
今回は、こんなテーマで教えてもらいたいと思います!


なるほど!因数分解などでも重要な考え方ですね。
先生~お願いします!

ザピエルくん、ありがとう。
今回のポイントは、
「共通因数(きょうつういんすう)でくくる」
じゃな。

共通因数? くくる?
ぜんぜんわからないんですよ~

だいじょうぶじゃ
1つひとつ、基本から説明していこうかのぉ

はい!お願いします!

というわけで、今回の記事を読めば、
「共通因数でくくる」
ができるようになるわけですね!
【数学】因数分解(共通因数でくくる問題)【中学数学 因数分解】(質問ありがとうございます!)

まずは、言葉の説明からしておこうかのぉ
共通因数とは?因数とは?

共通因数の、
「共通」は、2つ以上のものの、どれにもあること
「因数」は、かけ算の形であらわされたもの
といった意味じゃ

なるほど!
かけ算の形にあらわされたものって、いろいろありませんか?

そのとおりじゃ
数字のかけ算や、数字と文字式、文字式と文字式のかけ算などのタイプがあるよ
たとえば、6=2×3、というのは、
6を2と3のかけ算で表しておる。
このとき、2と3は因数というんじゃ
これは、数字のかけ算のタイプの話じゃな

なるほど!
じゃあ、文字式のときはどうなるんですか?

文字式のときも考え方は同じじゃ
5a という式は、5 × a のことだから、
5a という式の因数は、5 と a になるわけじゃ
[mathjax]

かけ算のところで切って考えればいいんですね!
もっと複雑な式もありますよね?

そうじゃな、文字式と文字式のかけ算のタイプがあるよ。
たとえば、\( (x + 2)(x – 3) \) のような式じゃ。
これは、\( (x + 2) \) と \( (x – 3) \) のかけ算と考えるんじゃ。
つまり、\( (x + 2) × (x – 3) \) とみるわけじゃな。
すると、\( (x + 2) × (x – 3) \) という文字式のかけ算の式の因数は、
\( (x + 2) \) と \( (x – 3) \) というわけじゃな。

これも、かけ算でつながったところで切って、考えるんですね!

そのとおりじゃ
このように、数字や文字式のかけ算で、見た目はかわるんじゃが、
考え方はどれも同じというわけじゃ

かけ算の部分で切って、それぞれを因数といえばいい!
ってことですよね!

大正解じゃ
これで「因数」や「共通因数」の言葉の意味はわかったかのぉ

はい!
次は、「くくる」って言葉の意味をおしえてください!
「くくる」とは?

「くくる」というのは、言葉でいうと、
共通なものをみつけて1つにまとめる
という意味じゃ

ん?よくわからないです・・

そうじゃな、例を出してみよう。
たとえば、 \( 5a + 3a \) という式を考えてみる。
「項(こう)」の考え方は覚えておるかな?
項というのは、+ や - でつながっているところで切ったときにできる、
それぞれの数字や式のことじゃ
\( 5a + 3a \) の項は、 \( 5a \) と \( 3a \) になるわけじゃ

+のところで切ると、 \( 5a \) と \( 3a \) ができますね。
そのそれぞれを項と言えばいいんですね!
なんとなく~わかるような、わからないようなぁ~笑

「項」の考え方はとっても大事じゃぞ。
わからないなら、きちんと復習しておくのじゃ。
お~い、にゃんこくん、項のとこの解説記事を紹介してくれ~

ありがとう!みてみるね!

どういたしましてだにゃん

にゃんこくん、ありがとう
じゃあ、話を「くくる」にもどすぞ

はい!

\( 5a + 3a \) の項は、 \( 5a \) と \( 3a \) だったわけじゃ。
また、 \( 5a \) は \( 5 × a \) と \( 3a \) と \( 3 × a \) のように、
かけ算が省略されておる。
ではここで問題じゃ

\( 5 × a \) と \( 3 × a \) の「共通因数」はなんでしょう?

えっと、 \( 5 × a \) にも \( 3 × a \) にも、文字 a という因数がありますね。
ということは、共通因数は、a ですか?

すばらしい!大正解じゃ
\( 5 × a \) の因数は 5 と a
\( 3 × a \) の因数は 3 と a
どちらにも共通する因数、
つまり「共通因数」は、a というわけじゃな

できてうれしいです!

「共通因数のさがし方」をまとめておこうかのぉ
①、式を「項」にわける
②、それぞれの項の「因数」を調べる
③、すべての項に共通する因数をみつける
この3ステップでみつかるんじゃ

なるほどです!
共通因数をさがせるようになるには、
「項」や「因数」の意味も知っておかないといけませんね

そのとおりじゃ
数学というと、計算を思い浮かべるかもしれんが、
言葉の意味を知っておくことも、とっても大事なんじゃ

そうですね!

よし、話を「くくる」にもどすとするかのぉ。
いま、\( 5 × a \) と \( 3 × a \) の「共通因数」は a とわかったんじゃ。
元々の式は、\( 5a + 3a \) じゃったな。
この式を、「共通因数でくくる」という操作をすると、以下のようになるんじゃ。
\( 5a + 3a = (5 + 3) × a \)

ん?なぜ、こうなるのですか?

理由を解説しようかのぉ
まず、
\( 5a + 3a = 5 × a + 3 × a \)
のように、かけ算が省略されているわけじゃ。
ここまではよいじゃろぅ。
このとき、「分配法則」を思い出してほしいんじゃ。

分配法則とは、
( A + B ) × C = A × C +B × C
のような計算規則じゃ。
なぜ、分配法則が成り立つかについては、
解説した記事があるから、そちらをみてほしい
おーい、にゃんこくん、よろしく!


