今回は、こんな質問をいただきました！
[mathjax]
\( x^3 + 3xy + y^3 － 1 \) を因数分解してください！
今回は、３乗が含まれているようですね
では先生、お願いします！
ザピエルくん、ありがとう！
今回は「３乗を含んだ因数分解」じゃな
①、「３乗の因数分解」を扱うには、「３つの公式」を知っておくことが大事じゃ
②、それプラス、今まで学んだ考え方を組み合わせるのもポイントじゃ
これがわかっていれば、こわいものはないぞ
なるほどです！
では、今回の記事を読むと、
①、３乗の関係する公式を理解できる
②、因数分解の考え方と、①の公式を組み合わせることができるようになる
というメリットがあるんですね！
そのとおりじゃ
では、解説をはじめるとするかのぉ
はい！お願いします！
【数学 質問解答】３乗をふくんだ式の因数分解【高校数学 数A 因数分解】
解答例
まずは結果だけ知りたい方のために、
答えから先に示しておくかのぉ
ちなみに、この問題の解き方は、少なくとも３つあるんじゃが、
そのうち最短で解ける解き方を示しておくかのぉ
他の２つの解法も下で示すから、比べてみると面白いかと思う
\( x^3 + 3xy + y^3 － 1 \)
\( = (x + y －1)(x^2 + y^2 + (－1)^2 － xy － b (－1) － (－1)x) \)
\( = (x + y －1)(x^2 + y^2 + 1 － xy + y + x) \)
\( = (x + y －1)(x^2 － xy + y^2 + x + y + 1 ) \)
となり、これが答えじゃ
最後の式変形で、右側の（ ）の中は、
（２次の項）＋（１次の項）＋（０次の項）
のように整理したんじゃ
ここまでしなくても正解だとは思うが、
見た目がスッキリしておると、採点者も○つけやすいんじゃ
採点者の気持ちになって、解答をつくるといいよ！って
学校の先生も言ってました！
そのとおりじゃ
採点者は１日、何十何百もの答案をみるんじゃ
つまり、採点者は疲れておる。
記述式では、部分点などがあるから、採点者にわかりやすく書くのは大事じゃぞ
それでは、解説をしていこうかのぉ
【公式①】３乗をふくんだ式の因数分解
【公式①】３乗をふくんだ式の因数分解
\( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \)
\( = (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 －ab －bc － ca) \)
なんか複雑な公式ですねぇ～
そうじゃな
最初は見ながらでもいいから、
１つひとつ間違えないように書くことから始めるんじゃ
複雑じゃから、符号や２乗や３乗とか気をつけるんじゃぞ
わかりました！
つぎは、どうすればいいんですか？
公式がつかえるか、判断する
次は、公式が使えるかどうかを考えるんじゃ
大学入試などでは、
①、まず公式を思いつく
②、それが使えるか確かめる
③、使えるなら、使って因数分解
の流れで解くんじゃ
今回の記事では、①はこちらで示したから、②と③をやるわけじゃ
公式と、問題の式を、よ～く見比べてみてほしい
問題は、 \( x^3 + 3xy + y^3 － 1 \)
公式は、 \( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \)
項が４つで同じだし、３乗もいくつかあって、なんか似てますネ！
そうじゃな
因数分解の問題は、公式と対応しているか、
１つひとつ、シッカリ確認することが大事じゃ
問題の式をちょっと変えてみるのもポイントじゃ
\( x^3 + 3xy + y^3 － 1 \)
\( = x^3 + y^3 + (－ 1)^3 － 3xy×(－1) \)
となるじゃろ
公式は、 \( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \) じゃ
あ、もしかして、公式がつかえるかも！
そのとおりじゃ
でも、ここであせってはいかんぞ
１つひとつ、シッカリ確認する、というのが、大事なんじゃ
具体的には、どう、確認すればいいんですか？
いい質問じゃ
\( = x^3 + y^3 + (－ 1)^3 － 3xy×(－1) \)
と公式、 \( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \) が似てるなぁ
と思ったら、対応関係を調べるんじゃ
