
今回は、こんな質問をいただきました!
[mathjax]

\( a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3 \)
を因数分解してください!

今回の問題は、3乗がふくまれているようです。
ふくざつですが、キレイな式ですよねぇ
では先生、お願いします!

ザピエルくんありがとう!
今回の問題は、「3乗をふくんだ因数分解」のようじゃな
3乗の公式は、前回やったから、それを思い出しながらやっていくかのぉ

というわけで、本記事を読むと、
①、3乗の関係する公式を学べる
②、3乗の因数分解の解き方について理解できる
というメリットがあるわけですね

そのとおりじゃ
では、解説をはじめるかのぉ
【数学 質問解答】3乗をふくんだ式の因数分解 パート2【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

まずは、3乗の公式をまとめておくかのぉ
2項の式の3乗の展開公式

2項の式の3乗を展開する公式じゃ
\( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
\( (a-b)^3 = a^3-3a^2b +3ab^2-b^3 \)

この公式は、どうやって出てきたのですか?

\( (a+b)^3 = (a+b)^2×(a+b) = ・・・ \)
のようにして、2乗の展開や、分配法則を使うことで、
計算した結果を、公式!といっておるんじゃ。
たいしたものでもないんじゃが、
毎回この計算をやると時間がかかるじゃろ?
テストなどでは不利になるわけじゃ。
だからあらかじめ、覚えておくのがおすすめなんじゃ

なるほどです!
おぼえてみます!

ちなみに、やみくもに覚えるのでなくて、
二項定理とか、パスカルの三角形などと一緒に理解するのがおすすめじゃ
今回の話とは違うので、ここでは説明しないが、
いずれ解説記事を書こうと思っておるんじゃ

わすれにくい覚え方があるんですね!
解説記事を楽しみにしています!

ありがとう!
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は~い、先生!
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にゃんこくん、ありがとう!
では話をもどすかのぉ

\( a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3 \) を因数分解してください!
という話じゃったな
まずは、3乗があるから、展開してみることにするかのぉ

\( a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3 \)
\( = a(b^3-3b^2c+3bc^2-c^3) + b(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3) + c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3) \)
\( = ab^3-3ab^2c+3abc^2-ac^3 + bc^3-3abc^2+3a^2bc-a^3b + a^3c-3a^2bc+3ab^c2-b^3c \)
となりました!
でも、複雑すぎて、わけがわからないです・・・

そうじゃな
複雑な式や、項がたくさんある式を展開する時には、
その規則性に注目して書くことが大事じゃ
すると、見やすくなって、計算ミスを防ぎ、次のアイデアが出やすくなるんじゃ

なるほど!
じゃあ、具体的には、どう、書いたらいいんですか?

いい質問じゃ
今回の問題で示してみるかのぉ
\( a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3 \)
\( = a(b^3-3b^2c+3bc^2-c^3) \)
\( + b(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3) \)
\( + c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3) \)
のようにたてに並べて書いてみたりすると、
式の規則性がわかりやすいじゃろ?
書き間違いがないか確認するときにも、やりやすいはずじゃ

なるほどです!さらに展開すると、
\( = ab^3-3ab^2c+3abc^2-c^3a \)
\( + bc^3-3abc^2+3bca^2-a^3b \)
\( + ca^3-3bca^2+3ab^c2-b^3c \)
となりました!
とってもキレイな式ですネ!

そうじゃな!
式がキレイだと、計算しよう!って気にもなるじゃろ
この後は、どうすればいいと思う?

え~と、
公式は使えなさそうなので、次数が低い文字を探そうかなぁ
あ、でも、文字 a, b, c, はどれも3次だから、どの文字に着目してもいいんですよね?

そのとおりじゃ
特に公式など使えない場合には、基本通りに、
なにか1文字について着目するわけじゃ
ただし、その前に、式をよーくみてみるんじゃ
「同類項」があれば、計算するんじゃぞ

あ!同類項がありますね!
\( = ab^3-c^3a \)
\( + bc^3-a^3b \)
\( + ca^3-b^3c \)
\( -3ab^2c+3ab^c2 +3abc^2-3abc^2 +3bca^2-3bca^2 \)
\( = ab^3-c^3a \)
\( + bc^3-a^3b \)
\( + ca^3-b^3c \)
となります!!

