【数学 質問解答】高校生の因数分解(式の特徴も利用する)【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

因数分解 対称式 数学おじさん oj3math 数学(高校)
因数分解 対称式 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました!

[mathjax]

 

質問うさぎ
質問うさぎ

 \( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)  を因数分解してください!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

なるほど、pとqの式ですね

 

では先生、お願いします!

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう!

 

今回の問題は、2つの文字、pとqを含んだ式の因数分解じゃな

 

前回の問題に似ておるから、同じ考え方でやってみようかのぉ

 

その後、式の特徴に注目した、別解も解説することにしよう

 

質問うさぎ
質問うさぎ

別解もあるんですね!たのしみです!

数学おじさん
数学おじさん

式の特徴を考えることで、サクッと解けることがあるんじゃ

 

テストなどでは、素早く解ける別解に気づけると、

 

時間の節約になるんじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回の記事を読むと、

 

①、2文字以上の式の因数分解の、「基本的なやり方」を学べる

 

②、式の特徴を使った、サクッと解ける「別解」を知ることができる

 

わけですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、はじめるかのぉ

【数学 質問解答】高校生の因数分解3(式の特徴も利用する)【高校数学 数A 因数分解】

数学おじさん
数学おじさん

今回の問題は

 

\( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)  を因数分解する

 

だったのぉ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

はい、そうです!

数学おじさん
数学おじさん

まずは、結果を知りたい方のために、

 

解答を書いておくかのぉ

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

 \( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)

 

\( = p^2 + pq -4p + pq + q^2 - 4q + 4 \)

 

\( = p^2 + 2pq -4p + q^2 - 4q + 4 \)

 

\( = p^2 + (2q -4)p + (q - 2)^2 \)

 

\( = (p + q - 2)(p + q - 2) \)

 

\( = (p + q - 2)^2 \)

 

これが答えじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!キレイな結果ですね!

 

でも、なんか、むずかしい・・・

数学おじさん
数学おじさん

たしかに、むずかしく感じるかもしれんのぉ

 

でも、1つひとつ、ていねいに解説するからだいじょうぶじゃ

 

なにを考えて、変形しているのかを知れば、

 

解答がシッカリ理解できるようになるはずじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

わかりました!

数学おじさん
数学おじさん

では、1つひとつ解説していくかのぉ

 

まずは、(  )をはずさないと、話がすすまんのぉ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

( )をはずすんですネ!

 

\( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)  の式の

 

\( (p + q)(p + q - 4)  \)  って、どうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

 \( (p + q)(p + q - 4)  \)  は、

 

\( (p + q) \)  は、( )の中に、pとqの2つの項、

 

\( (p + q - 4)  \)  は、( )の中に、pとqと-4の3つの項があるのぉ

 

じゃから、

 

\( (p + q)(p + q - 4)  \)  は、

 

(2つの項)×(3つの項)の計算なわけじゃ。

 

こういうときは、「分配法則」をつかうんじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

「分配法則」ってなんでしたっけ?・・・

数学おじさん
数学おじさん

分配法則はとても重要じゃ

 

シッカリ理解しておくんじゃぞ!

 

お~い、にゃんこくん、分配法則の記事をお願い!

 

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ありがとう!みてみますね!

数学おじさん
数学おじさん

分配法則をかんたんに説明しておくと、

 

a ×(b+c)

 

という式があったとしたら、

 

この式は、

 

項1×(項2+項3)

 

の形をしておるじゃろ

 

このとき、こういう計算できるってのが、分配法則じゃ

 

項1×(項2+項3)

 

項1× 項2+項1× 項3

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

a ×(b+c)

 

= a ×b + a ×c

 

ってことなんですね!

 

なるほどです!

 

でも、 \( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)  の式の

 

\( (p + q)(p + q - 4)  \)  って、もっと複雑ですよ~

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

分配法則には、別の形もあるんじゃ

 

例えば、(a + b)(c + d) のようなものじゃ

 

これは、(項1項2×(項3+項4)の形をしておる

 

これは、項1×(項3+項4) 項2×(項3+項4)と分解できるんじゃ

 

すると、これは上で説明したものが でわけられておる。

 

別々に計算すればいいわけじゃな。

 

項1×(項3+項4)項2×(項3+項4)

 

項1×項3+項1×項4項2×項3+項2×項4

 

というわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なんだか複雑ですねぇ~

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

いきなりマスターするのは無理じゃから、

 

簡単なものから1つひとつ理解していけばオッケーじゃ

 

分配法則の記事を参考にするのも1つの手じゃ

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

わかりました!

 

じゃあ、問題の式を展開してみますね!

 

\( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)

 

\( = p (p + q - 4) + q (p + q - 4) + 4 \)

 

\( = p^2 + pq - 4p + qp + q^2 - 4q + 4 \)

 

これでいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

複雑じゃが、よくできたのぉ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ありがとうございます!

 

次はどうすればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

この後は、前回解説した考え方でやってみるんじゃ

 

お~い、にゃんこくん、前回の解説記事をお願い!

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

にゃんこくん、ありがとう!みてみますね!

