今回は、こんな質問をいただきました！
[mathjax]
\( ab(x – y) + a(y – x) \) を因数分解してください
最近は、因数分解関係の問題をよく聞かれるんですが、
この問題も、そのようですね。
というわけで、先生！お願いします～
ザピエルくん、ありがとう
今回は、因数分解の問題じゃのう。
ポイントは、
『共通因数（きょうつういんすう）でくくる』
になりそうじゃ。
「共通因数」とか、「くくる」とか、イマイチわからないんです！
なるほど！
それじゃあ、そのへんから理解できるように解説しようかのぉ
はい！お願いします！
というわけで、今回の記事をよむことで、
「共通因数」や「くくる」を理解でき、
これらを使った「因数分解」ができるようになるわけですね。
そのとおりじゃ！
では、はじめよう
【数学 質問解答】因数分解の難問（共通因数をくくる問題）【中学数学 中３ 因数分解】（質問ありがとうございました！）
まずは結論からまとめておこうかのぉ
「 \( ab(x – y) + a(y – x) \) を因数分解してください」
の解答としては、
\( ab(x – y) + a(y – x) \)
\( = ab(x – y) － a(x – y) \)
\( = a(x – y)(b－1) \)
と計算すればオッケーじゃ
答えには、\( a(x – y)(b－1) \) を書けばいいわけじゃな
こんなにかんたんに解けるのですか！
でも、どうやってこうなるのか、サッパリわかりません・・・
そうじゃな
解答などをみればわかるし、カンタンそうでも、
中身をシッカリ理解して解けているかはどうかは、別問題なんじゃ。
中身を理解していないと、わかったつもりになってしまい、
結局のところ、応用ができなかったりもするもんじゃ。
シッカリ理解して、応用できるようになりたいです！
よろしい！
そのためには、１つひとつ、きちんと理解することが大切じゃ
いっけん遠回りに思えるかもしれんが、
１問をじっくり理解することは、とても大事なんじゃ
わかりました！ジックリ教えてください！
「共通因数でくくる」とは？
では、解説をはじめようかのぉ
まずは、『共通因数でくくる』についてじゃ。
これについては、くわしく解説した記事があるんじゃ。
まずはそちらを読んでシッカリ理解してもらえるかのぉ
おーい、にゃんこくん、その記事を教えてくれるかい？
ありがとうございます！読んでみます！
読んでもらって、「共通因数」や「くくる」について、
わかった！
と感じたら、以下の内容を読んでくれ。
もし、これらの言葉がわからないなら、
まずは、上の記事をシッカリ理解する方が先決じゃ。いいかな？
わかりました！
では、今回の問題を考えてみようかのぉ
ab(x – y) + a(y – x) を因数分解してください、です
ではまず、この式について、こまかく見ていくことにしようかのぉ
式を分析する力をやしなってほしいんじゃ。
「項（こう）」とは？
まずは、この式の「項（こう）」を考えてみてほしい。
わかるかのぉ？
「項」ってのが、イマイチわからないんです・・
なるほど
お～い、にゃんこくん、
「項（こう）」の解説記事をおしえてあげて～
項について、自信がなかったら、まずは上の記事でシッカリ理解するのじゃ。
項の考え方は、とても重要じゃ。
ぜひ理解するんじゃぞぉ
では、話を問題に戻すかのぉ
問題はこれじゃったな
\( ab(x － y) + a(y － x) \)
まずは、この式の「項」を考えておったんじゃ。
えっと～、
項って、＋とか－のとこで区切ってバラバラにしたそれぞれのものですよね？
ってことは、
\( ab(x － y) + a(y － x) \)
の＋とか－のとこで分解すると、
\( ab(x \)
\( y) \)
\( a(y \)
\( x) \)
の４つですか？
項については、正しく理解しておるようじゃな。
だけど、この分け方はまちがいなんじゃ。
まちがった原因は、項の知識ではなくて、
もう１つ、別のことを知らなかったからじゃ
え？どういうことですか！？
「項」を考えるときに、注意するポイントとは
たとえば、
3(x+2) ＋ ５a
という式があったとするぞ。
（ｘ＋２）は、（ ）に包まれておる
だから、「１つの文字のように扱う」という考え方があるんじゃ
