
先生!ハッチくんがきましたよ!

せんせーい!おはようございます!!

お~ハッちゃん、どうした?
[mathjax]

(ハッチですよ・・・、まぁいいか)
先生、この前の問題の、別解を知りたくて来たんです!

お~そうじゃったのぉ
問題は、
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) を因数分解してください!
じゃったな
3文字の因数分解というわけじゃ

そうです!
前回は、標準的な解答ということで、解説してもらったんですけど、
別解があると聞いて、気になってたんです~

よろしい!
では、別解を解説しようかのぉ
この別解には、メリットとデメリットがあるんじゃ
それは後で話すとして、
とりあえずはじめるかのぉ

はい!
【数学 質問解答】「3文字」の因数分解 パート2:別解編【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

解答をしりたい方向けに、先に示しておくかのぉ

\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)
\( = a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) + 3abc \)
\( = a(a^2+b^2+c^2-a^2) \)
\( +b(a^2+b^2+c^2-b^2) \)
\( +c(a^2+b^2+c^2-c^2) + 3abc \)
\( = a \{ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)-a^2 \} \)
\( +b \{ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)-b^2 \} \)
\( +c \{ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)-c^2 \} + 3abc \)
わかりやすいように、
\( a+b+c=X \)
\( ab+bc+ca=Y \)
\( abc=Z \)
とおいてみる。
すると、
\( = a(X^2-2Y-a^2) \)
\( + b(X^2-2Y-b^2) \)
\( + c(X^2-2Y-c^2) + 3Z \)
\( = (a+b+c)(X^2-2Y) \)
\( -(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
\( = (a+b+c)(X^2-2Y) \)
\( - \{ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc \} + 3Z \)
\( = X(X^2-2Y) \)
\( - \{ X(a^2+b^2+c^2-Y)+3Z \} + 3Z \)
\( = X(X^2-2Y) \)
\( - ( X(a^2+b^2+c^2-Y) \)
\( = X(X^2-2Y) \)
\( - ( X \{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \}-Y) \)
\( = X(X^2-2Y) - \{ X(X^2-2Y)-Y \}\)
\( = X(X^2-2Y - X^2+3Y) \)
\( = XY \)
もとにもどして、
\( = (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
となり、これが答えじゃ

ひゃー
なにやってるのか、サッパリです!笑

だいじょうぶじゃ
なぜこうしたのか、1つひとつ、説明するから、
そーなんだ!と聞いてくれれば、オッケーじゃ

わかりました!

まず最初のポイントじゃが
問題の式
(a+b)(b+c)(c+a) + abc
をシッカリ観察すると、
3文字の「対称式」となっておるんじゃ

対称式??
2文字の対称式は、やったことがあった気がします!

そうじゃな!
今回は、「3文字」の対称式なんじゃ

たしかに、a, b, c の3文字が使われていますね!
対称式ってなんですか?
対称式とは?

「対称式」というのは、
式の中の、どの2つの文字を入れかえても、
もとの式と同じになる式、
のことじゃ

対称式は、文字を入れかえても、同じ式になる式のことなんですね

そのとおりじゃ
たとえば、
(a+b)(b+c)(c+a) + abc
の、a と b を入れかえてみるぞ
すると、
(b+a)(a+c)(c+b) + bac
となり、これは、元の式と同じじゃろ?

ほんとだ!

aとbだけじゃなく、bとcや、aとcでやっても同じことなんじゃ

なるほど~
だから、問題の式は、対称式なんですね!

そうなんじゃ!
まずは、対称式にきづくかどうかが、別解のポイントなんじゃ

そうなんですね!
でも、対称式だと、なにがいいんですか?
基本対称式とは?

問題の式は、「対称式」じゃったわけじゃ
もう1つ、「基本対称式」というのを知っておいてほしいんじゃ

基本対称式???

そうじゃ
じつは、
「対称式」は、変形すると、必ず、基本対称式で表現することができる
という性質があるんじゃ

へぇ~ じゃあ、今回の問題の式は、対称式なので、
基本対称式で表現できるってことなんですか?

そのとおりじゃ

基本対称式って、なんなんですか?

