【数学 質問解答】3乗をふくんだ式の因数分解 パート1【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

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高校数学 3乗の因数分解 対称式 数学おじさん oj3math 入門・基礎問題(教科書理解)
高校数学 3乗の因数分解 対称式 数学おじさん oj3math
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秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました!

[mathjax]

ハムちゃん
ハムちゃん

 \( x^3 + 3xy + y^3 - 1 \) を因数分解してください!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、3乗が含まれているようですね

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう!

 

今回は「3乗を含んだ因数分解」じゃな

 

①、「3乗の因数分解」を扱うには、「3つの公式」を知っておくことが大事じゃ

 

②、それプラス、今まで学んだ考え方を組み合わせるのもポイントじゃ

 

これがわかっていれば、こわいものはないぞ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

では、今回の記事を読むと、

 

①、3乗の関係する公式を理解できる

 

②、因数分解の考え方と、①の公式を組み合わせることができるようになる

 

というメリットがあるんですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、解説をはじめるとするかのぉ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!お願いします!

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【数学 質問解答】3乗をふくんだ式の因数分解【高校数学 数A 因数分解】

解答例

数学おじさん
数学おじさん

まずは結果だけ知りたい方のために、

 

答えから先に示しておくかのぉ

 

ちなみに、この問題の解き方は、少なくとも3つあるんじゃが、

 

そのうち最短で解ける解き方を示しておくかのぉ

 

他の2つの解法も下で示すから、比べてみると面白いかと思う

 

 

数学おじさん
数学おじさん

 \( x^3 + 3xy + y^3 - 1 \)

 

\( = (x + y -1)(x^2 + y^2 + (-1)^2 - xy - b (-1) - (-1)x) \)

 

\( = (x + y -1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x) \)

 

\( = (x + y -1)(x^2 - xy + y^2 + x + y + 1 ) \)

 

となり、これが答えじゃ

 

最後の式変形で、右側の( )の中は、

 

(2次の項)+(1次の項)+(0次の項)

 

のように整理したんじゃ

 

ここまでしなくても正解だとは思うが、

 

見た目がスッキリしておると、採点者も○つけやすいんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

採点者の気持ちになって、解答をつくるといいよ!って

 

学校の先生も言ってました!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

採点者は1日、何十何百もの答案をみるんじゃ

 

つまり、採点者は疲れておる。

 

記述式では、部分点などがあるから、採点者にわかりやすく書くのは大事じゃぞ

 

それでは、解説をしていこうかのぉ

【公式①】3乗をふくんだ式の因数分解

数学おじさん
数学おじさん

【公式①】3乗をふくんだ式の因数分解

 

 \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)

 

 \( = (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc - ca) \)

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なんか複雑な公式ですねぇ~

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

最初は見ながらでもいいから、

 

1つひとつ間違えないように書くことから始めるんじゃ

 

複雑じゃから、符号や2乗や3乗とか気をつけるんじゃぞ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりました!

 

つぎは、どうすればいいんですか?

公式がつかえるか、判断する

数学おじさん
数学おじさん

次は、公式が使えるかどうかを考えるんじゃ

 

大学入試などでは、

 

①、まず公式を思いつく

 

②、それが使えるか確かめる

 

③、使えるなら、使って因数分解

 

の流れで解くんじゃ

 

今回の記事では、①はこちらで示したから、②と③をやるわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

公式と、問題の式を、よ~く見比べてみてほしい

 

問題は、 \( x^3 + 3xy + y^3 - 1 \)

 

公式は、 \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)

 

ハムちゃん
ハムちゃん

項が4つで同じだし、3乗もいくつかあって、なんか似てますネ!

