【数学 質問解答】高校生の因数分解(複雑な式のたすきがけ)【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

高校因数分解たすきがけ 数学おじさん oj3math 数学(高校)
高校因数分解たすきがけ 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました!

[mathjax]

トンちゃん
トンちゃん

 \( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)


を因数分解してください

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

高校生の範囲の因数分解の問題のようですね。

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう!

 

今回の問題は、高校1年生で習う因数分解のようじゃな。

 

といっても、式が複雑になっておるが、

 

やり方は、たすきがけをシッカリできれば、理解できるはずじゃ。

 

トンちゃん
トンちゃん

たすきがけが、苦手なんだブー

数学おじさん
数学おじさん

だいじょうぶじゃ。

 

たすきがけが苦手な生徒さんは多いんじゃ。

 

この機会に、たすきがけをシッカリ理解すればオッケーじゃ。

 

トンちゃん
トンちゃん

はい!がんばるブー!

数学おじさん
数学おじさん

ではまず、たすきがけの基本的なところからはじめて、

 

それを理解したところで、

 

今回の問題の解説に入ろうかのぉ

 

トンちゃん
トンちゃん

わかりました!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

というわけで、今回の記事を読むと、

 

①、たすきがけの基礎を復習できる

 

②、高校レベルの、たすきがけを使う因数分解ができるようになる

 

というわけですね。

 

【数学】高校生の因数分解(複雑な式のたすきがけ)【高校数学 数A 因数分解】

数学おじさん
数学おじさん

まずは、「たすきがけ」は、どうやってるか、わかっておるかのぉ

トンちゃん
トンちゃん

ん~、どうやってるのか、わからないです・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

だいじょうぶじゃ

 

これから解説していくから、

 

1つひとつ理解していけばオッケーじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

はい!お願いしますブー!

「たすきがけ」とは?

数学おじさん
数学おじさん

ではまず、「たすきがけ」ってなんだっけ?

 

という話からじゃな。

 

「たすきがけ」については、詳しく解説した記事があるから、

 

そちらを読んでほしいんじゃ。

 

にゃんこくん、「たすきがけ」の記事を教えてくれる!?

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

「たすきがけ」については、こちらの記事がおすすめです↓

【数学】因数分解のやり方①:たすきがけ【中学数学 中3 因数分解】

 

数学おじさん
数学おじさん

ありがとう、にゃんこくん!

 

この記事は、中学生向けのたすきがけの内容なんじゃ。

 

じつは、この考え方と同じやり方で、

 

今回の問題も解けてしまうんじゃ。

 

では解説をはじめるかのぉ

 

因数分解の手順①:式をシッカリ観察する

数学おじさん
数学おじさん

高校での因数分解は、中学での因数分解と少し違うんじゃ

 

なにが違うかというと、

 

高校の因数分解では、この形で解いてください、

 

という式で出題されるとはかぎらないんじゃ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そこで、最初に式をシッカリ観察して、

 

どういう方針でやるかを見極めるところからスタートするんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なんだかむずかしそうだブー

 

数学おじさん
数学おじさん

だいじょうぶじゃよ。

 

手順を理解すれば、それをくりかえせばいいだけなんじゃ。

 

数学おじさん
数学おじさん

では今回の問題じゃが、

 

 \( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)

を因数分解してください

 

じゃったな。

 

式の観察①:文字になにがあるか確認する

数学おじさん
数学おじさん

式の観察①:まず、文字になにがあるかを確認するんじゃ

 

今回は、xとyの2種類があるようじゃのぉ

式の観察②:それぞれの文字の「次数」を確認する

トンちゃん
トンちゃん

先生!「次数(じすう)」ってなんでしたっけ?

 

数学おじさん
数学おじさん

「次数」については、こちらの記事をみてほしいのじゃ。

 

お~い、にゃんこくん!記事をおしえておくれ~

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生!