つまり、3(x+2) ＋ ５a という式は、
3X + 5a
のような式と同じだとみなして「項」を考えるんじゃ
３X＋5a の項はどうなるかな？
＋のとこで切るので、項は 3X と 5a の２つですか？
そのとおりじゃ
（ ）は１つの文字のように考える、これがポイントじゃな
これをふまえて、
3(x+2) ＋ ５a
の項を考えてごらん
そのとおりじゃ！
（ ）の部分は、１つの文字とみるわけじゃ
あ！そうすると、項は、3(x+2) と 5a の２つですね！
そのとおりじゃ！
（ ）の部分は、１つの文字とみるわけじゃ
共通因数のみつけかた
では次の質問にいってみるかのぉ
それら２つの項に「共通因数」はあるかね？
えっと～
因数って、かけ算でつながったとこで切って、
切れたそれぞれのモノのことですよね？
そのとおりじゃ
\( 3(x+2) = ３×(x+2) \) だから、
\( 3(x+2) \)の項の因数は、\( ３と(x+2) \) が因数ですよね？
\( 5a = 5 × a \) だから、
5a の項の因数は、５ と a が因数！
ということは、これら２つの項に共通する因数は・・・
ない？
でいいんですか？
そのとおりじゃ
この問題では、共通因数はない、ということになるんじゃ。
いじわるな質問だったかのぉ、すまんすまん。
ここで覚えておいてほしいポイントは、
「（ ）に包まれたところは、１文字のように考える」
なんじゃ。
これをシッカリ理解しておくのじゃ。
では、質問のあった問題にもどってみるかのぉ
問題はこれじゃな。
\( ab(x － y) + a(y － x) \)
まずは、この式の「項」についてじゃ
えっと～
（ ）は、１つの文字のように考えるんですよね？
そしたら、\( ab(x － y) + a(y － x) \) という式は、
\( abX + aY\)
のような形ですよね。
ということは、＋のところで切って、
項は、abX と aY になる。
そうすると、元の式の項は、
\( ab(x － y) \) と \( a(y － x) \) の２つですか？
大正解じゃ！
では、そららの項に、「共通因数」はあるかね？
えっと～
\( ab(x － y) \) は、 \( a×ｂ×(x － y) \) なので、
因数は、 \( aとbと(x－y) \) の３つ。
\( a(y － x) \) は、 \( a×(y－x) \) なので、
因数は、\( aと(ｙ－x) \) の２つですね。
なので、共通因数は、「a」ですね！
そのとおりじゃ
ただしこの場合、もう１つあるんじゃよ
え？もう１つあるんですか？？？
共通因数をみつけるときの、注意点とは
\( (x – y) \) と \( (y – x) \) に注目してほしいんじゃ
え？どういうことですか？
\( (y – x) = － (x – y) \) と変形することができるんじゃ
すると、
\( (x – y) \) と \( － (x – y) \) について考えると、
\( (x – y) \) も共通因数になるわけじゃ
あ！たしかにそうですね！
でも、 どうやって、
\( (y – x) = － (x – y) \)
と変形したのですか？
その点を解説するかのぉ
わかる！ってあなたは、下にサーっと進んでくれればオッケーじゃ
加法の交換法則
まず、 \( y － x = － x + y \) とも書けるじゃろ。
たし算やひき算は、順番を入れかえもオッケーじゃからな。
（これを「（加法の）交換法則」ともいうんじゃ）
マイナスの記号は、－１をかけることと同じ
さらに、－の部分に注目すると、
\( － x + y = (－1) × x + y \)
とも書けるんじゃ
マイナスの記号は、－１をかけることと同じなんじゃな
それを使っておるわけじゃ
なるほどです！でも、なんの意味があるんですか？
「数字をたす」は、「符号が反対の数字をひく」と同じ
これはもう少し変形できるんじゃ
\( (－1) × x + y = (－1) × x － (－ y) \)
+y を －(－y) に変えたんじゃ
あ、たしかにそうですね！
でもこれ、なんでこうなるんですか？？
たとえば、
「３キロ増えた」というのは、
「－３キロ減った」というのと同じ意味になるじゃろ？
他にも、