上の記事を読んでもらえばわかるように、
分配法則の式
( A + B ) × C = A × C + B × C
が成り立つわけじゃが、
これは、=(イコール)をもった「等式(とうしき)」じゃ。
だから、左辺と右辺を入れかえてもいい。
すると、こうなるじゃろ
A × C + B × C = ( A + B ) × C

これを、上でくくった式と比べてみよう
5 × a + 3 × a = ( 5 + 3 ) × a
かけ算、たし算、( )などが、どれも同じになっておるじゃろ、
つまり、分配法則の式と同じ形なんじゃ。
(ちがうのは数字と文字だけじゃな)

ほんとだ!
分配法則の式の A を5に、B を3に、C を a に変えると、
同じ式になりますね!

そのとおりじゃ
つまり、
「共通因数でくくる」とは、「分配法則の逆」を計算している
といえるわけじゃ。

なるほどです!
じゃあ、共通因数でくくることを身につけたかったら、
分配法則をしっかり理解すればいいってことですか?

そのとおりじゃ
「分配法則を理解」していれば、
「共通因数でくくる」というのも理解しやすいんじゃ

なるほどです!

ちなみにじゃが、今回の例は、もう少し計算ができる
5 × a + 3 × a
= ( 5 + 3 ) × a
= 8 × a
= 8a
となるんじゃ。
この計算、どこかで見覚えないかのぅ?

同類項(どうるいこう)の計算ですか!?

大正解じゃ
学校の授業では、
同類項の計算はこうします~
とやり方を習ったからできる、という学生さんは多いかもしれん。
でも、今回の記事を読めば、
同類項の計算は、共通因数でくくっていただけ、ということがわかるじゃろう。
共通因数でくくるのが苦手という学生さんも、
同類項の計算はたいていできるもんじゃ。
頭の中ではしらずしらずに使っておるのに、
苦手だと思ってしまうことで、できなくなってしまうこともあるんじゃ

もったいないですね!

ほんとにもったいないことじゃ。
数学の能力はあるのに、活かしきれない生徒さんはたくさんいるんじゃ。
数学の能力を高めるには、いろいろな方法があるのじゃが、
今回は、
数学は、式の意味を理解すれば、シンプルに理解できる
を覚えておいてほしいんじゃ
これを意識すると、数学への考え方も変わってくるはずなんじゃ。

ほんとですね!
でも、どうやったら、式の意味を理解できるんですか??

それには秘訣があるんじゃ。
その秘訣とは、つねに、
「なぜそうなるの?」
と考えることじゃ。
新しいことを習っても、それは知ってることから出てくるんじゃ。
知ってることから、新しいことが、
どうやって出てきたかを知ることで、
新しいことの意味を理解することにつながるんじゃ。

なるほど!
つねに、「なぜ?」と考えるといいんですね!

そのとおりじゃ

わかりました!
じゃあさっそくですが(笑)
なぜ、共通因数でくくったりするんですか?
そんな必要ないと思うんですよね、めんどくさいし・・・笑

ははは、その調子で「なぜ?」をつかうんじゃ。
共通因数でくくることは、重要なんじゃ。
じゃあ、それを理解してもらうために、
共通因数でくくることの意味や理由を解説しようかのぅ

お願いします!
なぜ、共通因数でくくるの?その意味や理由とは?

\( 5a + 3a = ( 5 + 3 ) × a \) を例にして解説しようかのぉ
この式の左辺 5a + 3a は、たし算でつながっておるわけじゃ。
これを「共通因数でくくる」と、
\( ( 5 + 3 ) × a \)
となり、(共通因数以外)×(共通因数)のように、
かけ算のつながりに変わっておるわけじゃ

ん?
でも先生、( ) の中は、 5 + 3 でたし算でつながっているんじゃないですか?

いっけんすると、そうじゃな。
しかし、こういう考え方をするんじゃ。
( )を使った時には、その中は考えずに、
( )を1つの数字や文字のように考える
ことがあるんじゃ。
つまり、\( ( 5 + 3 ) × a \) は、
「(なにか) × a 」というように見るわけじゃ
だから、かけ算でつながっている、と考えてもいいわけじゃ

そういうもんなんですね!

くわしく話すと長くなるから、話をもとにもどすことにしようかのぉ
なぜ、共通因数でくくったりするのか?についてじゃ。

\( 5a + 3a = ( 5 + 3 ) × a \)
共通因数でくくることによって、
「たし算」のつながりから、「かけ算」のつながりに変わったわけじゃ

なぜ、かけ算のつながりにするんですか?

そこがポイントなんじゃ。
以前、同じことを解説した記事があるんじゃ。
なんでそこをみてもらえるかのぉ
お~い、にゃんこくん、たのむ!


ひとことでいうと、
かけ算にかえることで、「考えをシンプルにできる」んじゃ
くわしくは上の記事を読んでほしい

そうなんですね!
上の記事を読んでみます!
これで「共通因数でくくる」を理解できそうです!

それはよかった!
理解できたら、あとは練習問題をやってみることじゃ。
基本問題から、1つひとつやっていけばだいじょうぶじゃ!

わかりました!
ありがとうございました!!

いえいえ、どういたしまして
今日はこれくらいにしておくかのぉ
お~い、ザピエルくん、あとお願い!

はーい、先生。
今日もお疲れさまでした。
「共通因数でくくる」って、因数分解の一種なんですね。

さすが、秘書じゃな

いえいえ(照
因数分解とは、
たし算やひき算でつながった式を、かけ算でつながった式に変えること
と先生がおっしゃってたので。

そのとおりじゃ
共通因数でくくることと、因数分解は、
発想の根本は同じということじゃな。

なるほど!
おもしろいですね


というわけで、今日の話はこれくらいにするかのぉ

あ、先生!告知をさせてください

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具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い!

はい先生!
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!


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