数学おじさん
数学おじさん

やることは、上の記事と同じじゃから、詳しくは上の記事をみてほしい

 

ここではサクッと進めていくことにするかのぉ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

文字が複数ある式など、複雑なときは、

 

次数が低い文字で整理する

 

というのが因数分解の鉄則なんじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

文字pは2次、文字qは2次ですね!

 

同じ次数のときは、どうすればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

同じ次数のときは、どちらに着目してもオッケーじゃ

 

ここでは(好みで)pについて整理してみるかのぉ

 

整理するというのは、降べきの順にするってことじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

じゃあ、

 

\(  p^2 + pq - 4p + qp + q^2 - 4q + 4 \)

 

\( = p^2 + 2pq - 4p + q^2 - 4q + 4 \)

 

でいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ただ、こう書くと、さらにわかりやすいかもしれん

 

\(  p^2    + (2q - 4)p  + q^2 - 4q + 4 \)

 

(pの2次式)+(pの1次式)+(pの0次式)の形になっておるわけじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

では、このあとは、どうすればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

pについて整理したわけじゃから、qは数字みたいなもんなわけじゃ

 

つまり、

 

\(  p^2    + (2q - 4)p  + q^2 - 4q + 4 \)  の式は、

 

\(  p^2    + 3p  + 2 \)  みたいな感じなわけじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

\(  p^2    + 3p  + 2 \) なら因数分解できます!

 

\( = (p +1)(p + 2) \)

 

ですネ!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

これと同じことを、pとqの式でやればいいわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ん~なんかわからないです・・・

数学おじさん
数学おじさん

ふくざつになると、できなくなる生徒さんはおおいんじゃ

 

シンプルな例でできるのに、ふくざつになるとできないときは、

 

シンプルな例の手順を考えるんじゃ

 

数字とか文字じゃなく、やった操作を、順序をつけて、整理するわけじゃ。

 

そしてそれを「手順としてまとめる」んじゃ。

 

それができたら、その手順を、複雑な問題に適用させればオッケーじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なんだか、わかるような、わからないような

 

むずかしいですねぇ~

数学おじさん
数学おじさん

いまはピンとこなくてもだいじょうぶじゃ

 

どこか頭の片隅のおいておけば、後でピンとくるときがくるはずじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほど!わかりました!

 

じゃあ、いまの問題では、具体的になにをすればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

この問題では、シンプルな例

 

\(  p^2    + 3p  + 2 \)

 

\( = (p +1)(p + 2) \)

 

では、要するに、「たすきがけ」をやっていたわけじゃ

 

つまり、この例では、

 

シンプルな例でつかった手順は、

 

「たすきがけ」というわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

「たすきがけ」って、自信ないです・・

 

数学おじさん
数学おじさん

だいじょうぶじゃ

 

ゼロからシッカリわかるように、解説した記事があるんじゃ

 

お~い、にゃんこくん、「たすきがけ」の解説記事をお願い!

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

にゃんこさん、ありがとう!みてみるね!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

はいにゃん!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

では、

 

\(  p^2    + (2q - 4)p  + q^2 - 4q + 4 \)

 

を因数分解することを考えてみるかのぉ

 

そのためには、pの0次の項 \( q^2 - 4q + 4 \)  が、

 

なにかの積の形にする必要がある

 

じゃから、因数分解してみよう!と発想するわけじゃ

 

なぜなら、因数分解というのは、積の形に変形する操作のことじゃからのぉ

 

\( q^2 - 4q + 4 \)

 

\( = (q - 2)^2 \)

 

\( = (q - 2)(q - 2) \)

 

となるから、

 

0次の項は、\(  (q - 2) \)  と  \(  (q - 2) \)   の積になっておるわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

0次の項だけを、因数分解したんですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

つぎは、その2つの積を使って、表をつくるんじゃ

 

 

1 (q - 2) (q - 2)
1 (q - 2) (q - 2

 

数学おじさん
数学おじさん

この表のつくり方は、

 

「たすきがけ」の記事に詳しく解説しておるから、

 

不安な方はみてくれるとよい

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

数学おじさん
数学おじさん

では話を戻すかのぉ

 

\(  p^2    + (2q - 4)p  +  (q - 2)^2 \)

 

を因数分解じゃ。

 

(q - 2) と (q -2) を足すと、

 

pの1次の項、2q -4 と一致することがわかる

 

なので、上の表は、下の表のようにみればオッケーじゃ

 

{ p + (q - 2) } +(q - 2)
{ p + (q - 2) } +(q - 2)

 

数学おじさん
数学おじさん

すると、答えは

 

{ p + (q - 2) }{ p + (q - 2) }

 

\( = (p + q - 2)(p + q - 2) \)

 

\( = (p + q - 2)^2 \)

 

となるわけじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほど~表を書くとわかりやすいですね!

 

頭の中で考えてたら、こんがらがっちゃったんですが、

 

書き出すことで、わかりやすくなった気がします!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

頭の中で考えることも大事じゃが、

 

人間というのは、書き出すことで、

 

ものごとを「客観視」できて、冷静に考えれるようになるんじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

そうなんですね!

