【数学 質問解答】因数分解でよく使う、解き方のコツとは?【因数分解 数学】

4次式 因数分解 おきかえ 次数下げ 数学おじさん oj3math 数学(中学校)
4次式 因数分解 おきかえ 次数下げ 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました!

[mathjax]

シャンシャン
シャンシャン

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60  \)

 

を因数分解してください!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

複雑な式の因数分解ですね

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう

 

今回の因数分解は、ふつうに展開すると、4次式が登場しそうだのぉ

 

4次式の因数分解は高校2年生くらいで習う内容なんじゃ

 

しかし、あるテクニックを使うことで、

 

中学生でも解ける問題に変わるんじゃよ

 

シャンシャン
シャンシャン

え!そんなテクニックがあるんですか!

 

教えてほしいです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのテクニックは、「おきかえ」といわれるものじゃ

 

くわしくは下で解説するんじゃが、

 

数式というのは、そのまま計算せずに、

 

工夫することで、自分が解ける問題に変えることができるんじゃよ

 

今回は、「因数分解の計算における工夫」がテーマというわけじゃ

 

 

シャンシャン
シャンシャン

ただ計算するんじゃなくて、

 

式の特徴をみながら、工夫して計算するわけですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

けれど、いざ工夫しよう!

 

と思っても、

 

どうやって、工夫したらいいの?

 

となるのが多いのではないかのぉ

 

 

シャンシャン
シャンシャン

そうなんですよ!

 

工夫の「具体的なやり方」を教えてもらえるとうれしいです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

そこで今回は、与えられた式について、

 

なんとなくでなく、

 

式のどこに、どのように注目するのが役立つか

 

解説しようと思っておるんじゃ

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回の記事を読めば、

 

①、4次式の因数分解などでよく使う「おきかえ」について理解出来る

 

②、与えられた式のどういうところに着目すればいいのかわかる

 

というメリットがあるわけですね

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では解説をはじめるかのぉ

 

【数学 質問解答】複雑な因数分解でよく使う、テクニックとは?【因数分解 数学】

数学おじさん
数学おじさん

まずは解答を知りたい方向けに、解答例を示すかのぉ

数学おじさん
数学おじさん

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60  \)

 

\( = (x – 3)(x + 5)(x – 2)(x + 4) – 60  \)

 

\( = (x^2 + 2x – 15)(x^2 + 2x – 8) – 60  \)

 

ここで \( A = x^2 + 2x  \) とおくと、

 

\( (x^2 + 2x – 15)(x^2 + 2x – 8) – 60  \)

 

\( = (A – 15)(A – 8) – 60  \)

 

\( = A^2 – 23A + 120 – 60  \)

 

\( = A^2 – 23A + 60  \)

 

\( = (A – 3)(A – 20)  \)

 

Aを元に戻して

 

\(  (A – 3)(A – 20)  \)

 

\(  = (x^2 + 2x – 3)(x^2 + 2x – 20)  \)

 

\(  = (x + 3)(x – 1)(x^2 + 2x – 20)  \)

 

となり、これで答えじゃ

 

 

シャンシャン
シャンシャン

「おきかえる」ってのがポイントみたいですね

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

おきかえ ⇒ もとにもどす

 

これがポイントじゃ

 

では、詳しく解説していくかのぉ

 

その前に、この問題をどう解いたか聞かせてもらえるかの

 

シャンシャン
シャンシャン

はい!

じつは、計算したんですが、とちゅうで、できなくなってしまったんです

 

 

数学おじさん
数学おじさん

どう計算したのかな?みせてくれるかい?

 

シャンシャン
シャンシャン

はい!

 

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60  \)

 

\(= (x – 5x + 6)(x + 4)(x + 5) – 60  \)

 

\(= (x^2 – 5x + 6)(x^2 + 9x + 20) – 60  \)

 

\(= x^2(x^2 + 9x + 20) – 5x(x^2 + 9x + 20) + 6(x^2 + 9x + 20) – 60  \)

 

\(= x^4 + 9x^3 +20x^2 – 5x^3 – 45x^2 -100x + 6x^2 + 54x + 120 – 60  \)

 

\(= x^4 + 9x^3 – 5x^3 +20x^2 – 45x^2 + 6x^2 -100x + 54x + 120 – 60  \)

 

\(= x^4 + 4x^3 – 16x^2 -46x  + 60 \)

 

ここで ??? となってしまいました(汗

 

 

数学おじさん
数学おじさん

なるほど

 

以下のように展開たわけじゃな

 

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60  \)

 

とりあえず、前2つを展開したんじゃな

 

\(= (x – 5x + 6)(x + 4)(x + 5) – 60  \)

 

つぎに後2つを展開したんじゃな

 

\(= (x^2 – 5x + 6)(x^2 + 9x + 20) – 60  \)

 

式展開じたいはきちんとできておるのぉ

 

 

シャンシャン
シャンシャン

よかったです!

