【数学 質問解答】「4乗」を含んだ因数分解 パート1【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

4次式の因数分解1 次数下げ 数学おじさん oj3math 数学(高校)
4次式の因数分解1 次数下げ 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました!

[mathjax]

ハムちゃん
ハムちゃん

次の式の因数分解をしてください!

 

(1),  \(  x^4 - 13x^2 - 48 \)

 

(2),  \(  x^4 -1 \)

 

(3),  \(  4a^4 -25a^2b^2 + 36b^4  \)

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、「4乗をふくんだ因数分解」のようですね~

 

先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザビエルくん、ありがとう!

 

今回は、「4乗」が含まれておるのぉ

 

4乗では、4乗の考え方があるんじゃ

 

いくつか典型的なパターンがあるから、

 

最初はやり方をシッカリ理解して、

 

その後、練習問題を積んで、慣れるのが早道じゃ

 

というわけで、解説をはじめるかのぉ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!お願いします!

【数学 質問解答】「4乗」を含んだ因数分解【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

数学おじさん
数学おじさん

まずは、(1) から解説するとしようかのぉ

 

(1),  \(  x^4 - 13x^2 - 48 \)

 

じゃな

 

 

数学おじさん
数学おじさん

因数分解の鉄則は、まず、式をシッカリ分析することなんじゃ

 

まずは、最初に共通因数がないかは、確認するんじゃ

 

共通因数があれば、それでくくる、これが鉄則じゃ

 

それが終わったら、式をさらに分析していくんじゃ

 

具体的になにをするかというと、

 

「項」、「次数」、「係数」、をチェックするんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!

 

まず、共通因数はありません!

 

次に、

 

項は、3つあります!

 

\(  x^4 \) と \( - 13x^2  \) と \( - 48 \) です

 

次数は、項のそれぞれが、4次、2次、0次 です

 

係数は、1、-13、-48 です

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!よくできておるな

 

もし、「項」「次数」「係数」などを忘れた!

 

って方は、こちらで復習しておくようにするのがおススメじゃ

 

お~い、にゃんこくん、記事をおしえておくれ!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

では話を戻すかのぉ

 

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

(1),  \(  x^4 - 13x^2 - 48 \)

 

の、項と次数と係数を分析したんじゃったな

 

なぜそれをやったかという理由じゃが、

 

項や次数をみると、公式が使えるかがわかるからじゃ

 

今回、「3つの項がある」ということは、

 

①、3つの項を使う公式を適用

 

もしくは

 

②、3つのうち、どれか2つを使って公式を適用

 

の可能性があるわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

3つの項だからといって、3つ使うばかりじゃないんですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

自分には無理~なんて思わなくて大丈夫じゃ

 

このへんは慣れていくと柔軟に対応できるようになるもんなんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりました!

数学おじさん
数学おじさん

そしたら、こういう可能性があるなぁ~と思いながら、

 

使える可能性のある公式を、1つずつ、頭の中で試してみるんじゃ

 

この辺も練習することで、素早くできるようになるもんなんじゃよ

ハムちゃん
ハムちゃん

そうなんですねぇ~

数学おじさん
数学おじさん

今回、4乗じゃから、公式は知らないわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

そうなんですよ!

 

2乗と3乗の公式しか習ってなくて!

数学おじさん
数学おじさん

習ってないときは、

 

習ってるのが使えないかなぁ~

 

どうすれば、習っているやつの形になるかなぁ?

 

と考えるわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

2乗か3乗にすれば、習っています!

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

ここで、こういうやり方があることを知っておくのが大事じゃ

 

\( x^2 = A \)置き換えるテクニックがあるんじゃ

 

こうすると、問題の式が

 

\(  x^4 - 13x^2 - 48 \)

 

\( =  A^2 - 13A - 48 \)

 

となるわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、これなら、2乗の因数分解の公式が使えます!