数学おじさん
数学おじさん

なにか難しい問題を考えるときも、

 

頭の中で煮詰まったら、

 

わからなくても、とにかく何か書いてみるんじゃ

 

書くことによって、ひらめくこともあるんじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

そうなんですね!ためしてみます!

 

あ、そういえば、別解はどうなるんですか?

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

では、別解の解説をしてみるかのぉ

別解

数学おじさん
数学おじさん

別解の解答はこんな感じじゃ

 

\( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)  の

 

p + q を1文字で置いてみるんじゃ

 

たとえば、p + q = A としてみるかのぉ

 

すると、

 

\( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)

 

\(  A(A - 4) + 4 \)

 

\( = A^2 - 4A + 4 \)

 

\( = (A - 2)^2 \)

 

Aを元に戻して、

 

\( (p + q - 2)^2 \)

 

これが答えじゃ

 

最初の因数分解と一致しておるな

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ほんとですね!

 

おきかえることで、とってもスッキリ解けてびっくりです!!

 

でも、なぜ、おきかえることを思いついたんですか?

数学おじさん
数学おじさん

いい質問じゃな

 

\( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)   の式をみると、

 

pとqをいれかえてみると、

 

\( (q + p)(q + p - 4) + 4 \)

 

p と q を入れかえても、同じ式になっておるじゃろ

 

こういう式を「対称式(たいしょうしき)」というんじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

対称式!?

 

なんか聞いたことあるような、ないような・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

対称式の問題は、代入する計算問題などで、よく出てくるんじゃが、

 

それは今関係ないので、おいておこうかのぉ

 

ここで言いたいことは、つぎのことじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

①、「対称式」は、必ず、「基本対称式」を使って表現できる

 

②、基本対称式を1つの文字のように考えるといい

数学おじさん
数学おじさん

これについては、別記事で説明する予定じゃから、

 

いまは、「へぇ~」「そうなんだ」くらいでだいじょうぶじゃ

 

ここでいいたいのは、

 

2文字pとqの対称式があったら、

 

2文字の式の基本対称式は、p+qとpq で、

 

p+q や pq を、ひと固まりとして考えるとうまくいく場合があるんじゃ

 

これがポイントじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

つまり、


式が2文字の対称式なら、1文字ずつ考えるだけでなく、

 

その2文字の「和」と「積」を、1文字のように扱うこともある

 

ってことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

この思想をもって、今回の式をみてみるんじゃ

 

\( (p + q)(p + q - 4) + 4 \)

 

①、この式はpとqの対称式だなぁ

 

②、2文字pとqの和と積を、ひとまとまりで考えたらどうだろう

 

③、p+q があるから、まとめて1文字で書いてみよう

 

と発想するわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

だから、p+q=A とおく発想が出てきたんですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

式の特徴 + 対称式の知識 ⇒ p+q を1文字に

 

と発想したわけじゃな

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なんか数学っておもしろいですね!

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな!

 

1つの問題をいろいろな角度からみて、別解を考える

 

これは数学のおもしろさの1つじゃ

 

受験勉強では時間が限られておるから、

 

1つの問題にたくさん時間をかけられないのはわかる。

 

ただ、今回のように、別解をみることで、他の知識が結びつくじゃろ?

 

それは、より深い理解へとつながるんじゃ

 

じゃから、解答に別解があったら、ぜひ眺めてみて、

 

それぞれの解法が、どういう発想でつくられたのかを分析してみるのも

 

数学のおすすめの勉強法なんじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほど~

 

1つの解法さえわかれば、他はめんどくさいし、いいや!って思ってたんですが、

 

これからは別解もみてみます!

数学おじさん
数学おじさん

ぜひそうするのをおすすめするぞ

 

そうすることで、ひらめく力のような、数学力がついていくはずじゃ

 

というわけで、今回はこのぐらいにするかのぉ

 

にゃんこくん、今回復習しておいた方がいいことをお願い!

復習しておきたい内容

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生

 

今回、復習しておくといい内容は以下だにゃん

 

①、似た問題の、よりくわしい解説なら、こちらだにゃん

【数学 質問解答】高校生の因数分解2(2つの文字を含んだ式)【高校数学 数A 因数分解】

 

②、「たすきがけ」の記事はこちらだにゃん

【数学】因数分解のやり方①:たすきがけ【中学数学 中3 因数分解】

 

③、「分配法則」ならこちらの記事をどうぞにゃん

【数学】「分配法則」を身につけたいあなたはこちらをどうぞ【入門・基礎問題・ 中1・正負の数20】

 

④、「項(こう)」についてなら、こちらだにゃん
【数学】文字を使った式の「項(こう)」と「係数(けいすう)」とは?【入門・基礎問題・ 中1・文字と式11】

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

では今日はこのくらいにしておくかのぉ

 

お~い、ザピエルくん、あとお願い!

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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数学にゃんこ
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因数分解を系統立てて学ぶなら、こちらにゃん

 

わからないところが、サクッとわかる「因数分解」の解説記事をまとめました

 

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