今回は、こんな質問をいただきました！
[mathjax]
\( x^2 + xy － 4x － y + 3 \) を因数分解してください
今回は、ｘとｙの２文字を含んだ式の因数分解のようですね。
では先生！お願いします～
ザビエルくん、ありがとう！
今回は、複数の文字 ｘとｙをふくむ、因数分解のようじゃな
こういう式の因数分解には、「ポイントとなる考え方」があるんじゃ
数学はひらめき！という場合もあるんじゃが、
因数分解では、「パターンが決まっている」んじゃ
おはようございます！先生！
お～ハッチくん、おはよう
因数分解はいくつかのパターンが決まっておるから、
まずは、本記事のやり方を身につけるのじゃ
わかりました！ではよろしくお願いします！
というわけで、本記事を読めば、
高校数学の因数分解の、
重要なパターンの１つを身につけることができるんですね
そのとおりじゃ
では、はじめるかのぉ～
【数学 質問解答】高校生の因数分解２（２つの文字を含んだ式）【高校数学 数A 因数分解】
今回の問題はなんじゃったかのぉ
\( x^2 + xy － 4x － y + 3 \) を因数分解してください、です！
ありがとう！
まずは、解答だけ知りたい！って方向けに、
解答を書いておくかのぉ
解答例
\( x^2 + xy － 4x － y + 3 \)
\( = xy － y + x^2 － 4x + 3 \)
\( = y(x － 1) + (x － 1)(x － 3) \)
\( = (x － 1)(x + y － 3) \)
これで答えじゃ
ん？？？
なんで、こんな式変形するんですか？
よくわからないです・・・
複雑な式じゃし、わからなくてもだいじょうぶじゃ
これから１つひとつ、シッカリ解説していくからのぉ
よかったです！お願いします！
では、解説をはじめるかのぉ
まずどの因数分解でもそうなんじゃが、
因数分解するには、まず、「式の特徴」をシッカリみて、方針を決めるんじゃ
因数分解では、まず、式の特徴をシッカリつかむ
でも、「式の特徴」って、何をみるんですか？
まず「文字の種類」をみるんじゃ。
今回の式は、文字が２つ使われておるじゃろ
はい！ｘとｙが使われています
そうじゃ
そしたら次に、
ｘとｙについて、それぞれ、「次数（じすう）」を考えるんじゃ
式の文字それぞれの「次数（じすう）」を調べる
先生、「次数（じすう）」ってなんでしたっけ？
次数はとても重要じゃから、
シッカリ理解しておくようにするのじゃ
お～い、にゃんこくん、次数の解説記事を教えておくれ
ありがとうございます！読んでみます！
では話をもどすとするかのぉ
\( x^2 + xy － 4x － y + 3 \) の、ｘとｙの次数を考えておったんじゃ
どうやって、次数を考えるんですか？
ｘとｙを別々に考えるのがポイントじゃ
ｘの次数を考える時は、
ｘだけ文字と考えて、他の文字（今回はｙ）は数字だと考えるんじゃ
つまり、
\( x^2 + xy － 4x － y + 3 \) という式は、
\( x^2 + x － 4x － 1 + 3 \) のように、
ｙを数字のように考えるんじゃ
この例では、ｙ＝１として考えておる。
数字はなんでもよくて、ｙを数字として考えれればオッケーじゃ
なるほどです！
\( x^2 + x － 4x － 1 + 3 \) という式なら、
ｘの次数は、２次になりますね！
そのとおりじゃ
もし、なぜ、ｘの次数が２次？と思うなら、
上の次数の解説記事を読みなおしておくんじゃぞ～
では、ｙの次数はどうなるか考えてごらん
えっと～
今度はｙの次数を考えるから、ｘは数字と考えるんですよね？
イメージしやすいように、ｘ＝１ としてみると、
\( x^2 + xy － 4x － y + 3 \) という式は、
\( 1^2 + y － 4 － y + 3 \) のように考えることができますよね。
すると、ｙの次数は、「１次」となりますよね？
そのとおりじゃ！
これで、式の中の文字の次数を調べれたのぉ。
では次のステップにいくとするかのぉ
「式を整理」をする：次数の低い文字をつかう
なぜ、次数を調べたんですか？
問題の式にふくまれる文字、ｘとｙのうち、
次数が低い文字は知りたかったんじゃ
どっちじゃったかのぉ？
えっと～
ｘが２次で、ｙが１次だったので、
次数が低いのは、ｙでした！
では次は、式を、ｙについて整理するのじゃ
なぜｙなのですか？
因数分解する式に含まれている文字中で、