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

因数分解の問題は、公式と対応しているか、

 

1つひとつ、シッカリ確認することが大事じゃ

 

問題の式をちょっと変えてみるのもポイントじゃ

 

\( x^3 + 3xy + y^3 - 1 \)

 

\( =  x^3 + y^3 + (- 1)^3 - 3xy×(-1) \)

 

となるじゃろ

 

公式は、 \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \) じゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、もしかして、公式がつかえるかも!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

でも、ここであせってはいかんぞ

 

1つひとつ、シッカリ確認する、というのが、大事なんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

具体的には、どう、確認すればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

いい質問じゃ

 

\( =  x^3 + y^3 + (- 1)^3 - 3xy×(-1) \)

 

と公式、 \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \) が似てるなぁ

 

と思ったら、対応関係を調べるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

対応関係を調べるって、具体的に、どうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

公式の文字に、なにかを代入して、問題の式になるかを確認すればいいんじゃ

 

\( a = x,  b = y,  c = -1 \)  じゃないかなぁ

 

と考えたら、公式に代入して、

 

問題の式と同じになるか確かめればオッケーじゃ。

 

ちなみに、a とx、bとy、cと-1という関係を対応関係といったんじゃ。

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

じゃあ、これを公式に代入して、問題の式になるか、たしかめればいいから、

 

\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \) に、

 

\( a = x,  b = y,  c = -1 \)  を代入すると、

 

\( =  x^3 + y^3 + (- 1)^3 - 3xy×(-1) \)

 

\( = x^3 + 3xy + y^3 - 1 \)

 

となって、問題の式と一致しました!!

数学おじさん
数学おじさん

一致したということは、公式が使える!と判断できるんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

こうやって、公式が使えるかどうか確かめればいいんですネ!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

確認できたら、あとは公式を使うだけじゃ

 

問題を解けたようなもんじゃ

因数分解を実行する

数学おじさん
数学おじさん

では、公式をつかって、因数分解をやってみるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと、

 

\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)

 

\( = (a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc - ca) \)

 

だから、

 

\( a = x,  b = y,  c = -1 \) を使うと、

 

\( x^3 + 3xy + y^3 - 1 \)

 

\( =  x^3 + y^3 + (- 1)^3 - 3xy×(-1) \)

 

\( = \{x + y + (-1) \} { x^2 + y^2 + (-1)^2 -xy -y(-1) - c(-1) \} \)

 

\( = (x + y -1)( x^2 + y^2 + 1 -xy + y + x) \)

 

\( = (x + y -1)( x^2 -xy + y^2 + x + y + 1 ) \)

 

でいいんですか!?

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

これで3乗の公式の1つめはマスターじゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!うれしいです!

 

ちなみに、別解はどんな感じなのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな、では別解の解説にいくかのぉ

別解①:別の3乗の公式をつかう

数学おじさん
数学おじさん

公式②:3乗をふくんだ式の因数分解

 

 \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

 

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、この公式みたことあります!

数学おじさん
数学おじさん

この式は、3乗をふくむ、2つの文字の式の因数分解で、よく使われる式じゃな

 

今回の問題は、3つの文字の式だったから、最初の公式を使ったんじゃ。

 

でも、今回の問題は、2つの文字の式とみてもいいわけじゃ

 

だから、この公式でも因数分解できるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

ではやってみるかのぉ

 

\( x^3 + 3xy + y^3 - 1 \)

 

\( = x^3 + y^3 + 3xy - 1 \)

 

\( = (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3xy - 1 \)

 

ハムちゃん
ハムちゃん

上の公式を、つかったんですネ!

 

でも、ここから、どうすればいいんですか?

 

式の特徴に着目する:対称式は基本対称式で考える

数学おじさん
数学おじさん

ここで、別のポイントから式をみてみるんじゃ

 

\(  (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3xy - 1 \)

 

という式は、x と y を入れかえても、もとの式と同じになるじゃろ?

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

ほんとですか?

 

\(  (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3xy - 1 \)

 

の式の、xとyを入れかえてみると、

 

\(  (y + x)(y^2 - yx + x^2) + 3yx - 1 \)

 

あ、これ同じですね!

