距離の公式」を使って求める方法

点と直線の距離の公式を使うので、

 

なんだったっけ?

 

って方は、こちらで確認してくださいね↓

[mathjax]

 

(公式)

点(x1, y1)と、直線 ax + by + c = 0 の距離は、

 

\( \frac{| a × x1 + b × y1 + c | }{ \sqrt(a^2 + b^2) } \)

 

 

点(4, 6)を通り、円 (x -1)2 + (y - 1)2 = 9 に接する直線の方程式は?

 

ポイントは以下です。

(円の中心から接線までの距離)=(半径)

これを、点と直線の距離の公式を使って、数式にすればあとは計算になります。

 

今回の問題では、円の中心の座標が(1, 1) 、半径は3なので、

 

あとは、接線の方程式があれば、点と直線の距離の公式を使うことができます。

 

接線の方程式が求めるものなんだから、わからないじゃん!

 

と思われるかもしれません。

 

こういうときは、ぜんぜんわからない!じゃなくて

 

分かる情報を使って、少しでもわかるように表現できないか
考えてみましょう。

 

問題文をみると、接線は点(4, 6)を通ることがわかります。

 

この条件をまだ使っていませんね。

 

なので、これを使って、接線の方程式をもう少し具体的に数式にしてみましょう。

 

接線は、ある1点を通ることが分かっている直線なので、

 

傾きがわかれば求まります。

 

いま傾きはわからなそうなので、とりあえず文字を使って書いてみます。

 

ある1点( x1, y1) を通る直線の方程式は、傾きをmとすると、

 

(公式) y - y1 = m (x - x1)

 

と表現できます。

 

点(4, 6)を通る直線(接線)の方程式は、傾きをmとすると、

 

y - 6 = m (x - 4)

 

と書くことができます。

 

点と直線の距離の公式を使うことを考えて、以下のように変形しておきます。

 

カッコをはずして、すべて左辺に移項して、=0の形にしておきます。

 

mx -y -4m + 6 = 0

 

となりました。

 

これで準備は整いました。

 

 

 

 

 

(円の中心から接線までの距離)=(半径)

 

を、数式にしてみましょう。点と直線の距離の公式を使えばオッケーです♪

 

  • 直線は mx -y -4m + 6 = 0
  • 円の中心は(1, 1)
  • 半径は3

なので、点と直線の距離の公式を使います。

 

\( \frac{ | m ×1-1-4m+6 | }{\sqrt{m^2+1^2}} \) = 3

 

あとは計算です。

 

文字 m のみ含んだ方程式なので、m= の形にして m を求めましょう。

 

\( | -3m+5 | = 3 \sqrt{m^2+1} \)

 

両辺2乗して、

 

\( (-3m+5 )^2 = 3^2 (m^2+1) \)

 

整理して、mを求めると、

 

\( m = \frac{8}{15} \)

 

これで m が求まりました。

 

m はもともと直線の傾きとして与えた文字でした。

 

なので、直線の式の m に求まった値を戻しましょう。

 

y - 6 = m (x - 4)

もしくは、

mx -y -4m + 6 = 0

 

に m の値を代入して計算しましょう。

 

すると、

\(y = \frac{8}{15}x + \frac{58}{15}\)

(もしくは \(8x - 15y + 58 = 0 \) )

となります。

 

ここで注意なのですが、

接線はもう1本引くことができるということです。

 

円の中心が(1, 1)半径が3で、点(4, 6)から引いた接線なので、

 

(図を書けばわかりやすいのですが)

 

x=4も接線になります。

 

 

以上から、求める接線は、

 

\(8x - 15y + 58 = 0 \)

 

 

\(x=4 \)

 

となります。

 

 

 

動画による解説はこちらです↓

 

 

円の接線を求める問題では、今回示した、

 

点と直線の距離の公式を使うのが1番ラクかなぁ~と思います。

 

 

でももし、

 

接点の座標も求めよ!

 

とあったら話が変わってきます。

 

 

そこで解法②では、「接線の方程式」をもとめ、かつ、「接点の座標」ももとめる方法をまとめたいと思います。

 

 

長くなったので、解法②は次の記事でまとめますね↓

 

 

ちなみに、

 

点と直線の距離ってなんであんな公式になるの?

 

ってあなた、その理由はこれなんです↓

 

 

数学おじさん
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今日のお話はこれくらいにするかのぉ

秘書ザピエル
秘書ザピエル

あ、先生!告知をさせてください

数学おじさん
数学おじさん

おーそうじゃった

秘書ザピエル
秘書ザピエル

実はいろんなお悩みを聞いているんです

質問くまさん
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勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ

シャンシャン
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!

秘書ザピエル
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はーい、先生!   数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

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