次数が一番低い文字じゃからじゃよ
ということは、
次数が低い文字をみつけて、その文字について整理する
のがポイントなんですか？
そのとおりじゃ
今回の因数分解のポイントは、
「次数が低い文字をみつけて、その文字について整理する」
なんじゃ
なるほどです！
でも、「その文字について整理する」って、具体的にどうするんですか？
その文字について、
「降べきの順（こうべきのじゅん）」に書きかえればオッケーじゃ
「降べきの順」とは？
先生！神戸木の順？ってなんですか？
神戸の木じゃないぞ
「降べきの順」じゃよ
イメージとしては、階段を下りるような順番に並べるってことなんじゃ
たとえば、
\( 3x －5 + x^2 \) という式があったとするじゃろ？
すると、この式は、３つの項（ \( 3x, －5, x^2 \) )でできておる
それぞれの項の（ｘについての）次数は、１次、０次、２次となっておるわけじゃ
これを「降べきの順」に並べるというのは、
２次⇒１次⇒０次の順に項を並べかえることなんじゃ
ということは、
\( 3x －5 + x^2 \) を降べきの順にならべると、
\( x^2 + 3x －5\) でいいんですか？
そのとおりじゃ
\( x^2 + 3x －5\) の式のそれぞれの項は、
２次、１次、０次のように、
左から右に次数が下がっておるわけじゃ
これを降べきの順というわけじゃな
階段を下りてるようじゃろ？
なるほどです！
複数の文字をふくむ式を、降べきの順に並べかえる
では話をもとに戻すかのぉ
\( x^2 + xy － 4x － y + 3 \) という式は、
ｙの方が次数が低いので、ｙについて整理するところじゃったわけじゃ
つまり、ｙについて、降べきの順にならべかえるんじゃ
えっと～
でもこの式には、ｙ以外にｘもあるので、どうすればいいんですか？
ｙについて整理するときには、他の文字は数字のように考えればいいんじゃ
なるほど！
じゃあ
\( x^2 + xy － 4x － y + 3 \) という式は、
ｙについて整理するから、
ｙについて降べきの順にならべかえればいいですよね？
ｘは数字だと考えて・・・
すると、
\( xy － y + x^2 － 4x+ 3 \)
でいいですか？？
そのとおりじゃ
xy － y + x^2 － 4x+ 3 の式は、
（ｙの１次式）＋（ｙの０次式）という形をしておるわけじゃ。
つまり、ｘは考えずに降べきの順にしたわけじゃ
なるほどです！
では、この後はどうするんですか？
（ｙの１次式）＋（ｙの０次式）という形をしておるから、
これを因数分解することを考えるわけじゃ。
（ｙの１次式）＋（ｙの０次式）は、
（ｙの１次式）と（ｙの０次式）の２つの項でできておると考えられる。
だから、これら２つの項に、共通因数がみつかれば、
因数分解できるのになぁ～
と発想するんじゃ
なるほど！
でも、
xy － y + x^2 － 4x + 3 の
（ｙの１次式）と（ｙの０次式）には、共通因数はなさそうですね・・・
そうじゃな
そのままではない
じゃあ、それぞれ２つの項を変形してみたらどうだろう？！
と考えるわけじゃ
なるほどです！
まずは、（ｙの１次式）の部分だけみてみるかのぉ
\( xy － y \) は、共通因数ｙをもっているわけじゃ
だから、ｙでくくってみるんじゃ
\( xy － y \)
\( = y(x － 1) \)
ですね！
そのとおりじゃ
次は、（ｙの０次式）の部分だけみてみるんじゃ
\( x^2 － 4x + 3 \)
\( = ( x － 1)(x － 3) \)
と因数分解できますね！
そうじゃな！
では、もとの式を考えてみよう
xy － y + x^2 － 4x + 3
= y(x － 1) + ( x － 1)(x － 3)
となったわけじゃ
なぜ、こんな変形をしたんじゃったかのぉ？
y(x － 1) + ( x － 1)(x － 3) という式について、
（ｙの１次式）と（ｙの０次式）の２つの項に、共通因数がみつかれば、
因数分解できるのになぁ～
と考えてたからです！
そのとおりじゃ！
では、共通因数はあるかのぉ？
\( y(x － 1) + ( x － 1)(x － 3) \) の２つの項には、
どちらも、 \( (x － 1) \) が因数にあります！
では、共通因数 \( (x － 1) \) でくくってごらん
えっと～
