さて、今回は、「４乗」の因数分解の最終話じゃな
先生おはようございます！
おはようございます！
[mathjax]
お～、みんなそろったようじゃな
では、残っておった (3) を解説するかのぉ
問題は、
(3), \( 4a^4 －25a^2b^2 + 36b^4 \)
を因数分解してください
じゃったな
はい！
４乗があるし、２乗もあるし、
式が複雑で、ぜんぜんわかりませんでした！
見た目がかなり複雑じゃな
複雑な式を考えるときには、ポイントがあるから、
それも解説してみようかのぉ
はい！お願いします！
ということは、本記事を読むと、
①、４次式（４乗）の因数分解の、解き方を学ぶことができる
②、複雑な式をシッカリ分析するやりかた
を学ぶことができるわけですね！
そのとおりじゃ
では、解説をはじめるかのぉ
【数学 質問解答】「４乗」を含んだ因数分解 最終話【高校数学 数A 因数分解】（質問ありがとうございました！）
先に解答例を示すかのぉ
解答例は、こんな感じじゃ
\( 4a^4 －25a^2b^2 + 36b^4 \)
\( = 4a^4 －24a^2b^2 + 36b^4 － a^2b^2 \)
\( = (2a^2 － 6b^2)^2 － (ab)^2 \)
\( = (2a^2 － 6b^2 + ab)(2a^2 － 6b^2 － ab) \)
\( = (a + 2b)(2a － 3b)(a － 2b)(2a + 3b) \)
これで答えじゃ
ひぇ～なんですか、これ？？？
複雑にみえるかもしれんが、
今まで習った公式を、うまく使ったんじゃ
ていねいに解説していくから、
１つひとつ理解していけば、だいじょうぶじゃ
はい！
では、解説をはじめるかのぉ
\( 4a^4 －25a^2b^2 + 36b^4 \)
まずは、この問題の式をシッカリ分析するのが大事じゃ
分析するというのは、具体的に言うと、
「項」にわけて、それぞれ「次数」や「係数」を確かめるんですよね！
そのとおりじゃ
もし、「項」「次数」「係数」などを忘れた！
って方は、こちらで復習しておくようにするのがおススメじゃ
お～い、にゃんこくん、記事をおしえておくれ！
にゃんこくん、ありがとう！
では話を戻すかのぉ
式を分析できるかのぉ
えっと～
項は、
\( 4a^4 \) と \( －25a^2b^2 \) と \( + 36b^4 \)
の３つですね！
そのとおりじゃ
では、それぞれの項をシッカリみてみるとするかのぉ
そもそも因数分解というのは、
２乗の式を１乗の式に変える方法、とも言えるんじゃ
だから、
２乗に敏感になるのが大事なんじゃ
２乗があれば、１乗にできないか？
と考えるヒントになるからじゃ
なるほどです！
\( 4a^4 \) をよくみると、 \( (2a^2)^2 \)
\( + 36b^4 \) をよくみると、 \( + (6b^2)^2 \)
となっています！
そうじゃな
２乗が２項あるときは、「２乗の差の公式」が候補になるんじゃ
「２乗の差の公式」って、なんですか？
「２乗の差の公式」は、これじゃな
\( a^2 － b^2 = (a + b)(a － b) \)
２乗と２乗の差の形になっておるじゃろ
なるほどです！
この公式をみると、
２乗の「差」じゃから、「マイナス」が必要なんじゃ
今回、２つの２乗は、 \( (2a^2)^2 \) と \( + (6b^2)^2 \)
どちらも プラス なんじゃな
じゃから、「２乗の差の公式」は使えない！
と判断するわけじゃ
じゃから、次の公式を考えていくんじゃ
なるほど！
次は、３項で２乗が出てくる公式を考えるんじゃ
①、 \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)
②、 \( a^2 － 2ab + b^2 = (a － b)^2 \)
この２つがよく使われるんじゃな
はい！この公式しってます！
これが使えるか、を調べてみるんじゃ
えっと～
\( 4a^4 \) は、 \( (2a^2)^2 \) で、
\( + 36b^4 \) は、 \( + (6b^2)^2 \) なので、
\( 2 × (2a^2) × (6b^2) = 24a^2b^2 \) なら、
