今回は、こんな質問をいただきました！
[mathjax]
\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)
を因数分解してください
高校生の範囲の因数分解の問題のようですね。
では先生、お願いします！
ザピエルくん、ありがとう！
今回の問題は、高校１年生で習う因数分解のようじゃな。
といっても、式が複雑になっておるが、
やり方は、たすきがけをシッカリできれば、理解できるはずじゃ。
たすきがけが、苦手なんだブー
だいじょうぶじゃ。
たすきがけが苦手な生徒さんは多いんじゃ。
この機会に、たすきがけをシッカリ理解すればオッケーじゃ。
はい！がんばるブー！
ではまず、たすきがけの基本的なところからはじめて、
それを理解したところで、
今回の問題の解説に入ろうかのぉ
わかりました！
というわけで、今回の記事を読むと、
①、たすきがけの基礎を復習できる
②、高校レベルの、たすきがけを使う因数分解ができるようになる
というわけですね。
【数学】高校生の因数分解（複雑な式のたすきがけ）【高校数学 数A 因数分解】
まずは、「たすきがけ」は、どうやってるか、わかっておるかのぉ
ん～、どうやってるのか、わからないです・・・
だいじょうぶじゃ
これから解説していくから、
１つひとつ理解していけばオッケーじゃ
はい！お願いしますブー！
「たすきがけ」とは？
ではまず、「たすきがけ」ってなんだっけ？
という話からじゃな。
「たすきがけ」については、詳しく解説した記事があるから、
そちらを読んでほしいんじゃ。
にゃんこくん、「たすきがけ」の記事を教えてくれる！？
ありがとう、にゃんこくん！
この記事は、中学生向けのたすきがけの内容なんじゃ。
じつは、この考え方と同じやり方で、
今回の問題も解けてしまうんじゃ。
では解説をはじめるかのぉ
因数分解の手順①：式をシッカリ観察する
高校での因数分解は、中学での因数分解と少し違うんじゃ
なにが違うかというと、
高校の因数分解では、この形で解いてください、
という式で出題されるとはかぎらないんじゃ
そこで、最初に式をシッカリ観察して、
どういう方針でやるかを見極めるところからスタートするんじゃ
なんだかむずかしそうだブー
だいじょうぶじゃよ。
手順を理解すれば、それをくりかえせばいいだけなんじゃ。
では今回の問題じゃが、
\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)
を因数分解してください
じゃったな。
式の観察①：文字になにがあるか確認する
式の観察①：まず、文字になにがあるかを確認するんじゃ
今回は、ｘとｙの２種類があるようじゃのぉ
式の観察②：それぞれの文字の「次数」を確認する
先生！「次数（じすう）」ってなんでしたっけ？
「次数」については、こちらの記事をみてほしいのじゃ。
お～い、にゃんこくん！記事をおしえておくれ～
ありがとう、みてみるブー！
今回の式の文字ｘとｙの次数を、それぞれ調べると、
\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)
ｘは２次、ｙは２次
ということがわかるわけじゃ。
次数が関係あるんですか？
次数はとっても重要な情報なんじゃ
もしも、ｘの次数が１で、ｙの次数が２なら、
次数が低い、ｘについて因数分解する
という方針が立てられるんじゃ
文字の次数の高低によって、因数分解の方針が決まるんですね！
今回の問題では、ｘもｙも２次で同じです。
同じときは、どうしたらいいんですか？
次数が同じときは、どの文字で因数分解してもいい、
ということになるんじゃ。
なるほどです！
じゃあ、ｘが好きなんで、ｘについて因数分解してもらっていいですか？
了解じゃ。
では、ｘについて、次数が高い順に、左から書くんじゃ。
式の項の順番を整理するわけじゃな。
えっと～
\( x^2 + 3xy + 2y^2 – 4x -7y +3 \)
\( ＝ x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)
でいいんですか？
おっけーじゃ
左から、ｘの２乗の項が１つ、ｘの１乗の項が２つ、ｘがない項が３つ
並べられておるな。
ｙは考えなくていいんですか？
いま、ｘについて因数分解する、と決めたので、考えなくていいんじゃ
そうなんですね！
次はどうすればいいんですか？
因数分解の手順③：注目している文字について、因数分解する
次はこの式を、
\( x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)
下のような式のように考えるのじゃ
\( x^2 + Ax + B \)
え！？ｙがなくなっちゃっいました！
いいんですか！？
いいんじゃよ。
\( x^2 + Ax + B \)
この式なら、因数分解はどうすればよいかな？
「たすきがけ」をすればいいですよね？
そのとおりじゃ
AとBが数字なら、
かけてBとなり、たしてAとなる「数字」の組みあわせをみつければいいんじゃ。
これは中学校の因数分解と同じじゃな。
でも先生、今回、AとBは数字じゃないですよ？
そのとおりじゃ
だからむずかしく感じるわけじゃな。
しかし、結局、数字と同じように考えればいいんじゃ。
つまり、
かけてB、たしてAとなる「式」の組み合わせをみつければいい
となるんじゃ
あ、「数字」が「式」に変わったんですね！
そのとおりじゃ！
数字でやっていたことを、式でやればいいわけじゃ
数字のときを思い出してほしいのじゃが、
まず、かけてBとなる数字の組みをさがしたじゃろう？
Bが式になっても同じなんじゃ。
かけてBとなるような、式の組み合わせを探せばいいんじゃ
\( x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)
の因数分解なんで、Bはいま、
\( + 2y^2 -7y +3 \)
でいいんですか?
