【数学】素因数分解(そいんすうぶんかい)を学びたいあなたにチェックしてほしい記事はこちらです【中学数学】

素因数分解 数学(中学校)
素因数分解
トンちゃん
トンちゃん

先生~こんにちはー

秘書ザピエル
秘書ザピエル

トンちゃん、こんにちは!

 

今日はどうしたの?

 

トンちゃん
トンちゃん

 先生はいらっしゃいますかブー

秘書ザピエル
秘書ザピエル

うん、いますよ

 

ちょっと待ってね

 

先生ー

 

 

数学おじさん
数学おじさん

はいはい、ザピエルくん、どうしたの?

秘書ザピエル
秘書ザピエル

はい先生

 

実はトンちゃんがきてまして

 

先生に会いたいとのことです

 

トンちゃん
トンちゃん

先生、こんにちは!

数学おじさん
数学おじさん

お~トンちゃん、こんにちは

 

どうしたんじゃ?

 

トンちゃん
トンちゃん

いま因数分解を勉強してるんだブー

 

その中で、「素因数分解(そいんすうぶんかい)」って出てきて、

 

素因数分解ってなに????

 

ってなっちゃったブー

 

数学おじさん
数学おじさん

なるほどのぅ

 

素因数分解とか、因数分解とか、素数(そすう)とか、

 

いろいろあって、混乱するところじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

そうなんだブー

数学おじさん
数学おじさん

では素因数分解や、因数分解、素数などを

 

まとめて解説するかのぉ

 

それらをスッキリさせた後で、

 

素因数分解のやり方も解説するとしよう

 

トンちゃん
トンちゃん

ありがとうブー

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

では本記事を読むと、以下のメリットがあるわけですね!

 

①、素因数分解がサクッとわかる

 

②、因数分解、素数、とのちがいがわかる

 

③、素因数分解のやり方がわかる

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、はじめるかのぉ

 

【数学】素因数分解(そいんすうぶんかい)を学びたいあなたにチェックしてほしい記事はこちらです【中学数学】

 

数学おじさん
数学おじさん

まず「素因数分解(そいんすうぶんかい)」について説明するかのぉ

 

数学は、算数とちがって、

 

出てくる言葉を理解することが大事なんじゃ

 

ぜひ言葉の意味をシッカリ頭になじませてほしいんじゃ

素因数分解とは?

数学おじさん
数学おじさん

「素因数分解ってなに?」って小学生に聞かれたとしようかのぉ

 

みなさんは、なんて答えるかな?

 

トンちゃん
トンちゃん

中学生になってから勉強してね というブー

 

数学おじさん
数学おじさん

たしかにそうじゃな

 

小学生でもわかる言い方でいってみると、

 

素因数分解というのは、以下のように言えるんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

「素因数分解(そいんすうぶんかい)」とは、


素数のかけ算に分解する方法
なんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

素数がわからないブーだけど、

 

なにかのかけ算にすればいいってことは分かったブー

 

数学おじさん
数学おじさん

なにかを、なにかのかけ算の形に変えるのが、素因数分解なんじゃ

 

もう少しくわしく説明するかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

「素因数分解(そいんすうぶんかい)」の

 

それぞれの漢字の意味を知るのが役立つんじゃ

数学おじさん
数学おじさん

素因数分解の、

 

」は、素数の素

 

因数」は、かけ算のこと

 

分解」は、バラバラにする

 

ってことなんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

それらをまとめると、

 

素因数分解は、ある数を、素数のかけ算の形に小さく分解する、

 

って意味なんだブーね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

漢字の意味を理解すると、わかりやすいかもしれんのぉ

 

トンちゃん
トンちゃん

でも先生、似た漢字に、因数分解もありますブー

 

これとのちがいはなんなんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

では、因数分解について、サクッと説明してみるかのぉ

因数分解とは

[mathjax]

 

数学おじさん
数学おじさん

因数分解は、まず例をみてみようかのぉ

 

こういうのを、因数分解というんじゃ↓

 

\( x^2 + 3x + 2 = (x +1)(x+2) = (x +1) × (x+2) \)

トンちゃん
トンちゃん

そうそう、これだブー

 

数学おじさん
数学おじさん

この式をよくみてみてほしいんじゃ

 

左辺から右辺への変形しておるんじゃが、

 

式の形が、

 

(2次式)=(1次式)×(1次式)

 

の形になっていることがわかってもらえると思うんじゃ

トンちゃん
トンちゃん

2次式とか、1次式ってなんだったっけ??

