【数学 質問解答】因数分解の難問(共通因数をくくる問題)【中学数学 中3 因数分解】(質問ありがとうございました!)

共通因数でくくる因数分解 数学おじさん oj3math 数学(中学校)
共通因数でくくる因数分解 数学おじさん oj3math
数学宣教師 ザピエル
数学宣教師 ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました!

[mathjax]

ハムちゃん
ハムちゃん

\( ab(x – y) + a(y – x) \) を因数分解してください

数学宣教師 ザピエル
数学宣教師 ザピエル

最近は、因数分解関係の問題をよく聞かれるんですが、

 

この問題も、そのようですね。

 

というわけで、先生!お願いします~

 

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう

 

今回は、因数分解の問題じゃのう。

 

ポイントは、

 

共通因数(きょうつういんすう)でくくる

 

になりそうじゃ。

ハムちゃん
ハムちゃん

共通因数」とか、「くくる」とか、イマイチわからないんです!

数学おじさん
数学おじさん

なるほど!

 

それじゃあ、そのへんから理解できるように解説しようかのぉ

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!お願いします!

数学宣教師 ザピエル
数学宣教師 ザピエル

というわけで、今回の記事をよむことで、

 

共通因数」や「くくる」を理解でき、

 

これらを使った「因数分解」ができるようになるわけですね。

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

では、はじめよう

 

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは結論からまとめておこうかのぉ

 

「 \( ab(x – y) + a(y – x) \)  を因数分解してください」

 

の解答としては、

 

\( ab(x – y) + a(y – x) \)

 

\( = ab(x – y) - a(x – y) \)

 

\( = a(x – y)(b-1) \)

 

と計算すればオッケーじゃ

 

答えには、\(  a(x – y)(b-1) \) を書けばいいわけじゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

こんなにかんたんに解けるのですか!

 

でも、どうやってこうなるのか、サッパリわかりません・・・

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

解答などをみればわかるし、カンタンそうでも、

 

中身をシッカリ理解して解けているかはどうかは、別問題なんじゃ。

 

中身を理解していないと、わかったつもりになってしまい、

 

結局のところ、応用ができなかったりもするもんじゃ。

 

ハムちゃん
ハムちゃん

シッカリ理解して、応用できるようになりたいです!

数学おじさん
数学おじさん

よろしい!

 

そのためには、1つひとつ、きちんと理解することが大切じゃ

 

いっけん遠回りに思えるかもしれんが、

 

1問をじっくり理解することは、とても大事なんじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりました!ジックリ教えてください!

「共通因数でくくる」とは?

数学おじさん
数学おじさん

では、解説をはじめようかのぉ

 

まずは、『共通因数でくくる』についてじゃ。

 

これについては、くわしく解説した記事があるんじゃ。

 

まずはそちらを読んでシッカリ理解してもらえるかのぉ

 

おーい、にゃんこくん、その記事を教えてくれるかい?

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

共通因数で、くくる」を理解するなら、こちらの記事がおすすめです↓

 

【数学】「共通因数」で「くくる」とは?なぜする必要があるの?【中学数学 因数分解】

ハムちゃん
ハムちゃん

ありがとうございます!読んでみます!

数学おじさん
数学おじさん

読んでもらって、「共通因数」や「くくる」について、

 

わかった!

 

と感じたら、以下の内容を読んでくれ。

 

もし、これらの言葉がわからないなら、

 

まずは、上の記事をシッカリ理解する方が先決じゃ。いいかな?

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりました!

数学おじさん
数学おじさん

では、今回の問題を考えてみようかのぉ

ハムちゃん
ハムちゃん

 ab(x – y) + a(y – x)  を因数分解してください、です

数学おじさん
数学おじさん

ではまず、この式について、こまかく見ていくことにしようかのぉ

 

式を分析する力をやしなってほしいんじゃ。

 

「項(こう)」とは?

数学おじさん
数学おじさん

まずは、この式の「項(こう)」を考えてみてほしい。

 

わかるかのぉ?

