【数学】「共通因数」で「くくる」とは?なぜする必要があるの?【中学数学 因数分解】

共通因数でくくるとは 数学おじさん 数学(中学校)
共通因数でくくるとは 数学おじさん
数学宣教師 ザピエル
数学宣教師 ザピエル

今回は、こんなテーマで教えてもらいたいと思います!

質問うさぎ
質問うさぎ
「共通因数(きょうつういんすう)でくくる」ってなんですか?
数学宣教師 ザピエル
数学宣教師 ザピエル

なるほど!因数分解などでも重要な考え方ですね。

 

先生~お願いします!

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう。

 

今回のポイントは、

 

共通因数(きょうつういんすう)でくくる

 

じゃな。

 

質問うさぎ
質問うさぎ

共通因数? くくる?

 

ぜんぜんわからないんですよ~

 

数学おじさん
数学おじさん

だいじょうぶじゃ

 

1つひとつ、基本から説明していこうかのぉ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!お願いします!

数学宣教師 ザピエル
数学宣教師 ザピエル

というわけで、今回の記事を読めば、

 

「共通因数でくくる」

 

ができるようになるわけですね!

 

【数学】因数分解(共通因数でくくる問題)【中学数学 因数分解】(質問ありがとうございます!)

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、言葉の説明からしておこうかのぉ

 

共通因数とは?因数とは?

 

数学おじさん
数学おじさん

共通因数の、

 

共通」は、2つ以上のものの、どれにもあること

 

因数」は、かけ算の形であらわされたもの

 

といった意味じゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほど!

 

かけ算の形にあらわされたものって、いろいろありませんか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

数字のかけ算や、数字と文字式、文字式と文字式のかけ算などのタイプがあるよ

 

たとえば、6=2×3、というのは、

 

6を2と3のかけ算で表しておる。

 

このとき、2と3は因数というんじゃ

 

これは、数字のかけ算のタイプの話じゃな

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほど!

 

じゃあ、文字式のときはどうなるんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

文字式のときも考え方は同じじゃ

 

5a という式は、5 × a のことだから、

 

5a という式の因数は、5 と a になるわけじゃ

[mathjax]

 

質問うさぎ
質問うさぎ

かけ算のところで切って考えればいいんですね!

 

もっと複雑な式もありますよね?

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな、文字式と文字式のかけ算のタイプがあるよ。

 

たとえば、\( (x + 2)(x – 3) \) のような式じゃ。

 

これは、\( (x + 2) \) と \( (x – 3) \) のかけ算と考えるんじゃ。

 

つまり、\( (x + 2) × (x – 3) \) とみるわけじゃな。

 

すると、\( (x + 2) × (x – 3) \) という文字式のかけ算の式の因数は、

 

\( (x + 2) \) と \( (x – 3) \) というわけじゃな。

質問うさぎ
質問うさぎ

これも、かけ算でつながったところで切って、考えるんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

このように、数字や文字式のかけ算で、見た目はかわるんじゃが、

 

考え方はどれも同じというわけじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

かけ算の部分で切って、それぞれを因数といえばいい!

 

ってことですよね!

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

これで「因数」や「共通因数」の言葉の意味はわかったかのぉ

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!

 

次は、「くくる」って言葉の意味をおしえてください!

 

「くくる」とは?

数学おじさん
数学おじさん

くくる」というのは、言葉でいうと、

 

共通なものをみつけて1つにまとめる

 

という意味じゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ん?よくわからないです・・

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな、例を出してみよう。

 

たとえば、 \( 5a + 3a \) という式を考えてみる。

 

「項(こう)」の考え方は覚えておるかな?

 

項というのは、+ や - でつながっているところで切ったときにできる、

それぞれの数字や式のことじゃ

 

\( 5a + 3a \) の項は、 \( 5a \) と \( 3a \) になるわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

+のところで切ると、 \( 5a \) と \( 3a \) ができますね。

 

そのそれぞれを項と言えばいいんですね!

 

なんとなく~わかるような、わからないようなぁ~笑

 

数学おじさん
数学おじさん

「項」の考え方はとっても大事じゃぞ。

 

わからないなら、きちんと復習しておくのじゃ。

 

お~い、にゃんこくん、項のとこの解説記事を紹介してくれ~

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

」については、こちらの記事をどうぞにゃん

 

【数学】「項(こう)」と「係数(けいすう)」とは?【入門・基礎問題・ 中1・文字と式11】

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ありがとう!みてみるね!

