今回は、こんな質問をいただきました！
[mathjax]
\( a(b－c)^3 + b(c－a)^3 + c(a－b)^3 \)
を因数分解してください！
今回の問題は、３乗がふくまれているようです。
ふくざつですが、キレイな式ですよねぇ
では先生、お願いします！
ザピエルくんありがとう！
今回の問題は、「３乗をふくんだ因数分解」のようじゃな
３乗の公式は、前回やったから、それを思い出しながらやっていくかのぉ
というわけで、本記事を読むと、
①、３乗の関係する公式を学べる
②、３乗の因数分解の解き方について理解できる
というメリットがあるわけですね
そのとおりじゃ
では、解説をはじめるかのぉ
【数学 質問解答】３乗をふくんだ式の因数分解 パート２【高校数学 数A 因数分解】（質問ありがとうございました！）
まずは、３乗の公式をまとめておくかのぉ
２項の式の３乗の展開公式
２項の式の３乗を展開する公式じゃ
\( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
\( (a－b)^3 = a^3－3a^2b +3ab^2－b^3 \)
この公式は、どうやって出てきたのですか？
\( (a+b)^3 = (a+b)^2×(a+b) = ・・・ \)
のようにして、２乗の展開や、分配法則を使うことで、
計算した結果を、公式！といっておるんじゃ。
たいしたものでもないんじゃが、
毎回この計算をやると時間がかかるじゃろ？
テストなどでは不利になるわけじゃ。
だからあらかじめ、覚えておくのがおすすめなんじゃ
なるほどです！
おぼえてみます！
ちなみに、やみくもに覚えるのでなくて、
二項定理とか、パスカルの三角形などと一緒に理解するのがおすすめじゃ
今回の話とは違うので、ここでは説明しないが、
いずれ解説記事を書こうと思っておるんじゃ
わすれにくい覚え方があるんですね！
解説記事を楽しみにしています！
ありがとう！
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は～い、先生！
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にゃんこくん、ありがとう！
では話をもどすかのぉ
\( a(b－c)^3 + b(c－a)^3 + c(a－b)^3 \) を因数分解してください！
という話じゃったな
まずは、３乗があるから、展開してみることにするかのぉ
\( a(b－c)^3 + b(c－a)^3 + c(a－b)^3 \)
\( = a(b^3－3b^2c+3bc^2－c^3) + b(c^3－3c^2a+3ca^2－a^3) + c(a^3－3a^2b+3ab^2－b^3) \)
\( = ab^3－3ab^2c+3abc^2－ac^3 + bc^3－3abc^2+3a^2bc－a^3b + a^3c－3a^2bc+3ab^c2－b^3c \)
となりました！
でも、複雑すぎて、わけがわからないです・・・
そうじゃな
複雑な式や、項がたくさんある式を展開する時には、
その規則性に注目して書くことが大事じゃ
すると、見やすくなって、計算ミスを防ぎ、次のアイデアが出やすくなるんじゃ
なるほど！
じゃあ、具体的には、どう、書いたらいいんですか？
いい質問じゃ
今回の問題で示してみるかのぉ
\( a(b－c)^3 + b(c－a)^3 + c(a－b)^3 \)
\( = a(b^3－3b^2c+3bc^2－c^3) \)
\( + b(c^3－3c^2a+3ca^2－a^3) \)
\( + c(a^3－3a^2b+3ab^2－b^3) \)
のようにたてに並べて書いてみたりすると、
式の規則性がわかりやすいじゃろ？
書き間違いがないか確認するときにも、やりやすいはずじゃ
なるほどです！さらに展開すると、
\( = ab^3－3ab^2c+3abc^2－c^3a \)
\( + bc^3－3abc^2+3bca^2－a^3b \)
\( + ca^3－3bca^2+3ab^c2－b^3c \)
となりました！
とってもキレイな式ですネ！
そうじゃな！
式がキレイだと、計算しよう！って気にもなるじゃろ
この後は、どうすればいいと思う？
え～と、
公式は使えなさそうなので、次数が低い文字を探そうかなぁ
あ、でも、文字 a, b, c, はどれも３次だから、どの文字に着目してもいいんですよね？
そのとおりじゃ
特に公式など使えない場合には、基本通りに、
なにか１文字について着目するわけじゃ
ただし、その前に、式をよーくみてみるんじゃ
「同類項」があれば、計算するんじゃぞ
あ！同類項がありますね！
\( = ab^3－c^3a \)
\( + bc^3－a^3b \)
\( + ca^3－b^3c \)
\( －3ab^2c+3ab^c2 +3abc^2－3abc^2 +3bca^2－3bca^2 \)
\( = ab^3－c^3a \)
\( + bc^3－a^3b \)
\( + ca^3－b^3c \)
となります！！
そのとおりじゃ！
これでさらに見通しが立ちやすくなったじゃろ
はい！
じゃあ、今回は、a について着目してみますね！
a について、降べきの順に整理すると、
\( = ca^3－a^3b －c^3a + ab^3 + bc^3－b^3c \)
\( = (c－b)a^3 －(c^3 － b^3)a + bc(c^2－b^2) \)
\( = (c－b)a^3 －(c－b)(c^2+cb+b^2)a + bc(c－b)(c+b) \)
\( = (c－b) \{ a^3 －(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
\( (c－b) \) でくくれました！
その調子じゃ！
\( x^2－y^2 = (x－y)(x+y) \)
の公式や
\( x^3－y^3 = (x－y)(x^2+xy+y^2) \)
の公式を使ったんじゃな
どうして止まっておるんじゃ？
