
今回は、こんな質問をいただきました!
[mathjax]

\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)
を因数分解してください

高校生の範囲の因数分解の問題のようですね。
では先生、お願いします!

ザピエルくん、ありがとう!
今回の問題は、高校1年生で習う因数分解のようじゃな。
といっても、式が複雑になっておるが、
やり方は、たすきがけをシッカリできれば、理解できるはずじゃ。

たすきがけが、苦手なんだブー

だいじょうぶじゃ。
たすきがけが苦手な生徒さんは多いんじゃ。
この機会に、たすきがけをシッカリ理解すればオッケーじゃ。

はい!がんばるブー!

ではまず、たすきがけの基本的なところからはじめて、
それを理解したところで、
今回の問題の解説に入ろうかのぉ

わかりました!

というわけで、今回の記事を読むと、
①、たすきがけの基礎を復習できる
②、高校レベルの、たすきがけを使う因数分解ができるようになる
というわけですね。
【数学】高校生の因数分解(複雑な式のたすきがけ)【高校数学 数A 因数分解】

まずは、「たすきがけ」は、どうやってるか、わかっておるかのぉ

ん~、どうやってるのか、わからないです・・・

だいじょうぶじゃ
これから解説していくから、
1つひとつ理解していけばオッケーじゃ

はい!お願いしますブー!
「たすきがけ」とは?

ではまず、「たすきがけ」ってなんだっけ?
という話からじゃな。
「たすきがけ」については、詳しく解説した記事があるから、
そちらを読んでほしいんじゃ。
にゃんこくん、「たすきがけ」の記事を教えてくれる!?


ありがとう、にゃんこくん!
この記事は、中学生向けのたすきがけの内容なんじゃ。
じつは、この考え方と同じやり方で、
今回の問題も解けてしまうんじゃ。
では解説をはじめるかのぉ
因数分解の手順①:式をシッカリ観察する

高校での因数分解は、中学での因数分解と少し違うんじゃ
なにが違うかというと、
高校の因数分解では、この形で解いてください、
という式で出題されるとはかぎらないんじゃ

そこで、最初に式をシッカリ観察して、
どういう方針でやるかを見極めるところからスタートするんじゃ

なんだかむずかしそうだブー

だいじょうぶじゃよ。
手順を理解すれば、それをくりかえせばいいだけなんじゃ。

では今回の問題じゃが、
\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)
を因数分解してください
じゃったな。
式の観察①:文字になにがあるか確認する

式の観察①:まず、文字になにがあるかを確認するんじゃ
今回は、xとyの2種類があるようじゃのぉ
式の観察②:それぞれの文字の「次数」を確認する

先生!「次数(じすう)」ってなんでしたっけ?

「次数」については、こちらの記事をみてほしいのじゃ。
お~い、にゃんこくん!記事をおしえておくれ~


ありがとう、みてみるブー!

今回の式の文字xとyの次数を、それぞれ調べると、
\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)
xは2次、yは2次
ということがわかるわけじゃ。

次数が関係あるんですか?

次数はとっても重要な情報なんじゃ
もしも、xの次数が1で、yの次数が2なら、
次数が低い、xについて因数分解する
という方針が立てられるんじゃ

文字の次数の高低によって、因数分解の方針が決まるんですね!
今回の問題では、xもyも2次で同じです。
同じときは、どうしたらいいんですか?

次数が同じときは、どの文字で因数分解してもいい、
ということになるんじゃ。

なるほどです!
じゃあ、xが好きなんで、xについて因数分解してもらっていいですか?

了解じゃ。
では、xについて、次数が高い順に、左から書くんじゃ。
式の項の順番を整理するわけじゃな。

えっと~
\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)
\( = x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)
でいいんですか?

おっけーじゃ
左から、xの2乗の項が1つ、xの1乗の項が2つ、xがない項が3つ
並べられておるな。

yは考えなくていいんですか?

いま、xについて因数分解する、と決めたので、考えなくていいんじゃ

そうなんですね!
次はどうすればいいんですか?
因数分解の手順③:注目している文字について、因数分解する

次はこの式を、
\( x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)
下のような式のように考えるのじゃ
\( x^2 + Ax + B \)

え!?yがなくなっちゃっいました!
いいんですか!?

いいんじゃよ。
\( x^2 + Ax + B \)
この式なら、因数分解はどうすればよいかな?

「たすきがけ」をすればいいですよね?