ハムちゃん
ハムちゃん

「項」ってのが、イマイチわからないんです・・

数学おじさん
数学おじさん

なるほど

 

お~い、にゃんこくん、

 

「項(こう)」の解説記事をおしえてあげて~

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

「項(こう)」を理解するなら、こちらの記事がおすすめです↓

 

【数学】文字を使った式の「項(こう)」と「係数(けいすう)」とは?【入門・基礎問題・ 中1・文字と式11】

 

数学おじさん
数学おじさん

項について、自信がなかったら、まずは上の記事でシッカリ理解するのじゃ。

 

項の考え方は、とても重要じゃ。

 

ぜひ理解するんじゃぞぉ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

では、話を問題に戻すかのぉ

 

問題はこれじゃったな

 

\( ab(x - y) + a(y - x) \)

 

まずは、この式の「項」を考えておったんじゃ。

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~、

 

項って、+とか-のとこで区切ってバラバラにしたそれぞれのものですよね?

 

ってことは、

 

\( ab(x - y) + a(y - x) \)

 

の+とか-のとこで分解すると、

 

\( ab(x  \)

 

\(  y) \)

 

\(  a(y  \)

 

\(  x) \)

 

の4つですか?

数学おじさん
数学おじさん

項については、正しく理解しておるようじゃな。

 

だけど、この分け方はまちがいなんじゃ。

 

まちがった原因は、項の知識ではなくて、

 

もう1つ、別のことを知らなかったからじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

え?どういうことですか!?

「項」を考えるときに、注意するポイントとは

数学おじさん
数学おじさん

たとえば、

 

3(x+2) + 5a

 

という式があったとするぞ。

 

(x+2)は、(  )に包まれておる

 

だから、「1つの文字のように扱う」という考え方があるんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、3(x+2) + 5a という式は、

 

3X + 5a

 

のような式と同じだとみなして「項」を考えるんじゃ

 

3X+5a の項はどうなるかな?

ハムちゃん
ハムちゃん

+のとこで切るので、項は 3X と 5a の2つですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

(  )は1つの文字のように考える、これがポイントじゃな

 

これをふまえて、

 

3(x+2) + 5a

 

の項を考えてごらん

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

(  )の部分は、1つの文字とみるわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ!そうすると、項は、3(x+2) と 5a の2つですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

(  )の部分は、1つの文字とみるわけじゃ

 

共通因数のみつけかた

数学おじさん
数学おじさん

では次の質問にいってみるかのぉ

 

それら2つの項に「共通因数」はあるかね?

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

因数って、かけ算でつながったとこで切って、

 

切れたそれぞれのモノのことですよね?

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

\( 3(x+2) = 3×(x+2) \) だから、

 

\( 3(x+2) \)の項の因数は、\( 3と(x+2) \) が因数ですよね?

 

\( 5a = 5 × a \) だから、

 

5a の項の因数は、5 と a が因数!

 

ということは、これら2つの項に共通する因数は・・・

 

ない?

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

この問題では、共通因数はない、ということになるんじゃ。

 

いじわるな質問だったかのぉ、すまんすまん。

 

数学おじさん
数学おじさん

ここで覚えておいてほしいポイントは、

 

(  )に包まれたところは、1文字のように考える

 

なんじゃ。

 

これをシッカリ理解しておくのじゃ。

 

では、質問のあった問題にもどってみるかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

問題はこれじゃな。

 

\( ab(x - y) + a(y - x) \)

 

まずは、この式の「項」についてじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

(  )は、1つの文字のように考えるんですよね?

 

そしたら、\( ab(x - y) + a(y - x) \) という式は、

 

\( abX + aY\)

 

のような形ですよね。

 

ということは、+のところで切って、

 

項は、abX と aY になる。

 

そうすると、元の式の項は、

 

\( ab(x - y)  \) と  \(  a(y - x) \) の2つですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

では、そららの項に、「共通因数」はあるかね?

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

\( ab(x - y)  \) は、 \( a×b×(x - y) \) なので、

 

因数は、 \( aとbと(x-y) \) の3つ。

 

\(  a(y - x) \) は、 \( a×(y-x) \) なので、

 

因数は、\( aと(y-x) \) の2つですね。

 

なので、共通因数は、「a」ですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ただしこの場合、もう1つあるんじゃよ

ハムちゃん
ハムちゃん

え?もう1つあるんですか???

共通因数をみつけるときの、注意点とは

数学おじさん
数学おじさん

\( (x – y) \) と \( (y – x) \) に注目してほしいんじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

え?どういうことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

\( (y – x) =  - (x – y) \) と変形することができるんじゃ

 

すると、

\( (x – y) \) と \( - (x – y) \) について考えると、

 

\( (x – y) \) も共通因数になるわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ!たしかにそうですね!

