先生！ハッチくんがきましたよ！
せんせーい！おはようございます！！
お～ハッちゃん、どうした？
[mathjax]
（ハッチですよ・・・、まぁいいか）
先生、この前の問題の、別解を知りたくて来たんです！
お～そうじゃったのぉ
問題は、
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) を因数分解してください！
じゃったな
３文字の因数分解というわけじゃ
そうです！
前回は、標準的な解答ということで、解説してもらったんですけど、
別解があると聞いて、気になってたんです～
よろしい！
では、別解を解説しようかのぉ
この別解には、メリットとデメリットがあるんじゃ
それは後で話すとして、
とりあえずはじめるかのぉ
はい！
【数学 質問解答】「３文字」の因数分解 パート２：別解編【高校数学 数A 因数分解】（質問ありがとうございました！）
解答をしりたい方向けに、先に示しておくかのぉ
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)
\( = a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) + 3abc \)
\( = a(a^2+b^2+c^2－a^2) \)
\( +b(a^2+b^2+c^2－b^2) \)
\( +c(a^2+b^2+c^2－c^2) + 3abc \)
\( = a \{ (a+b+c)^2－2(ab+bc+ca)－a^2 \} \)
\( +b \{ (a+b+c)^2－2(ab+bc+ca)－b^2 \} \)
\( +c \{ (a+b+c)^2－2(ab+bc+ca)－c^2 \} + 3abc \)
わかりやすいように、
\( a+b+c=X \)
\( ab+bc+ca=Y \)
\( abc=Z \)
とおいてみる。
すると、
\( = a(X^2－2Y－a^2) \)
\( + b(X^2－2Y－b^2) \)
\( + c(X^2－2Y－c^2) + 3Z \)
\( = (a+b+c)(X^2－2Y) \)
\( －(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
\( = (a+b+c)(X^2－2Y) \)
\( － \{ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2－ab－bc－ca)+3abc \} + 3Z \)
\( = X(X^2－2Y) \)
\( － \{ X(a^2+b^2+c^2－Y)+3Z \} + 3Z \)
\( = X(X^2－2Y) \)
\( － ( X(a^2+b^2+c^2－Y) \)
\( = X(X^2－2Y) \)
\( － ( X \{(a+b+c)^2－2(ab+bc+ca) \}－Y) \)
\( = X(X^2－2Y) － \{ X(X^2－2Y)－Y \}\)
\( = X(X^2－2Y － X^2+3Y) \)
\( = XY \)
もとにもどして、
\( = (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
となり、これが答えじゃ
ひゃー
なにやってるのか、サッパリです！笑
だいじょうぶじゃ
なぜこうしたのか、１つひとつ、説明するから、
そーなんだ！と聞いてくれれば、オッケーじゃ
わかりました！
まず最初のポイントじゃが
問題の式
(a+b)(b+c)(c+a) + abc
をシッカリ観察すると、
３文字の「対称式」となっておるんじゃ
対称式？？
２文字の対称式は、やったことがあった気がします！
そうじゃな！
今回は、「３文字」の対称式なんじゃ
たしかに、a, b, c の３文字が使われていますね！
対称式ってなんですか？
対称式とは？
「対称式」というのは、
式の中の、どの２つの文字を入れかえても、
もとの式と同じになる式、
のことじゃ
対称式は、文字を入れかえても、同じ式になる式のことなんですね
そのとおりじゃ
たとえば、
(a+b)(b+c)(c+a) + abc
の、a と ｂ を入れかえてみるぞ
すると、
(b+a)(a+c)(c+b) + bac
となり、これは、元の式と同じじゃろ？
ほんとだ！
aとｂだけじゃなく、bとｃや、aとｃでやっても同じことなんじゃ
なるほど～
だから、問題の式は、対称式なんですね！
そうなんじゃ！
まずは、対称式にきづくかどうかが、別解のポイントなんじゃ
そうなんですね！
でも、対称式だと、なにがいいんですか？
基本対称式とは？
問題の式は、「対称式」じゃったわけじゃ
もう１つ、「基本対称式」というのを知っておいてほしいんじゃ
基本対称式？？？
そうじゃ
じつは、
「対称式」は、変形すると、必ず、基本対称式で表現することができる
という性質があるんじゃ
へぇ～ じゃあ、今回の問題の式は、対称式なので、
基本対称式で表現できるってことなんですか？
そのとおりじゃ
基本対称式って、なんなんですか？
３文字の場合の基本対称式は以下じゃ
３文字はなんでもいいんじゃが
a, b, c を使うと、
a+b+c
abc
ab+bc+ca
の３つが基本対称式と呼ばれるものになる
へぇ～
３つの和
３つの積
２つの積の組み合わせ３通りの和
が３文字のときの基本対称式なんですね
そのとおりじゃ
問題をみたときに、
３文字の対称式じゃと気づいたら、
３つの基本対称式で表現できるなぁ
と発想することができるわけじゃ
それが、別解の出発点になっているわけじゃ
なるほどです～
基本対称式がつくれるように、変形をしてみる
では、別解の解説をするかのぉ
まずは、問題の式を展開してみると
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)
