今回は、こんな質問をいただきました！
[mathjax]
\( (p + q)(p + q － 4) + 4 \) を因数分解してください！
なるほど、ｐとｑの式ですね
では先生、お願いします！
ザピエルくん、ありがとう！
今回の問題は、２つの文字、ｐとｑを含んだ式の因数分解じゃな
前回の問題に似ておるから、同じ考え方でやってみようかのぉ
その後、式の特徴に注目した、別解も解説することにしよう
別解もあるんですね！たのしみです！
式の特徴を考えることで、サクッと解けることがあるんじゃ
テストなどでは、素早く解ける別解に気づけると、
時間の節約になるんじゃ
なるほどです！
今回の記事を読むと、
①、２文字以上の式の因数分解の、「基本的なやり方」を学べる
②、式の特徴を使った、サクッと解ける「別解」を知ることができる
わけですね！
そのとおりじゃ
では、はじめるかのぉ
【数学 質問解答】高校生の因数分解３（式の特徴も利用する）【高校数学 数A 因数分解】
今回の問題は
\( (p + q)(p + q － 4) + 4 \) を因数分解する
だったのぉ
はい、そうです！
まずは、結果を知りたい方のために、
解答を書いておくかのぉ
\( (p + q)(p + q － 4) + 4 \)
\( = p^2 + pq －4p + pq + q^2 － 4q + 4 \)
\( = p^2 + 2pq －4p + q^2 － 4q + 4 \)
\( = p^2 + (2q －4)p + (q － 2)^2 \)
\( = (p + q － 2)(p + q － 2) \)
\( = (p + q － 2)^2 \)
これが答えじゃ
なるほどです！キレイな結果ですね！
でも、なんか、むずかしい・・・
たしかに、むずかしく感じるかもしれんのぉ
でも、１つひとつ、ていねいに解説するからだいじょうぶじゃ
なにを考えて、変形しているのかを知れば、
解答がシッカリ理解できるようになるはずじゃ
わかりました！
では、１つひとつ解説していくかのぉ
まずは、（ ）をはずさないと、話がすすまんのぉ
（ ）をはずすんですネ！
\( (p + q)(p + q － 4) + 4 \) の式の
\( (p + q)(p + q － 4) \) って、どうすればいいんですか？
\( (p + q)(p + q － 4) \) は、
\( (p + q) \) は、（ ）の中に、ｐとｑの２つの項、
\( (p + q － 4) \) は、（ ）の中に、ｐとｑと－４の３つの項があるのぉ
じゃから、
\( (p + q)(p + q － 4) \) は、
（２つの項）×（３つの項）の計算なわけじゃ。
こういうときは、「分配法則」をつかうんじゃ
「分配法則」ってなんでしたっけ？・・・
分配法則はとても重要じゃ
シッカリ理解しておくんじゃぞ！
お～い、にゃんこくん、分配法則の記事をお願い！
は～い、先生！
「分配法則」ならこちらの記事をどうぞにゃん
『【数学】「分配法則」を身につけたいあなたはこちらをどうぞ【入門・基礎問題・ 中１・正負の数20】』
ちなみに、「項（こう）」についてなら、こちらだにゃん
『【数学】文字を使った式の「項（こう）」と「係数（けいすう）」とは？【入門・基礎問題・ 中１・文字と式11】』
ありがとう！みてみますね！
分配法則をかんたんに説明しておくと、
a ×（ｂ＋ｃ）
という式があったとしたら、
この式は、
項１×（項２＋項３）
の形をしておるじゃろ
このとき、こういう計算できるってのが、分配法則じゃ
項１×（項２＋項３）
＝ 項１× 項２＋項１× 項３
a ×（ｂ＋ｃ）
＝ a ×ｂ ＋ a ×ｃ
ってことなんですね！
なるほどです！
でも、 \( (p + q)(p + q － 4) + 4 \) の式の
\( (p + q)(p + q － 4) \) って、もっと複雑ですよ～
そうじゃな
分配法則には、別の形もあるんじゃ
例えば、（a + b)(c + d) のようなものじゃ