そのとおりじゃ
AとBが数字なら、
かけてBとなり、たしてAとなる「数字」の組みあわせをみつければいいんじゃ。
これは中学校の因数分解と同じじゃな。

でも先生、今回、AとBは数字じゃないですよ?

そのとおりじゃ
だからむずかしく感じるわけじゃな。
しかし、結局、数字と同じように考えればいいんじゃ。
つまり、
かけてB、たしてAとなる「式」の組み合わせをみつければいい
となるんじゃ

あ、「数字」が「式」に変わったんですね!

そのとおりじゃ!
数字でやっていたことを、式でやればいいわけじゃ

数字のときを思い出してほしいのじゃが、
まず、かけてBとなる数字の組みをさがしたじゃろう?
Bが式になっても同じなんじゃ。
かけてBとなるような、式の組み合わせを探せばいいんじゃ

\( x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)
の因数分解なんで、Bはいま、
\( + 2y^2 -7y +3 \)
でいいんですか?

そのとおりじゃ
かけて \( + 2y^2 -7y +3 \) になる式を探すわけじゃ

え~、むずかしいブ~

この形のままじゃわからないんじゃ。
じつは、 \( + 2y^2 -7y +3 \) を因数分解するんじゃよ

\( + 2y^2 -7y +3 \) を因数分解って、たすきがけですよね?
2 | 1 | 1 |
1 | 3 | 6 |

なので、
\( + 2y^2 -7y +3 \)
\( =(2y - 1)(y - 3) \)
となりました!

正解じゃ!
では、もう一度考えてみよう
かけて \( (2y - 1)(y - 3) \) になる式は、なんじゃろう?

あ、 \( (2y - 1) \) と \( (y - 3) \) をかけると、
\( (2y - 1)(y - 3) \) になります!

そのとおりじゃ!
では、数字のときと同じように、
\( x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)
\( = x^2 + (3x – 4)x + (2y - 1)(y - 3) \)
について、たすきがけの表を書いてみるのじゃ

えっと~
1 | \( (2y - 1) \) | \( (2y - 1) \) |
1 | \( (y - 3) \) | \( (y - 3) \) |
でいいんですか?

そうそう、その調子じゃ。
いま、
\( x^2 + (3x – 4)x + (2y - 1)(y - 3) \)
の因数分解なので、
\( (2y - 1) \) と \( (y - 3) \) をたして
\( 3y – 4 \) になればいいわけじゃな。

\( (2y - 1) + (y - 3) \)
\( = 3y - 4 \)
あ、たして \( 3y – 4 \) になりました!!

じゃあ、これで因数分解ができるわけじゃ
1 | \( (2y - 1) \) | \( (2y - 1) \) |
1 | \( (y - 3) \) | \( (y - 3) \) |
の表を、以下のようにみればオッケーじゃ。
{x | \( + (2y - 1) \} \) | \( (2y - 1) \) |
{x | \( + (y - 3) \} \) | \( (y - 3) \) |
と考えるんじゃ。

そうすると、
\( x^2 + (3x – 4)x + (2y - 1)(y - 3) \)
\( = \{ x + (2y – 1) \} \{ x + (y -3) \} \)
でいいんですか?

みばえがいいように、かっこを整理してごらん

\( \{ x + (2y – 1) \} \{ x + (y -3) \} \)
\( = ( x + 2y – 1)( x + y – 3) \)
でいいんですか?

大正解じゃ!
というわけで、
\( ( x + 2y – 1)( x + y – 3) \)
を答案にかけばオッケーなわけじゃ。

できてうれしいです!

式が複雑だったけど、
やっていることは、中学校の時の因数分解と同じだったじゃろ?

そうですね!
「たすきがけ」をシッカリできれば、こわくない!って思いました

そうなんじゃよ。
このタイプは、たすきがけをシッカリ理解できているかが問われてるわけじゃ。
今回は、xについて因数分解したんじゃが、
yについて因数分解してもオッケーじゃ。
yについては自分でやってみてほしい。
そうすることで、理解も深まるからのぉ。

はい!やってみますブー!

というわけで、今回の解説はここまでじゃ。

ありがとうございました!

いえいえ、トンちゃんも勉強がんばるんじゃぞ。

はい!がんばります!

にゃんこくん、復習におすすめの記事をおねがい!
復習しておくとよい内容


にゃんこくん、ありがとう!
というわけで、
ザピエルく~ん、あとよろしく


あ、先生!告知をさせてください

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ザピエルくんお願い!

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