\( = a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) + 3abc \)
となるわけじゃ
この式をみると、基本対称式に近づけるには、
第１項の（ ）の中には \( a^2 \)
第２項の（ ）の中には \( b^2 \)
第３項の（ ）の中には \( c^2 \)
が足りないなぁ、と考えたんじゃ
じゃから、以下のように変形したんじゃ
\( = a(a^2+b^2+c^2－a^2) \)
\( +b(a^2+b^2+c^2－b^2) \)
\( +c(a^2+b^2+c^2－c^2) + 3abc \)
それぞれ第１項に \( a^2 \) 第２項に \( b^2 \)
第３項に \( c^2 \) を足しておる
足した分を、別に引いておけば、元の式と同じになるからオッケーじゃな
なるほどです～
なんか無理やりですね～
たしかにそうじゃな笑
しかしこう変形するには、さらに次の変形を考えてのことなんじゃ
とりあえず変形してみた！もいいんじゃが、
ある程度の見通しを立てておかないと後で困るからのぉ
そうですよね！
じゃあ、次は、どうするんですか？
文字の２乗の３つの和の公式
次は、以下の公式をつかうんじゃ
文字の２乗の３つの和の公式
\( a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2－2(ab+bc+ca) \)
え？こんなの習ってない気がします～
そうかもしれんな
しかし、これは計算できるじゃろ
\( (a+b+c)^2= \)
はい！
これなら計算できます！
分配法則で展開して、同類項をまとめればいいんですよね？
そのとおりじゃ
やってみてごらん
はい！
\( (a+b+c)^2 \)
\( = (a+b+c)(a+b+c) \)
\( = a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 \)
\( = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \)
となりました！
大正解じゃ！
では、得られた式をもう一度書くと、
\( (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \)
となっておる
これを変形すると、
\( a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 －2(ab+bc+ca) \)
となるじゃろ？
ほんとだ！
これが上で出てきた式ですネ！
そうなんじゃよ
上の式と一緒に、３つの和の２乗も、公式として覚えておくと便利じゃぞ
３つの和の２乗の公式
\( (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \)
どちらか１つ覚えておいて、必要なときに変形してもいいな
もちろん覚えたくなければ、展開して整理すればすぐ出てくるわけじゃな
このように数学は、
学べば学ぶほど、いろいろなつながりがみえてくるんじゃ
すると、１つを覚えておけば、
つながりを使って、その場で導けるようになるんじゃ
つまり、数学は勉強すればするほど、覚えることが減らせる科目なんじゃよ
英語や社会なんかと正反対ですネ！
覚えただけ点数があがると思っていました！
もちろん覚えることは大事じゃ
しかし、やみくもに覚えるのでなく、
必要なことにしぼって覚える
これが大事なんじゃ
そのためには、どれを覚えればいいか判断しなきゃならん。
そのために、まず、理解することが大事となるんじゃ
あ～、わかるんですけど、頭が痛いところです笑
そうじゃな
この話は今はこのくらいにしておいて、
解答解説に戻るかのぉ
いま、この式まできておったな
\( = a(a^2+b^2+c^2－a^2) \)
\( +b(a^2+b^2+c^2－b^2) \)
\( +c(a^2+b^2+c^2－c^2) + 3abc \)
この式に、上の式
\( a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 －2(ab+bc+ca) \)
を使ってみてごらん
えっと～
\( = a \{ (a+b+c)^2－2(ab+bc+ca)－a^2 \} \)
\( +b \{ (a+b+c)^2－2(ab+bc+ca)－b^2 \} \)
\( +c \{ (a+b+c)^2－2(ab+bc+ca)－c^2 \} + 3abc \)
でいいんですか？
大正解じゃ
でも、なんだか余計ふくざつな式になっちゃいませんか？
たしかに見た目はそうじゃな
しかし、対称式や基本対称式という見方をすると、
最初よりも、スッキリしている式なんじゃよ
そういうもんですかぁ
わかりやすいように、
基本対称式をそれぞれ、１文字で置き換えてみてごらん
複雑な対称式は、基本対称式で置き換えをする
あ、なんかスッキリしました
けど、まだ変形できそうですね！
えっと～
\( a+b+c=X \)
\( ab+bc+ca=Y \)
\( abc=Z \)
とおいてみると、
\( = a(X^2－2Y－a^2) \)
\( + b(X^2－2Y－b^2) \)
\( + c(X^2－2Y－c^2) + 3Z \)
そうじゃ！
式をスッキリさせると、次の方針も見えやすくなるんじゃな
次は、残っている a, b, c を使って、
さらに、基本対称式で表せないかを考えてみるんじゃ
じゃあ、一度展開してみますね
\( = a(X^2－2Y－a^2) \)
\( + b(X^2－2Y－b^2) \)
\( + c(X^2－2Y－c^2) + 3Z \)
\( = a(X^2－2Y)－a^3 \)
\( + b(X^2－2Y)－b^3 \)
\( + c(X^2－2Y)－c^3 + 3Z \)
\( = (a+b+c)(X^2－2Y) \)