3文字の場合の基本対称式は以下じゃ
3文字はなんでもいいんじゃが
a, b, c を使うと、
a+b+c
abc
ab+bc+ca
の3つが基本対称式と呼ばれるものになる

へぇ~
3つの和
3つの積
2つの積の組み合わせ3通りの和
が3文字のときの基本対称式なんですね

そのとおりじゃ
問題をみたときに、
3文字の対称式じゃと気づいたら、
3つの基本対称式で表現できるなぁ
と発想することができるわけじゃ
それが、別解の出発点になっているわけじゃ

なるほどです~
基本対称式がつくれるように、変形をしてみる

では、別解の解説をするかのぉ

まずは、問題の式を展開してみると
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)
\( = a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) + 3abc \)
となるわけじゃ
この式をみると、基本対称式に近づけるには、
第1項の( )の中には \( a^2 \)
第2項の( )の中には \( b^2 \)
第3項の( )の中には \( c^2 \)
が足りないなぁ、と考えたんじゃ
じゃから、以下のように変形したんじゃ
\( = a(a^2+b^2+c^2-a^2) \)
\( +b(a^2+b^2+c^2-b^2) \)
\( +c(a^2+b^2+c^2-c^2) + 3abc \)
それぞれ第1項に \( a^2 \) 第2項に \( b^2 \)
第3項に \( c^2 \) を足しておる
足した分を、別に引いておけば、元の式と同じになるからオッケーじゃな

なるほどです~
なんか無理やりですね~

たしかにそうじゃな笑
しかしこう変形するには、さらに次の変形を考えてのことなんじゃ
とりあえず変形してみた!もいいんじゃが、
ある程度の見通しを立てておかないと後で困るからのぉ

そうですよね!
じゃあ、次は、どうするんですか?
文字の2乗の3つの和の公式

次は、以下の公式をつかうんじゃ

文字の2乗の3つの和の公式
\( a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \)

え?こんなの習ってない気がします~

そうかもしれんな
しかし、これは計算できるじゃろ
\( (a+b+c)^2= \)

はい!
これなら計算できます!
分配法則で展開して、同類項をまとめればいいんですよね?

そのとおりじゃ
やってみてごらん

はい!
\( (a+b+c)^2 \)
\( = (a+b+c)(a+b+c) \)
\( = a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 \)
\( = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \)
となりました!

大正解じゃ!
では、得られた式をもう一度書くと、
\( (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \)
となっておる
これを変形すると、
\( a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) \)
となるじゃろ?

ほんとだ!
これが上で出てきた式ですネ!

そうなんじゃよ
上の式と一緒に、3つの和の2乗も、公式として覚えておくと便利じゃぞ

3つの和の2乗の公式
\( (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \)

どちらか1つ覚えておいて、必要なときに変形してもいいな
もちろん覚えたくなければ、展開して整理すればすぐ出てくるわけじゃな

このように数学は、
学べば学ぶほど、いろいろなつながりがみえてくるんじゃ
すると、1つを覚えておけば、
つながりを使って、その場で導けるようになるんじゃ
つまり、数学は勉強すればするほど、覚えることが減らせる科目なんじゃよ

英語や社会なんかと正反対ですネ!
覚えただけ点数があがると思っていました!

もちろん覚えることは大事じゃ
しかし、やみくもに覚えるのでなく、
必要なことにしぼって覚える
これが大事なんじゃ
そのためには、どれを覚えればいいか判断しなきゃならん。
そのために、まず、理解することが大事となるんじゃ

あ~、わかるんですけど、頭が痛いところです笑

そうじゃな
この話は今はこのくらいにしておいて、
解答解説に戻るかのぉ
いま、この式まできておったな
\( = a(a^2+b^2+c^2-a^2) \)
\( +b(a^2+b^2+c^2-b^2) \)
\( +c(a^2+b^2+c^2-c^2) + 3abc \)
この式に、上の式
\( a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) \)
を使ってみてごらん

えっと~
\( = a \{ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)-a^2 \} \)
\( +b \{ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)-b^2 \} \)
\( +c \{ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)-c^2 \} + 3abc \)
でいいんですか?

大正解じゃ

でも、なんだか余計ふくざつな式になっちゃいませんか?

たしかに見た目はそうじゃな
しかし、対称式や基本対称式という見方をすると、
最初よりも、スッキリしている式なんじゃよ

そういうもんですかぁ

わかりやすいように、
基本対称式をそれぞれ、1文字で置き換えてみてごらん
複雑な対称式は、基本対称式で置き換えをする

あ、なんかスッキリしました
けど、まだ変形できそうですね!

えっと~
\( a+b+c=X \)
\( ab+bc+ca=Y \)
\( abc=Z \)
とおいてみると、
\( = a(X^2-2Y-a^2) \)
\( + b(X^2-2Y-b^2) \)
\( + c(X^2-2Y-c^2) + 3Z \)

そうじゃ!
式をスッキリさせると、次の方針も見えやすくなるんじゃな
次は、残っている a, b, c を使って、
さらに、基本対称式で表せないかを考えてみるんじゃ

じゃあ、一度展開してみますね
\( = a(X^2-2Y-a^2) \)
\( + b(X^2-2Y-b^2) \)
\( + c(X^2-2Y-c^2) + 3Z \)
\( = a(X^2-2Y)-a^3 \)
\( + b(X^2-2Y)-b^3 \)
\( + c(X^2-2Y)-c^3 + 3Z \)
\( = (a+b+c)(X^2-2Y) \)
\( -(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
となりました!