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

計算自体は間違っていないんじゃがのぉ

 

このまま展開してしまうと、

 

式が4次式になりそうだなぁ~

 

と、計算をする前に、予想してほしいんじゃ

 

応用問題は、先をみとおしながらやるのが重要なんじゃ

 

 

まず先を見通す。その後、計算する

シャンシャン
シャンシャン

前もって、4次式になりそうって考えてなかったです~

 

数学おじさん
数学おじさん

なるほどのぉ

 

複雑な式になればなるほど大事なことは、

 

その計算をしたらどうなりそうか、

 

計算はする前に予想しながらやるのが大事なんじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なぜですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

なぜかというと、

 

複雑な式の計算は、変形のやり方がいくつもあるわけじゃ

 

一本道なら迷わないが、いくつもの分岐した道があるようなものじゃ

 

先をみとおしながら計算することで、

 

間違った道に進むのを未然に防げるわけなんじゃ

 

間違うことは悪くないんじゃが、

 

書いておると時間がかかるじゃろ

 

テストでは時間制限があるから、書かずに、

 

頭の中で、ざっくり予測できるようになっておくのが役立つんじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほどです!

 

数学おじさん
数学おじさん

では話を元に戻すかのぉ

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60  \)

 

の因数分解を考えておったわけじゃ

 

そして、計算を進める前に、この式がどんな特徴があるかみてみたいわけじゃ

 

この式の場合では、4次式になることまで見通せたわけじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

でも、なぜ、計算しないで、4次式になるってわかったんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

それはこんな感じで考えたらいいんじゃよ

 

たとえば、1次の項を2個かければ、2次式になるじゃろ?

 

こんな感じじゃ

 

\(  2x   × 3x = 6x^2 \)

 

シャンシャン
シャンシャン

はい!

 

数学おじさん
数学おじさん

1次の項だったのが、1次の式になっても、同じことなんじゃ

 

1次の式のかけ算だとこんな感じじゃろ?

 

\(  (x+1)(x+3) = x^2 + 4x +3 \)

 

って感じで、

 

(1次式)×(1次式)は、(2次式)

 

となるわけじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

あーなるほど!

 

数学おじさん
数学おじさん

これと同じ感覚で、

 

(1次式)×(2次式)は、(3次式)になる

 

(2次式)×(2次式)は、(4次式)になる

 

というのがわかるわけじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほどです!

 

数学おじさん
数学おじさん

問題の式をみてみると、

 

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60  \)

 

じゃな

 

上のことをふまえると、この式は

 

(1次式)×(1次式)×(1次式)×(1次式)

 

の形をしておるじゃろ

 

(1次式)×(1次式)=(2次式)

 

(2次式)×(1次式)=(3次式)

 

(3次式)×(1次式)=(4次式)

 

となるわけじゃ

 

(1次式)×(1次式)×(1次式)×(1次式)

 

は、

 

(4次式)

 

になりそうじゃ

 

といった感じで、式の形をみることで、結果の式を予想できるわけじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほど!

複雑な式ほど、さきを見通しながら、進めていくことが大事なんですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

さきを見通すことで、軌道修正がしやすいわけじゃな

 

展開すると4次式になるなぁ~ってわかったら、

 

その先は、4次式の因数分解をしなければいけない!

 

と考えることができるじゃろ

 

すると、4次式の因数分解はできないから、

 

なにか他の方法を考えなきゃ!

 

となるわけじゃ

 

 

シャンシャン
シャンシャン

そうですね!

 

でも、どう考えればいいんですか?

高次式(こうじしき)と次数下げ(じすうさげ)とは?

 

数学おじさん
数学おじさん

数学の考え方の1つに、「次数下げ(じすうさげ)」というのがあるんじゃ

 

式は、0次式、1次式、2次式、3次式、4次式、・・・・

 

という感じで、

 

次数に着目して考えることがあるんじゃ

 

これは重要な考え方じゃから、頭の片隅に入れておいてほしい

ちなみに、3次式以上の式は、高次式(こうじしき)と呼ばれたりしておるんじゃ

 

 

 

シャンシャン
シャンシャン

今回の式は、4次式だから、高次式なんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

数学では、定番の考え方の1つに、

 

高次式の時には、「次数を下げる」ことを考える

 

というのがあるんじゃ

 

この考え方を理解していれば、

 

高次式だから、次数を下げるような工夫が出来ないかな?

 

と発想することができるわけじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほどです!

 

数学おじさん
数学おじさん

そして、次数下げの方法の1つに、「おきかえ」があるわけじゃ

 

じゃから、おきかえを使って、次数を下げれないかなぁ?

 

という発想で、問題の式を眺めてみるわけじゃな

 

シャンシャン
シャンシャン

解答にはないですが、背景には、そんな考え方があったのですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

この問題では、

 

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60  \)

 

式をそのまま計算するのではなく

 

\( = (x – 3)(x + 5)(x – 2)(x + 4) – 60  \)

 

かけ算の順番をかえてから展開するんじゃ

 

これが最大のポイントじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なぜ、かけ算の順番を変えるのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

なぜそうするかというと

 

すると、以下のようになるわけじゃ

 

\( = (x^2 + 2x – 15)(x^2 + 2x – 8) – 60  \)

 

ここで、(2次式)×(2次式)になったんじゃが、

 

どちらの2次式にも、\(  x^2 + 2x \) が出てくるわけじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほどです!

