【数学 質問解答】3乗をふくんだ式の因数分解 パート2【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

高校数学 3乗の因数分解 数学おじさん oj3math 入門・基礎問題(教科書理解)
高校数学 3乗の因数分解 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました!

[mathjax]

トンちゃん
トンちゃん

 \( a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3 \) 


を因数分解してください!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回の問題は、3乗がふくまれているようです。

 

ふくざつですが、キレイな式ですよねぇ

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくんありがとう!

 

今回の問題は、「3乗をふくんだ因数分解」のようじゃな

 

3乗の公式は、前回やったから、それを思い出しながらやっていくかのぉ

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

というわけで、本記事を読むと、

 

①、3乗の関係する公式を学べる

 

②、3乗の因数分解の解き方について理解できる

 

というメリットがあるわけですね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、解説をはじめるかのぉ

 

 

【数学 質問解答】3乗をふくんだ式の因数分解 パート2【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、3乗の公式をまとめておくかのぉ

2項の式の3乗の展開公式

数学おじさん
数学おじさん

2項の式の3乗を展開する公式じゃ

 

\( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

 

\( (a-b)^3 = a^3-3a^2b +3ab^2-b^3 \)

 

トンちゃん
トンちゃん

この公式は、どうやって出てきたのですか?

数学おじさん
数学おじさん

 \( (a+b)^3 = (a+b)^2×(a+b) = ・・・ \)

 

のようにして、2乗の展開や、分配法則を使うことで、

 

計算した結果を、公式!といっておるんじゃ。

 

たいしたものでもないんじゃが、

 

毎回この計算をやると時間がかかるじゃろ?

 

テストなどでは不利になるわけじゃ。

 

だからあらかじめ、覚えておくのがおすすめなんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

おぼえてみます!

 

数学おじさん
数学おじさん

ちなみに、やみくもに覚えるのでなくて、

 

二項定理とか、パスカルの三角形などと一緒に理解するのがおすすめじゃ

 

今回の話とは違うので、ここでは説明しないが、

 

いずれ解説記事を書こうと思っておるんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

わすれにくい覚え方があるんですね!

 

解説記事を楽しみにしています!

 

数学おじさん
数学おじさん

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数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

では話をもどすかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

 \( a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3 \)  を因数分解してください!

 

という話じゃったな

 

まずは、3乗があるから、展開してみることにするかのぉ

 

 

トンちゃん
トンちゃん

\( a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3 \)

 

\( =  a(b^3-3b^2c+3bc^2-c^3) + b(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3) + c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3) \)

 

\( =  ab^3-3ab^2c+3abc^2-ac^3 + bc^3-3abc^2+3a^2bc-a^3b + a^3c-3a^2bc+3ab^c2-b^3c \)

 

となりました!

 

でも、複雑すぎて、わけがわからないです・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

複雑な式や、項がたくさんある式を展開する時には、

 

その規則性に注目して書くことが大事じゃ

 

すると、見やすくなって、計算ミスを防ぎ、次のアイデアが出やすくなるんじゃ

 

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほど!

 

じゃあ、具体的には、どう、書いたらいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

いい質問じゃ

 

今回の問題で示してみるかのぉ

 

\( a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3 \)

 

\( =  a(b^3-3b^2c+3bc^2-c^3) \)

 

\( +  b(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3) \)

 

\( +  c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3) \)

 

のようにたてに並べて書いてみたりすると、

 

式の規則性がわかりやすいじゃろ?

 

書き間違いがないか確認するときにも、やりやすいはずじゃ

 

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!さらに展開すると、

 

\( =  ab^3-3ab^2c+3abc^2-c^3a \)

 

\( +  bc^3-3abc^2+3bca^2-a^3b \)

 

\( +  ca^3-3bca^2+3ab^c2-b^3c \)

 

となりました!

 

とってもキレイな式ですネ!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな!

 

式がキレイだと、計算しよう!って気にもなるじゃろ

 

この後は、どうすればいいと思う?

 

 

トンちゃん
トンちゃん

え~と、

 

公式は使えなさそうなので、次数が低い文字を探そうかなぁ

 

あ、でも、文字 a,  b,  c, はどれも3次だから、どの文字に着目してもいいんですよね?

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

特に公式など使えない場合には、基本通りに、

 

なにか1文字について着目するわけじゃ

 

ただし、その前に、式をよーくみてみるんじゃ

 

「同類項」があれば、計算するんじゃぞ

 

 

トンちゃん
トンちゃん

あ!同類項がありますね!

 

\( =  ab^3-c^3a \)

 

\( +  bc^3-a^3b \)

 

\( +  ca^3-b^3c \)

 

\( -3ab^2c+3ab^c2 +3abc^2-3abc^2 +3bca^2-3bca^2 \)

 

\( =  ab^3-c^3a \)

 

\( +  bc^3-a^3b \)

 

\( +  ca^3-b^3c \)

 

となります!!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

これでさらに見通しが立ちやすくなったじゃろ

 

 

トンちゃん
トンちゃん

はい!

 

じゃあ、今回は、a について着目してみますね!

