【数学 質問解答】「4乗」を含んだ因数分解 パート2【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

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4次式 4乗 因数分解 数学おじさん oj3math 数学(高校)
4次式 4乗 因数分解 数学おじさん oj3math
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数学おじさん
数学おじさん

さて、今回は、前回の問題の (2) の解説じゃな

 

お~い、ザピエルくん、来ておるか?

[mathjax]

秘書ザピエル
秘書ザピエル

はい先生!

 

質問のあった問題はこちらですね

 

(2),  \(  x^4 -1 \)

 

ハムちゃん
ハムちゃん

おはようございますだチュー

 

数学おじさん
数学おじさん

ハムちゃん、おはよう!

 

さっそく昨日の続きをやるよ

 

準備はいいかい?

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!お願いします!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回の記事を読むと、

 

4乗の因数分解の、別の解き方を理解することができる

 

わけですね

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、はじめるかのぉ

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【数学 質問解答】「4乗」を含んだ因数分解 パート2【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

数学おじさん
数学おじさん

今回の問題はこちらじゃな

 

(2),  \(  x^4 -1 \)

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!

 

4乗があって、よくわからなかったんです。。。

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

しかし、


とりあえずは因数分解の問題じゃから、

 

基本通り、まず、なにをすべきか考えてみるんじゃよ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

まず、「項」を確認して、共通因数があるかを調べる??

 

でしたっけ?

 

項とか、次数とか、なんか忘れちゃいました(照

 

数学おじさん
数学おじさん

「項」「次数」「係数」などを忘れた!

 

って方は、こちらで復習しておくようにするのがおススメじゃ

 

お~い、にゃんこくん、記事をおしえておくれ!

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

では話を戻すかのぉ

 

項を調べて、共通因数を確認してみるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

\(  x^4 -1 \) なので、

 

項は、  \(  x^4  \) と   \(  -1 \) の2つですね!

 

これらに、共通因数はありません!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では次は、どう考えたらよかったかのぉ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

項が2つなので、

 

項が2つの公式が使えるかを考える??

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

項が2つの、因数分解の公式には、どんなものがあったかのぉ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

\( a^2 - b^2 = (a +b)(a-b) \)

 

の公式を知ってます!

 

でもこれ、「2乗」の公式なんですよ~

 

いまは、「4乗」の式なので、どうしたらいいのかなぁ~・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

いい比較じゃよ!

 

①、使えそうな公式を思い出すこと

 

②、なぜ、①の公式が使えないのか、その理由

 

この2つを整理すれば、

 

どうやったら、使えるようになるかのアイデアを出すことができるはずじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

どうやったら使えるかって考えると、

 

\(  x^4 -1 \)

 

\(  = x^4 -1^4 \)

 

のように、1は4乗と考えることもできますよね

 

だから、もしも、4乗が2乗だったら

 

\( a^2 - b^2 = (a +b)(a-b) \)

 

の公式が使えそうな気がします!?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

すばらしい!

 

では、じっさいに2乗にしてみたらどうじゃ?

 

ハムちゃん
ハムちゃん

え?勝手にそんなことして、いいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

いーんです!

 

いつやるの?

 

いまでしょ!

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

(先生、ちょっと古いですよぉ)

 

はい!じゃあ

 

\( x^2 = A \)

 

とおいてみますね

 

すると、

 

\(  = x^4 -1  \)

 

\(  = A^2 -1 \)

 

となりました!

 

あ、これは、

 

\(  = A^2 -1^2 \)

 

と考えることができますよね!

 

すると、

 

公式 \( a^2 - b^2 = (a +b)(a-b) \)

 

と同じ形をしています!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

a = A、 b=1 と考えると、

 

2乗の差の公式がつかえるんじゃな

 

では実際に、因数分解をしてごらん

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

\(  = A^2 -1^2 \)

 

\(  = (A + 1)(A - 1) \)

 

となりました

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ただし、Aという文字は、自分で勝手に使った文字じゃな

 

問題には使われておらん

 

じゃから、もとにもどしておくといいわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!

 

\(   (A + 1)(A - 1) \)

 

\(  = (x^2 + 1)(x^2 - 1) \)

 

となりました!

 

これが答えですか!?

数学おじさん
数学おじさん

じつは、まだ、因数分解ができるんじゃよ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ!?

 

\(  (x^2 - 1) \)

 

\( =  (x^2 - 1^2) \)

 

と考えることができますね!

 

なので、さらに、

 

\( a^2 - b^2 = (a +b)(a-b) \)

 

の公式を使って、因数分解できますね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

これに気づけるかが、4乗の因数分解のポイントなんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

そうすると~

 

\(  (x^2 + 1)(x^2 - 1) \)

 

\( = (x^2 + 1)(x^2 - 1^2) \)

 

\( = (x^2 + 1)(x - 1)(x + 1) \)

 

となりました!

 

これで答えですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな


これ以上因数分解できなさそう
なので、

 

これで答え、

 

というわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

さらに因数分解できないか、チェックするのが大事なんですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

というわけで、今回は、

 

4乗のある、2項の式、の因数分解じゃったわけじゃ

 

2項の公式(2乗の差の公式と呼んでおる)

 

\( a^2 - b^2 = (a +b)(a-b) \)

 

が活躍したわけじゃの!

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!ありがとうございました!

数学おじさん
数学おじさん

では今回は、終わりとするかのぉ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

先生!(3)が残っていますヨ!

数学おじさん
数学おじさん

もちろん(3)も解説するよ!

 

今日はこれから、やぼ用があるんじゃよ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

そうなんですね!

 

大人も大変なんですね

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな笑

 

お~い、ザピエルくん、あとお願い!

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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