対応関係を調べるって、具体的に、どうすればいいんですか？
公式の文字に、なにかを代入して、問題の式になるかを確認すればいいんじゃ
\( a = x, b = y, c = －1 \) じゃないかなぁ
と考えたら、公式に代入して、
問題の式と同じになるか確かめればオッケーじゃ。
ちなみに、a とｘ、ｂとｙ、ｃと－１という関係を対応関係といったんじゃ。
なるほどです！
じゃあ、これを公式に代入して、問題の式になるか、たしかめればいいから、
\( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \) に、
\( a = x, b = y, c = －1 \) を代入すると、
\( = x^3 + y^3 + (－ 1)^3 － 3xy×(－1) \)
\( = x^3 + 3xy + y^3 － 1 \)
となって、問題の式と一致しました！！
一致したということは、公式が使える！と判断できるんじゃ
なるほどです！
こうやって、公式が使えるかどうか確かめればいいんですネ！
そのとおりじゃ
確認できたら、あとは公式を使うだけじゃ
問題を解けたようなもんじゃ
因数分解を実行する
では、公式をつかって、因数分解をやってみるんじゃ
えっと、
\( a^3 + b^3 + c^3 － 3abc \)
\( = (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 －ab －bc － ca) \)
だから、
\( a = x, b = y, c = －1 \) を使うと、
\( x^3 + 3xy + y^3 － 1 \)
\( = x^3 + y^3 + (－ 1)^3 － 3xy×(－1) \)
\( = \{x + y + (－1) \} { x^2 + y^2 + (－1)^2 －xy －y(－1) － c(－1) \} \)
\( = (x + y －1)( x^2 + y^2 + 1 －xy + y + x) \)
\( = (x + y －1)( x^2 －xy + y^2 + x + y + 1 ) \)
でいいんですか！？
大正解じゃ
これで３乗の公式の１つめはマスターじゃな
はい！うれしいです！
ちなみに、別解はどんな感じなのですか？
そうじゃな、では別解の解説にいくかのぉ
別解①：別の３乗の公式をつかう
公式②：３乗をふくんだ式の因数分解
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 － ab + b^2) \)
\( a^3 － b^3 = (a － b)(a^2 ＋ ab + b^2) \)
あ、この公式みたことあります！
この式は、３乗をふくむ、２つの文字の式の因数分解で、よく使われる式じゃな
今回の問題は、３つの文字の式だったから、最初の公式を使ったんじゃ。
でも、今回の問題は、２つの文字の式とみてもいいわけじゃ
だから、この公式でも因数分解できるんじゃ
なるほどです！
ではやってみるかのぉ
\( x^3 + 3xy + y^3 － 1 \)
\( = x^3 + y^3 + 3xy － 1 \)
\( = (x + y)(x^2 － xy + y^2) + 3xy － 1 \)
上の公式を、つかったんですネ！
でも、ここから、どうすればいいんですか？
式の特徴に着目する：対称式は基本対称式で考える
ここで、別のポイントから式をみてみるんじゃ
\( (x + y)(x^2 － xy + y^2) + 3xy － 1 \)
という式は、x と y を入れかえても、もとの式と同じになるじゃろ？
ほんとですか？
\( (x + y)(x^2 － xy + y^2) + 3xy － 1 \)
の式の、ｘとｙを入れかえてみると、
\( (y + x)(y^2 － yx + x^2) + 3yx － 1 \)
あ、これ同じですね！
そうなんじゃ
このように、２文字の式で、その２文字をいれかえても、
元の式と同じになる式のことを、
「対称式（たいしょうしき）」というんじゃ
たいしょうしき・・・
とりあえず、そう呼ぶんだと思ってくれたらオッケーじゃ
大事なのは、次のポイントじゃ
対称式は、基本対称式で考えるといい
ということなんじゃ
きほんたいしょうしき・・・？
ちょっと整理しておこうかのぅ
なにか式があって、２つの文字（ｘとｙ）があるとするぞ
ｘとｙを入れかえても、元の式と同じになるのが、「対称式」じゃ
そして、２つの文字の和と積、
