
さて、今回は、「4乗」の因数分解の最終話じゃな

先生おはようございます!

おはようございます!
[mathjax]

お~、みんなそろったようじゃな
では、残っておった (3) を解説するかのぉ
問題は、
(3), \( 4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4 \)
を因数分解してください
じゃったな

はい!
4乗があるし、2乗もあるし、
式が複雑で、ぜんぜんわかりませんでした!

見た目がかなり複雑じゃな
複雑な式を考えるときには、ポイントがあるから、
それも解説してみようかのぉ

はい!お願いします!

ということは、本記事を読むと、
①、4次式(4乗)の因数分解の、解き方を学ぶことができる
②、複雑な式をシッカリ分析するやりかた
を学ぶことができるわけですね!

そのとおりじゃ
では、解説をはじめるかのぉ
【数学 質問解答】「4乗」を含んだ因数分解 最終話【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

先に解答例を示すかのぉ
解答例は、こんな感じじゃ
\( 4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4 \)
\( = 4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4 - a^2b^2 \)
\( = (2a^2 - 6b^2)^2 - (ab)^2 \)
\( = (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)
\( = (a + 2b)(2a - 3b)(a - 2b)(2a + 3b) \)
これで答えじゃ

ひぇ~なんですか、これ???

複雑にみえるかもしれんが、
今まで習った公式を、うまく使ったんじゃ
ていねいに解説していくから、
1つひとつ理解していけば、だいじょうぶじゃ

はい!

では、解説をはじめるかのぉ

\( 4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4 \)
まずは、この問題の式をシッカリ分析するのが大事じゃ

分析するというのは、具体的に言うと、
「項」にわけて、それぞれ「次数」や「係数」を確かめるんですよね!

そのとおりじゃ
もし、「項」「次数」「係数」などを忘れた!
って方は、こちらで復習しておくようにするのがおススメじゃ
お~い、にゃんこくん、記事をおしえておくれ!



にゃんこくん、ありがとう!
では話を戻すかのぉ
式を分析できるかのぉ

えっと~
項は、
\( 4a^4 \) と \( -25a^2b^2 \) と \( + 36b^4 \)
の3つですね!

そのとおりじゃ
では、それぞれの項をシッカリみてみるとするかのぉ

そもそも因数分解というのは、
2乗の式を1乗の式に変える方法、とも言えるんじゃ
だから、
2乗に敏感になるのが大事なんじゃ
2乗があれば、1乗にできないか?
と考えるヒントになるからじゃ

なるほどです!
\( 4a^4 \) をよくみると、 \( (2a^2)^2 \)
\( + 36b^4 \) をよくみると、 \( + (6b^2)^2 \)
となっています!

そうじゃな
2乗が2項あるときは、「2乗の差の公式」が候補になるんじゃ

「2乗の差の公式」って、なんですか?

「2乗の差の公式」は、これじゃな
\( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
2乗と2乗の差の形になっておるじゃろ

なるほどです!

この公式をみると、
2乗の「差」じゃから、「マイナス」が必要なんじゃ
今回、2つの2乗は、 \( (2a^2)^2 \) と \( + (6b^2)^2 \)
どちらも プラス なんじゃな
じゃから、「2乗の差の公式」は使えない!
と判断するわけじゃ
じゃから、次の公式を考えていくんじゃ

なるほど!

次は、3項で2乗が出てくる公式を考えるんじゃ
①、 \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)
②、 \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \)
この2つがよく使われるんじゃな

はい!この公式しってます!

これが使えるか、を調べてみるんじゃ

えっと~
\( 4a^4 \) は、 \( (2a^2)^2 \) で、
\( + 36b^4 \) は、 \( + (6b^2)^2 \) なので、
\( 2 × (2a^2) × (6b^2) = 24a^2b^2 \) なら、
上の公式が使えます!

そうじゃな
今回の式は、
\( 4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4 \)
じゃから、
\( 24a^2b^2 \) じゃなくて、
\( 25a^2b^2 \) になっておるわけじゃ

使えないですネ~

おしかったですねぇ~
と、おもうじゃろ
でも実は、公式② が使えるんじゃよ
ここからが「4乗」のとき、よく出るパターンなんじゃ

え!?そうなんですか??

無理やり使える形にしてしまうんじゃ
こんな感じにするわけじゃな
\( 4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4 \)
\( = 4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4 - a^2b^2 \)

\( -25a^2b^2 \) を
\( -24a^2b^2 - a^2b^2 \)
に分けたんですね!