 

数学おじさん
数学おじさん

「○次式」とか、「次数」はとても大事な考え方じゃ

 

もしあいまいだったら、シッカリ理解しておくのがおすすめじゃ

 

お~い、にゃんこくん、関係する記事を教えておくれ!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

次数」や「○次式」は、「係数」なんかといっしょに理解しておくといいにゃん

 

【数学】文字と式の「加法」について学びたいあなたはこちらをどうぞ【入門・基礎問題・ 中1・文字と式13】

 

数学おじさん
数学おじさん

では、話をもとに戻すかのぉ

 

素因数分解と、因数分解のちがいを整理してみるとするかのぉ

「素因数分解」と「因数分解」のちがいとは

数学おじさん
数学おじさん

「素因数分解」は、整数を、素数を使って、かけ算の形に分解することじゃ

 

「因数分解」は、を、別の式を使って、かけ算の形に分解することなんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なんかそっくりですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

分解するものが、整数か式かってちがいなんじゃ

 

考え方は同じなんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどだブー

 

素因数分解は、整数を、素数のかけ算で表現する、ってことなんですね。

 

でも、「素数(そすう)」ってなんだブー?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

では、素数がなにかを説明するかのぉ

素数とは?

数学おじさん
数学おじさん

「素数」というのは、数字なんじゃが、

 

ある条件を満たした数字なんじゃ

 

素数は、きちんと日本語で説明すると、わかりにくいんじゃよ

 

だから、とりあえず、素数の例をあげてみるとするかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

このさい、素数は、これだと覚えてしまうのも1つの手じゃ

 

素数は、2,3、5、7,11、13、17、19・・・

 

といった数字のことなんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

へぇ~

 

これらは、なんかの条件を満たした数字ってことですよね

 

その条件ってなんなんだブー?

 

数学おじさん
数学おじさん

その条件は、素数の「定義(ていぎ)」を知っておくといいんじゃ

 

ちなみに、定義というのは、決まりごと、のような意味じゃ

 

青信号はわたれ、赤信号はとまれ

 

のように決められておるが、これも定義(決まりごと)なんじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほど!

 

じゃあ、素数の定義ってなんなんだブー?

 

数学おじさん
数学おじさん

素数の定義は、これじゃ


「素数とは、1とその数以外に割り切れる数がないもの

 

トンちゃん
トンちゃん

ん?なんかわかりにくいブーね

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

わかりにくいときは、具体的に考えるといいんじゃ

 

たとえば、5が素数かどうかを考えてみようかのぉ

 

5が、1とその数5以外に割り切れる数字があるかを考えてみるんじゃ

 

あるかな?

 

トンちゃん
トンちゃん

5は、1で割り切れるブ

5は、2で割り切れないブ

5は、3で割り切れないブ

5は、4で割り切れないブ

5は、5で割り切れるブ

5は、6で割り切れないブ

 

あとは大きい数字は全部割り切れないブ

 

ってことは、1とその数5以外に、割り切れる数はないブー?

 

なので、5は素数!といえるのかブー?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

5は、1とその数5以外に割り切れる数字がないんじゃ

 

だから、5は素数、といえるわけじゃ

トンちゃん
トンちゃん

なるほどブー

数学おじさん
数学おじさん

じゃあ、6は素数かどうか考えてごらん

 

トンちゃん
トンちゃん

えっと、

 

6は、1とその数6以外で割りきれる数があるか考えればいいんですよね?

 

あ、6は、2とか3で割りきれるブー!

 

ってことは、6は素数ではない?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

6は、1とその数6以外で割りきれる数があるわけじゃ

 

6を2でわると、商が3で、余りが0

 

余りが0のことを、わりきれる、というからのぉ

 

同じく、6を3でわると、商が2で余りが0なので、割り切れるわけじゃ

トンちゃん
トンちゃん

だから、6は素数ではないんだブー!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

1が素数に入るかどうかは忘れたんじゃが、

 

素因数分解には関係ないから、

 

とりあえずは、2、3、5、7くらいまではシッカリ覚えるとよいんじゃ

 

余裕があれば11以上も覚えておいて損はないんじゃ

トンちゃん
トンちゃん

はい!なるべく覚えるブー!