 

でも、 どうやって、

 

\( (y – x) =  - (x – y) \)

 

と変形したのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

その点を解説するかのぉ

 

わかる!ってあなたは、下にサーっと進んでくれればオッケーじゃ

加法の交換法則

 

数学おじさん
数学おじさん

まず、 \( y - x =  - x + y \) とも書けるじゃろ。

 

たし算やひき算は、順番を入れかえもオッケーじゃからな。

(これを「(加法の)交換法則」ともいうんじゃ)

マイナスの記号は、-1をかけることと同じ

 

数学おじさん
数学おじさん

さらに、-の部分に注目すると、

 

\(  - x + y  = (-1) × x + y \)

 

とも書けるんじゃ

 

マイナスの記号は、-1をかけることと同じなんじゃな

 

それを使っておるわけじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!でも、なんの意味があるんですか?

「数字をたす」は、「符号が反対の数字をひく」と同じ

 

数学おじさん
数学おじさん

これはもう少し変形できるんじゃ

 

\( (-1) × x + y = (-1) × x - (- y) \)

 

+y-(-y) に変えたんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、たしかにそうですね!

 

でもこれ、なんでこうなるんですか??

 

数学おじさん
数学おじさん

たとえば、

 

「3キロ増えた」というのは、

 

「-3キロ減った」というのと同じ意味になるじゃろ?

数学おじさん
数学おじさん

他にも、

 

「北に5キロ進む」というのは、

 

「南に-5キロ進む」というのと同じじゃ。

 

このように、

 

「数字をたす」ということは、

 

「符号が反対の数字をひく」ことと同じなんじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

わかるような、わからないような(笑)

 

数学おじさん
数学おじさん

だいじょうぶじゃ

 

でも、このへんをシッカリ理解するのは、入試などでも大切じゃぞ

 

お~い、にゃんこくん、解説記事を教えておくれ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

ありがとうございます!

 

数学おじさん
数学おじさん

では、話をもどすとするかのぉ

 

\( (-1) × x + y = (-1) × x - (- y) \)

 

をさらに変形していくと、

 

\(  (-1) × x - (- y) = (-1) × x - (-1) × y  \)

 

となるんじゃ。

ハムちゃん
ハムちゃん

ふくざつですね~・・

 

数学おじさん
数学おじさん

(- y) の部分だけみてごらん

 

「-」 は「 (-1)をかけ算することと同じ」を使って

 

\( (- y) =  (-1) × y  \)

 

としたわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、なるほど!

 

\(  - x + y  = (-1) × x + y \)

 

と同じことをやったんですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

「くくる」は、分配法則の逆

 

数学おじさん
数学おじさん

するとじゃな、

 

\(  (-1) × x - (-1) × y  \)

 

という式は、(-1)を共通因数にもっておるじゃろ?

 

なので、(-1)でくくることができるんじゃ

 

\(  (-1) × x - (-1) × y  \)

 

\(=  (-1) × (x - y)  \)

 

\(=  - (x - y)  \)

 

と変形できるわけじゃ

 

「くくる」というのは、分配法則の逆なんじゃな。

 

ハムちゃん
ハムちゃん

むずかしいですねぇ~

 

でも、なにをやっているかは理解できました!

 

数学おじさん
数学おじさん

なかなか頭をつかうじゃろ

 

こういう問題を良問というんじゃな

 

これで、

 

\( (y - x) =  - (x - y) \)

 

の変形はわかってもらえたかのぉ

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!

 

数学おじさん
数学おじさん

まとめておくと、

  • 加法の交換法則
  • 「ー」は、「(-1)をかける」と同じ
  • 「数字をたす」は、「符号が反対の数字をひく」と同じ
  • 「くくる」

の4つを使ったわけじゃな

ハムちゃん
ハムちゃん

これらをシッカリ理解すると、応用がききそうですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

こういうところをシッカリやることが、

 

応用できるようになるポイントなんじゃ

複雑な式の共通因数をみつける

 

数学おじさん
数学おじさん

では、因数分解の話にもどろうかのぉ

 

\( ab(x - y) + a(y - x) \) の因数分解を考えておったんじゃ

 

因数分解するために、「共通因数」を調べていたわけじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

そうでしたね!話がいろいろ出てきて混乱しそうです(笑)

 

数学おじさん
数学おじさん

それもしかたないとことじゃ

 

頭をきりかえて、共通因数の話に集中してほしいのじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!わかりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

\( ab(x - y) + a(y - x) \) の共通因数はなんだろう?