上の公式が使えます！
そうじゃな
今回の式は、
\( 4a^4 －25a^2b^2 + 36b^4 \)
じゃから、
\( 24a^2b^2 \) じゃなくて、
\( 25a^2b^2 \) になっておるわけじゃ
使えないですネ～
おしかったですねぇ～
と、おもうじゃろ
でも実は、公式② が使えるんじゃよ
ここからが「４乗」のとき、よく出るパターンなんじゃ
え！？そうなんですか？？
無理やり使える形にしてしまうんじゃ
こんな感じにするわけじゃな
\( 4a^4 －25a^2b^2 + 36b^4 \)
\( = 4a^4 －24a^2b^2 + 36b^4 － a^2b^2 \)
\( －25a^2b^2 \) を
\( －24a^2b^2 － a^2b^2 \)
に分けたんですね！
そのとおりじゃ！
そうすると、最初の３つの項は、公式②をつかって
因数分解できるわけじゃ
\( 4a^4 －24a^2b^2 + 36b^4 － a^2b^2 \)
\( = (2a^2 － 6b^2)^2 － a^2b^2 \)
となるわけじゃ
もともとが４乗じゃったから、
「２乗の項の差、の２乗」になるのが注意じゃな
わかりにくいです・・・
ふくざつだから無理もないのぉ
そういうときは、おきかえてみるのが役立つんじゃ
\( 4a^4 \) は、 \( (2a^2)^2 \) じゃから、
\( 2a^2 = X \) とおいてみる
同じように、
\( + 36b^4 \) は、 \( + (6b^2)^2 \) なので、
\( 6b^2 = Y \) とおいてみるんじゃ
すると、
\( 4a^4 －24a^2b^2 + 36b^4 － a^2b^2 \)
\( = (2a^2)^2 －2 × 2a^2 × 6b^2 + (6b^2)^2 － a^2b^2 \)
\( = X^2 －2 × X × Y + Y^2 － a^2b^2 \)
\( = (X－ Y)^2 － a^2b^2 \)
となるわけじゃ
なるほど！
あとは、XとYをもとに戻せばいいんですね！
\( (X－ Y)^2 － a^2b^2 \)
\( = (2a^2 － 6b^2)^2 － a^2b^2 \)
そのとおりじゃ
これで、１つの因数分解が終わったわけじゃ
だから、ここから仕切り直して因数分解するんじゃ
ということは、
最初に、項を確認して、共通因数があるかを調べる
ってことですか？
そのとおりじゃ
新しい因数分解のはじまり
ととらえるのがポイントじゃ
１問に、いくつかの因数分解が入っているわけですね！
そのとおりじゃ
４乗の場合は、１回因数分解して、２乗の式（２次式）
その２次式をさらに因数分解して、１次式、
という流れが多いんじゃよ
なるほどです！
では話を戻すかのぉ
\( (2a^2 － 6b^2)^2 － a^2b^2 \)
の因数分解の問題に変わったわけじゃな
最初に、項を確認すると、
\( (2a^2 － 6b^2)^2 \) と \( － a^2b^2 \) の２項があります！
２項じゃから、「２乗の差の公式」を使えないか？
と考えるんじゃ
そうすると～
\( (2a^2 － 6b^2)^2 \) は２乗で、
\( － a^2b^2 \) は、 \( － (ab)^2 \) とすれば、２乗になりますね！
そして、「マイナスがある」ので、
「２乗の差の公式」が使えそうです！
「２乗の差の公式」
\( X^2 － Y^2 = (X + Y)(X － Y) \)
を使えるわけじゃ
\( (2a^2 － 6b^2)^2 － a^2b^2 \)
\( = (2a^2 － 6b^2)^2 － (ab)^2 \)
なので、
\( X^2 － Y^2 = (X + Y)(X － Y) \)
を使うには、
\( X = (2a^2 － 6b^2), Y = (ab) \)
と考えればいいですね！
そのとおりじゃ
\( (2a^2 － 6b^2)^2 － (ab)^2 \)
\( = \{ (2a^2 － 6b^2) + (ab) \} \{ (2a^2 － 6b^2) － (ab) \} \)
\( = (2a^2 － 6b^2 + ab)(2a^2 － 6b^2 － ab) \)