そのとおりじゃ
かけて \( + 2y^2 -7y +3 \) になる式を探すわけじゃ
え～、むずかしいブ～
この形のままじゃわからないんじゃ。
じつは、 \( + 2y^2 -7y +3 \) を因数分解するんじゃよ
\( + 2y^2 -7y +3 \) を因数分解って、たすきがけですよね？
| 2 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 6 |
なので、
\( + 2y^2 -7y +3 \)
\( ＝（2y － 1)(y － 3) \)
となりました！
正解じゃ！
では、もう一度考えてみよう
かけて \( (2y － 1)(y － 3) \) になる式は、なんじゃろう？
あ、 \( (2y － 1) \) と \( (y － 3) \) をかけると、
\( (2y － 1)(y － 3) \) になります！
そのとおりじゃ！
では、数字のときと同じように、
\( x^2 + 3xy – 4x + 2y^2 -7y +3 \)
\( ＝ x^2 + (3x – 4)x + (2y － 1)(y － 3) \)
について、たすきがけの表を書いてみるのじゃ
えっと～
| 1 | \( (2y － 1) \) | \( (2y － 1) \) |
| 1 | \( (y － 3) \) | \( (y － 3) \) |
でいいんですか？
そうそう、その調子じゃ。
いま、
\( x^2 + (3x – 4)x + (2y － 1)(y － 3) \)
の因数分解なので、
\( (2y － 1) \) と \( (y － 3) \) をたして
\( 3y – 4 \) になればいいわけじゃな。
\( (2y － 1) + (y － 3) \)
\( = 3y － 4 \)
あ、たして \( 3y – 4 \) になりました！！
じゃあ、これで因数分解ができるわけじゃ
| 1 | \( (2y － 1) \) | \( (2y － 1) \) |
| 1 | \( (y － 3) \) | \( (y － 3) \) |
の表を、以下のようにみればオッケーじゃ。
| {x | \( + (2y － 1) \} \) | \( (2y － 1) \) |
| {x | \( + (y － 3) \} \) | \( (y － 3) \) |
と考えるんじゃ。
そうすると、
\( x^2 + (3x – 4)x + (2y － 1)(y － 3) \)
\( ＝ \{ x + (2y – 1) \} \{ x + (y -3) \} \)
でいいんですか？
みばえがいいように、かっこを整理してごらん
\( \{ x + (2y – 1) \} \{ x + (y -3) \} \)
\( ＝ ( x + 2y – 1)( x + y – 3) \)
でいいんですか？
大正解じゃ！
というわけで、
\( ( x + 2y – 1)( x + y – 3) \)
を答案にかけばオッケーなわけじゃ。
できてうれしいです！
式が複雑だったけど、
やっていることは、中学校の時の因数分解と同じだったじゃろ？
そうですね！
「たすきがけ」をシッカリできれば、こわくない！って思いました
そうなんじゃよ。
このタイプは、たすきがけをシッカリ理解できているかが問われてるわけじゃ。
今回は、ｘについて因数分解したんじゃが、
ｙについて因数分解してもオッケーじゃ。
ｙについては自分でやってみてほしい。
そうすることで、理解も深まるからのぉ。
はい！やってみますブー！
というわけで、今回の解説はここまでじゃ。
ありがとうございました！
いえいえ、トンちゃんも勉強がんばるんじゃぞ。
はい！がんばります！
にゃんこくん、復習におすすめの記事をおねがい！
復習しておくとよい内容
にゃんこくん、ありがとう！
というわけで、
ザピエルく～ん、あとよろしく
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
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勉強が継続できる
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具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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