つまり、この場合、ｘ＋ｙ と ｘｙ のことを、「基本対称式」と呼ぶんじゃ
なるほど！
ということは、
２文字の対称式があったら、２文字の和と積を１文字のように考えるといい
ってことですか？？
そのとおりじゃ！
ことばだけだとわかりにくいから、
今回の問題で具体的にみてみるかのぉ
いま
\( (x + y)(x^2 － xy + y^2) + 3xy － 1 \)
まで変形しておったわけじゃ
この式は、２文字、ｘとｙの対称式じゃな
だから、ｘ＋ｙ と ｘｙ の基本対称式で考えるといいかもしれない？
と発想するんじゃ
なるほど！
\( (x + y)(x^2 － xy + y^2) + 3xy － 1 \)
でも、 \( x^2 + y^2 \) の部分は、基本対称式でないですよ！
そのとおりじゃ！
だから、 \( x^2 + y^2 \) の部分を、
基本対称式を使った形に変形できないか？
と考えるわけじゃ
なるほどです！
\( x^2 + y^2 \)
\( = (x + y)^2 －2xy \)
とすればいいのですか？？
そのとおりじゃ！
この式は、展開公式
\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
を変形して、
\( x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \)
\( x^2 + y^2 = (x + y)^2 － 2xy \)
としたわけじゃな
では、これを使って、問題の式を変形してごらん
えっと～
\( (x + y)(x^2 － xy + y^2) + 3xy － 1 \) に
\( x^2 + y^2 = (x + y)^2 － 2xy \) を使うから、
\( (x + y)(x^2 － xy + y^2) + 3xy － 1 \)
\( = (x + y) \{ (x + y)^2 － 2xy － xy \} + 3xy － 1 \)
\( = (x + y) \{ (x + y)^2 － 3xy \} + 3xy － 1 \)
\( = (x + y)^3 － 3xy(x + y) + 3xy － 1 \)
ここまで、できました！
次は、どうすればいいんですか！？
「２文字の対称式があったら、２文字の和と積を１文字のように考えるといい」
の発想にしたがって、変形してきたわけじゃ
そこで、みやすいように、
x+y = A
xy = B
のように、１文字で書いてみてごらん
\( (x + y)^3 － 3xy(x + y) + 3xy － 1 \)
\( = A^3 － 3AB + 3B － 1 \)
となりました！
すると、
\( A^3 － 3AB + 3B － 1 \)
を因数分解する問題に変わったわけじゃ
複数の文字の式の因数分解の基本は、低い次数の文字について整理する
\( A^3 － 3AB + 3B － 1 \)
を因数分解するには、・・・？
ここで、複数の文字をふくんだ式の
因数分解の基本の考え方を思い出すんじゃ
次数が低いBについて整理すればいい！となるわけじゃ
なるほど！
\( A^3 － 3AB + 3B － 1 \)
\( = － 3AB + 3B + A^3 － 1 \)
\( = － 3B(A－1) + A^3 － 1 \)
\( = － 3B(A－1) + (A － 1)(A^2 + A + 1) \)
\( = (A － 1)(－ 3B + A^2 + A + 1) \)
これ以上できなさそうです！
そのようじゃな！
\( － 3B(A－1) + A^3 － 1 \)
\( = － 3B(A－1) + (A － 1)(A^2 + A + 1) \)
の変形では、上の公式②の下の式をつかったんじゃな
はい！そうです！
では、あとは自分で使った文字AとBは、元にもどしておくんじゃ
A = x + y
B = xy
だったので、
\( (A － 1)(－ 3B + A^2 + A + 1) \)
\( = (x + y － 1)(－ 3xy + (x + y)^2 + x + y + 1) \)
\( = (x + y － 1)(－ 3xy + x^2 + 2xy + y^2 + x + y + 1) \)
\( = (x + y － 1)(x^2 － xy + y^2 + x + y + 1 ) \)
となりました！
大正解じゃ！
最初の公式①を使った結果と一致しておるな
はい！うれしいです！
このように、