できました！
大正解じゃ！
だがな、いま、４次式を２次式に因数分解したんじゃ
２次式が２つ、かけ算になっておるじゃろ
つまり、それぞれの２次式は、まだ因数分解できるかもしれんのじゃ
それを確認する必要があるんじゃ
まだやることがあるんですね！汗
そのとおりじゃ
４次式の因数分解は、むずかしいというより、
１問にいくつもの因数分解をする、大変さがある
といえるかもしれんのぉ
いま、ここまでいってました
\( (2a^2 － 6b^2 + ab)(2a^2 － 6b^2 － ab) \)
２次式の積になっているので、２つの２次式を別々に考えればいいんですか？
そのとおりじゃ
まず \( (2a^2 － 6b^2 + ab) \) が因数分解できるか
式を分析してみるんじゃ
えっと～
３つの項があって、共通因数はありませんね
また、２乗の差の公式や、
２つの項の和の２乗や差の２乗も使えなさそうです
そうすると、
いわゆる「たすきがけ」の計算をためしてみることになるわけじゃな
「たすきがけ」って、どんな感じでしたっけ？
たすきがけは、以前に解説したから、そちらにくわしくあるんじゃ
お～い、にゃんこくん、記事をおしえてくれる？
にゃんこくん、ありがとう！
\( (2a^2 － 6b^2 + ab) \)
が因数分解できるかを考えておったわけじゃ
\( (2a^2 + ba－ 6b^2) \)
の方が考えやすいかのぉ
これを「たすきがけ」で、因数分解できるか考えてみよう
えっと～今回は、a も b も最大次数が２で同じなので、
どっちの文字に着目してもいいですよね
今回は、好みで、a に着目したいと思います
すると、aの２乗の係数が、２なので、
かけ算して２になる数字の組み合わせは、１×２！
なので、たすきがけの表は、以下のようになりますよね
| １ |
| ２ |
そのとおりじゃ
次は、aがない項（定数項）は、 \( －6b^2 \) なので、
かけ算して、 \( －6b^2 \) になる組み合わせを考えるんですよね？
そのとおりじゃ
今回、
\( (2a^2 + ba－ 6b^2) \)
を因数分解じゃから、
最終的に、a の項の係数の b になるような組み合わせがほしいわけじゃ
あ、そうすると、 \( －6b^2 \) は、
\( b^2 \) の部分は、 b と b にわけないとダメですネ！
あとは、ー６＝（－１）×６、１×（－６）、２ ×（－３）、（－２）× ３ がありますね！
いったいどれがいいんだろう・・・
じつはこの表から、候補がしぼれるんじゃよ
左の列の下に、２があるじゃろ
もし、まん中の列の下に、２の倍数がきたら
因数分解したときに、２が共通因数になってしまう
しかし、１番最初に、今回の式は、共通因数はなかったわけじゃ
つまり、まん中の列の下には、２の倍数はこれないわけじゃ
なるほど！
最初に共通因数がないことを確かめたのには、意味があったんですね！
そのとおりじゃ
すると、表のまん中の列は、
①、ｂとｂにわける
②、下に２の倍数はこない
という組み合わせがくるわけじゃ
| １ | ６ｂ | |
| ２ | １ｂ |
または
| １ | ２ｂ | |
| ２ | ３ｂ |
という組み合わせのみが出てくるじゃろ？
なるほどです！
じゃあ、たすきがけの計算をして、表を完成させますね！
| １ | 6b | 12b |
| ２ | 1b | 2b |
または
| １ | 2b | 4b |
| ２ | 3b | 3b |
\( (2a^2 + ba－ 6b^2) \)
の因数分解じゃから、
右の列を足して、ｂ になる組み合わせを探せばオッケーじゃ
| １ | ２ｂ | ４ｂ |
| ２ | ー３ｂ | ー３ｂ |
表をこうすると、
\( ４ｂ×（－３ｂ）＝－１２b^2 \)
で、
\( 4b + (－3b) = b \)
となり、a の項の係数と一致しています！
そのとおりじゃ
できあがった表をつかうと、因数分解の結果は、
| (１a | +２ｂ) | ４ｂ |
| (２a | ー３ｂ) | ー３ｂ |
\( (2a^2 + ba－ 6b^2) \)
\( = (a + 2b)(2a － 3b) \)
となりました！
大正解じゃ！