これは、（項１＋項２）×（項３＋項４）の形をしておる
これは、項１×（項３＋項４）＋ 項２×（項３＋項４）と分解できるんじゃ
すると、これは上で説明したものが ＋ でわけられておる。
別々に計算すればいいわけじゃな。
項１×（項３＋項４）＋項２×（項３＋項４）
＝項１×項３＋項１×項４＋項２×項３＋項２×項４
というわけじゃ
なんだか複雑ですねぇ～
そうじゃな
いきなりマスターするのは無理じゃから、
簡単なものから１つひとつ理解していけばオッケーじゃ
分配法則の記事を参考にするのも１つの手じゃ
わかりました！
じゃあ、問題の式を展開してみますね！
\( (p + q)(p + q － 4) + 4 \)
\( = p (p + q － 4) + q (p + q － 4) + 4 \)
\( = p^2 + pq － 4p + qp + q^2 － 4q + 4 \)
これでいいんですか？
大正解じゃ
複雑じゃが、よくできたのぉ
ありがとうございます！
次はどうすればいいんですか？
この後は、前回解説した考え方でやってみるんじゃ
お～い、にゃんこくん、前回の解説記事をお願い！
は～い、前回のこちらだにゃん！
にゃんこくん、ありがとう！みてみますね！
やることは、上の記事と同じじゃから、詳しくは上の記事をみてほしい
ここではサクッと進めていくことにするかのぉ
文字が複数ある式など、複雑なときは、
「次数が低い文字で整理する」
というのが因数分解の鉄則なんじゃ
文字ｐは２次、文字ｑは２次ですね！
同じ次数のときは、どうすればいいんですか？
同じ次数のときは、どちらに着目してもオッケーじゃ
ここでは（好みで）ｐについて整理してみるかのぉ
整理するというのは、降べきの順にするってことじゃ
なるほどです！
じゃあ、
\( p^2 + pq － 4p + qp + q^2 － 4q + 4 \)
\( = p^2 + 2pq － 4p + q^2 － 4q + 4 \)
でいいんですか？
そのとおりじゃ
ただ、こう書くと、さらにわかりやすいかもしれん
\( p^2 + (2q － 4)p + q^2 － 4q + 4 \)
（ｐの２次式）＋（ｐの１次式）＋（ｐの０次式）の形になっておるわけじゃ
なるほどです！
では、このあとは、どうすればいいんですか？
ｐについて整理したわけじゃから、ｑは数字みたいなもんなわけじゃ
つまり、
\( p^2 + (2q － 4)p + q^2 － 4q + 4 \) の式は、
\( p^2 + 3p + 2 \) みたいな感じなわけじゃ
\( p^2 + 3p + 2 \) なら因数分解できます！
\( = (p +1)(p + 2) \)
ですネ！
そのとおりじゃ！
これと同じことを、ｐとｑの式でやればいいわけじゃ
ん～なんかわからないです・・・
ふくざつになると、できなくなる生徒さんはおおいんじゃ
シンプルな例でできるのに、ふくざつになるとできないときは、
シンプルな例の手順を考えるんじゃ
数字とか文字じゃなく、やった操作を、順序をつけて、整理するわけじゃ。
そしてそれを「手順としてまとめる」んじゃ。
それができたら、その手順を、複雑な問題に適用させればオッケーじゃ
なんだか、わかるような、わからないような
むずかしいですねぇ～
いまはピンとこなくてもだいじょうぶじゃ
どこか頭の片隅のおいておけば、後でピンとくるときがくるはずじゃ
なるほど！わかりました！
じゃあ、いまの問題では、具体的になにをすればいいんですか？
この問題では、シンプルな例
\( p^2 + 3p + 2 \)
\( = (p +1)(p + 2) \)
では、要するに、「たすきがけ」をやっていたわけじゃ
つまり、この例では、
シンプルな例でつかった手順は、
「たすきがけ」というわけじゃ
「たすきがけ」って、自信ないです・・
だいじょうぶじゃ
ゼロからシッカリわかるように、解説した記事があるんじゃ
お～い、にゃんこくん、「たすきがけ」の解説記事をお願い！
は～い、先生！