そのとおりじゃ!
これでさらに見通しが立ちやすくなったじゃろ

はい!
じゃあ、今回は、a について着目してみますね!
a について、降べきの順に整理すると、
\( = ca^3-a^3b -c^3a + ab^3 + bc^3-b^3c \)
\( = (c-b)a^3 -(c^3 - b^3)a + bc(c^2-b^2) \)
\( = (c-b)a^3 -(c-b)(c^2+cb+b^2)a + bc(c-b)(c+b) \)
\( = (c-b) \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
\( (c-b) \) でくくれました!

その調子じゃ!
\( x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \)
の公式や
\( x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) \)
の公式を使ったんじゃな
どうして止まっておるんじゃ?

\( \{ \} \) の中は、どうやって計算したらいいかなぁ~と・・・

\( \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
のところじゃな
この式をどうしたいか思い出してみるんじゃ

この式を、因数分解したいです!

では、因数分解する時の手順はなんだったかのぉ

えっと~
まず共通因数をさがして、
公式が使えるか考えて、
次数が低い文字に着目する
って感じですか?

そのとおりじゃ!
では、
\( \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
については、どうすればよさそうかのぉ?

共通因数はないし、公式も使えなさそうなので、
次数が低い文字に着目すればいいんですか???

そのとおりじゃ!
なにか迷ったら、基本の手順に立ち返るようにするんじゃぞ

はい!

\( (c-b) \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
\( \{ \} \) の中は、aは3次、bは2次、cは2次なので、
bについて整理したいと思います!
すると、
\( (c-b) \{ a^3 -(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
\( = (c-b) \{ (c-a)b^2+c(c-a)b-a(c^2-a^2) \} \)
\( = (c-b) \{ (c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a) \} \)
\( = (c-b) (c-a) \{b^2+cb-a(c+a) \} \)
\( (c-a) \) でくくれました!

いい調子じゃの!
あとすこしじゃ

\( (c-b) (c-a) \{b^2+cb-a(c+a) \} \)
これも \( \{ \} \) の中の次数が低い c について整理します!
\( = (c-b) (c-a) \{(b-a)c + b^2-c^2\} \)
\( = (c-b) (c-a) \{(b-a)c + (b-a)(b+a) \} \)
\( = (c-b) (c-a)(b-a)(c + b + a) \)
あ、これでできたかもです!

大正解じゃ!
これでキレイに因数分解できたのぉ

ありがとうございます!うれしいです!

ただし、最後に、アルファベット順に変えておくと、もっとキレイじゃぞ
\( (c-b) (c-a)(b-a)(c + b + a) \)
\( = \{ -(b-c) \} (c-a) \{ -(a-b) \} (a + b + c) \)
\( = (-1)(b-c)(c-a)(-1)(a-b)(a + b + c) \)
\( = (-1)(-1)(a-b)(b-c)(c-a)(a + b + c) \)
\( = (a-b)(b-c)(c-a)(a + b + c) \)
といった感じじゃ

あ、こう書くと、ひと目見て、正解!とか判断できますね!
あ、でも (c-a)は、アルファベット順じゃないですよ!?

そうじゃな
今回、3文字、a, b, c の式を因数分解したんじゃ
a ⇒ b ⇒ c ⇒ a
の順番で書く、という習慣があるんじゃ
a と b と c が輪になってつながっているイメージじゃ
a と b じゃったら、a を先に、
b と c じゃったら、b を先に、
cと a じゃったら、c を先に、
という具合じゃ
この並べ方を、「輪環の順(りんかんのじゅん)」というんじゃ
だから、完全にアルファベット順というわけじゃないんじゃ

なるほどです!
ルールを決めておけば、複雑な式も、ぐちゃぐちゃになりづらいですね!

そのとおりじゃ
また、入試などでは、採点者は1日何十枚もの答案をみるんじゃ
アルファベット順がバラバラだと、1つ1つチェックしないといかん
とても大変じゃろ?
わかりやすく書くのは、大事なポイントのようにおもうんじゃ

なるほどです!

というわけで、今回の内容は以上じゃ

ありがとうございました!

因数分解は、たくさん経験をつむことで、慣れるのも大事なんじゃ
というわけで、にゃんこくん!復習しておくとよい記事をお願い~

は~い、先生!
今回復習しておくとよいのは、2つだにゃん
①、3乗をふくむ因数分解について
『【数学 質問解答】3乗をふくんだ式の因数分解【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)』
②、高校生の因数分解の基本についてのこちらだにゃん
『【数学 質問解答】高校生の因数分解(2つの文字を含んだ式)【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)』

にゃんこくん、ありがとう!
お~い、ザピエルくん、あとお願い!


あ、先生!告知をさせてください

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具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い!

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不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください

というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!


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