\( \{ \} \) の中は、どうやって計算したらいいかなぁ～と・・・
\( \{ a^3 －(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
のところじゃな
この式をどうしたいか思い出してみるんじゃ
この式を、因数分解したいです！
では、因数分解する時の手順はなんだったかのぉ
えっと～
まず共通因数をさがして、
公式が使えるか考えて、
次数が低い文字に着目する
って感じですか？
そのとおりじゃ！
では、
\( \{ a^3 －(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
については、どうすればよさそうかのぉ？
共通因数はないし、公式も使えなさそうなので、
次数が低い文字に着目すればいいんですか？？？
そのとおりじゃ！
なにか迷ったら、基本の手順に立ち返るようにするんじゃぞ
はい！
\( (c－b) \{ a^3 －(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
\( \{ \} \) の中は、aは３次、ｂは２次、ｃは２次なので、
ｂについて整理したいと思います！
すると、
\( (c－b) \{ a^3 －(c^2+cb+b^2)a + bc(c+b) \} \)
\( = (c－b) \{ (c－a)b^2+c(c－a)b－a(c^2－a^2) \} \)
\( = (c－b) \{ (c－a)b^2+c(c－a)b－a(c－a)(c+a) \} \)
\( = (c－b) (c－a) \{b^2+cb－a(c+a) \} \)
\( (c－a) \) でくくれました！
いい調子じゃの！
あとすこしじゃ
\( (c－b) (c－a) \{b^2+cb－a(c+a) \} \)
これも \( \{ \} \) の中の次数が低い c について整理します！
\( = (c－b) (c－a) \{(b－a)c + b^2－c^2\} \)
\( = (c－b) (c－a) \{(b－a)c + (b－a)(b+a) \} \)
\( = (c－b) (c－a)(b－a)(c + b + a) \)
あ、これでできたかもです！
大正解じゃ！
これでキレイに因数分解できたのぉ
ありがとうございます！うれしいです！
ただし、最後に、アルファベット順に変えておくと、もっとキレイじゃぞ
\( (c－b) (c－a)(b－a)(c + b + a) \)
\( = \{ －(b－c) \} (c－a) \{ －(a－b) \} (a + b + c) \)
\( = (－1)(b－c)(c－a)(－1)(a－b)(a + b + c) \)
\( = (－1)(－1)(a－b)(b－c)(c－a)(a + b + c) \)
\( = (a－b)(b－c)(c－a)(a + b + c) \)
といった感じじゃ
あ、こう書くと、ひと目見て、正解！とか判断できますね！
あ、でも (c－a)は、アルファベット順じゃないですよ！？
そうじゃな
今回、３文字、a, b, c の式を因数分解したんじゃ
a ⇒ b ⇒ c ⇒ a
の順番で書く、という習慣があるんじゃ
a と b と c が輪になってつながっているイメージじゃ
a と ｂ じゃったら、a を先に、
b と c じゃったら、b を先に、
cと a じゃったら、c を先に、
という具合じゃ
この並べ方を、「輪環の順（りんかんのじゅん）」というんじゃ
だから、完全にアルファベット順というわけじゃないんじゃ
なるほどです！
ルールを決めておけば、複雑な式も、ぐちゃぐちゃになりづらいですね！
そのとおりじゃ
また、入試などでは、採点者は１日何十枚もの答案をみるんじゃ
アルファベット順がバラバラだと、１つ１つチェックしないといかん
とても大変じゃろ？
わかりやすく書くのは、大事なポイントのようにおもうんじゃ
なるほどです！
というわけで、今回の内容は以上じゃ
ありがとうございました！
因数分解は、たくさん経験をつむことで、慣れるのも大事なんじゃ
というわけで、にゃんこくん！復習しておくとよい記事をお願い～
は～い、先生！
今回復習しておくとよいのは、２つだにゃん
①、３乗をふくむ因数分解について
『【数学 質問解答】３乗をふくんだ式の因数分解【高校数学 数A 因数分解】（質問ありがとうございました！）』
②、高校生の因数分解の基本についてのこちらだにゃん
『【数学 質問解答】高校生の因数分解（２つの文字を含んだ式）【高校数学 数A 因数分解】（質問ありがとうございました！）』
にゃんこくん、ありがとう！
お～い、ザピエルくん、あとお願い！
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
- 励ましてほしい
- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
一緒に勉強する（丸つけや解説する）ことをやりながら、
あなたの勉強をサポートするという仕組みです。
- やる気を継続したい
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といったあなたに特にオススメです。
できるだけ楽しみながら勉強できるように工夫しています。
ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓
「【中学生 高校生 社会人】勉強のペースメーカーはいかがでしょう【受験 入試 資格試験】」
不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
「中学数学」を学んだりやり直しならこちらの本がおすすめだにゃん
『【数学】中学数学を独学したい、やり直したいあなたにおすすめの参考書や問題集はこちらです【中学数学 高校数学 数学検定】』
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