ただし、因数分解したら、もう一度展開して、
検算することを忘れないようにするんじゃぞ
はい！
今回の因数分解は、展開して確かめました！たしかにできています！
よろしい！
では、もう１つの２次式の因数分解もやってごらん
\( (2a^2 － 6b^2 + ab)(2a^2 － 6b^2 － ab) \)
のうちの、
\( (2a^2 － 6b^2 － ab) \)
の因数分解ですね！
そのとおりじゃ
まずは式を分析すると・・・
３つの項があって、共通因数はなさそう
公式も使えなさそうですネ
こちらもたすきがけのようです
| １ | ー２ｂ | ー４ｂ |
| ２ | ３ｂ | ３ｂ |
これなら、オッケーのようです
| (a | －２ｂ) | －４ｂ |
| (２a | +３ｂ) | ３ｂ |
\( (2a^2 － ab－ 6b^2) \)
\( = (a － 2b)(2a + 3b) \)
となりました！
展開してみると、あってることが確認できました！
サクッとできたのぉ
では、最終結果を書いてみてごらん
えっと～
\( (2a^2 － 6b^2 + ab)(2a^2 － 6b^2 － ab) \)
\( = (a + 2b)(2a － 3b)(a － 2b)(2a + 3b) \)
で答えですか？
これで答えじゃ
は～長かったぁ～
そうじゃな
わしもいささか疲れたわい笑
先生、かわりに私が解答をまとめておきますね！
解答例は、こんな感じです
\( 4a^4 －25a^2b^2 + 36b^4 \)
\( = 4a^4 －24a^2b^2 + 36b^4 － a^2b^2 \)
\( = (2a^2 － 6b^2)^2 － (ab)^2 \)
\( = (2a^2 － 6b^2 + ab)(2a^2 － 6b^2 － ab) \)
\( = (a + 2b)(2a － 3b)(a － 2b)(2a + 3b) \)
となります
解答だけみると、簡単そうにみえますけど、
何を考えて、どこに着目して、式変形をしているのか
など、
解答には書かれていない部分がとても重要だと思いました！
ザピエルくん、ありがとう
そのとおりじゃ
問題集の解答などは、紙の枚数などの制限があるために、
くわしく書きたくても書けない場合があるわけじゃ
どうしても、短くしないといけないので、
書いておいた方がいいことが書いてない場合があるんじゃ
先生の解説のように書いていたら、本が辞書みたいになっちゃいますね笑
シッカリした解説は、どうしても長くなるんじゃが、
その１問をキチンとわかることで、
他の問題でも応用が効くようになるんじゃ
意味を理解せずに問題を解いても力がつかない、
というのは、そのためなんですね！
そのとおりじゃ
数式の変形には、かならず目的があるから、
なぜ、その変形をしたのか？
を常に意識しながら勉強するのがおすすめじゃ
はい！
それでは今日はこれくらいにしておくかのぉ
お〜い、ザピエルくん、あとお願い！
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「４乗」をふくんだ式の因数分解 パート２
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
- 励ましてほしい
- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
一緒に勉強する（丸つけや解説する）ことをやりながら、
あなたの勉強をサポートするという仕組みです。
- やる気を継続したい
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不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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『【数学】中学数学を独学したい、やり直したいあなたにおすすめの参考書や問題集はこちらです【中学数学 高校数学 数学検定】』
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