\( －(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
となりました！
よくできたのぉ！
\( = a(X^2－2Y)－a^3 \)
\( + b(X^2－2Y)－b^3 \)
\( + c(X^2－2Y)－c^3 + 3Z \)
\( = (a+b+c)(X^2－2Y) \)
\( －(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
の変形では、第１項、第３項、第５項は、
\( (X^2－2Y) \) が共通因数になっているから、
これでくくったわけじゃな
はい！
ふくざつだったので、余白に、置き換えて考えました！
\( A = (X^2－2Y) \)
とすると、
\( = a(X^2－2Y)－a^3 \)
\( + b(X^2－2Y)－b^3 \)
\( + c(X^2－2Y)－c^3 + 3Z \)
\( = aA－a^3 + bA－b^3 + cA－c^3 + 3Z\)
\( = aA+ bA+ cA－a^3－b^3 －c^3 + 3Z\)
\( = A(a+b+c)－(a^3+b^3+c^3) + 3Z\)
と書いて、もとに戻したんです！
ハッちゃん、すばらしい！
ふくざつだなぁ～と思ったら、置き換える！
これじゃな！
はい！（ハッチなんだけど笑）
すると、a+b+c=Xとおいておったから、
\( = (a+b+c)(X^2－2Y) \)
\( －(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
\( = X(X^2－2Y) \)
\( －(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
となる。
あとは、
\( a^3+b^3+c^3 \)
の部分を、基本対称式で表現できないかなぁ～と発想するわけじゃ
３乗の変形ですね～
３乗の関係する公式
３乗が出てきたら、思い出すとよい公式があるんじゃよ
実は以前の因数分解で紹介したんじゃ
お～い、にゃんこくん、どの記事じゃったかのぉ
にゃんこくん、ありがとう
この記事では、３乗の場合の考え方や公式を紹介しておるんじゃ
ありがとうございます！みてみます！！
詳しくは、上の記事を見てほしいんじゃが、
簡単に紹介すると、以下の公式じゃ
【公式】３乗をふくんだ式の因数分解
\( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \)
\( = (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 －ab －bc － ca) \)
これは特に、３乗が３つあるときに使う公式じゃな
うわぁ～これ覚えなきゃいけないんですか？？？
覚えるほうがよいが、問題は覚え方じゃな
単純に覚えようとすると、細かいとこで間違えてしまうかもしれん
じゃあ、どう、覚えればいいんですか？
対称式の考え方を使うんじゃよ
え？どういうことですか？？
\( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \)
\( = (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 －ab －bc － ca) \)
の変形は、
３文字の基本対称式の、a+b+c と ab+bc+ca を含んでおるじゃろ？
あ！たしかにそうですね！
\( (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 －ab －bc － ca) \)
\( ＝ (a + b + c) \{ a^2 + b^2 + c^2 －(ab+bc+ca) \} \)
ですもんね！
そのとおりじゃ
このように、式に意味をもたせると、覚えやすいんじゃ
単純暗記でなく、意味記憶といって、頭になじみやすいわけじゃ
意味はなんでもよくて、ゴロで覚えてもいいんじゃが、
今回は基本対称式という意味をもたせて覚えたらどう？って話なんじゃ
なるほどです！
３乗の関係する公式の基本対称式バージョン
せっかく基本対称式で意味づけしたから、
\( (a + b + c) \{ a^2 + b^2 + c^2 －(ab+bc+ca) \} \)
を、もう少し変形してみようかと思うんじゃ
\( a^2 + b^2 + c^2 \)
の部分も、基本対称式にしてしまうとスッキリじゃからな
\( a^2 + b^2 + c^2 \) なら、さっき出てきましたね！
３つの文字の２乗の和の公式
\( a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2－2(ab+bc+ca) \)
ですよね！
そのとおりじゃ！
これを使って、変形してごらん
えっと～
\( (a+b+c) \{ a^2 + b^2 + c^2 －(ab+bc+ca) \} \)
\( = (a+b+c) \{ (a+b+c)^2－2(ab+bc+ca) －(ab+bc+ca) \} \)
\( = (a+b+c) \{ (a+b+c)^2－3(ab+bc+ca) \} \)
\( = (a+b+c)^3－3 (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
となりました！
そうじゃな！
これで、すべて基本対称式で表現できたわけじゃ！
こうやってみると、複雑な式も、理解しやすいような気がします！
そうじゃな
意味で覚えておくと、単純暗記と違って、ミスをしにくいんじゃ
テストなんかでも、役に立つはずじゃ
はい！
では、結果をまとめておこうかのぉ
【公式】３乗をふくんだ式の因数分解（基本対称式バージョン）
\( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \)
