【数学 質問解答】「4乗」を含んだ因数分解(難問) 最終話【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

4乗の因数分解3 数学おじさん oj3math 数学(高校)
4乗の因数分解3 数学おじさん oj3math
数学おじさん
数学おじさん

さて、今回は、「4乗」の因数分解の最終話じゃな

秘書ザピエル
秘書ザピエル

先生おはようございます!

ハムちゃん
ハムちゃん

おはようございます!

[mathjax]

数学おじさん
数学おじさん

お~、みんなそろったようじゃな

 

では、残っておった (3) を解説するかのぉ

 

問題は、

 

(3),  \(  4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4  \)

 

を因数分解してください

 

じゃったな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!

 

4乗があるし、2乗もあるし、

 

式が複雑で、ぜんぜんわかりませんでした!

 

数学おじさん
数学おじさん

見た目がかなり複雑じゃな

 

複雑な式を考えるときには、ポイントがあるから、

 

それも解説してみようかのぉ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!お願いします!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

ということは、本記事を読むと、

 

①、4次式(4乗)の因数分解の、解き方を学ぶことができる

 

②、複雑な式をシッカリ分析するやりかた

 

を学ぶことができるわけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、解説をはじめるかのぉ

【数学 質問解答】「4乗」を含んだ因数分解 最終話【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

数学おじさん
数学おじさん

先に解答例を示すかのぉ

 

解答例は、こんな感じじゃ

 

\(  4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4  \)

 

\( =  4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4  - a^2b^2 \)

 

\( =  (2a^2 - 6b^2)^2  - (ab)^2 \)

 

\( =  (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2  - ab) \)

 

\( = (a + 2b)(2a - 3b)(a - 2b)(2a + 3b) \)

 

これで答えじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

ひぇ~なんですか、これ???

数学おじさん
数学おじさん

複雑にみえるかもしれんが、

 

今まで習った公式を、うまく使ったんじゃ

 

ていねいに解説していくから、

 

1つひとつ理解していけば、だいじょうぶじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!

数学おじさん
数学おじさん

では、解説をはじめるかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

\(  4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4  \)

 

まずは、この問題の式をシッカリ分析するのが大事じゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

分析するというのは、具体的に言うと、

 

「項」にわけて、それぞれ「次数」や「係数」を確かめるんですよね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

もし、「項」「次数」「係数」などを忘れた!

 

って方は、こちらで復習しておくようにするのがおススメじゃ

 

お~い、にゃんこくん、記事をおしえておくれ!

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

では話を戻すかのぉ

 

式を分析できるかのぉ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

項は、

 

\(  4a^4 \) と  \( -25a^2b^2 \) と  \( + 36b^4  \)

 

の3つですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、それぞれの項をシッカリみてみるとするかのぉ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そもそも因数分解というのは、

 

2乗の式を1乗の式に変える方法、とも言えるんじゃ

 

だから、

 

2乗に敏感になるのが大事なんじゃ

 

2乗があれば、1乗にできないか?

 

と考えるヒントになるからじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

\(  4a^4 \) をよくみると、 \(  (2a^2)^2 \)

 

\( + 36b^4  \)  をよくみると、  \( + (6b^2)^2  \)

 

となっています!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

2乗が2項あるときは、「2乗の差の公式」が候補になるんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

「2乗の差の公式」って、なんですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

「2乗の差の公式」は、これじゃな

 

 \(  a^2  - b^2  =  (a + b)(a - b) \)

 

2乗と2乗の差の形になっておるじゃろ

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

数学おじさん
数学おじさん

この公式をみると、

 

2乗の「差」じゃから、「マイナス」が必要なんじゃ

 

今回、2つの2乗は、 \(  (2a^2)^2 \)  と \( + (6b^2)^2  \)

 

どちらも プラス なんじゃな

 

じゃから、「2乗の差の公式」は使えない!