 

 

シャンシャン
シャンシャン

でも、わざわざ順番を変えて展開するのに、

 

どんなメリットがあるんですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

\( (x^2 + 2x – 15)(x^2 + 2x – 8) – 60  \)

 

この式の、xがある部分をみてほしいんじゃ

 

xがふくまれた部分は、問題の式の中で、

 

\(  x^2 + 2x \) の部分だけになっておるじゃろ

 

つまり、\(  x^2 + 2x \) を何か別の文字に置き換えたら、

 

xの式から、置き換えた別の文字の式に変えることができるわけじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

え?どういうことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

xの式として考えると、4次式だったわけじゃが、

 

たとえば、

 

\( A = x^2 + 2x \)

 

のようにすれば、

 

xの2次式を、Aという1次式にするってことができるんじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほど!

 

数学おじさん
数学おじさん

すると、

 

\(  (x^2 + 2x – 15)(x^2 + 2x – 8) – 60  \) について

 

\( A = x^2 + 2x \) とおきかえると、

 

\(  (A – 15)(A – 8) – 60  \)

 

となるわけじゃ

 

この式は、何次式になるかわかるかな?

 

 

シャンシャン
シャンシャン

えっと〜

 

\(  (A – 15)(A – 8) – 60  \)

 

この式は、(1次式)×(1次式)なので、2次式になりそうですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

xの式では4次式になって、手に負えなかったんじゃが、

 

Aの2次式になったわけじゃ

 

 

シャンシャン
シャンシャン

そうですね!

 

2次式の因数分解なら、習ったのでできそうです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

ここまで出来れば、他の問題と同じじゃから

 

多くは説明する必要がないかもしれんのぉ

 

ここで一度まとめておくかのぉ

 

シャンシャン
シャンシャン

はい!

 

数学おじさん
数学おじさん

この問題では、まず最初に、

 

普通に展開すると、4次式になるから、

 

他の方法がないかな?

 

と考えるわけじゃ

 

高次式(4次式)なので、

 

「おきかえ」て「次数を下げる」ことができないかな?

 

と考えながら式を眺めてみるわけじゃ

 

すると、


かけ算の順番を入れかえて、

 

どちらの2次式にも、\(  x^2 + 2x \) が出てくることに気づいてほしいんじゃ

 

加えて、文字xはその部分だけに限られている形なわけじゃ

 

そこで

 

1つの文字でおきかえれば、次数が下がる

 

やってみよう!

 

と考えるわけじゃ

 

では、続きの計算をやってみてごらん

 

 

シャンシャン
シャンシャン

はい!

 

\(  (A – 15)(A – 8) – 60  \)

 

\( = A^2 – 23A + 120 – 60  \)

 

\( = A^2 – 23A + 60  \)

 

\( = (A – 3)(A – 20)  \)

 

ここまで出来ました!

 

数学おじさん
数学おじさん

ここまできたら、

 

Aという文字は、問題には出てきていない、自分で勝手に使った文字じゃ

 

だから、問題にある文字に戻さないとダメなんじゃな

 

それを忘れないように気をつけるんじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

はい!

 

Aを元に戻して

 

\(  (A – 3)(A – 20)  \)

 

\(  = (x^2 + 2x – 3)(x^2 + 2x – 20)  \)

 

これで答えですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

きちんと計算できておるよ

 

ただし、

 

因数分解はできるところまでやる

 

というのがルールなんじゃ

 

じゃから、

 

\( (x^2 + 2x – 3)(x^2 + 2x – 20)  \)

 

2つある( )の中の2次式が、

 

それぞれ因数分解できないか調べてみる必要があるんじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほどです!

 

じゃあ考えてみると、

 

\( (x^2 + 2x – 3) \) は、因数分解できそうです!

 

\( (x^2 + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1) \)

 

\(  (x^2 + 2x – 20)  \) は、因数分解できないようです!

 

だから、

 

\( (x^2 + 2x – 3)(x^2 + 2x – 20)  \)

 

\(  = (x + 3)(x – 1)(x^2 + 2x – 20)  \)

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

これ以上因数分解できないので、ここで答えにしてオッケーじゃ

 

ただし厳密にいうと、高校生になると、まだ因数分解できるんじゃ

 

だから、ここでは中学生の範囲で因数分解できない、ということじゃな

 

高校生なら、もう一段階、因数分解してほしい

 

答えは

 

\(  (x + 3)(x – 1)(x^2 + 2x – 20)  \)

 

\( = (x + 3)(x – 1)(x – 1+ \sqrt41)(x – 1- \sqrt41)\)

 

となる

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほどです!

 

①、おきかえて次数を下げて、2次式にして因数分解

 

②、因数分解は、できるところまでする

 

この2点が重要なんですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

今回の解説はこのくらいじゃ

 

高次式は次数下げを考える!

 

これはとても重要な指針じゃから、頭の片隅に残しておいてほしいんじゃ

 

お〜い、ザピエルくん!あとお願い

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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