数学おじさん
数学おじさん

では話を素因数分解に戻すかのぉ

 

素因数分解とは?は、なんとなくつかめたと思うんじゃ

 

こんどは、

 

どうやって、素因数分解するの?

 

ってことを考えてみるかのぉ

素因数分解の具体例

数学おじさん
数学おじさん

「素因数分解」は、

 

ある数をより小さい素数のかけ算の形に分解すること

 

じゃったな

 

では、具体的に、例をみながら、やり方を解説していくかのぉ

(問題)6の素因数分解

数学おじさん
数学おじさん

6を素因数分解することを考えてみるかのぉ

数学おじさん
数学おじさん

6を素因数分解するというのは、

 

上の素数2,3,5,7、11・・・を使って、

 

6を素数のかけ算に分解すること

 

というわけじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

う~ん、

 

あ!

 

6=2×3

 

なるブー

 

そして、2も3も素数だから、

 

これで素因数分解できたブー?

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

6が素数2と3のかけ算で書かれているから、

 

素因数分解の完了じゃ

 

じゃあ次は、7の素因数分解を考えてごらん

(問題)7の素因数分解

トンちゃん
トンちゃん

えっと~

 

7・・・

 

7=1×7

 

としかかけないブー?

 

これも素因数分解なんですかブ?

 

数学おじさん
数学おじさん

これも素因数分解の1つじゃ

 

ただ、7=1×7としても、あまりメリットはない、ということじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

じゃあ今度は、8を素因数分解してごらん

(問題)8の素因数分解

トンちゃん
トンちゃん

えっと~

 

素因数分解だから、

 

8を、素数2,3,5,7,11、・・・のどれかを使って、

 

かけ算の形に書きなおせばいいわけだブ?

 

え~っと、

 

2×2=4 ダメだブー

2×3=6 ダメだブー
2×4=8 あ!8になった!

 

でも4は素数じゃないブ!

 

困ったブ~

 

数学おじさん
数学おじさん

いいところに気がついたのぉ

 

なにかのかけ算の形にして、

 

素数でない数字のかけ算になったら、

 

その数字をさらに素因数分解すればいいんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

ということは、

 

4をさらに素因数分解すればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

トンちゃん
トンちゃん

素因数分解だから、

 

4を、素数2,3,5,7,11、・・・のどれかを使って、

 

かけ算の形に書きなおせばいいわけだブ?

 

4=2×2 !

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、8の素因数分解にもどってみると

 

8=2×4

 

じゃったな

 

4=2×2

 

だったので、

 

8=2×(2×2)=2×2×2

 

という感じで素因数分解することができるんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどだブー!

 

なんだから、素因数分解になれてきたブー

数学おじさん
数学おじさん

それはよかった!

トンちゃん
トンちゃん

でも、

 

48の素因数分解は?

96の素因数分解は?

 

のように、数字が大きくなると、

 

あれ!?

 

どうやればいいの?

 

ってなってしまうんだブー

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

じつは、素因数分解は、やり方があるんじゃよ

 

素因数分解のやり方とは

数学おじさん
数学おじさん

まずは、12の素因数分解を考えてみるかのぉ

(問題)12の素因数分解

数学おじさん
数学おじさん

まずは、素数を思い出してほしいんじゃ

 

素数は、2,3,5,7・・・

 

じゃったのぉ

 

もう1つ、この順番も大事なんじゃ

 

①素数と、②その順番、を意識しておくのが大事じゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

素因数分解の最初は、

 

①、一番小さい素数2で割り切れるかどうか考えること

 

なんじゃ

 

そして、

 

もし2で割り切れたら、2で割り算をするんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

いま、12の素因数分解を考えているんで、

 

12が2でわりきれるか、考えるんですネ

 

12は偶数なんで、2で割り切れます!

 

割り切れるから、2で割り算すればいいんですね

 

・・・

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

このときじゃがな、

 

わり算のやり方なんじゃが、小学校で習った割り算でなく、

 

以下のような書き方をするんじゃよ

 

12
トンちゃん
トンちゃん

商の6を、下に書けばいいんですね!

 

小学校のわり算では、商は上にきてたブーね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

この書き方ができたら、

 

今度は、

 

を素因数分解する問題に変わった、

 

と考えればいいんじゃよ

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

ってことは、

 

12のときと同じように、

 

6について、一番小さい素数2で割り切れるかどうかを考えればいいんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

は偶数なので、で割りきれるブ!

