今回、こんな質問をいただきました！
[mathjax]
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) を因数分解してください！
ふくざつですが、キレイな式ですねぇ～
では先生、お願いします！
ザピエルくん、ありがとう
今回は、３文字の式じゃのぉ
まずは、典型的な解き方で解説して、
別解として、式の特徴を使った解法を示すかのぉ
本記事を読むと、
①、基本に忠実な解き方
②、式の特徴に着目した解き方
の２つの解法を学ぶことができるんですね
そのとおりじゃ
３文字の因数分解では、２文字とはちがった見方をするんじゃ
そうなんですね！
たのしみだブーン！
では、はじめるかのぉ
【数学 質問解答】対称式の因数分解（３文字）パート１【高校数学 数A 因数分解】（質問ありがとうございました！）
まずは結果を知りたい方のために、
解答例から先に示すかのぉ
解答例
問題は \( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) じゃったな
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)
\( = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc+ abc \)
\( = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
\( = (b+c)a^2 + \{ (b+c)^2+bc \}a + bc(b+c) \)
\( = \{ (b+c)a + bc \}(a+b+c) \)
\( = (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
となり、これで答えじゃ
なんだか、複雑ですけど、キレイな答えですね！
そうじゃな
因数分解は、キレイな答えになることもあるんじゃ
解いた後にスッキリするのが因数分解なんじゃ
はい！
でも、なぜ、あのような解答になるのですか？
では、１つひとつ、解説していくかのぉ
複雑な式でも、基本は１文字に着目する
問題は \( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \) じゃ
まずは、（ ）を展開じゃな
\( (a+b)(b+c)(c+a) + abc \)
\( = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc+ abc \)
ふくざつですねぇ～
どう考えたらいいんでしょうか？
因数分解の基本に立ち返るんじゃ
因数分解の基本は、
次数の低い文字に着目して整理する
なんじゃ
この式の文字 a, b, c は、どれも２次で同じじゃな
だから、a, b, c のどれかに着目して整理すればいいんじゃ
わかりました！
じゃあ、a で整理しようと思います
a について降べきの順に並べかえればいいんですよね？
そのとおりじゃ
でも、降べきの順って、なんでしたっけ？
ちょっと自信ないなぁ～・・・
降べきの順は、因数分解で、とても大事な考え方なんじゃ
解説記事があるから、ぜひシッカリ理解してほしいところじゃ
お～い、にゃんこくん、解説記事おしえて！
にゃんこくん、ありがとう
ありがとブーン！読んでみるブーン！
では、話をもとに戻すかのぉ
問題の式を、降べきの順にならべかえて、整理してみるんじゃ
えっと～
\( abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc+ abc \)
\( = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
でいいんですか？
そのとおりじゃ
この後は、どうしたらいいんですか？
複雑な文字係数式の「たすきがけ」
出てきた式
\( (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
は、aの２次式じゃ
シンプルな例で考えると、
\( 2a^2 + 7a + 3 \)
みたいな感じなんじゃ
\( 2a^2 + 7a + 3 \)
なら、因数分解できますよ！
「たすきがけ」すれば、いいですよね！！
そのとおりじゃ
つまり、今回の式でも、「たすきがけ」をつかえばいいんじゃ
\( (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
をたすきがけって、むずかしそうですねぇ～
そういうときは、文字にまどわされずに、
\( 2a^2 + 7a + 3 \)
のたきがけの「手順」を、同じように使えばいいんじゃ
具体的には、手順を使う？って、どうすればいいんですか？
たすきがけは、「表を作成」すればオッケーじゃ
もし、たすきがけの基本的なところが不安な方は、
こちらの記事を先に読んでみると、理解が進むはずじゃ
お～い、にゃんこくん、たすきがけの記事をお願い！
にゃんこくん、ありがとう！
では、話をもどすかのぉ
たすきがけは、最初は、表の左の列をうめることじゃ
| (b+c) | ||
| 1 |
表の左のうめかたは、
\( a^2 \) の項の係数 (b+c) になる２つの因数を考えるんじゃ
すると、１× (b+c) じゃから、表はこのようになる
（ ちなみに、(－1)× \( \{(－1)(b+c) \} \) もあるんじゃが、
ここでは考えなくてよいんじゃ）
なるほどです！
じゃあ次は、まん中の列をうめるかのぉ
まん中の列は、
\( (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
の a がついていない項（定数項）に注目するんじゃ
かけて定数項になる、２つの因数をかんがえるんじゃ
bc × (b+c)
b × c(b+c)
c × b(b+c)
などが考えられるのぉ
あと、これら両方にマイナスをつけたものがありえるわけじゃ
え～！ たくさんあるんですねぇ～
頭が混乱しそうです・・・
そうじゃな
\( (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) \)
\( = (b+c)a^2 + \{(b+c)^2+bc \}a + bc(b+c) \)
と変形してみるといいかもしれん
| (b+c) | bc | bc |
| 1 | (b+c) | (b+c)2 |
あ！
(b+c)2 + bc
を計算すると、問題の式
\( (b+c)a^2 + \{(b+c)^2+bc \}a + bc(b+c) \)
の a の項の係数に一致しています！！
そのとおりじゃ
これで表が完成したわけじゃ
あとは、この完成した表を、下のように見ればオッケーじゃ
| { (b+c)a | + bc} | bc |
| {a | + (b+c) } | (b+c)2 |
この表から
{a + (b+c) }{ (b+c)a + bc }
とすればいいんじゃ
なるほどです！
シンプルな例と同じやり方ですね
あとは、これを整理して終わりじゃ
{a + (b+c) }{ (b+c)a + bc }
\( = (a+b+c)(ab+bc+ca) \)
これが答えというわけじゃ
式が複雑で、文字が係数でも、「たすきがけ」すればよかったんですね～
これで、複雑な「たすきがけ」できるようになった気がします！
それはよかったのぉ
「簡単な問題の手順」を、「むずかしい問題に活かす能力」は
とても大事なんじゃ
この問題では、それを学んでもらうのもポイントの１つじゃったんじゃ
なるほどです！
そういえば、別解はどんな感じなのですか？
そうじゃな
長くなったんで、別解は、次の記事で解説することにするかのぉ
ヒントは、この式が対称式であることを利用するやり方じゃ
わかりました！
楽しみにしてます！
というわけで、今日はこれで終わりとするかのぉ
お～い、ザピエルくん、あとお願い！
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
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ザピエルくんお願い！
はい先生！
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