\( = (a+b+c)^3－3 (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
では、解答解説に話を戻すかのぉ
ここまで変形をしておったんじゃ
\( = X(X^2－2Y) \)
\( －(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
そして、
\( a^3+b^3+c^3 \)
を基本対称式で表現することを考えておったわけじゃ
あ！公式を使えばできそうですね！
\( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \)
\( = (a+b+c)^3－3 (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
\( a^3 + b^3 + c^3 \)
\( = (a+b+c)^3－3 (a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc \)
だから、
\( a^3 + b^3 + c^3 =X^3－3 XY + 3Z \)
と書けますネ！
そのとおりじゃ
では、それを使って、問題の式を変形してごらん
えっと～
\( = X(X^2－2Y) －(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
\( = X(X^2－2Y) －(X^3－3 XY + 3Z)+3Z \)
\( = X(X^2－2Y) －(X^3－3 XY + 3Z)+3Z \)
\( = X^3－2XY －X^3+3 XY－3Z+3Z \)
\( = XY \)
え！こんなに簡単になりました！！！
びっくりじゃな！
XとYは、自分で決めた文字じゃから、
問題で使われていたa, b, c を使って書きなおしてごらん
\( XY \)
\( =(a+b+c)(ab+bc+ca) \)
となりました！
これで答えですか？
大正解じゃ！
よくがんばったのぉ
ありがとうございます！
すっごい複雑な式が、急にスッキリして、なんか、感動しました！笑
そうじゃな！
因数分解は、こういうことがよくあるんじゃよ
だから、因数分解たのしい！って人も多いんじゃ
私も好きになりそうです！笑
それはいいことじゃ
因数分解はひらめければ解けるというが、
ひらめくようになるには、練習をたくさん積む必要があるんじゃ
だから、練習でめげずに、乗り越えてほしいものじゃ
わたしは少しめげてます笑
それはしかたないことじゃ
でも今回の例でわかったように、
因数分解は、山登りのようで、最初は道がわからず迷うかもしれん
しかし方向を決めて、１つひとつ頂上を目指せば、きっと行きつけるはずじゃ
そして頂上に着いたら、すばらしい景色が待っているわけじゃ
なんとなくわかります！
ちょっと大げさかもしれんが、
入試問題の良問といわれるものも、
解いた時に快感を得られたりするもんなんじゃ
そういうもんなんですね
そうなんじゃ
数学は美しい
という方も多いんじゃが、
数学には、ヒトの心を揺さぶる力もあるんじゃな
私も数学が得意だったらよかったなぁ～
得意だからいいとも限らないんじゃ
得意でなくても、１つのいい問題をシッカリ味わうことで、
数学の楽しみを味わえるようになってくるんじゃ
それは能力というより、感性じゃから、自分次第じゃ
ピカソの絵をみて感じることは、人それぞれでいいはずじゃからな
わかりました！
数学も、絵画のように、自分が思う通りに楽しめばいいんですね！
なんだか数学をたのしめそうな気がしてきました！
そういってもらえると、ありがたい限りじゃ
というわけで、今回は以上じゃな
にゃんこくん、復習しておくといい記事をおしえて！
は～い、先生！今回のおすすめの復習記事は２つだにゃん
①、今回の問題の、オーソドックスな解答はこちらだにゃん
『【数学 質問解答】「３文字」の因数分解 パート１【高校数学 数A 因数分解】（質問ありがとうございました！）』
②、３乗の公式を使いこなしたいあなたには、こちらがおすすめにゃん
にゃんこくん、ありがとう！
①は、特に大学入試などで大事な解法じゃ
入試では時間に限りがあるから
オーソドックスにサクッと解くのがおすすめじゃな
②の３乗の公式は、苦手とする方も多いんじゃが、
この記事で頭の整理をしてもらうとよいかもしれん
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い～
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
- 励ましてほしい
- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
一緒に勉強する（丸つけや解説する）ことをやりながら、
あなたの勉強をサポートするという仕組みです。
- やる気を継続したい
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といったあなたに特にオススメです。
できるだけ楽しみながら勉強できるように工夫しています。
ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓
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不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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『【数学】中学数学を独学したい、やり直したいあなたにおすすめの参考書や問題集はこちらです【中学数学 高校数学 数学検定】』
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