【数学】「共通因数」で「くくる」とは？なぜする必要があるの？【中学数学 因数分解】

ザピエルくん、ありがとう。

今回のポイントは、

「共通因数（きょうつういんすう）でくくる」

じゃな。

だいじょうぶじゃ

１つひとつ、基本から説明していこうかのぉ

まずは、言葉の説明からしておこうかのぉ

共通因数の、

「共通」は、２つ以上のものの、どれにもあること

「因数」は、かけ算の形であらわされたもの

といった意味じゃ

そのとおりじゃ

数字のかけ算や、数字と文字式、文字式と文字式のかけ算などのタイプがあるよ

たとえば、６＝２×３、というのは、

６を２と３のかけ算で表しておる。

このとき、２と３は因数というんじゃ

これは、数字のかけ算のタイプの話じゃな

文字式のときも考え方は同じじゃ

５a という式は、５ × a のことだから、

5a という式の因数は、５ と a になるわけじゃ

そのとおりじゃ

このように、数字や文字式のかけ算で、見た目はかわるんじゃが、

考え方はどれも同じというわけじゃ

大正解じゃ

これで「因数」や「共通因数」の言葉の意味はわかったかのぉ

「くくる」というのは、言葉でいうと、

共通なものをみつけて１つにまとめる

という意味じゃ

そうじゃな、例を出してみよう。

たとえば、 \( 5a + 3a \) という式を考えてみる。

「項（こう）」の考え方は覚えておるかな？

項というのは、＋ や － でつながっているところで切ったときにできる、

それぞれの数字や式のことじゃ

\( 5a + 3a \) の項は、 \( 5a \) と \( 3a \) になるわけじゃ

「項」の考え方はとっても大事じゃぞ。

わからないなら、きちんと復習しておくのじゃ。

お～い、にゃんこくん、項のとこの解説記事を紹介してくれ～

にゃんこくん、ありがとう

じゃあ、話を「くくる」にもどすぞ

\( 5a + 3a \) の項は、 \( 5a \) と \( 3a \) だったわけじゃ。

また、 \( 5a \) は \( 5 × a \) と \( 3a \) と \( 3 × a \) のように、

かけ算が省略されておる。

ではここで問題じゃ

すばらしい！大正解じゃ

\( 5 × a \) の因数は ５ と a

\( 3 × a \) の因数は ３ と a

どちらにも共通する因数、

つまり「共通因数」は、a というわけじゃな

「共通因数のさがし方」をまとめておこうかのぉ

①、式を「項」にわける

②、それぞれの項の「因数」を調べる

③、すべての項に共通する因数をみつける

この３ステップでみつかるんじゃ

そのとおりじゃ

数学というと、計算を思い浮かべるかもしれんが、

言葉の意味を知っておくことも、とっても大事なんじゃ

よし、話を「くくる」にもどすとするかのぉ。

いま、\( 5 × a \) と \( 3 × a \) の「共通因数」は a とわかったんじゃ。

元々の式は、\( 5a + 3a \)  じゃったな。

この式を、「共通因数でくくる」という操作をすると、以下のようになるんじゃ。

\( 5a + 3a =  (5 + 3) × a \)

理由を解説しようかのぉ

まず、

\( 5a + 3a = 5 × a + 3 × a \)