そのとおりじゃ!
そうすると、最初の3つの項は、公式②をつかって
因数分解できるわけじゃ
\( 4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4 - a^2b^2 \)
\( = (2a^2 - 6b^2)^2 - a^2b^2 \)
となるわけじゃ
もともとが4乗じゃったから、
「2乗の項の差、の2乗」になるのが注意じゃな

わかりにくいです・・・

ふくざつだから無理もないのぉ
そういうときは、おきかえてみるのが役立つんじゃ
\( 4a^4 \) は、 \( (2a^2)^2 \) じゃから、
\( 2a^2 = X \) とおいてみる
同じように、
\( + 36b^4 \) は、 \( + (6b^2)^2 \) なので、
\( 6b^2 = Y \) とおいてみるんじゃ
すると、
\( 4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4 - a^2b^2 \)
\( = (2a^2)^2 -2 × 2a^2 × 6b^2 + (6b^2)^2 - a^2b^2 \)
\( = X^2 -2 × X × Y + Y^2 - a^2b^2 \)
\( = (X- Y)^2 - a^2b^2 \)
となるわけじゃ

なるほど!
あとは、XとYをもとに戻せばいいんですね!
\( (X- Y)^2 - a^2b^2 \)
\( = (2a^2 - 6b^2)^2 - a^2b^2 \)

そのとおりじゃ
これで、1つの因数分解が終わったわけじゃ
だから、ここから仕切り直して因数分解するんじゃ

ということは、
最初に、項を確認して、共通因数があるかを調べる
ってことですか?

そのとおりじゃ
新しい因数分解のはじまり
ととらえるのがポイントじゃ

1問に、いくつかの因数分解が入っているわけですね!

そのとおりじゃ
4乗の場合は、1回因数分解して、2乗の式(2次式)
その2次式をさらに因数分解して、1次式、
という流れが多いんじゃよ

なるほどです!

では話を戻すかのぉ
\( (2a^2 - 6b^2)^2 - a^2b^2 \)
の因数分解の問題に変わったわけじゃな

最初に、項を確認すると、
\( (2a^2 - 6b^2)^2 \) と \( - a^2b^2 \) の2項があります!

2項じゃから、「2乗の差の公式」を使えないか?
と考えるんじゃ

そうすると~
\( (2a^2 - 6b^2)^2 \) は2乗で、
\( - a^2b^2 \) は、 \( - (ab)^2 \) とすれば、2乗になりますね!
そして、「マイナスがある」ので、
「2乗の差の公式」が使えそうです!

「2乗の差の公式」
\( X^2 - Y^2 = (X + Y)(X - Y) \)
を使えるわけじゃ

\( (2a^2 - 6b^2)^2 - a^2b^2 \)
\( = (2a^2 - 6b^2)^2 - (ab)^2 \)
なので、
\( X^2 - Y^2 = (X + Y)(X - Y) \)
を使うには、
\( X = (2a^2 - 6b^2), Y = (ab) \)
と考えればいいですね!

そのとおりじゃ

\( (2a^2 - 6b^2)^2 - (ab)^2 \)
\( = \{ (2a^2 - 6b^2) + (ab) \} \{ (2a^2 - 6b^2) - (ab) \} \)
\( = (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)
できました!

大正解じゃ!
だがな、いま、4次式を2次式に因数分解したんじゃ
2次式が2つ、かけ算になっておるじゃろ
つまり、それぞれの2次式は、まだ因数分解できるかもしれんのじゃ
それを確認する必要があるんじゃ

まだやることがあるんですね!汗

そのとおりじゃ
4次式の因数分解は、むずかしいというより、
1問にいくつもの因数分解をする、大変さがある
といえるかもしれんのぉ

いま、ここまでいってました
\( (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)
2次式の積になっているので、2つの2次式を別々に考えればいいんですか?

そのとおりじゃ
まず \( (2a^2 - 6b^2 + ab) \) が因数分解できるか
式を分析してみるんじゃ

えっと~
3つの項があって、共通因数はありませんね
また、2乗の差の公式や、
2つの項の和の2乗や差の2乗も使えなさそうです

そうすると、
いわゆる「たすきがけ」の計算をためしてみることになるわけじゃな

「たすきがけ」って、どんな感じでしたっけ?
たすきがけは、以前に解説したから、そちらにくわしくあるんじゃ
お~い、にゃんこくん、記事をおしえてくれる?



にゃんこくん、ありがとう!
\( (2a^2 - 6b^2 + ab) \)
が因数分解できるかを考えておったわけじゃ
\( (2a^2 + ba- 6b^2) \)
の方が考えやすいかのぉ
これを「たすきがけ」で、因数分解できるか考えてみよう

えっと~今回は、a も b も最大次数が2で同じなので、
どっちの文字に着目してもいいですよね
今回は、好みで、a に着目したいと思います
すると、aの2乗の係数が、2なので、
かけ算して2になる数字の組み合わせは、1×2!
なので、たすきがけの表は、以下のようになりますよね
1 |
2 |

そのとおりじゃ

次は、aがない項(定数項)は、 \( -6b^2 \) なので、
かけ算して、 \( -6b^2 \) になる組み合わせを考えるんですよね?