 

と判断するわけじゃ

 

じゃから、次の公式を考えていくんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!

 

数学おじさん
数学おじさん

次は、3項で2乗が出てくる公式を考えるんじゃ

 

①、 \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)

 

②、 \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \) 

 

この2つがよく使われるんじゃな

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!この公式しってます!

数学おじさん
数学おじさん

これが使えるか、を調べてみるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

\(  4a^4 \) は、 \(  (2a^2)^2 \)  で、

 

\( + 36b^4  \)  は、  \( + (6b^2)^2  \)  なので、

 

\( 2 × (2a^2) × (6b^2) = 24a^2b^2 \) なら、

 

上の公式が使えます!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

今回の式は、

 

\(  4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4  \)

 

じゃから、

 

\( 24a^2b^2 \) じゃなくて、

 

\( 25a^2b^2 \) になっておるわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

使えないですネ~

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

おしかったですねぇ~

と、おもうじゃろ

 

でも実は、公式② が使えるんじゃよ

 

ここからが「4乗」のとき、よく出るパターンなんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

え!?そうなんですか??

 

数学おじさん
数学おじさん

無理やり使える形にしてしまうんじゃ

 

こんな感じにするわけじゃな

 

\(  4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4  \)

 

\( =  4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4  - a^2b^2 \)

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

\(  -25a^2b^2  \) を

 

\(  -24a^2b^2 - a^2b^2  \)

 

に分けたんですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

そうすると、最初の3つの項は、公式②をつかって

 

因数分解できるわけじゃ

 

\(  4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4  - a^2b^2 \)

 

\(  = (2a^2 - 6b^2)^2  - a^2b^2 \)

 

となるわけじゃ

 

もともとが4乗じゃったから、

 

「2乗の項の差、の2乗」になるのが注意じゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりにくいです・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

ふくざつだから無理もないのぉ

 

そういうときは、おきかえてみるのが役立つんじゃ

 

\(  4a^4 \) は、 \(  (2a^2)^2 \)  じゃから、

 

\( 2a^2 = X \) とおいてみる

 

同じように、

 

\( + 36b^4  \)  は、  \( + (6b^2)^2  \)  なので、

 

\( 6b^2 = Y \) とおいてみるんじゃ

 

すると、

 

\(  4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4  - a^2b^2 \)

 

\( = (2a^2)^2 -2 × 2a^2 × 6b^2 +  (6b^2)^2 - a^2b^2 \)

 

\( = X^2 -2 × X × Y +  Y^2 - a^2b^2 \)

 

\( = (X- Y)^2 - a^2b^2 \)

 

となるわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!

 

あとは、XとYをもとに戻せばいいんですね!

 

\(  (X- Y)^2 - a^2b^2 \)

 

\(  = (2a^2 - 6b^2)^2  - a^2b^2 \)

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

これで、1つの因数分解が終わったわけじゃ

 

だから、ここから仕切り直して因数分解するんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

ということは、

 

最初に、項を確認して、共通因数があるかを調べる

 

ってことですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

新しい因数分解のはじまり

 

ととらえるのがポイントじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

1問に、いくつかの因数分解が入っているわけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

4乗の場合は、1回因数分解して、2乗の式(2次式)

 

その2次式をさらに因数分解して、1次式、

 

という流れが多いんじゃよ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

では話を戻すかのぉ

 

\(   (2a^2 - 6b^2)^2  - a^2b^2 \)

 

の因数分解の問題に変わったわけじゃな

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

最初に、項を確認すると、

 

\(   (2a^2 - 6b^2)^2  \) と \( - a^2b^2 \) の2項があります!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

2項じゃから、「2乗の差の公式」を使えないか?

 

と考えるんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

そうすると~

 

\(   (2a^2 - 6b^2)^2  \)  は2乗で、

 

\( - a^2b^2 \)  は、 \( - (ab)^2 \) とすれば、2乗になりますね!