 

次数の説明は、こちらの記事にあります↓
【数学】文字と式の「次数」とは?【入門・基礎問題・ 中1・文字と式13】

 

トンちゃん
トンちゃん

ありがとう、みてみるブー!

数学おじさん
数学おじさん

今回の式の文字xとyの次数を、それぞれ調べると、

 

\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)

 

xは2次、yは2次

 

ということがわかるわけじゃ。

 

トンちゃん
トンちゃん

次数が関係あるんですか?

因数分解の手順②:次数が低い文字について、整理する
数学おじさん
数学おじさん

次数はとっても重要な情報なんじゃ

 

もしも、xの次数が1で、yの次数が2なら、

 

次数が低い、xについて因数分解する

 

という方針が立てられるんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

文字の次数の高低によって、因数分解の方針が決まるんですね!

 

今回の問題では、xもyも2次で同じです。

 

同じときは、どうしたらいいんですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

次数が同じときは、どの文字で因数分解してもいい、

 

ということになるんじゃ。

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

じゃあ、xが好きなんで、xについて因数分解してもらっていいですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

了解じゃ。

 

では、xについて、次数が高い順に、左から書くんじゃ。

 

式の項の順番を整理するわけじゃな。

 

トンちゃん
トンちゃん

えっと~

 

\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)

 

\( = x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)

 

でいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

おっけーじゃ

 

左から、xの2乗の項が1つ、xの1乗の項が2つ、xがない項が3つ

 

並べられておるな。

トンちゃん
トンちゃん

yは考えなくていいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

いま、xについて因数分解する、と決めたので、考えなくていいんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

そうなんですね!

 

次はどうすればいいんですか?

因数分解の手順③:注目している文字について、因数分解する

数学おじさん
数学おじさん

次はこの式を、

 

\( x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)

 

下のような式のように考えるのじゃ

 

\( x^2 + Ax + B \)

 

トンちゃん
トンちゃん

え!?yがなくなっちゃっいました!

 

いいんですか!?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

いいんじゃよ。

 

\( x^2 + Ax + B \)

 

この式なら、因数分解はどうすればよいかな?

トンちゃん
トンちゃん

「たすきがけ」をすればいいですよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

AとBが数字なら、

 

かけてBとなり、たしてAとなる「数字」の組みあわせをみつければいいんじゃ。

 

これは中学校の因数分解と同じじゃな。

トンちゃん
トンちゃん

でも先生、今回、AとBは数字じゃないですよ?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

だからむずかしく感じるわけじゃな。

 

しかし、結局、数字と同じように考えればいいんじゃ。

 

つまり、

 

かけてB、たしてAとなる「式」の組み合わせをみつければいい

 

となるんじゃ

トンちゃん
トンちゃん

あ、「数字」が「式」に変わったんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

数字でやっていたことを、式でやればいいわけじゃ

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

数字のときを思い出してほしいのじゃが、

 

まず、かけてBとなる数字の組みをさがしたじゃろう?

 

Bが式になっても同じなんじゃ。

 

かけてBとなるような、式の組み合わせを探せばいいんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

\( x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)

 

の因数分解なんで、Bはいま、

 

\( + 2y^2 -7y +3 \)

 

でいいんですか?

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

かけて \( + 2y^2 -7y +3 \) になる式を探すわけじゃ

トンちゃん
トンちゃん

え~、むずかしいブ~

 

数学おじさん
数学おじさん

この形のままじゃわからないんじゃ。

 

じつは、 \( + 2y^2 -7y +3 \)  を因数分解するんじゃよ

トンちゃん
トンちゃん

\( + 2y^2 -7y +3 \) を因数分解って、たすきがけですよね?

2 1 1
1 3 6

 

トンちゃん
トンちゃん

なので、

 

\( + 2y^2 -7y +3 \)

 

\( =(2y - 1)(y - 3) \)

 

となりました!

数学おじさん
数学おじさん

正解じゃ!

