
今回、こんな質問をいただきました!
[mathjax]

\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) を因数分解してください!

ふくざつですが、キレイな式ですねぇ~
では先生、お願いします!

ザピエルくん、ありがとう
今回は、3文字の式じゃのぉ
まずは、典型的な解き方で解説して、
別解として、式の特徴を使った解法を示すかのぉ

本記事を読むと、
①、基本に忠実な解き方
②、式の特徴に着目した解き方
の2つの解法を学ぶことができるんですね

そのとおりじゃ
3文字の因数分解では、2文字とはちがった見方をするんじゃ

そうなんですね!
たのしみだブーン!

では、はじめるかのぉ
【数学 質問解答】対称式の因数分解(3文字)パート1【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

まずは結果を知りたい方のために、
解答例から先に示すかのぉ
解答例

問題は \( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) じゃったな
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)
\( = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc+ abc \)
\( = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
\( = (b+c)a^2 + \{ (b+c)^2+bc \}a + bc(b+c) \)
\( = \{ (b+c)a + bc \}(a+b+c) \)
\( = (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
となり、これで答えじゃ

なんだか、複雑ですけど、キレイな答えですね!

そうじゃな
因数分解は、キレイな答えになることもあるんじゃ
解いた後にスッキリするのが因数分解なんじゃ

はい!
でも、なぜ、あのような解答になるのですか?

では、1つひとつ、解説していくかのぉ
複雑な式でも、基本は1文字に着目する

問題は \( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) じゃ
まずは、( )を展開じゃな
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)
\( = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc+ abc \)

ふくざつですねぇ~
どう考えたらいいんでしょうか?

因数分解の基本に立ち返るんじゃ
因数分解の基本は、
次数の低い文字に着目して整理する
なんじゃ
この式の文字 a, b, c は、どれも2次で同じじゃな
だから、a, b, c のどれかに着目して整理すればいいんじゃ

わかりました!
じゃあ、a で整理しようと思います
a について降べきの順に並べかえればいいんですよね?

そのとおりじゃ

でも、降べきの順って、なんでしたっけ?
ちょっと自信ないなぁ~・・・

降べきの順は、因数分解で、とても大事な考え方なんじゃ
解説記事があるから、ぜひシッカリ理解してほしいところじゃ
お~い、にゃんこくん、解説記事おしえて!

にゃんこくん、ありがとう

ありがとブーン!読んでみるブーン!

では、話をもとに戻すかのぉ
問題の式を、降べきの順にならべかえて、整理してみるんじゃ

えっと~
\( abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc+ abc \)
\( = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
でいいんですか?

そのとおりじゃ

この後は、どうしたらいいんですか?
複雑な文字係数式の「たすきがけ」

出てきた式
\( (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
は、aの2次式じゃ
シンプルな例で考えると、
\( 2a^2 + 7a + 3 \)
みたいな感じなんじゃ

\( 2a^2 + 7a + 3 \)
なら、因数分解できますよ!
「たすきがけ」すれば、いいですよね!!

そのとおりじゃ
つまり、今回の式でも、「たすきがけ」をつかえばいいんじゃ

\( (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
をたすきがけって、むずかしそうですねぇ~

そういうときは、文字にまどわされずに、
\( 2a^2 + 7a + 3 \)
のたきがけの「手順」を、同じように使えばいいんじゃ

具体的には、手順を使う?って、どうすればいいんですか?

たすきがけは、「表を作成」すればオッケーじゃ
もし、たすきがけの基本的なところが不安な方は、
こちらの記事を先に読んでみると、理解が進むはずじゃ
お~い、にゃんこくん、たすきがけの記事をお願い!

にゃんこくん、ありがとう!
では、話をもどすかのぉ

たすきがけは、最初は、表の左の列をうめることじゃ
(b+c) | ||
1 |

表の左のうめかたは、
\( a^2 \) の項の係数 (b+c) になる2つの因数を考えるんじゃ
すると、1× (b+c) じゃから、表はこのようになる
( ちなみに、(-1)× \( \{(-1)(b+c) \} \) もあるんじゃが、
ここでは考えなくてよいんじゃ)

なるほどです!

じゃあ次は、まん中の列をうめるかのぉ
まん中の列は、
\( (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
の a がついていない項(定数項)に注目するんじゃ
かけて定数項になる、2つの因数をかんがえるんじゃ
bc × (b+c)
b × c(b+c)
c × b(b+c)
などが考えられるのぉ
あと、これら両方にマイナスをつけたものがありえるわけじゃ

え~! たくさんあるんですねぇ~
頭が混乱しそうです・・・

そうじゃな
\( (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
\( = (b+c)a^2 + \{(b+c)^2+bc \}a + bc(b+c) \)
と変形してみるといいかもしれん
(b+c) | bc | bc |
1 | (b+c) | (b+c)2 |

あ!
(b+c)2 + bc
を計算すると、問題の式
\( (b+c)a^2 + \{(b+c)^2+bc \}a + bc(b+c) \)
の a の項の係数に一致しています!!

そのとおりじゃ
これで表が完成したわけじゃ
あとは、この完成した表を、下のように見ればオッケーじゃ
{ (b+c)a | + bc} | bc |
{a | + (b+c) } | (b+c)2 |

この表から
{a + (b+c) }{ (b+c)a + bc }
とすればいいんじゃ

なるほどです!
シンプルな例と同じやり方ですね

あとは、これを整理して終わりじゃ
{a + (b+c) }{ (b+c)a + bc }
\( = (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
これが答えというわけじゃ

式が複雑で、文字が係数でも、「たすきがけ」すればよかったんですね~
これで、複雑な「たすきがけ」できるようになった気がします!

それはよかったのぉ
「簡単な問題の手順」を、「むずかしい問題に活かす能力」は
とても大事なんじゃ
この問題では、それを学んでもらうのもポイントの1つじゃったんじゃ

なるほどです!
そういえば、別解はどんな感じなのですか?

そうじゃな
長くなったんで、別解は、次の記事で解説することにするかのぉ
ヒントは、この式が対称式であることを利用するやり方じゃ

わかりました!
楽しみにしてます!

というわけで、今日はこれで終わりとするかのぉ
お~い、ザピエルくん、あとお願い!


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