よくできたのぉ!
\( = a(X^2-2Y)-a^3 \)
\( + b(X^2-2Y)-b^3 \)
\( + c(X^2-2Y)-c^3 + 3Z \)
\( = (a+b+c)(X^2-2Y) \)
\( -(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
の変形では、第1項、第3項、第5項は、
\( (X^2-2Y) \) が共通因数になっているから、
これでくくったわけじゃな

はい!
ふくざつだったので、余白に、置き換えて考えました!
\( A = (X^2-2Y) \)
とすると、
\( = a(X^2-2Y)-a^3 \)
\( + b(X^2-2Y)-b^3 \)
\( + c(X^2-2Y)-c^3 + 3Z \)
\( = aA-a^3 + bA-b^3 + cA-c^3 + 3Z\)
\( = aA+ bA+ cA-a^3-b^3 -c^3 + 3Z\)
\( = A(a+b+c)-(a^3+b^3+c^3) + 3Z\)
と書いて、もとに戻したんです!

ハッちゃん、すばらしい!
ふくざつだなぁ~と思ったら、置き換える!
これじゃな!

はい!(ハッチなんだけど笑)

すると、a+b+c=Xとおいておったから、
\( = (a+b+c)(X^2-2Y) \)
\( -(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
\( = X(X^2-2Y) \)
\( -(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
となる。
あとは、
\( a^3+b^3+c^3 \)
の部分を、基本対称式で表現できないかなぁ~と発想するわけじゃ

3乗の変形ですね~
3乗の関係する公式

3乗が出てきたら、思い出すとよい公式があるんじゃよ
実は以前の因数分解で紹介したんじゃ
お~い、にゃんこくん、どの記事じゃったかのぉ

にゃんこくん、ありがとう
この記事では、3乗の場合の考え方や公式を紹介しておるんじゃ

ありがとうございます!みてみます!!

詳しくは、上の記事を見てほしいんじゃが、
簡単に紹介すると、以下の公式じゃ

【公式】3乗をふくんだ式の因数分解
\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)
\( = (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc - ca) \)

これは特に、3乗が3つあるときに使う公式じゃな

うわぁ~これ覚えなきゃいけないんですか???

覚えるほうがよいが、問題は覚え方じゃな
単純に覚えようとすると、細かいとこで間違えてしまうかもしれん

じゃあ、どう、覚えればいいんですか?

対称式の考え方を使うんじゃよ

え?どういうことですか??

\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)
\( = (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc - ca) \)
の変形は、
3文字の基本対称式の、a+b+c と ab+bc+ca を含んでおるじゃろ?

あ!たしかにそうですね!
\( (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc - ca) \)
\( = (a + b + c) \{ a^2 + b^2 + c^2 -(ab+bc+ca) \} \)
ですもんね!

そのとおりじゃ
このように、式に意味をもたせると、覚えやすいんじゃ
単純暗記でなく、意味記憶といって、頭になじみやすいわけじゃ
意味はなんでもよくて、ゴロで覚えてもいいんじゃが、
今回は基本対称式という意味をもたせて覚えたらどう?って話なんじゃ

なるほどです!
3乗の関係する公式の基本対称式バージョン

せっかく基本対称式で意味づけしたから、
\( (a + b + c) \{ a^2 + b^2 + c^2 -(ab+bc+ca) \} \)
を、もう少し変形してみようかと思うんじゃ
\( a^2 + b^2 + c^2 \)
の部分も、基本対称式にしてしまうとスッキリじゃからな

\( a^2 + b^2 + c^2 \) なら、さっき出てきましたね!
3つの文字の2乗の和の公式
\( a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \)
ですよね!

そのとおりじゃ!
これを使って、変形してごらん

えっと~
\( (a+b+c) \{ a^2 + b^2 + c^2 -(ab+bc+ca) \} \)
\( = (a+b+c) \{ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) -(ab+bc+ca) \} \)
\( = (a+b+c) \{ (a+b+c)^2-3(ab+bc+ca) \} \)
\( = (a+b+c)^3-3 (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
となりました!

そうじゃな!
これで、すべて基本対称式で表現できたわけじゃ!

こうやってみると、複雑な式も、理解しやすいような気がします!