数学にゃんこ
数学にゃんこ

どういたしましてだにゃん

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう

 

じゃあ、話を「くくる」にもどすぞ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!

数学おじさん
数学おじさん

\( 5a + 3a \) の項は、 \( 5a \) と \( 3a \) だったわけじゃ。

 

また、 \( 5a \) は \( 5 × a \) と \( 3a \) と \( 3 × a \) のように、

 

かけ算が省略されておる。

 

ではここで問題じゃ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

\( 5 × a \) と \( 3 × a \) の「共通因数」はなんでしょう?

 

質問うさぎ
質問うさぎ

えっと、 \( 5 × a \) にも \( 3 × a \) にも、文字 a という因数がありますね。

 

ということは、共通因数は、a ですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

すばらしい!大正解じゃ

 

\( 5 × a \) の因数は 5 と a

 

\( 3 × a \) の因数は 3 と a

 

どちらにも共通する因数、

 

つまり「共通因数」は、a というわけじゃな

質問うさぎ
質問うさぎ

できてうれしいです!

 

数学おじさん
数学おじさん

「共通因数のさがし方」をまとめておこうかのぉ

 

①、式を「項」にわける

 

②、それぞれの項の「因数」を調べる

 

③、すべての項に共通する因数をみつける

 

この3ステップでみつかるんじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

共通因数をさがせるようになるには、

 

」や「因数」の意味も知っておかないといけませんね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

数学というと、計算を思い浮かべるかもしれんが、

 

言葉の意味を知っておくことも、とっても大事なんじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

そうですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

よし、話を「くくる」にもどすとするかのぉ。

 

いま、\( 5 × a \) と \( 3 × a \) の「共通因数」は a とわかったんじゃ。

 

元々の式は、\( 5a + 3a \)  じゃったな。

 

この式を、「共通因数でくくる」という操作をすると、以下のようになるんじゃ。

 

\( 5a + 3a =  (5 + 3) × a \)

質問うさぎ
質問うさぎ

ん?なぜ、こうなるのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

理由を解説しようかのぉ

 

まず、

 

\( 5a + 3a = 5 × a + 3 × a \)

 

のように、かけ算が省略されているわけじゃ。

 

ここまではよいじゃろぅ。

 

このとき、「分配法則」を思い出してほしいんじゃ。

 

数学おじさん
数学おじさん

分配法則とは、

 

( A + B ) × C = A × C + B × C

 

のような計算規則じゃ。

 

なぜ、分配法則が成り立つかについては、

 

解説した記事があるから、そちらをみてほしい

 

おーい、にゃんこくん、よろしく!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

上の記事を読んでもらえばわかるように、

 

分配法則の式

 

( A + B ) × C = A × C + B × C

 

が成り立つわけじゃが、

 

これは、=(イコール)をもった「等式(とうしき)」じゃ。

 

だから、左辺と右辺を入れかえてもいい

 

すると、こうなるじゃろ

 

A × C + B × C  =  ( A + B ) × C

 

数学おじさん
数学おじさん

これを、上でくくった式と比べてみよう

 

5 × a + 3 × a =  ( 5 + 3 ) × a

 

かけ算、たし算、( )などが、どれも同じになっておるじゃろ、

 

つまり、分配法則の式と同じ形なんじゃ。

(ちがうのは数字と文字だけじゃな)

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ほんとだ!

 

分配法則の式の A を5に、B を3に、C を a に変えると、

 

同じ式になりますね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

つまり、


「共通因数でくくる」とは、「分配法則の逆」を計算している

といえるわけじゃ。

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

じゃあ、共通因数でくくることを身につけたかったら、

 

分配法則をしっかり理解すればいいってことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

「分配法則を理解」していれば、

 

「共通因数でくくる」というのも理解しやすいんじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

ちなみにじゃが、今回の例は、もう少し計算ができる

 

5 × a + 3 × a

 

=  ( 5 + 3 ) × a

 

=  8 × a

 

=  8a

 

となるんじゃ。

 

この計算、どこかで見覚えないかのぅ?

 

質問うさぎ
質問うさぎ

同類項(どうるいこう)の計算ですか!?