- 因数分解の公式
- 対称式の扱い方
- 低い次数の文字に着目する（因数分解の基本的な考え方）
を組み合わせて解けたわけじゃ
なんかおもしろいですね！
ちなみに、もう１つ別解があるんですか？
では、さらに別解を解説するかのぉ
別解②：さらに別の公式をつかう
式変形の定番
\( a^3 + b^3 = (a + b)^3 － 3ab(a + b)
\( a^3 － b^3 = (a － b)^3 + 3ab(a － b)
なんですか、これ？？？
この式は、「３乗の展開公式」からきてるんじゃ
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
左右をいれかえて、
\( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3 \)
\( a^3 + b^3 = (a + b)^3 － 3a^2b － 3ab^2 \)
\( a^3 + b^3 = (a + b)^3 － 3ab(a + b) \)
となるわけじゃ
\( a^3 － b^3 = (a － b)^3 ＋ 3ab(a － b) \)
も同じようにして出てくるぞ
なるほどです！
この式を、どう、使うんですか？
では、やってみようかのぉ
問題の式は \( x^3 + 3xy + y^3 － 1 \) じゃったな
\( x^3 + 3xy + y^3 － 1 \)
\( = x^3+ y^3 + 3xy － 1 \)
\( = (x + y)^3 －3xy(x + y) + 3xy － 1 \)
となるじゃろ
あ、この式、上の別解①の途中に出てきてました！
そのとおりじゃ、よく覚えていたのぉ
じゃから、この先は、別解①と同じ手順でやればできるわけじゃ
このように、２文字の３乗の式とみなすときには、
別解①と②の２パターンがあるわけじゃな
今回は、途中からどちらも同じ式になっていたというわけじゃ
なるほどです！
一番かんたんだったのは、やっぱり３文字の３乗の公式を使う場合でしたね！
そうじゃな
出題者の意図としては、３文字の３乗の公式を見抜けますか？
という問題じゃろうな
ただ、それを知らなくても、
２文字の３乗の公式と、基本的な考え方を使うことで解ける
という問題じゃったわけじゃ
入試などでは時間に限りがあるから、おすすめはしないんじゃが、
数学の思考力をつけるという意味では、
１つの問題をいろいろな角度からみて、別解を考えるのはおすすめじゃ
なるほどです！
別解を知ることで、最初の解答が頭に残る気がします！
そうじゃな
ヒトの記憶というのは、
似たものを比較することで、覚えやすくなる特徴もあるんじゃ
じゃから時間に余裕があれば、ぜひ別解を考える時間をとってみるとよいぞ
わかりました！
では今回はこのくらいにするかのぉ
にゃんこくん、復習しておくとよい記事をお願い！
は～い、先生！
因数分解の基本的な考え方は、こちらの記事がおすすめにゃん
『【数学 質問解答】高校生の因数分解（２つの文字を含んだ式）【高校数学 数A 因数分解】』
今回のような、式の対称性に注目した因数分解の記事はこちらだにゃん
にゃんこくん、ありがとう！
お～い、ザピエルくん、あとはお願い！
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
- 励ましてほしい
- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
一緒に勉強する（丸つけや解説する）ことをやりながら、
あなたの勉強をサポートするという仕組みです。
- やる気を継続したい
- 成績をアップさせたい
- 楽しく勉強したい
といったあなたに特にオススメです。
できるだけ楽しみながら勉強できるように工夫しています。
ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓
「【中学生 高校生 社会人】勉強のペースメーカーはいかがでしょう【受験 入試 資格試験】」
不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
「中学数学」を学んだりやり直しならこちらの本がおすすめだにゃん
『【数学】中学数学を独学したい、やり直したいあなたにおすすめの参考書や問題集はこちらです【中学数学 高校数学 数学検定】』
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