【数学 質問解答】「3文字」の因数分解 パート1【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

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高校数学 因数分解 3文字パート1 数学おじさん oj3math 入門・基礎問題(教科書理解)
高校数学 因数分解 3文字パート1 数学おじさん oj3math
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秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回、こんな質問をいただきました!

[mathjax]

ハッチくん
ハッチくん

 \( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) を因数分解してください!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

ふくざつですが、キレイな式ですねぇ~

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう

 

今回は、3文字の式じゃのぉ

 

まずは、典型的な解き方で解説して、

 

別解として、式の特徴を使った解法を示すかのぉ

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

本記事を読むと、

 

①、基本に忠実な解き方

 

②、式の特徴に着目した解き方

 

の2つの解法を学ぶことができるんですね

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

3文字の因数分解では、2文字とはちがった見方をするんじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

そうなんですね!

 

たのしみだブーン!

 

数学おじさん
数学おじさん

では、はじめるかのぉ

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【数学 質問解答】対称式の因数分解(3文字)パート1【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

数学おじさん
数学おじさん

まずは結果を知りたい方のために、

 

解答例から先に示すかのぉ

 

解答例

数学おじさん
数学おじさん

問題は \( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) じゃったな

 

\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)

 

\( = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc+ abc \)

 

\( = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)

 

\( = (b+c)a^2 + \{ (b+c)^2+bc \}a + bc(b+c) \)

 

\( = \{ (b+c)a + bc \}(a+b+c) \)

 

\( = (a+b+c)(ab+bc+ca) \)

 

となり、これで答えじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なんだか、複雑ですけど、キレイな答えですね!

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

因数分解は、キレイな答えになることもあるんじゃ

 

解いた後にスッキリするのが因数分解なんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

はい!

 

でも、なぜ、あのような解答になるのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

では、1つひとつ、解説していくかのぉ

複雑な式でも、基本は1文字に着目する

 

数学おじさん
数学おじさん

問題は \( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) じゃ

 

まずは、(  )を展開じゃな

 

\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)

 

\( = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc+ abc \)

 

ハッチくん
ハッチくん

ふくざつですねぇ~

 

どう考えたらいいんでしょうか?

 

数学おじさん
数学おじさん

因数分解の基本に立ち返るんじゃ

 

因数分解の基本は、

 

次数の低い文字に着目して整理する

 

なんじゃ

 

この式の文字 a, b, c は、どれも2次で同じじゃな

 

だから、a, b, c のどれかに着目して整理すればいいんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

わかりました!

 

じゃあ、a で整理しようと思います

 

a について降べきの順に並べかえればいいんですよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

ハッチくん
ハッチくん

でも、降べきの順って、なんでしたっけ?

 

ちょっと自信ないなぁ~・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

降べきの順は、因数分解で、とても大事な考え方なんじゃ

 

解説記事があるから、ぜひシッカリ理解してほしいところじゃ

 

お~い、にゃんこくん、解説記事おしえて!

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう

 

ハッチくん
ハッチくん

ありがとブーン!読んでみるブーン!

数学おじさん
数学おじさん

では、話をもとに戻すかのぉ

 

問題の式を、降べきの順にならべかえて、整理してみるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと~

 

\(  abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc+ abc \)

 

\(  = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

この後は、どうしたらいいんですか?

複雑な文字係数式の「たすきがけ」

数学おじさん
数学おじさん

出てきた式

 

\(  (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)

 

は、aの2次式じゃ

 

シンプルな例で考えると、

 

\(  2a^2 + 7a + 3 \)

 

みたいな感じなんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

 \(  2a^2 + 7a + 3 \)

 

なら、因数分解できますよ!