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

学校の授業では、

 

同類項の計算はこうします~

 

とやり方を習ったからできる、という学生さんは多いかもしれん。

 

でも、今回の記事を読めば、

 

同類項の計算は、共通因数でくくっていただけ、ということがわかるじゃろう。

 

共通因数でくくるのが苦手という学生さんも、

 

同類項の計算はたいていできるもんじゃ。

 

頭の中ではしらずしらずに使っておるのに、

 

苦手だと思ってしまうことで、できなくなってしまうこともあるんじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

もったいないですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

ほんとにもったいないことじゃ。

 

数学の能力はあるのに、活かしきれない生徒さんはたくさんいるんじゃ。

 

数学の能力を高めるには、いろいろな方法があるのじゃが、

今回は、

 

数学は、式の意味を理解すれば、シンプルに理解できる

 

を覚えておいてほしいんじゃ

 

これを意識すると、数学への考え方も変わってくるはずなんじゃ。

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ほんとですね!

 

でも、どうやったら、式の意味を理解できるんですか??

 

数学おじさん
数学おじさん

それには秘訣があるんじゃ。

 

その秘訣とは、つねに、

 

「なぜそうなるの?」

 

と考えることじゃ。

 

新しいことを習っても、それは知ってることから出てくるんじゃ。

 

知ってることから、新しいことが、

 

どうやって出てきたかを知ることで、

 

新しいことの意味を理解することにつながるんじゃ。

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほど!

 

つねに、「なぜ?」と考えるといいんですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

わかりました!

 

じゃあさっそくですが(笑)

 

なぜ、共通因数でくくったりするんですか?

 

そんな必要ないと思うんですよね、めんどくさいし・・・笑

 

数学おじさん
数学おじさん

ははは、その調子で「なぜ?」をつかうんじゃ。

 

共通因数でくくることは、重要なんじゃ。

 

じゃあ、それを理解してもらうために、

 

共通因数でくくることの意味や理由を解説しようかのぅ

質問うさぎ
質問うさぎ

お願いします!

なぜ、共通因数でくくるの?その意味や理由とは?

 

数学おじさん
数学おじさん

\( 5a + 3a =  ( 5 + 3 ) × a \) を例にして解説しようかのぉ

 

この式の左辺  5a + 3a   は、たし算でつながっておるわけじゃ。

 

これを「共通因数でくくる」と、

 

\(   ( 5 + 3 ) × a \)

 

となり、(共通因数以外)×(共通因数)のように、


かけ算のつながり
に変わっておるわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ん?

 

でも先生、(  ) の中は、 5 + 3 でたし算でつながっているんじゃないですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

いっけんすると、そうじゃな。

 

しかし、こういう考え方をするんじゃ。

(  )を使った時には、その中は考えずに、

 

(  )を1つの数字や文字のように考える

ことがあるんじゃ。

 

つまり、\( ( 5 + 3 ) × a \)  は、

 

「(なにか) × a 」というように見るわけじゃ

 

だから、かけ算でつながっている、と考えてもいいわけじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

そういうもんなんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

くわしく話すと長くなるから、話をもとにもどすことにしようかのぉ

 

なぜ、共通因数でくくったりするのか?についてじゃ。

 

数学おじさん
数学おじさん

\( 5a + 3a =  ( 5 + 3 ) × a \)

 

共通因数でくくることによって、

たし算」のつながりから、かけ算」のつながりに変わったわけじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

なぜ、かけ算のつながりにするんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そこがポイントなんじゃ。

 

以前、同じことを解説した記事があるんじゃ。

 

なんでそこをみてもらえるかのぉ

 

お~い、にゃんこくん、たのむ!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

ひとことでいうと、

 

かけ算にかえることで、「考えをシンプルにできる」んじゃ

 

くわしくは上の記事を読んでほしい

 

質問うさぎ
質問うさぎ

そうなんですね!

 

上の記事を読んでみます!

 

これで「共通因数でくくる」を理解できそうです!

 

数学おじさん
数学おじさん

それはよかった!

 

理解できたら、あとは練習問題をやってみることじゃ。

 

基本問題から、1つひとつやっていけばだいじょうぶじゃ!

 

質問うさぎ
質問うさぎ

わかりました!

 

ありがとうございました!!

 

数学おじさん
数学おじさん

いえいえ、どういたしまして

 

今日はこれくらいにしておくかのぉ

 

お~い、ザピエルくん、あとお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

はーい、先生。

 

今日もお疲れさまでした。

 

「共通因数でくくる」って、因数分解の一種なんですね。

数学おじさん
数学おじさん

さすが、数学宣教師じゃな

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

いえいえ(照

 

因数分解とは、

 

たし算やひき算でつながった式を、かけ算でつながった式に変えること

 

と先生がおっしゃってたので。

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

共通因数でくくることと、因数分解は、

 

発想の根本は同じということじゃな。

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

なるほど!

 

おもしろいですね

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

というわけで、

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

 

質問は随時うけていますので、

 

 

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