 

a について、降べきの順に整理すると、

 

\( =  ca^3-a^3b -c^3a + ab^3 +  bc^3-b^3c \)

 

\( =  (c-b)a^3 -(c^3 - b^3)a +  bc(c^2-b^2) \)

 

\( =  (c-b)a^3 -(c-b)(c^2+cb+b^2)a +  bc(c-b)(c+b) \)

 

\( =  (c-b) \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a +  bc(c+b) \} \)

 

\( (c-b) \) でくくれました!

数学おじさん
数学おじさん

その調子じゃ!

\( x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \)

 

の公式や

 

\( x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) \)

 

の公式を使ったんじゃな

 

どうして止まっておるんじゃ?

 

トンちゃん
トンちゃん

\( \{    \} \) の中は、どうやって計算したらいいかなぁ~と・・・

数学おじさん
数学おじさん

  \(  \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a +  bc(c+b) \} \)

 

のところじゃな

 

この式をどうしたいか思い出してみるんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

この式を、因数分解したいです!

数学おじさん
数学おじさん

では、因数分解する時の手順はなんだったかのぉ

 

トンちゃん
トンちゃん

えっと~

 

まず共通因数をさがして、

 

公式が使えるか考えて、

 

次数が低い文字に着目する

 

って感じですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

では、

 

\( \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a +  bc(c+b) \} \)

 

については、どうすればよさそうかのぉ?

 

トンちゃん
トンちゃん

共通因数はないし、公式も使えなさそうなので、

 

次数が低い文字に着目すればいいんですか???

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

なにか迷ったら、基本の手順に立ち返るようにするんじゃぞ

 

トンちゃん
トンちゃん

はい!

トンちゃん
トンちゃん

  \(  (c-b) \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a +  bc(c+b) \} \)

 

\(  \{   \} \) の中は、aは3次、bは2次、cは2次なので、

 

bについて整理したいと思います!

 

すると、

 

\(  (c-b) \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a +  bc(c+b) \} \)

 

\( =  (c-b) \{ (c-a)b^2+c(c-a)b-a(c^2-a^2) \} \)

 

\( =  (c-b) \{ (c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a) \} \)

 

\( =  (c-b) (c-a) \{b^2+cb-a(c+a) \} \)

 

\( (c-a) \) でくくれました!

 

数学おじさん
数学おじさん

いい調子じゃの!

 

あとすこしじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

  \(  (c-b) (c-a) \{b^2+cb-a(c+a) \} \)

 

これも \( \{    \}  \) の中の次数が低い  c について整理します!

 

\( =  (c-b) (c-a) \{(b-a)c + b^2-c^2\} \)

 

\( =  (c-b) (c-a) \{(b-a)c + (b-a)(b+a) \} \)

 

\( =  (c-b) (c-a)(b-a)(c + b + a) \)

 

あ、これでできたかもです!

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

これでキレイに因数分解できたのぉ

 

トンちゃん
トンちゃん

ありがとうございます!うれしいです!

数学おじさん
数学おじさん

ただし、最後に、アルファベット順に変えておくと、もっとキレイじゃぞ

 

\(  (c-b) (c-a)(b-a)(c + b + a) \)

 

\( = \{ -(b-c) \} (c-a) \{ -(a-b) \} (a + b + c) \)

 

\( = (-1)(b-c)(c-a)(-1)(a-b)(a + b + c) \)

 

\( = (-1)(-1)(a-b)(b-c)(c-a)(a + b + c) \)

 

\( = (a-b)(b-c)(c-a)(a + b + c) \)

 

といった感じじゃ

 

 

トンちゃん
トンちゃん

あ、こう書くと、ひと目見て、正解!とか判断できますね!

 

あ、でも (c-a)は、アルファベット順じゃないですよ!?

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

今回、3文字、a, b, c の式を因数分解したんじゃ

 

a ⇒  b ⇒ c ⇒ a

 

の順番で書く、という習慣があるんじゃ

 

a と b と c が輪になってつながっているイメージじゃ

 

a と b じゃったら、a を先に、

 

b と c じゃったら、b を先に、

 

cと a じゃったら、c を先に、

 

という具合じゃ

 

この並べ方を、「輪環の順(りんかんのじゅん)」というんじゃ

 

だから、完全にアルファベット順というわけじゃないんじゃ

 

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

ルールを決めておけば、複雑な式も、ぐちゃぐちゃになりづらいですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

また、入試などでは、採点者は1日何十枚もの答案をみるんじゃ

 

アルファベット順がバラバラだと、1つ1つチェックしないといかん

 

とても大変じゃろ?

 

わかりやすく書くのは、大事なポイントのようにおもうんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

というわけで、今回の内容は以上じゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

ありがとうございました!

数学おじさん
数学おじさん

因数分解は、たくさん経験をつむことで、慣れるのも大事なんじゃ

 

というわけで、にゃんこくん!復習しておくとよい記事をお願い~

 

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

今回復習しておくとよいのは、2つだにゃん

 

①、3乗をふくむ因数分解について

【数学 質問解答】3乗をふくんだ式の因数分解【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

 

②、高校生の因数分解の基本についてのこちらだにゃん

【数学 質問解答】高校生の因数分解(2つの文字を含んだ式)【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

 

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

お~い、ザピエルくん、あとお願い!

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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数学にゃんこ
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