 

そして、「マイナスがある」ので、

 

「2乗の差の公式」が使えそうです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

「2乗の差の公式」

 

\( X^2 - Y^2 = (X + Y)(X - Y) \)

 

を使えるわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

\(   (2a^2 - 6b^2)^2  - a^2b^2 \)

 

\( =  (2a^2 - 6b^2)^2  - (ab)^2 \)

 

なので、

 

\( X^2 - Y^2 = (X + Y)(X - Y) \)

 

を使うには、

 

\( X = (2a^2 - 6b^2),  Y = (ab) \)

 

と考えればいいですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

\(  (2a^2 - 6b^2)^2  - (ab)^2 \)

 

\( =  \{ (2a^2 - 6b^2) + (ab) \} \{ (2a^2 - 6b^2) - (ab) \} \)

 

\( =   (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)

 

できました!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

だがな、いま、4次式を2次式に因数分解したんじゃ

 

2次式が2つ、かけ算になっておるじゃろ

 

つまり、それぞれの2次式は、まだ因数分解できるかもしれんのじゃ

 

それを確認する必要があるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

まだやることがあるんですね!汗

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

4次式の因数分解は、むずかしいというより、

 

1問にいくつもの因数分解をする、大変さがある

 

といえるかもしれんのぉ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

いま、ここまでいってました

 

\(    (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)

 

2次式の積になっているので、2つの2次式を別々に考えればいいんですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

まず \(    (2a^2 - 6b^2 + ab)  \) が因数分解できるか

 

式を分析してみるんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

3つの項があって、共通因数はありませんね

 

また、2乗の差の公式や、

 

2つの項の和の2乗や差の2乗も使えなさそうです

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうすると、

 

いわゆる「たすきがけ」の計算をためしてみることになるわけじゃな

 

 

数学おじさん
数学おじさん

「たすきがけ」って、どんな感じでしたっけ?

たすきがけは、以前に解説したから、そちらにくわしくあるんじゃ

 

お~い、にゃんこくん、記事をおしえてくれる?

 

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

「たすきがけってなに?」の解説なら、こちらにゃん

 

【数学】因数分解のやり方①:たすきがけ【中学数学 中3 因数分解】

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

\(    (2a^2 - 6b^2 + ab)  \)

 

が因数分解できるかを考えておったわけじゃ

 

\(    (2a^2 + ba- 6b^2)  \)

 

の方が考えやすいかのぉ

 

これを「たすきがけ」で、因数分解できるか考えてみよう

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~今回は、a も b も最大次数が2で同じなので、

 

どっちの文字に着目してもいいですよね

 

今回は、好みで、a に着目したいと思います

 

すると、aの2乗の係数が、2なので、

 

かけ算して2になる数字の組み合わせは、1×2!

 

なので、たすきがけの表は、以下のようになりますよね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

次は、aがない項(定数項)は、 \( -6b^2 \) なので、

 

かけ算して、 \( -6b^2 \)  になる組み合わせを考えるんですよね?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

今回、

 

\(    (2a^2 + ba- 6b^2)  \)

 

を因数分解じゃから、

 

最終的に、a の項の係数の b になるような組み合わせがほしいわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、そうすると、 \( -6b^2 \)  は、

 

\( b^2 \) の部分は、 b と b にわけないとダメですネ!

 

あとは、ー6=(-1)×6、1×(-6)、2 ×(-3)、(-2)× 3 がありますね!

 

いったいどれがいいんだろう・・・

 

 

数学おじさん
数学おじさん

じつはこの表から、候補がしぼれるんじゃよ

 

左の列の下に、2があるじゃろ

 

もし、まん中の列の下に、2の倍数がきたら

 

因数分解したときに、2が共通因数になってしまう

 

しかし、1番最初に、今回の式は、共通因数はなかったわけじゃ

 

つまり、まん中の列の下には、2の倍数はこれないわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!