 

を考えるんじゃが、

 

さっきの変形 \( (y - x) =  - (x - y) \) を使うと、

 

\( ab(x - y) + a(y - x) \)

 

\( = ab(x - y) - a(x - y) \)

 

となるじゃろ?

 

2つ目の項のxとyの順番が変わってることと、

 

a の前の + が - に変わっておることに注意じゃ。

 

数学おじさん
数学おじさん

なので、変形した式

 

\( ab(x - y) - a(x - y) \)

 

について、共通因数を考えてみるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

\( ab(x - y) - a(x - y) \)には、

 

\( ab(x - y)  \)  と \( - a(x - y) \)  の2つの項がありますね。

 

それぞれ、「a」があるんで、共通因数は「a」ですね!

 

ハムちゃん
ハムちゃん

・・・

 

あ! もしかして \( (x - y) \)  も共通因数ですか??

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!よく気づいたのぉ

 

\( ab(x - y)  \)  の因数は、\( a \) と \( b \)  と \( (x - y)  \) 。

 

\( - a(x - y) \)  の因数は、\(  a \) と \( (x - y) \) と \( -1\) 。

 

最後の -1 を忘れないように気をつけるんじゃぞ

 

数学おじさん
数学おじさん

すると、これらの共通因数は、

 

「 \( a \)  」と「 \( (x - y) \)  」じゃから、まとめて

 

「 \( a(x - y) \)  」というわけじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!

複雑な式を、共通因数でくくる

 

数学おじさん
数学おじさん

共通因数がわかったから、

 

\( ab(x - y) - a(x - y) \)

 

を共通因数でくくってみてごらん

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

\( ab(x - y) - a(x - y) = ??? \)

 

なんかむずかしいです・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

ではヒントを出すぞ

 

それぞれの項で、共通因数以外を1つの文字のように考えるんじゃ

 

つまり、

 

\( ab(x - y)  \)の項は、共通因数「 \( a(x - y) \) 」とそれ以外のかけ算

 

『 \( a(x - y) \) ×(共通因数以外①)』

 

のように考えるんじゃ

(このときの(共通因数以外①)は、b のことじゃ)

 

 

\( a(y - x) \) も同じように考えて、

 

『 \( a(x - y) \) × (共通因数以外②) 』

 

((共通因子以外②)は -1 じゃな)

ハムちゃん
ハムちゃん

それぞれの項を、共通因数とそれ以外の部分に、わけて考えればいいんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

もとの式で考えてみよう。すると、

 

\( ab(x - y) - a(x - y) \)

 

\( =  a(x - y)  ×(共通因数以外①) +  a(x - y) × (共通因数以外②) \)

 

の形をしておるじゃろぅ

 

これは以下のように、共通因数をつかって、くくることができるわけじゃ

 

\( = a(x - y) × \{(共通因数以外①) + (共通因数以外②) \} \)

 

となるわけじゃ。

 

(共通因数以外①)と(共通因数以外②)は、

 

それぞれ、b と -1 なので、元に戻すと、

 

\( = a(x - y) × (b - 1)  \)

 

となる。

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!複雑な式でも、


共通因数以外を1つの文字のように考えればいい
んですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、まとめるかのうぉ

 

「 \( ab(x – y) + a(y – x) \)  を因数分解してください」

 

の計算としては、

 

\( ab(x – y) + a(y – x) \)

 

\( = ab(x – y) - a(x – y) \)

 

\( = a(x – y) (b-1) \)

 

とすればオッケーじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

ちなみに、今回の解説ではていねいに書いたが、

 

なれてきたら、書かずにぶつぶつ言いながら、

 

解答のように、サクッと解いてくれたらオッケーじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

ぶつぶつ言いながら解くってなんかこわいですよ笑

数学おじさん
数学おじさん

まわりに人がいないことを確認するのじゃな笑

 

というわけで、今回の解説はおわりじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

ありがとうございました!

数学おじさん
数学おじさん

どういたしまして!

復習しておくとよい内容

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

ちなみに、こちらの動画は、

 

「ー」は、(-1)をかけ算するのと同じ』に関係したものだにゃん

ハムちゃん
ハムちゃん

ありがとうございます!復習してみます!

数学おじさん
数学おじさん

ではザピエルくん、あとお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生、おつかれまでした

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

 

質問は随時うけていますので、

 

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