【数学　質問解答】因数分解でよく使う、解き方のコツとは？【因数分解　数学】

ザピエルくん、ありがとう

今回の因数分解は、ふつうに展開すると、４次式が登場しそうだのぉ

４次式の因数分解は高校２年生くらいで習う内容なんじゃ

しかし、あるテクニックを使うことで、

中学生でも解ける問題に変わるんじゃよ

そのテクニックは、「おきかえ」といわれるものじゃ

くわしくは下で解説するんじゃが、

数式というのは、そのまま計算せずに、

工夫することで、自分が解ける問題に変えることができるんじゃよ

今回は、「因数分解の計算における工夫」がテーマというわけじゃ

そのとおりじゃ

けれど、いざ工夫しよう！

と思っても、

どうやって、工夫したらいいの？

となるのが多いのではないかのぉ

そうじゃな

そこで今回は、与えられた式について、

なんとなくでなく、

式のどこに、どのように注目するのが役立つか

解説しようと思っておるんじゃ

そのとおりじゃ

では解説をはじめるかのぉ

まずは解答を知りたい方向けに、解答例を示すかのぉ

そのとおりじゃ

おきかえ　⇒　もとにもどす

これがポイントじゃ

では、詳しく解説していくかのぉ

その前に、この問題をどう解いたか聞かせてもらえるかの

どう計算したのかな？みせてくれるかい？

なるほど

以下のように展開たわけじゃな

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60 　\)

とりあえず、前２つを展開したんじゃな

\(= (x – 5x + 6)(x + 4)(x + 5) – 60 　\)

つぎに後２つを展開したんじゃな

\(= (x^2 – 5x + 6)(x^2 + 9x + 20) – 60 　\)

式展開じたいはきちんとできておるのぉ

計算自体は間違っていないんじゃがのぉ

このまま展開してしまうと、

式が４次式になりそうだなぁ～

と、計算をする前に、予想してほしいんじゃ

応用問題は、先をみとおしながらやるのが重要なんじゃ

なるほどのぉ

複雑な式になればなるほど大事なことは、

その計算をしたらどうなりそうか、

計算はする前に予想しながらやるのが大事なんじゃ

なぜかというと、

複雑な式の計算は、変形のやり方がいくつもあるわけじゃ

一本道なら迷わないが、いくつもの分岐した道があるようなものじゃ

先をみとおしながら計算することで、

間違った道に進むのを未然に防げるわけなんじゃ

間違うことは悪くないんじゃが、

書いておると時間がかかるじゃろ

テストでは時間制限があるから、書かずに、

頭の中で、ざっくり予測できるようになっておくのが役立つんじゃ

では話を元に戻すかのぉ

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60 　\)

の因数分解を考えておったわけじゃ

そして、計算を進める前に、この式がどんな特徴があるかみてみたいわけじゃ

この式の場合では、４次式になることまで見通せたわけじゃ

それはこんな感じで考えたらいいんじゃよ

たとえば、１次の項を２個かければ、２次式になるじゃろ？

こんな感じじゃ

\(  2x   ×　3x = 6x^2 \)

１次の項だったのが、１次の式になっても、同じことなんじゃ

１次の式のかけ算だとこんな感じじゃろ？

\(  (x+1)(x+3) = x^2 + 4x +3 \)

って感じで、

（１次式）×（１次式）は、（２次式）

となるわけじゃ

これと同じ感覚で、

（１次式）×（２次式）は、（３次式）になる

（２次式）×（２次式）は、（４次式）になる

というのがわかるわけじゃ

問題の式をみてみると、

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60 　\)