 

「たすきがけ」すれば、いいですよね!!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

つまり、今回の式でも、「たすきがけ」をつかえばいいんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

\(  (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)

 

をたすきがけって、むずかしそうですねぇ~

 

数学おじさん
数学おじさん

そういうときは、文字にまどわされずに、

 

\(  2a^2 + 7a + 3 \)

 

のたきがけの「手順」を、同じように使えばいいんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

具体的には、手順を使う?って、どうすればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

たすきがけは、「表を作成」すればオッケーじゃ

 

もし、たすきがけの基本的なところが不安な方は、

 

こちらの記事を先に読んでみると、理解が進むはずじゃ

 

お~い、にゃんこくん、たすきがけの記事をお願い!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

「たすきがけ」の記事は、こちらがおすすめだにゃん

 

【数学 質問解答】因数分解の難問:複雑なたすきがけ【中学数学 中3 因数分解】(質問ありがとうございました!)

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

では、話をもどすかのぉ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

たすきがけは、最初は、表の左の列をうめることじゃ

 

(b+c)
1
数学おじさん
数学おじさん

表の左のうめかたは、

 

\( a^2 \) の項の係数 (b+c) になる2つの因数を考えるんじゃ

 

すると、1× (b+c) じゃから、表はこのようになる

 

( ちなみに、(-1)× \( \{(-1)(b+c) \} \) もあるんじゃが、

 

ここでは考えなくてよいんじゃ)

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

じゃあ次は、まん中の列をうめるかのぉ

 

まん中の列は、

 

\(  (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)

 

の a がついていない項(定数項)に注目するんじゃ

 

かけて定数項になる、2つの因数をかんがえるんじゃ

 

bc × (b+c)

b × c(b+c)
c × b(b+c)

 

などが考えられるのぉ

 

あと、これら両方にマイナスをつけたものがありえるわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

え~! たくさんあるんですねぇ~

 

頭が混乱しそうです・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

\(  (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)

 

\(  = (b+c)a^2 + \{(b+c)^2+bc \}a + bc(b+c) \)

 

と変形してみるといいかもしれん

 

(b+c)  bc  bc
1  (b+c)  (b+c)2
ハッチくん
ハッチくん

あ!

 

(b+c)2 + bc


を計算すると、問題の式

 

\(  (b+c)a^2 + \{(b+c)^2+bc \}a + bc(b+c) \)

 

a の項の係数に一致しています!!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

これで表が完成したわけじゃ

 

あとは、この完成した表を、下のように見ればオッケーじゃ

 

{ (b+c)a + bc}  bc
{a + (b+c) }
 (b+c)2
数学おじさん
数学おじさん

この表から

 

{a + (b+c) }{ (b+c)a + bc }

 

とすればいいんじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

シンプルな例と同じやり方ですね

数学おじさん
数学おじさん

あとは、これを整理して終わりじゃ

 

{a + (b+c) }{ (b+c)a + bc }

 

\( = (a+b+c)(ab+bc+ca) \)

 

これが答えというわけじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

式が複雑で、文字が係数でも、「たすきがけ」すればよかったんですね~

 

これで、複雑な「たすきがけ」できるようになった気がします!

数学おじさん
数学おじさん

それはよかったのぉ

 

「簡単な問題の手順」を、「むずかしい問題に活かす能力」は

 

とても大事なんじゃ

 

この問題では、それを学んでもらうのもポイントの1つじゃったんじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

そういえば、別解はどんな感じなのですか?

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

長くなったんで、別解は、次の記事で解説することにするかのぉ

 

ヒントは、この式が対称式であることを利用するやり方じゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

わかりました!

 

楽しみにしてます!

数学おじさん
数学おじさん

というわけで、今日はこれで終わりとするかのぉ

 

お~い、ザピエルくん、あとお願い!

数学にゃんこ
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因数分解を系統立てて学ぶなら、こちらにゃん

 

わからないところが、サクッとわかる「因数分解」の解説記事をまとめました

 

秘書ザピエル
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数学おじさん
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ザピエルくんお願い!

秘書ザピエル
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数学おじさん
数学おじさん

というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

はーい、先生!   数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

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