「北に５キロ進む」というのは、
「南に－５キロ進む」というのと同じじゃ。
このように、
「数字をたす」ということは、
「符号が反対の数字をひく」ことと同じなんじゃ
わかるような、わからないような（笑）
だいじょうぶじゃ
でも、このへんをシッカリ理解するのは、入試などでも大切じゃぞ
お～い、にゃんこくん、解説記事を教えておくれ
ありがとうございます！
では、話をもどすとするかのぉ
\( (－1) × x + y = (－1) × x － (－ y) \)
をさらに変形していくと、
\( (－1) × x － (－ y) = (－1) × x － (－1) × y \)
となるんじゃ。
ふくざつですね～・・
(－ y) の部分だけみてごらん
「－」 は「 (－1)をかけ算することと同じ」を使って
\( (－ y) = (－1) × y \)
としたわけじゃ
あ、なるほど！
\( － x + y = (－1) × x + y \)
と同じことをやったんですね！
そのとおりじゃ
「くくる」は、分配法則の逆
するとじゃな、
\( (－1) × x － (－1) × y \)
という式は、(－1)を共通因数にもっておるじゃろ？
なので、(－1)でくくることができるんじゃ
\( (－1) × x － (－1) × y \)
\(= (－1) × (x － y) \)
\(= － (x － y) \)
と変形できるわけじゃ
「くくる」というのは、分配法則の逆なんじゃな。
むずかしいですねぇ～
でも、なにをやっているかは理解できました！
なかなか頭をつかうじゃろ
こういう問題を良問というんじゃな
これで、
\( (y － x) = － (x － y) \)
の変形はわかってもらえたかのぉ
はい！
まとめておくと、
- 加法の交換法則
- 「ー」は、「(－1)をかける」と同じ
- 「数字をたす」は、「符号が反対の数字をひく」と同じ
- 「くくる」
の４つを使ったわけじゃな
これらをシッカリ理解すると、応用がききそうですね！
そのとおりじゃ
こういうところをシッカリやることが、
応用できるようになるポイントなんじゃ
複雑な式の共通因数をみつける
では、因数分解の話にもどろうかのぉ
\( ab(x － y) + a(y － x) \) の因数分解を考えておったんじゃ
因数分解するために、「共通因数」を調べていたわけじゃ
そうでしたね！話がいろいろ出てきて混乱しそうです（笑）
それもしかたないとことじゃ
頭をきりかえて、共通因数の話に集中してほしいのじゃ
はい！わかりました！
\( ab(x － y) + a(y － x) \) の共通因数はなんだろう？
を考えるんじゃが、
さっきの変形 \( (y － x) = － (x － y) \) を使うと、
\( ab(x － y) + a(y － x) \)
\( = ab(x － y) － a(x － y) \)
となるじゃろ？
２つ目の項のｘとｙの順番が変わってることと、
a の前の ＋ が － に変わっておることに注意じゃ。
なので、変形した式
\( ab(x － y) － a(x － y) \)
について、共通因数を考えてみるんじゃ
えっと～
\( ab(x － y) － a(x － y) \)には、
\( ab(x － y) \) と \( － a(x － y) \) の２つの項がありますね。
それぞれ、「a」があるんで、共通因数は「a」ですね！
・・・
あ！ もしかして \( (x － y) \) も共通因数ですか？？
そのとおりじゃ！よく気づいたのぉ
\( ab(x － y) \) の因数は、\( a \) と \( b \) と \( (x － y) \) 。
\( － a(x － y) \) の因数は、\( a \) と \( (x － y) \) と \( －１\) 。
最後の －1 を忘れないように気をつけるんじゃぞ
すると、これらの共通因数は、
「 \( a \) 」と「 \( (x － y) \) 」じゃから、まとめて
「 \( a(x － y) \) 」というわけじゃ
なるほど！
複雑な式を、共通因数でくくる
共通因数がわかったから、
\( ab(x － y) － a(x － y) \)
を共通因数でくくってみてごらん
えっと～
\( ab(x － y) － a(x － y) = ？？？ \)