にゃんこさん、ありがとう！みてみるね！
はいにゃん！
では、
\( p^2 + (2q － 4)p + q^2 － 4q + 4 \)
を因数分解することを考えてみるかのぉ
そのためには、ｐの０次の項 \( q^2 － 4q + 4 \) が、
なにかの積の形にする必要がある
じゃから、因数分解してみよう！と発想するわけじゃ
なぜなら、因数分解というのは、積の形に変形する操作のことじゃからのぉ
\( q^2 － 4q + 4 \)
\( = (q － 2)^2 \)
\( = (q － 2)(q － 2) \)
となるから、
0次の項は、\( (q － 2) \) と \( (q － 2) \) の積になっておるわけじゃ
０次の項だけを、因数分解したんですね！
そのとおりじゃ
つぎは、その２つの積を使って、表をつくるんじゃ
| 1 | (q － 2) | (q － 2) |
| 1 | (q － 2) | (q － 2 |
この表のつくり方は、
「たすきがけ」の記事に詳しく解説しておるから、
不安な方はみてくれるとよい
たすきがけの記事はこちらだにゃん
では話を戻すかのぉ
\( p^2 + (2q － 4)p + (q － 2)^2 \)
を因数分解じゃ。
(q － 2) と (q －2) を足すと、
ｐの１次の項、2q －4 と一致することがわかる
なので、上の表は、下の表のようにみればオッケーじゃ
| { p | + (q － 2) } | +(q － 2) |
| { p | + (q － 2) } | +(q － 2) |
すると、答えは
{ p + (q － 2) }{ p + (q － 2) }
\( = (p + q － 2)(p + q － 2) \)
\( = (p + q － 2)^2 \)
となるわけじゃ
なるほど～表を書くとわかりやすいですね！
頭の中で考えてたら、こんがらがっちゃったんですが、
書き出すことで、わかりやすくなった気がします！
そのとおりじゃ
頭の中で考えることも大事じゃが、
人間というのは、書き出すことで、
ものごとを「客観視」できて、冷静に考えれるようになるんじゃ
そうなんですね！
なにか難しい問題を考えるときも、
頭の中で煮詰まったら、
わからなくても、とにかく何か書いてみるんじゃ
書くことによって、ひらめくこともあるんじゃ
そうなんですね！ためしてみます！
あ、そういえば、別解はどうなるんですか？
そうじゃな
では、別解の解説をしてみるかのぉ
別解
別解の解答はこんな感じじゃ
\( (p + q)(p + q － 4) + 4 \) の
p + q を１文字で置いてみるんじゃ
たとえば、p + q = A としてみるかのぉ
すると、
\( (p + q)(p + q － 4) + 4 \)
\( A(A － 4) + 4 \)
\( = A^2 － 4A + 4 \)
\( = (A － 2)^2 \)
Aを元に戻して、
\( (p + q － 2)^2 \)
これが答えじゃ
最初の因数分解と一致しておるな
ほんとですね！
おきかえることで、とってもスッキリ解けてびっくりです！！
でも、なぜ、おきかえることを思いついたんですか？
いい質問じゃな
\( (p + q)(p + q － 4) + 4 \) の式をみると、
ｐとｑをいれかえてみると、
\( (q + p)(q + p － 4) + 4 \)
p と q を入れかえても、同じ式になっておるじゃろ
こういう式を「対称式（たいしょうしき）」というんじゃ
対称式！？
なんか聞いたことあるような、ないような・・・
対称式の問題は、代入する計算問題などで、よく出てくるんじゃが、
それは今関係ないので、おいておこうかのぉ
ここで言いたいことは、つぎのことじゃ
①、「対称式」は、必ず、「基本対称式」を使って表現できる
②、基本対称式を１つの文字のように考えるといい
これについては、別記事で説明する予定じゃから、
いまは、「へぇ～」「そうなんだ」くらいでだいじょうぶじゃ