じゃな

上のことをふまえると、この式は

（１次式）×（１次式）×（１次式）×（１次式）

の形をしておるじゃろ

（１次式）×（１次式）＝（２次式）

（２次式）×（１次式）＝（３次式）

（３次式）×（１次式）＝（４次式）

となるわけじゃ

（１次式）×（１次式）×（１次式）×（１次式）

は、

（４次式）

になりそうじゃ

といった感じで、式の形をみることで、結果の式を予想できるわけじゃ

そのとおりじゃ

さきを見通すことで、軌道修正がしやすいわけじゃな

展開すると４次式になるなぁ～ってわかったら、

その先は、４次式の因数分解をしなければいけない！

と考えることができるじゃろ

すると、４次式の因数分解はできないから、

なにか他の方法を考えなきゃ！

となるわけじゃ

数学の考え方の１つに、「次数下げ（じすうさげ）」というのがあるんじゃ

式は、０次式、１次式、２次式、３次式、４次式、・・・・

という感じで、

次数に着目して考えることがあるんじゃ

これは重要な考え方じゃから、頭の片隅に入れておいてほしい

ちなみに、３次式以上の式は、高次式（こうじしき）と呼ばれたりしておるんじゃ

そのとおりじゃ

数学では、定番の考え方の１つに、

高次式の時には、「次数を下げる」ことを考える

というのがあるんじゃ

この考え方を理解していれば、

高次式だから、次数を下げるような工夫が出来ないかな？

と発想することができるわけじゃ

そして、次数下げの方法の１つに、「おきかえ」があるわけじゃ

じゃから、おきかえを使って、次数を下げれないかなぁ？

という発想で、問題の式を眺めてみるわけじゃな

そうなんじゃよ

この問題では、

\( (x – 3)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 60 　\)

の式をそのまま計算するのではなく、

\( = (x – 3)(x + 5)(x – 2)(x + 4) – 60 　\)

かけ算の順番をかえてから展開するんじゃ

これが最大のポイントじゃ

なぜそうするかというと

すると、以下のようになるわけじゃ

\( = (x^2 + 2x – 15)(x^2 + 2x – 8) – 60 　\)

ここで、（２次式）×（２次式）になったんじゃが、

どちらの２次式にも、\(  x^2 + 2x　\)　が出てくるわけじゃ

\( (x^2 + 2x – 15)(x^2 + 2x – 8) – 60 　\)

この式の、ｘがある部分をみてほしいんじゃ

ｘがふくまれた部分は、問題の式の中で、

\(  x^2 + 2x　\)　の部分だけになっておるじゃろ

つまり、\(  x^2 + 2x　\)　を何か別の文字に置き換えたら、

ｘの式から、置き換えた別の文字の式に変えることができるわけじゃ

ｘの式として考えると、４次式だったわけじゃが、

たとえば、

\( A = x^2 + 2x　\)

のようにすれば、

xの２次式を、Aという１次式にするってことができるんじゃ

すると、

\(  (x^2 + 2x – 15)(x^2 + 2x – 8) – 60 　\)　について

\( A = x^2 + 2x　\)　とおきかえると、

\(  (A – 15)(A – 8) – 60 　\)

となるわけじゃ

この式は、何次式になるかわかるかな？

そのとおりじゃ

xの式では４次式になって、手に負えなかったんじゃが、

Aの２次式になったわけじゃ

そうじゃな

ここまで出来れば、他の問題と同じじゃから

多くは説明する必要がないかもしれんのぉ

ここで一度まとめておくかのぉ

この問題では、まず最初に、

普通に展開すると、４次式になるから、

他の方法がないかな？

と考えるわけじゃ

高次式（４次式）なので、

「おきかえ」て「次数を下げる」ことができないかな？

と考えながら式を眺めてみるわけじゃ

すると、

かけ算の順番を入れかえて、

どちらの２次式にも、\(  x^2 + 2x　\)　が出てくることに気づいてほしいんじゃ

加えて、文字xはその部分だけに限られている形なわけじゃ

そこで

１つの文字でおきかえれば、次数が下がる

やってみよう！

と考えるわけじゃ

では、続きの計算をやってみてごらん

ここまできたら、

Aという文字は、問題には出てきていない、自分で勝手に使った文字じゃ

だから、問題にある文字に戻さないとダメなんじゃな

それを忘れないように気をつけるんじゃ

きちんと計算できておるよ

ただし、

因数分解はできるところまでやる

というのがルールなんじゃ

じゃから、

\( (x^2 + 2x – 3)(x^2 + 2x – 20) 　\)

２つある（　）の中の２次式が、

それぞれ因数分解できないか調べてみる必要があるんじゃ

大正解じゃ

これ以上因数分解できないので、ここで答えにしてオッケーじゃ

ただし厳密にいうと、高校生になると、まだ因数分解できるんじゃ

だから、ここでは中学生の範囲で因数分解できない、ということじゃな

高校生なら、もう一段階、因数分解してほしい

答えは

\(  (x + 3)(x – 1)(x^2 + 2x – 20) 　\)

\( = (x + 3)(x – 1)(x – 1+ \sqrt41)(x – 1- \sqrt41)\)

となる

そのとおりじゃ

今回の解説はこのくらいじゃ

高次式は次数下げを考える！

これはとても重要な指針じゃから、頭の片隅に残しておいてほしいんじゃ

お〜い、ザピエルくん！あとお願い

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