なんかむずかしいです・・・
ではヒントを出すぞ
それぞれの項で、共通因数以外を１つの文字のように考えるんじゃ
つまり、
\( ab(x － y) \)の項は、共通因数「 \( a(x － y) \) 」とそれ以外のかけ算
『 \( a(x － y) \) ×（共通因数以外①）』
のように考えるんじゃ
（このときの（共通因数以外①）は、b のことじゃ）
\( a(y － x) \) も同じように考えて、
『 \( a(x － y) \) × （共通因数以外②) 』
(（共通因子以外②）は －1 じゃな)
それぞれの項を、共通因数とそれ以外の部分に、わけて考えればいいんですね！
そのとおりじゃ
もとの式で考えてみよう。すると、
\( ab(x － y) － a(x － y) \)
\( ＝ a(x － y) ×（共通因数以外①） + a(x － y) × （共通因数以外②) \)
の形をしておるじゃろぅ
これは以下のように、共通因数をつかって、くくることができるわけじゃ
\( ＝ a(x － y) × \{（共通因数以外①） + （共通因数以外②) \} \)
となるわけじゃ。
（共通因数以外①）と（共通因数以外②)は、
それぞれ、b と －１ なので、元に戻すと、
\( ＝ a(x － y) × (b － 1) \)
となる。
なるほど！複雑な式でも、
共通因数以外を１つの文字のように考えればいいんですね！
そのとおりじゃ
では、まとめるかのうぉ
「 \( ab(x – y) + a(y – x) \) を因数分解してください」
の計算としては、
\( ab(x – y) + a(y – x) \)
\( = ab(x – y) － a(x – y) \)
\( = a(x – y) (b－1) \)
とすればオッケーじゃ
ちなみに、今回の解説ではていねいに書いたが、
なれてきたら、書かずにぶつぶつ言いながら、
解答のように、サクッと解いてくれたらオッケーじゃ
ぶつぶつ言いながら解くってなんかこわいですよ笑
まわりに人がいないことを確認するのじゃな笑
というわけで、今回の解説はおわりじゃ
ありがとうございました！
どういたしまして！
復習しておくとよい内容
今回の復習は、以下の記事がおすすめにゃん
「共通因数で、くくる」を理解する
『【数学】「共通因数」で「くくる」とは？なぜする必要があるの？【中学数学 因数分解】』
「項（こう）」を理解するなら、こちらの記事がおすすめです↓
『【数学】文字を使った式の「項（こう）」と「係数（けいすう）」とは？【入門・基礎問題・ 中１・文字と式11】』
「たす＝反対の符号をひく」を理解するならこちら↓
『【数学】「正の数・負の数」の基礎を学びたいあなたにチェックしてほしい内容と動画、４つはこちらです【入門・基礎問題・ 中１・正負の数1】』
ちなみに、こちらの動画は、
『「ー」は、（－１）をかけ算するのと同じ』に関係したものだにゃん
ありがとうございます！復習してみます！
ではザピエルくん、あとお願い！
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
- 励ましてほしい
- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
一緒に勉強する（丸つけや解説する）ことをやりながら、
あなたの勉強をサポートするという仕組みです。
- やる気を継続したい
- 成績をアップさせたい
- 楽しく勉強したい
といったあなたに特にオススメです。
できるだけ楽しみながら勉強できるように工夫しています。
ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓
「【中学生 高校生 社会人】勉強のペースメーカーはいかがでしょう【受験 入試 資格試験】」
不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
「中学数学」を学んだりやり直しならこちらの本がおすすめだにゃん
『【数学】中学数学を独学したい、やり直したいあなたにおすすめの参考書や問題集はこちらです【中学数学 高校数学 数学検定】』
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