ここでいいたいのは、
２文字ｐとｑの対称式があったら、
２文字の式の基本対称式は、ｐ＋ｑとｐｑ で、
ｐ＋ｑ や ｐｑ を、ひと固まりとして考えるとうまくいく場合があるんじゃ
これがポイントじゃ
つまり、
式が２文字の対称式なら、１文字ずつ考えるだけでなく、
その２文字の「和」と「積」を、１文字のように扱うこともある
ってことですか？
そのとおりじゃ
この思想をもって、今回の式をみてみるんじゃ
\( (p + q)(p + q － 4) + 4 \)
①、この式はｐとｑの対称式だなぁ
②、２文字ｐとｑの和と積を、ひとまとまりで考えたらどうだろう
③、ｐ＋ｑ があるから、まとめて１文字で書いてみよう
と発想するわけじゃ
だから、ｐ＋ｑ＝A とおく発想が出てきたんですね！
そのとおりじゃ！
式の特徴 ＋ 対称式の知識 ⇒ p+q を１文字に
と発想したわけじゃな
なんか数学っておもしろいですね！
そうじゃな！
１つの問題をいろいろな角度からみて、別解を考える
これは数学のおもしろさの１つじゃ
受験勉強では時間が限られておるから、
１つの問題にたくさん時間をかけられないのはわかる。
ただ、今回のように、別解をみることで、他の知識が結びつくじゃろ？
それは、より深い理解へとつながるんじゃ
じゃから、解答に別解があったら、ぜひ眺めてみて、
それぞれの解法が、どういう発想でつくられたのかを分析してみるのも
数学のおすすめの勉強法なんじゃ
なるほど～
１つの解法さえわかれば、他はめんどくさいし、いいや！って思ってたんですが、
これからは別解もみてみます！
ぜひそうするのをおすすめするぞ
そうすることで、ひらめく力のような、数学力がついていくはずじゃ
というわけで、今回はこのぐらいにするかのぉ
にゃんこくん、今回復習しておいた方がいいことをお願い！
復習しておきたい内容
は～い、先生
今回、復習しておくといい内容は以下だにゃん
①、似た問題の、よりくわしい解説なら、こちらだにゃん
『【数学 質問解答】高校生の因数分解２（２つの文字を含んだ式）【高校数学 数A 因数分解】』
②、「たすきがけ」の記事はこちらだにゃん
『【数学】因数分解のやり方①：たすきがけ【中学数学 中３ 因数分解】』
③、「分配法則」ならこちらの記事をどうぞにゃん
『【数学】「分配法則」を身につけたいあなたはこちらをどうぞ【入門・基礎問題・ 中１・正負の数20】』
④、「項（こう）」についてなら、こちらだにゃん
『【数学】文字を使った式の「項（こう）」と「係数（けいすう）」とは？【入門・基礎問題・ 中１・文字と式11】』
にゃんこくん、ありがとう！
では今日はこのくらいにしておくかのぉ
お～い、ザピエルくん、あとお願い！
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
- 励ましてほしい
- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
一緒に勉強する（丸つけや解説する）ことをやりながら、
あなたの勉強をサポートするという仕組みです。
- やる気を継続したい
- 成績をアップさせたい
- 楽しく勉強したい
といったあなたに特にオススメです。
できるだけ楽しみながら勉強できるように工夫しています。
ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓
「【中学生 高校生 社会人】勉強のペースメーカーはいかがでしょう【受験 入試 資格試験】」
不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
「中学数学」を学んだりやり直しならこちらの本がおすすめだにゃん
『【数学】中学数学を独学したい、やり直したいあなたにおすすめの参考書や問題集はこちらです【中学数学 高校数学 数学検定】』
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