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃ

 

このように、2文字の式で、その2文字をいれかえても、

 

元の式と同じになる式のことを、

 

対称式(たいしょうしき)」というんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

たいしょうしき・・・

数学おじさん
数学おじさん

とりあえず、そう呼ぶんだと思ってくれたらオッケーじゃ

 

大事なのは、次のポイントじゃ

 

対称式は、基本対称式で考えるといい

 

ということなんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

きほんたいしょうしき・・・?

数学おじさん
数学おじさん

ちょっと整理しておこうかのぅ

 

なにか式があって、2つの文字(xとy)があるとするぞ

 

xとyを入れかえても、元の式と同じになるのが、「対称式」じゃ

 

そして、2つの文字の和と積

 

つまり、この場合、x+yxy のことを、「基本対称式」と呼ぶんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!

 

ということは、

 

2文字の対称式があったら、2文字の和と積を1文字のように考えるといい

 

ってことですか??

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

ことばだけだとわかりにくいから、

 

今回の問題で具体的にみてみるかのぉ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

いま

 

\(  (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3xy - 1 \)

 

まで変形しておったわけじゃ

 

この式は、2文字、xとyの対称式じゃな

 

だから、x+y と xy の基本対称式で考えるといいかもしれない?

 

と発想するんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!

 

\(  (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3xy - 1 \)

 

でも、 \(  x^2 + y^2 \) の部分は、基本対称式でないですよ!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

だから、 \(  x^2 + y^2 \) の部分を、

 

基本対称式を使った形に変形できないか?

 

と考えるわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

\(  x^2 + y^2 \)

 

\( = (x + y)^2 -2xy \)

 

とすればいいのですか??

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

この式は、展開公式

 

\(  (x + y)^2  = x^2 + 2xy + y^2  \)

 

を変形して、

 

\(   x^2 + 2xy + y^2  = (x + y)^2  \)

 

\(   x^2 + y^2  = (x + y)^2  - 2xy \)

 

としたわけじゃな

 

では、これを使って、問題の式を変形してごらん

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと~

 

\(  (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3xy - 1 \)  に

 

\(   x^2 + y^2  = (x + y)^2  - 2xy \)  を使うから、

 

\(  (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3xy - 1 \)

 

\(   = (x + y) \{ (x + y)^2  - 2xy - xy \} + 3xy - 1 \)

 

\(   = (x + y) \{ (x + y)^2  - 3xy \} + 3xy - 1 \)

 

\(   = (x + y)^3  - 3xy(x + y) + 3xy - 1 \)

 

ここまで、できました!

 

次は、どうすればいいんですか!?

 

数学おじさん
数学おじさん

「2文字の対称式があったら、2文字の和と積を1文字のように考えるといい

 

の発想にしたがって、変形してきたわけじゃ

 

そこで、みやすいように、

 

x+y = A

xy = B

 

のように、1文字で書いてみてごらん

 

ハムちゃん
ハムちゃん

 \(   (x + y)^3  - 3xy(x + y) + 3xy - 1 \)

 

\(   = A^3  - 3AB + 3B - 1 \)

 

となりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

すると、

 

\(   A^3  - 3AB + 3B - 1 \)

 

を因数分解する問題に変わったわけじゃ

複数の文字の式の因数分解の基本は、低い次数の文字について整理する

 

ハムちゃん
ハムちゃん

\(   A^3  - 3AB + 3B - 1 \)

 

を因数分解するには、・・・

 

 

数学おじさん
数学おじさん

ここで、複数の文字をふくんだ式の

 

因数分解の基本の考え方を思い出すんじゃ

 

次数が低いBについて整理すればいい!となるわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!

 

\(   A^3  - 3AB + 3B - 1 \)

 

\(   = - 3AB + 3B + A^3  - 1 \)

 

\(   = - 3B(A-1) + A^3  - 1 \)

 

\(   = - 3B(A-1) + (A - 1)(A^2 + A + 1) \)

 

\(   = (A - 1)(- 3B + A^2 + A + 1) \)

 

これ以上できなさそうです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのようじゃな!

