今回は、こんな質問をいただきました！
[mathjax]
次の式の因数分解をしてください！
(1), \( x^4 － 13x^2 － 48 \)
(2), \( x^4 －1 \)
(3), \( 4a^4 －25a^2b^2 + 36b^4 \)
今回は、「４乗をふくんだ因数分解」のようですね～
先生、お願いします！
ザビエルくん、ありがとう！
今回は、「４乗」が含まれておるのぉ
４乗では、4乗の考え方があるんじゃ
いくつか典型的なパターンがあるから、
最初はやり方をシッカリ理解して、
その後、練習問題を積んで、慣れるのが早道じゃ
というわけで、解説をはじめるかのぉ
はい！お願いします！
【数学 質問解答】「４乗」を含んだ因数分解【高校数学 数A 因数分解】（質問ありがとうございました！）
まずは、(1) から解説するとしようかのぉ
(1), \( x^4 － 13x^2 － 48 \)
じゃな
因数分解の鉄則は、まず、式をシッカリ分析することなんじゃ
まずは、最初に共通因数がないかは、確認するんじゃ
共通因数があれば、それでくくる、これが鉄則じゃ
それが終わったら、式をさらに分析していくんじゃ
具体的になにをするかというと、
「項」、「次数」、「係数」、をチェックするんじゃ
はい！
まず、共通因数はありません！
次に、
項は、３つあります！
\( x^4 \) と \( － 13x^2 \) と \( － 48 \) です
次数は、項のそれぞれが、４次、２次、０次 です
係数は、１、－１３、－４８ です
そのとおりじゃ！よくできておるな
もし、「項」「次数」「係数」などを忘れた！
って方は、こちらで復習しておくようにするのがおススメじゃ
お～い、にゃんこくん、記事をおしえておくれ！
にゃんこくん、ありがとう！
では話を戻すかのぉ
(1), \( x^4 － 13x^2 － 48 \)
の、項と次数と係数を分析したんじゃったな
なぜそれをやったかという理由じゃが、
項や次数をみると、公式が使えるかがわかるからじゃ
今回、「3つの項がある」ということは、
①、３つの項を使う公式を適用
もしくは
②、３つのうち、どれか２つを使って公式を適用
の可能性があるわけじゃ
3つの項だからといって、３つ使うばかりじゃないんですね！
そのとおりじゃ
自分には無理～なんて思わなくて大丈夫じゃ
このへんは慣れていくと柔軟に対応できるようになるもんなんじゃ
わかりました！
そしたら、こういう可能性があるなぁ～と思いながら、
使える可能性のある公式を、１つずつ、頭の中で試してみるんじゃ
この辺も練習することで、素早くできるようになるもんなんじゃよ
そうなんですねぇ～
今回、4乗じゃから、公式は知らないわけじゃ
そうなんですよ！
２乗と３乗の公式しか習ってなくて！
習ってないときは、
習ってるのが使えないかなぁ～
どうすれば、習っているやつの形になるかなぁ？
と考えるわけじゃ
2乗か３乗にすれば、習っています！
そうじゃな
ここで、こういうやり方があることを知っておくのが大事じゃ
\( x^2 = A \) と置き換えるテクニックがあるんじゃ
こうすると、問題の式が
\( x^4 － 13x^2 － 48 \)
\( = A^2 － 13A － 48 \)
となるわけじゃ
あ、これなら、２乗の因数分解の公式が使えます！
そうじゃな
そうすると、2乗の因数分解ができるか、係数をシッカリみるわけじゃ
かけてー４８になる数字 の組みあわせの中で、
たしたらー１３になるものを探すわけじゃな
なんかむずかしいです～
2乗の係数が１になっておるから、この場合、こういうのを書くと便利じゃ
| １ | ２ | ３ | ４ | ６ |
| ４８ | ２４ | １６ | １２ | ８ |
この表はなんですか？
表のたての列をかけ算してごらん
どれも４８になるんじゃよ
つまり、この表の数字の組み合わせの中から、
－１３になるように数字を選べばいいんじゃ
| １ | ２ | ３ | ４ | ６ |
| ４８ | ２４ | １６ | １２ | ８ |
かけてー４８なので、
（－１）＋４８＝４７
１＋（－４８）＝－４７
となり、どちらもー１３にはならないです
そうじゃな
では、どんどん考えてみてごらん
（－２）＋２４＝２２
２＋（－２４）＝－２２
これもダメですネ～
（－３）＋１６＝１３
３＋（－１６）＝－１３
あ！ たして ー１３ になる組み合わせがありました！
では、因数分解を完了させてごらん
えっと、３とー１６が正解だったので、
\( A^2 － 13A － 48 \)
\( = （A + 3) (A－16) \)
ここまで出来ました！
あとは、自分で使ったAをもとに戻すんじゃ
\( A = x^2 \) だったので、
\( (A + 3) (A－16) \)
\( = (x^2 + 3) (x^2－16) \)
となりました！
これで答えですか？
正解といいたいとこなんじゃが、
あと一息があるんじゃ
\( (x^2 + 3) (x^2－16) \) の
\( (x^2－16) \) の部分は、
さらに因数分解できるじゃろ？
あ、2乗ー2乗の公式が使えますネ！
そうなんじゃよ
これは、4乗の因数分解では、よーくあるパターンなんじゃ
これで終わったって安心しないようにするんじゃぞ！
わかりました！
じゃあ、
\( (x^2 + 3) (x^2－16) \)
\( = (x^2 + 3) (x － 4)(x + 4) \)
これが答えですか？
そのとおりじゃ！
これ以上因数分解できないから、ここで終了じゃ
よかったぁ～
解き方を整理してみようかのぉ
①、4次式を、置き換えて、2次式にする
②、2次式の因数分解をする
③、置き換えをもとにもどす
④、因数分解できないところまでやる
今回の4次式の因数分解は、このパターンじゃったわけじゃ
つまり、４次式を2次式したのがポイントですね
そうじゃな！
しかし、今回の解法を、
４次式は \( A=x^2 \) と置き換えて因数分解
と覚えるのはあまりよくないと思っておる。
え、なぜ、ですか？
４次式を２次式などに次数を下げる操作のことを
数学では「次数下げ」と呼んでおるんじゃ
次数下げは、数学全体で使われているテクニックなんじゃ
なので、今回の解法を、次数下げの一種ととらえると、
あ、因数分解でも次数下げって役立つのね
と「理解する」ことができるんじゃ
なるほど～
次数を下げるというのは、数学ではとっても大切な感覚みたいですね！
今回の因数分解をまとめると、
次数下げによる因数分解（置き換えを利用した）
と理解すればいいんですね！
次数下げと理解すると、4次だけでなく、
5次や６次などのさらに次数が高い時にも使える考え方になりますね！
そのとおりじゃ
次数下げを使うと因数分解ができることがある
と理解しておくと、
他の問題でも応用するアイデアの源になるわけじゃ
なるほどです！
数学っておもしろいですね！
こういうとこが、数学力の差になるわけじゃな
というわけで、(1) の解説はこれで終わりじゃ
長くなったから、(2) (3) は、次の記事で解説しようかのぉ
お～い、ザピエルくん、あとお願い！
あ、先生！告知をさせてください
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具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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