\( y(x － 1) + ( x － 1)(x － 3) \)
\( = (x － 1)？？？ \)
わからないです～なんか複雑ですね・・・
文字がたくさん出てくるとわかりにくいじゃろ
こういうときは、かたまりを１文字でおきかえて考えるといいんじゃ
\( (x － 1) \) を たとえば、A
\( (x － 3) \) を たとえば、B とか１文字で考えてみるんじゃ
なるほど！
じゃあ、
\( y(x － 1) + ( x － 1)(x － 3) \)
\( = yA + AB \)
\( = A(y + B) \)
となりますよね？
そのとおりじゃ
もしも、これで正しいかな？って思ったら、
展開して、同じになるか確かめればいいんじゃ
はい！たしかめたら、だいじょうぶでした！
なので、正しくくくれてることが確認できました！
よろしい！
１つひとつ確認しながら進むのが、確実に得点するポイントじゃ
では、AとBをもとにもどしてごらん
はい！
AとBをもとにもどすと、
\( A(y + B) \)
\( = (x － 1)(y + x －3) \)
これでいいんですか？
ふむ、それで正解じゃ
ただ、こまかいことをいうと、アルファベット順に書くのがいいから、
\( (x － 1)(y + x －3) \)
\( = (x － 1)(x + y －3) \)
とするのがキレイじゃな
なるほどです！
というわけで、今回は、
「複数文字をふくむ式の因数分解」の解説じゃったわけじゃ
次数の低い文字に着目して整理する！
これが今回のポイントじゃ
ありがとうございました！
でも先生、今回は、次数が低い文字がありましたけど、
もし、どの文字も同じ次数だったら、どうすればいいんですか？
いい質問じゃ
答えは、「どの文字に着目してもいい」となる。
特に決まりはないので、好みで選んでいいわけじゃ
ただし、その式に「他の特徴」があれば、
その特徴を活かした式変形をすることになる
「式の特徴」によっては、
公式を使うといった「因数分解のパターン」が決まってくることがあるんじゃな
このやり方以外にも、因数分解のパターンがあるってことですね
そのとおりじゃ
それらのパターンを１つひとつ身につけていけば、
自然とどれを使えばいいのか、見えてくるようになるんじゃ
ただし、ポイントをシッカリ理解しながら学ぶことが大事じゃぞ
問題数をたくさんやればいい、というものでもないんじゃ
なるほどです！わかりました！
いえいえ、ハッチくんも勉強がんばるんじゃぞ。
はい！がんばります！
では、にゃんこくん、復習におすすめの記事をおねがい！
復習しておくとよい内容
は～い、先生
今回の復習は、以下の記事がおすすめにゃん
★「共通因数」で「くくる」とは？についてだにゃん↓
『【数学】「共通因数」で「くくる」とは？なぜする必要があるの？【中学数学 因数分解】』
★「共通因数でくくる問題」についてだにゃん↓
『【数学 質問解答】因数分解の難問（共通因数をくくる問題）【中学数学 中３ 因数分解】（質問ありがとうございました！）』
★「次数」についてだにゃん↓
にゃんこくん、ありがとう！
というわけで、
ザピエルく～ん、あとよろしく！
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
- 励ましてほしい
- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
一緒に勉強する（丸つけや解説する）ことをやりながら、
あなたの勉強をサポートするという仕組みです。
- やる気を継続したい
- 成績をアップさせたい
- 楽しく勉強したい
といったあなたに特にオススメです。
できるだけ楽しみながら勉強できるように工夫しています。
ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓
「【中学生 高校生 社会人】勉強のペースメーカーはいかがでしょう【受験 入試 資格試験】」
不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
「中学数学」を学んだりやり直しならこちらの本がおすすめだにゃん
『【数学】中学数学を独学したい、やり直したいあなたにおすすめの参考書や問題集はこちらです【中学数学 高校数学 数学検定】』
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