そのとおりじゃ
今回、
\( (2a^2 + ba- 6b^2) \)
を因数分解じゃから、
最終的に、a の項の係数の b になるような組み合わせがほしいわけじゃ

あ、そうすると、 \( -6b^2 \) は、
\( b^2 \) の部分は、 b と b にわけないとダメですネ!
あとは、ー6=(-1)×6、1×(-6)、2 ×(-3)、(-2)× 3 がありますね!
いったいどれがいいんだろう・・・

じつはこの表から、候補がしぼれるんじゃよ
左の列の下に、2があるじゃろ
もし、まん中の列の下に、2の倍数がきたら
因数分解したときに、2が共通因数になってしまう
しかし、1番最初に、今回の式は、共通因数はなかったわけじゃ
つまり、まん中の列の下には、2の倍数はこれないわけじゃ

なるほど!
最初に共通因数がないことを確かめたのには、意味があったんですね!

そのとおりじゃ
すると、表のまん中の列は、
①、bとbにわける
②、下に2の倍数はこない
という組み合わせがくるわけじゃ

1 | 6b | |
2 | 1b |
または
1 | 2b | |
2 | 3b |
という組み合わせのみが出てくるじゃろ?

なるほどです!
じゃあ、たすきがけの計算をして、表を完成させますね!
1 | 6b | 12b |
2 | 1b | 2b |
または
1 | 2b | 4b |
2 | 3b | 3b |

\( (2a^2 + ba- 6b^2) \)
の因数分解じゃから、
右の列を足して、b になる組み合わせを探せばオッケーじゃ

1 | 2b | 4b |
2 | ー3b | ー3b |
表をこうすると、
\( 4b×(-3b)=-12b^2 \)
で、
\( 4b + (-3b) = b \)
となり、a の項の係数と一致しています!

そのとおりじゃ

できあがった表をつかうと、因数分解の結果は、
(1a | +2b) | 4b |
(2a | ー3b) | ー3b |
\( (2a^2 + ba- 6b^2) \)
\( = (a + 2b)(2a - 3b) \)
となりました!

大正解じゃ!
ただし、因数分解したら、もう一度展開して、
検算することを忘れないようにするんじゃぞ

はい!
今回の因数分解は、展開して確かめました!たしかにできています!

よろしい!
では、もう1つの2次式の因数分解もやってごらん

\( (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)
のうちの、
\( (2a^2 - 6b^2 - ab) \)
の因数分解ですね!

そのとおりじゃ

まずは式を分析すると・・・
3つの項があって、共通因数はなさそう
公式も使えなさそうですネ
こちらもたすきがけのようです
1 | ー2b | ー4b |
2 | 3b | 3b |
これなら、オッケーのようです
(a | -2b) | -4b |
(2a | +3b) | 3b |
\( (2a^2 - ab- 6b^2) \)
\( = (a - 2b)(2a + 3b) \)
となりました!
展開してみると、あってることが確認できました!

サクッとできたのぉ
では、最終結果を書いてみてごらん

えっと~
\( (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)
\( = (a + 2b)(2a - 3b)(a - 2b)(2a + 3b) \)
で答えですか?

これで答えじゃ

は~長かったぁ~

そうじゃな
わしもいささか疲れたわい笑

先生、かわりに私が解答をまとめておきますね!
解答例は、こんな感じです
\( 4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4 \)
\( = 4a^4 -24a^2b^2 + 36b^4 - a^2b^2 \)
\( = (2a^2 - 6b^2)^2 - (ab)^2 \)
\( = (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab) \)
\( = (a + 2b)(2a - 3b)(a - 2b)(2a + 3b) \)
となります

解答だけみると、簡単そうにみえますけど、
何を考えて、どこに着目して、式変形をしているのか
など、
解答には書かれていない部分がとても重要だと思いました!

ザピエルくん、ありがとう
そのとおりじゃ
問題集の解答などは、紙の枚数などの制限があるために、
くわしく書きたくても書けない場合があるわけじゃ
どうしても、短くしないといけないので、
書いておいた方がいいことが書いてない場合があるんじゃ

先生の解説のように書いていたら、本が辞書みたいになっちゃいますね笑

シッカリした解説は、どうしても長くなるんじゃが、
その1問をキチンとわかることで、
他の問題でも応用が効くようになるんじゃ

意味を理解せずに問題を解いても力がつかない、
というのは、そのためなんですね!
そのとおりじゃ
数式の変形には、かならず目的があるから、
なぜ、その変形をしたのか?
を常に意識しながら勉強するのがおすすめじゃ

はい!

それでは今日はこれくらいにしておくかのぉ
お〜い、ザピエルくん、あとお願い!

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「4乗」をふくんだ式の因数分解 パート1
『【数学 質問解答】「4乗」を含んだ因数分解 パート1【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)』
「4乗」をふくんだ式の因数分解 パート2


あ、先生!告知をさせてください

おーそうじゃった

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実は、そんなあなたが
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具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い!

はい先生!
ペースメーカーというのは、
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一緒に勉強する(丸つけや解説する)ことをやりながら、
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不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください

というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!


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