のように、かけ算が省略されているわけじゃ。

ここまではよいじゃろぅ。

このとき、「分配法則」を思い出してほしいんじゃ。

分配法則とは、

( A + B ) × C = A × C +B × C

のような計算規則じゃ。

なぜ、分配法則が成り立つかについては、

解説した記事があるから、そちらをみてほしい

おーい、にゃんこくん、よろしく！

上の記事を読んでもらえばわかるように、

分配法則の式

( A + B ) × C = A × C + B × C

が成り立つわけじゃが、

これは、＝（イコール）をもった「等式（とうしき）」じゃ。

だから、左辺と右辺を入れかえてもいい。

すると、こうなるじゃろ

A × C + B × C  =  ( A + B ) × C

これを、上でくくった式と比べてみよう

5 × a + 3 × a =  ( 5 + 3 ) × a

かけ算、たし算、（　）などが、どれも同じになっておるじゃろ、

つまり、分配法則の式と同じ形なんじゃ。

（ちがうのは数字と文字だけじゃな）

そのとおりじゃ

つまり、

「共通因数でくくる」とは、「分配法則の逆」を計算している

といえるわけじゃ。

そのとおりじゃ

「分配法則を理解」していれば、

「共通因数でくくる」というのも理解しやすいんじゃ

ちなみにじゃが、今回の例は、もう少し計算ができる

5 × a + 3 × a

=  ( 5 + 3 ) × a

=  8 × a

=  8a

となるんじゃ。

この計算、どこかで見覚えないかのぅ？

大正解じゃ

学校の授業では、

同類項の計算はこうします～

とやり方を習ったからできる、という学生さんは多いかもしれん。

でも、今回の記事を読めば、

同類項の計算は、共通因数でくくっていただけ、ということがわかるじゃろう。

共通因数でくくるのが苦手という学生さんも、

同類項の計算はたいていできるもんじゃ。

頭の中ではしらずしらずに使っておるのに、

苦手だと思ってしまうことで、できなくなってしまうこともあるんじゃ

ほんとにもったいないことじゃ。

数学の能力はあるのに、活かしきれない生徒さんはたくさんいるんじゃ。

数学の能力を高めるには、いろいろな方法があるのじゃが、

今回は、

数学は、式の意味を理解すれば、シンプルに理解できる

を覚えておいてほしいんじゃ

これを意識すると、数学への考え方も変わってくるはずなんじゃ。

それには秘訣があるんじゃ。

その秘訣とは、つねに、

「なぜそうなるの？」

と考えることじゃ。

新しいことを習っても、それは知ってることから出てくるんじゃ。

知ってることから、新しいことが、

どうやって出てきたかを知ることで、

新しいことの意味を理解することにつながるんじゃ。

そのとおりじゃ

ははは、その調子で「なぜ？」をつかうんじゃ。

共通因数でくくることは、重要なんじゃ。

じゃあ、それを理解してもらうために、

共通因数でくくることの意味や理由を解説しようかのぅ

\( 5a + 3a =  ( 5 + 3 ) × a \) を例にして解説しようかのぉ

この式の左辺  5a + 3a   は、たし算でつながっておるわけじゃ。

これを「共通因数でくくる」と、

\(   ( 5 + 3 ) × a \)

となり、（共通因数以外）×（共通因数）のように、

かけ算のつながりに変わっておるわけじゃ

いっけんすると、そうじゃな。

しかし、こういう考え方をするんじゃ。

（　　）を使った時には、その中は考えずに、

（　　）を１つの数字や文字のように考える

ことがあるんじゃ。

つまり、\( ( 5 + 3 ) × a \) 　は、

「（なにか） × a 」というように見るわけじゃ

だから、かけ算でつながっている、と考えてもいいわけじゃ

くわしく話すと長くなるから、話をもとにもどすことにしようかのぉ

なぜ、共通因数でくくったりするのか？についてじゃ。

\( 5a + 3a =  ( 5 + 3 ) × a \)

共通因数でくくることによって、

「たし算」のつながりから、「かけ算」のつながりに変わったわけじゃ

そこがポイントなんじゃ。

以前、同じことを解説した記事があるんじゃ。

なんでそこをみてもらえるかのぉ

お～い、にゃんこくん、たのむ！

ひとことでいうと、

かけ算にかえることで、「考えをシンプルにできる」んじゃ

くわしくは上の記事を読んでほしい

それはよかった！

理解できたら、あとは練習問題をやってみることじゃ。

基本問題から、１つひとつやっていけばだいじょうぶじゃ！

いえいえ、どういたしまして

今日はこれくらいにしておくかのぉ

お～い、ザピエルくん、あとお願い！

さすが、秘書じゃな

そのとおりじゃ

共通因数でくくることと、因数分解は、

発想の根本は同じということじゃな。

というわけで、今日の話はこれくらいにするかのぉ

おーそうじゃった

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具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ

ザピエルくんお願い！