 

では、もう一度考えてみよう

 

かけて \(  (2y - 1)(y - 3) \) になる式は、なんじゃろう?

 

トンちゃん
トンちゃん

あ、 \(  (2y - 1) \) と \(  (y - 3) \) をかけると、

 

\(  (2y - 1)(y - 3) \) になります!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

では、数字のときと同じように、

 

\( x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)

 

\( = x^2 + (3x – 4)x + (2y - 1)(y - 3) \)

 

について、たすきがけの表を書いてみるのじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

えっと~

1 \(  (2y - 1) \) \(  (2y - 1) \)
1 \(  (y - 3) \) \(  (y - 3) \)

 

でいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

そうそう、その調子じゃ。

 

いま、

 

\( x^2 + (3x – 4)x + (2y - 1)(y - 3) \)

 

の因数分解なので、

 

\(  (2y - 1) \) と \(  (y - 3) \) をたして

 

\(  3y – 4 \) になればいいわけじゃな。

 

トンちゃん
トンちゃん

\(  (2y - 1)  +  (y - 3) \)

 

\( = 3y - 4 \)

 

あ、たして \(  3y – 4 \) になりました!!

数学おじさん
数学おじさん

じゃあ、これで因数分解ができるわけじゃ

 

1 \(  (2y - 1) \) \(  (2y - 1) \)
1 \(  (y - 3) \) \(  (y - 3) \)

の表を、以下のようにみればオッケーじゃ。

 

{x \( + (2y - 1) \} \) \(  (2y - 1) \)
{x \(  + (y - 3) \} \) \(  (y - 3) \)

 

と考えるんじゃ。

 

トンちゃん
トンちゃん

そうすると、

 

\( x^2 + (3x – 4)x + (2y - 1)(y - 3) \)

 

\( = \{ x + (2y – 1) \} \{ x + (y -3) \} \)

 

でいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

みばえがいいように、かっこを整理してごらん

 

トンちゃん
トンちゃん

\( \{ x + (2y – 1) \} \{ x + (y -3) \} \)

 

\( = ( x + 2y – 1)( x + y – 3)  \)

 

でいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

というわけで、

 

\(  ( x + 2y – 1)( x + y – 3)  \)

 

を答案にかけばオッケーなわけじゃ。

トンちゃん
トンちゃん

できてうれしいです!

数学おじさん
数学おじさん

式が複雑だったけど、

 

やっていることは、中学校の時の因数分解と同じだったじゃろ?

 

トンちゃん
トンちゃん

そうですね!

 

「たすきがけ」をシッカリできれば、こわくない!って思いました

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ。

 

このタイプは、たすきがけをシッカリ理解できているかが問われてるわけじゃ。

 

今回は、xについて因数分解したんじゃが、

 

yについて因数分解してもオッケーじゃ。

 

yについては自分でやってみてほしい。

 

そうすることで、理解も深まるからのぉ。

トンちゃん
トンちゃん

はい!やってみますブー!

数学おじさん
数学おじさん

というわけで、今回の解説はここまでじゃ。

トンちゃん
トンちゃん

ありがとうございました!

数学おじさん
数学おじさん

いえいえ、トンちゃんも勉強がんばるんじゃぞ。

トンちゃん
トンちゃん

はい!がんばります!

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、復習におすすめの記事をおねがい!

復習しておくとよい内容

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生

 

今回の復習は、以下の記事がおすすめにゃん

 

「たすきがけ」についてだにゃん↓

【数学】因数分解のやり方①:たすきがけ【中学数学 中3 因数分解】

 

「次数」についてだにゃん↓

【数学】文字と式の「次数」とは?【入門・基礎問題・ 中1・文字と式13】

 

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

というわけで、

 

ザピエルく~ん、あとよろしく!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生、おつかれまでした

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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わからないところが、サクッとわかる「因数分解」の解説記事をまとめました

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