 

最初に共通因数がないことを確かめたのには、意味があったんですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

すると、表のまん中の列は、

 

①、bとbにわける

 

②、下に2の倍数はこない

 

という組み合わせがくるわけじゃ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

 

6b
1b

または

2b
3b

という組み合わせのみが出てくるじゃろ?

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

じゃあ、たすきがけの計算をして、表を完成させますね!

6b 12b
1b 2b

または

2b 4b
3b 3b

 

数学おじさん
数学おじさん

\(    (2a^2 + ba- 6b^2)  \)

 

の因数分解じゃから、

 

右の列を足して、b になる組み合わせを探せばオッケーじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

 

2b 4b
ー3b ー3b

表をこうすると、

 

\( 4b×(-3b)=-12b^2 \)

 

で、

 

\( 4b + (-3b) = b \)

 

となり、a の項の係数と一致しています!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

できあがった表をつかうと、因数分解の結果は、

(1a +2b) 4b
(2a ー3b) ー3b

\(    (2a^2 + ba- 6b^2)  \)

 

\(  =  (a + 2b)(2a - 3b)  \)

 

となりました!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

ただし、因数分解したら、もう一度展開して、

 

検算することを忘れないようにするんじゃぞ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!

 

今回の因数分解は、展開して確かめました!たしかにできています!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

よろしい!

 

では、もう1つの2次式の因数分解もやってごらん

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

\(    (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)

 

のうちの、

 

\(    (2a^2 - 6b^2 - ab) \)

 

の因数分解ですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

まずは式を分析すると・・・

 

3つの項があって、共通因数はなさそう

 

公式も使えなさそうですネ

 

こちらもたすきがけのようです

 

ー2b ー4b
3b 3b

これなら、オッケーのようです

(a -2b) -4b
(2a +3b) 3b

\(    (2a^2 - ab- 6b^2) \)

 

\(  =  (a - 2b)(2a + 3b) \)

 

となりました!

 

展開してみると、あってることが確認できました!

 

数学おじさん
数学おじさん

サクッとできたのぉ

 

では、最終結果を書いてみてごらん

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

\(    (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)

 

\( =  (a + 2b)(2a - 3b)(a - 2b)(2a + 3b) \)

 

で答えですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

これで答えじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

は~長かったぁ~

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

わしもいささか疲れたわい笑

 

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

先生、かわりに私が解答をまとめておきますね!

解答例は、こんな感じです

 

\(  4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4  \)

 

\( =  4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4  - a^2b^2 \)

 

\( =  (2a^2 - 6b^2)^2  - (ab)^2 \)

 

\( =  (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2  - ab) \)

 

\( = (a + 2b)(2a - 3b)(a - 2b)(2a + 3b) \)

 

となります

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

解答だけみると、簡単そうにみえますけど、

 

何を考えて、どこに着目して、式変形をしているのか

 

など、

 

解答には書かれていない部分がとても重要だと思いました!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう

 

そのとおりじゃ

 

問題集の解答などは、紙の枚数などの制限があるために、

 

くわしく書きたくても書けない場合があるわけじゃ

 

どうしても、短くしないといけないので、

 

書いておいた方がいいことが書いてない場合があるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

先生の解説のように書いていたら、本が辞書みたいになっちゃいますね笑

 

数学おじさん
数学おじさん

シッカリした解説は、どうしても長くなるんじゃが、

 

その1問をキチンとわかることで、

 

他の問題でも応用が効くようになるんじゃ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

意味を理解せずに問題を解いても力がつかない、

 

というのは、そのためなんですね!

そのとおりじゃ

 

数式の変形には、かならず目的があるから、

 

なぜ、その変形をしたのか?

 

を常に意識しながら勉強するのがおすすめじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!

 

数学おじさん
数学おじさん

それでは今日はこれくらいにしておくかのぉ

 

お〜い、ザピエルくん、あとお願い!

 

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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