 

なので、割り算をして、商はになるブー

 

これはどう書いたらいいんだブ??

 

数学おじさん
数学おじさん

上の割り算の続きとして書いていくんじゃよ

 

こんな感じじゃな

 

12
   )

すると、これは上と同じように、

 

こんどは、を素因数分解する問題に変わった、と考えるのがポイントじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどだブ~

数学おじさん
数学おじさん

じゃあ続きをやってごらん

トンちゃん
トンちゃん

えっと~

 

3を一番小さい素数2で割り切れるか考えると、

 

3は奇数なので、2で割りきれないブ

 

割りきれなかったらどうすればいいのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

2で割りきれなかったら、

 

次は、2の次に小さい素数、3で割り切れるか考えるんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

で割りきれます。商はだブー

 

これをわり算の形で書くと、

 

12
   )
 )

ここで、商がになったブー

 

数学おじさん
数学おじさん

商がになったら、素因数分解は終わりなんじゃよ

 

数学おじさん
数学おじさん

結果は以下のようになったわけじゃ

 

12
 2  )
 3  )

この結果から、

 

12××

 

と書けるんじゃよ

 

たしかめてみてごらん

トンちゃん
トンちゃん

えっと~

 

2×2=4

 

4×3=12

 

なので、たしかに左辺と右辺は等しいですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

これが実は、ほしかった素因数分解なんじゃ

 

つまり、12を素因数分解すると、

 

122×2×3

 

になるってことなんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

ってことは、12だけじゃなくて、

 

どんな数字も、素因数分解をしたかったら、

 

上の手順を商が1になるまで繰り返せばオッケーなんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

このやり方をマスターすれば、

 

どんな大きな数字も(時間さえ許せば)できるわけじゃ

 

ではもう1つやってみてごらん

(問題)18の素因数分解

トンちゃん
トンちゃん

12の素因数分解と同じように、まずは、

 

一番小さい素数2で割り切れるかどうか考えればいいんだブ?

 

18は偶数なので、で割りきれて、

 

商はになったブ

 

18

 

次は、を素因数分解する問題に変わった、と考えるんだブ?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

じゃあ、素因数分解の最初の手順にもどって、

 

今度は、について、一番小さい素数で割り切れるかどうかを考えて、

 

9は奇数なので、2で割りきれないブ。

 

なので、次は2の次に小さい素数、3で割り切れるか考えて、

 

で割りきれて商はだブ~

わり算にかくと、

 

18
   )

こんどは、を素因数分解する問題に変わった、

 

ってことですよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

次は、3を一番小さい素数2で割り切れるか考えて、

 

3は奇数なので、2で割りきれないブ。

 

なので、次は、2の次に小さい素数、3で割り切れるか考えて、

 

で割りきれます。商はだブ~

 

わり算に書きくわえて、

 

18
   )
 )

商がになったから、素因数分解は終わりだブーね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、結果を示してごらん

 

トンちゃん
トンちゃん

わり算はこんな感じだったので、

 

18
 3  )
   )

ここから、

 

18××

 

と素因数分解できたブー

 

数学おじさん
数学おじさん

完璧じゃな!

 

素因数分解は、こんな感じで、

 

どんな大きな数字も、同じ手順でできるんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

なれるまではややこしかったけど、

 

なれてくると、むずかしくなかったブー

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

なれるまでが大変なんで、ざせつしてしまう方もおおいんじゃよ

 

最初はゆっくりでいいので、手順を確認しながらやるのがおすすめじゃ

 

一回身につければ、一生使えるので、ぜひ身につけてほしいんじゃ

 

慣れてきたら、サクッとできるようにすると、テストでも使えるわけじゃ!

 

トンちゃん
トンちゃん

わかりました!

 

練習問題をやったりして、スラスラできるようにがんばるブー

 

数学おじさん
数学おじさん

その意気じゃ!

 

では、今日はこれくらいにしておくかのぉ

 

にゃんこくん、おすすめの記事などあったら教えて!

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

因数分解について学びたいなら、こちらがおすすめです!

 

わからないところが、サクッとわかる「因数分解」の解説記事をまとめました

 

トンちゃん
トンちゃん

ありがとう!見てみるブー!

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう

 

お~い、ザピエルくん、あとはお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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