そうじゃな
意味で覚えておくと、単純暗記と違って、ミスをしにくいんじゃ
テストなんかでも、役に立つはずじゃ

はい!

では、結果をまとめておこうかのぉ

【公式】3乗をふくんだ式の因数分解(基本対称式バージョン)
\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)
\( = (a+b+c)^3-3 (a+b+c)(ab+bc+ca) \)

では、解答解説に話を戻すかのぉ
ここまで変形をしておったんじゃ
\( = X(X^2-2Y) \)
\( -(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
そして、
\( a^3+b^3+c^3 \)
を基本対称式で表現することを考えておったわけじゃ

あ!公式を使えばできそうですね!
\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)
\( = (a+b+c)^3-3 (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
\( a^3 + b^3 + c^3 \)
\( = (a+b+c)^3-3 (a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc \)
だから、
\( a^3 + b^3 + c^3 =X^3-3 XY + 3Z \)
と書けますネ!

そのとおりじゃ
では、それを使って、問題の式を変形してごらん

えっと~
\( = X(X^2-2Y) -(a^3+b^3+c^3)+3Z \)
\( = X(X^2-2Y) -(X^3-3 XY + 3Z)+3Z \)
\( = X(X^2-2Y) -(X^3-3 XY + 3Z)+3Z \)
\( = X^3-2XY -X^3+3 XY-3Z+3Z \)
\( = XY \)
え!こんなに簡単になりました!!!

びっくりじゃな!
XとYは、自分で決めた文字じゃから、
問題で使われていたa, b, c を使って書きなおしてごらん

\( XY \)
\( =(a+b+c)(ab+bc+ca) \)
となりました!
これで答えですか?

大正解じゃ!
よくがんばったのぉ

ありがとうございます!
すっごい複雑な式が、急にスッキリして、なんか、感動しました!笑

そうじゃな!
因数分解は、こういうことがよくあるんじゃよ
だから、因数分解たのしい!って人も多いんじゃ

私も好きになりそうです!笑

それはいいことじゃ
因数分解はひらめければ解けるというが、
ひらめくようになるには、練習をたくさん積む必要があるんじゃ
だから、練習でめげずに、乗り越えてほしいものじゃ

わたしは少しめげてます笑

それはしかたないことじゃ
でも今回の例でわかったように、
因数分解は、山登りのようで、最初は道がわからず迷うかもしれん
しかし方向を決めて、1つひとつ頂上を目指せば、きっと行きつけるはずじゃ
そして頂上に着いたら、すばらしい景色が待っているわけじゃ

なんとなくわかります!

ちょっと大げさかもしれんが、
入試問題の良問といわれるものも、
解いた時に快感を得られたりするもんなんじゃ

そういうもんなんですね

そうなんじゃ
数学は美しい
という方も多いんじゃが、
数学には、ヒトの心を揺さぶる力もあるんじゃな

私も数学が得意だったらよかったなぁ~

得意だからいいとも限らないんじゃ
得意でなくても、1つのいい問題をシッカリ味わうことで、
数学の楽しみを味わえるようになってくるんじゃ
それは能力というより、感性じゃから、自分次第じゃ
ピカソの絵をみて感じることは、人それぞれでいいはずじゃからな

わかりました!
数学も、絵画のように、自分が思う通りに楽しめばいいんですね!
なんだか数学をたのしめそうな気がしてきました!

そういってもらえると、ありがたい限りじゃ
というわけで、今回は以上じゃな
にゃんこくん、復習しておくといい記事をおしえて!

は~い、先生!今回のおすすめの復習記事は2つだにゃん
①、今回の問題の、オーソドックスな解答はこちらだにゃん
『【数学 質問解答】「3文字」の因数分解 パート1【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)』
②、3乗の公式を使いこなしたいあなたには、こちらがおすすめにゃん

にゃんこくん、ありがとう!
①は、特に大学入試などで大事な解法じゃ
入試では時間に限りがあるから
オーソドックスにサクッと解くのがおすすめじゃな
②の3乗の公式は、苦手とする方も多いんじゃが、
この記事で頭の整理をしてもらうとよいかもしれん
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い~


あ、先生!告知をさせてください

おーそうじゃった

実はいろんなお悩みを聞いているんです

勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ

わからない問題があると、やる気なくしちゃう

1人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン

誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い!

はい先生!
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
- 励ましてほしい
- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
一緒に勉強する(丸つけや解説する)ことをやりながら、
あなたの勉強をサポートするという仕組みです。
- やる気を継続したい
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といったあなたに特にオススメです。
できるだけ楽しみながら勉強できるように工夫しています。
ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓
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不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください

というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!


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