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

そうすると、2乗の因数分解ができるか、係数をシッカリみるわけじゃ

 

かけてー48になる数字 の組みあわせの中で、

 

たしたらー13になるものを探すわけじゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なんかむずかしいです~

数学おじさん
数学おじさん

2乗の係数が1になっておるから、この場合、こういうのを書くと便利じゃ

 

48 24 16 12

 

ハムちゃん
ハムちゃん

この表はなんですか?

数学おじさん
数学おじさん

表のたての列をかけ算してごらん

 

どれも48になるんじゃよ

 

つまり、この表の数字の組み合わせの中から、

 

-13になるように数字を選べばいいんじゃ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

 

48 24 16 12

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

かけてー48なので、

 

(-1)+48=47

 

1+(-48)=-47

 

となり、どちらもー13にはならないです

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

では、どんどん考えてみてごらん

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

(-2)+24=22

 

2+(-24)=-22

 

これもダメですネ~

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

(-3)+16=13

 

3+(-16)=-13

 

あ! たして ー13 になる組み合わせがありました!

数学おじさん
数学おじさん

では、因数分解を完了させてごらん

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと、3とー16が正解だったので、

 

\(  A^2 - 13A - 48 \)

 

\( = (A + 3) (A-16) \)

 

ここまで出来ました!

数学おじさん
数学おじさん

あとは、自分で使ったAをもとに戻すんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

\( A = x^2 \) だったので、

 

\( (A + 3) (A-16) \)

 

\( = (x^2 + 3) (x^2-16) \)

 

となりました!

 

これで答えですか?

数学おじさん
数学おじさん

正解といいたいとこなんじゃが、

 

あと一息があるんじゃ

 

\(  (x^2 + 3) (x^2-16) \) の

 

\(  (x^2-16) \) の部分は、

 

さらに因数分解できるじゃろ?

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、2乗ー2乗の公式が使えますネ!

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

これは、4乗の因数分解では、よーくあるパターンなんじゃ

 

これで終わったって安心しないようにするんじゃぞ!

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりました!

 

じゃあ、

 

\(  (x^2 + 3) (x^2-16) \)

 

\(  = (x^2 + 3) (x - 4)(x + 4) \)

 

これが答えですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

これ以上因数分解できないから、ここで終了じゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

よかったぁ~

数学おじさん
数学おじさん

解き方を整理してみようかのぉ

 

①、4次式を、置き換えて、2次式にする

 

②、2次式の因数分解をする

 

③、置き換えをもとにもどす

 

④、因数分解できないところまでやる

 

今回の4次式の因数分解は、このパターンじゃったわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

つまり、4次式を2次式したのがポイントですね

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな!

 

しかし、今回の解法を、

 

4次式は \( A=x^2 \) と置き換えて因数分解

 

と覚えるのはあまりよくないと思っておる。

 

ハムちゃん
ハムちゃん

え、なぜ、ですか?

数学おじさん
数学おじさん

4次式を2次式などに次数を下げる操作のことを

 

数学では「次数下げ」と呼んでおるんじゃ

 

次数下げは、数学全体で使われているテクニックなんじゃ

 

なので、今回の解法を、次数下げの一種ととらえると、

 

あ、因数分解でも次数下げって役立つのね

 

と「理解する」ことができるんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど~

 

次数を下げるというのは、数学ではとっても大切な感覚みたいですね!

 

今回の因数分解をまとめると、

 

次数下げによる因数分解(置き換えを利用した)

 

と理解すればいいんですね!

 

次数下げと理解すると、4次だけでなく、

 

5次や6次などのさらに次数が高い時にも使える考え方になりますね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

次数下げを使うと因数分解ができることがある

 

と理解しておくと、

 

他の問題でも応用するアイデアの源になるわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

数学っておもしろいですね!

数学おじさん
数学おじさん

こういうとこが、数学力の差になるわけじゃな

 

というわけで、(1) の解説はこれで終わりじゃ

 

長くなったから、(2) (3) は、次の記事で解説しようかのぉ

 

お~い、ザピエルくん、あとお願い!

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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数学にゃんこ
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