 

\(   - 3B(A-1) + A^3  - 1 \)

 

\(   = - 3B(A-1) + (A - 1)(A^2 + A + 1) \)

 

の変形では、上の公式②の下の式をつかったんじゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!そうです!

 

数学おじさん
数学おじさん

では、あとは自分で使った文字AとBは、元にもどしておくんじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

A = x + y

B = xy

 

だったので、

 

\(   (A - 1)(- 3B + A^2 + A + 1) \)

 

\( =  (x + y - 1)(- 3xy + (x + y)^2 + x + y + 1) \)

 

\( =  (x + y - 1)(- 3xy + x^2 + 2xy + y^2 + x + y + 1) \)

 

\( =  (x + y - 1)(x^2 - xy + y^2 + x + y + 1 ) \)

 

となりました!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

最初の公式①を使った結果と一致しておるな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!うれしいです!

数学おじさん
数学おじさん

このように、

  • 因数分解の公式
  • 対称式の扱い方
  • 低い次数の文字に着目する(因数分解の基本的な考え方)

を組み合わせて解けたわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なんかおもしろいですね!

 

ちなみに、もう1つ別解があるんですか?

数学おじさん
数学おじさん

では、さらに別解を解説するかのぉ

別解②:さらに別の公式をつかう

数学おじさん
数学おじさん

式変形の定番

 

 \( a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)

 

 \( a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なんですか、これ???

 

数学おじさん
数学おじさん

この式は、「3乗の展開公式」からきてるんじゃ

 

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

 

左右をいれかえて、

 

\( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3 \)

 

\( a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a^2b - 3ab^2 \)

 

\( a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) \)

 

となるわけじゃ

 

\( a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b) \)

 

も同じようにして出てくるぞ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

この式を、どう、使うんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

では、やってみようかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

問題の式は \( x^3 + 3xy + y^3 - 1 \) じゃったな

 

\( x^3 + 3xy + y^3 - 1 \)

 

\( = x^3+ y^3 + 3xy - 1 \)

 

\( = (x + y)^3 -3xy(x + y) + 3xy - 1 \)

 

となるじゃろ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、この式、上の別解①の途中に出てきてました!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ、よく覚えていたのぉ

 

じゃから、この先は、別解①と同じ手順でやればできるわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

このように、2文字の3乗の式とみなすときには、

 

別解①と②の2パターンがあるわけじゃな

 

今回は、途中からどちらも同じ式になっていたというわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

一番かんたんだったのは、やっぱり3文字の3乗の公式を使う場合でしたね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

出題者の意図としては、3文字の3乗の公式を見抜けますか?

 

という問題じゃろうな

 

ただ、それを知らなくても、

 

2文字の3乗の公式と、基本的な考え方を使うことで解ける

 

という問題じゃったわけじゃ

 

入試などでは時間に限りがあるから、おすすめはしないんじゃが、

 

数学の思考力をつけるという意味では、

 

1つの問題をいろいろな角度からみて、別解を考えるのはおすすめじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

別解を知ることで、最初の解答が頭に残る気がします!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

ヒトの記憶というのは、

 

似たものを比較することで、覚えやすくなる特徴もあるんじゃ

 

じゃから時間に余裕があれば、ぜひ別解を考える時間をとってみるとよいぞ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりました!

数学おじさん
数学おじさん

では今回はこのくらいにするかのぉ

 

にゃんこくん、復習しておくとよい記事をお願い!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

因数分解の基本的な考え方は、こちらの記事がおすすめにゃん

【数学 質問解答】高校生の因数分解(2つの文字を含んだ式)【高校数学 数A 因数分解】

 

今回のような、式の対称性に注目した因数分解の記事はこちらだにゃん

【数学 質問解答】高校生の因数分解(式の特徴も利用する)【高校数学 数A 因数分解】

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

お~い、ザピエルくん、あとはお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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因数分解を系統立てて学ぶなら、こちらにゃん

 

わからないところが、サクッとわかる「因数分解」の解説記事をまとめました

 

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