【数学 質問解答】高校生の因数分解(2つの文字を含んだ式)【高校数学 数A 因数分解】(質問ありがとうございました!)

xyの2文字の高校数学因数分解 数学おじさん oj3math 入門・基礎問題(教科書理解)
xyの2文字の高校数学因数分解 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました!

[mathjax]

ハッチくん
ハッチくん

 \( x^2 + xy - 4x - y + 3 \) を因数分解してください

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、xとyの2文字を含んだ式の因数分解のようですね。

 

では先生!お願いします~

数学おじさん
数学おじさん

ザビエルくん、ありがとう!

 

今回は、複数の文字 xとyをふくむ、因数分解のようじゃな

 

こういう式の因数分解には、「ポイントとなる考え方」があるんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

数学はひらめき!という場合もあるんじゃが、

 

因数分解では、「パターンが決まっている」んじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

おはようございます!先生!

数学おじさん
数学おじさん

お~ハッチくん、おはよう

 

因数分解はいくつかのパターンが決まっておるから、

 

まずは、本記事のやり方を身につけるのじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

わかりました!ではよろしくお願いします!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

というわけで、本記事を読めば、

 

高校数学の因数分解の、

 

重要なパターンの1つを身につけることができるんですね

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、はじめるかのぉ~

 

 

数学おじさん
数学おじさん

今回の問題はなんじゃったかのぉ

 

ハッチくん
ハッチくん

 \( x^2 + xy - 4x - y + 3 \) を因数分解してください、です!

数学おじさん
数学おじさん

ありがとう!

 

まずは、解答だけ知りたい!って方向けに、

 

解答を書いておくかのぉ

解答例

数学おじさん
数学おじさん

 \( x^2 + xy - 4x - y + 3 \)

 

\( = xy - y + x^2 - 4x + 3 \)

 

\( = y(x - 1) + (x - 1)(x - 3) \)

 

\( = (x - 1)(x + y - 3) \)

 

これで答えじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

ん???

 

なんで、こんな式変形するんですか?

 

よくわからないです・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

複雑な式じゃし、わからなくてもだいじょうぶじゃ

 

これから1つひとつ、シッカリ解説していくからのぉ

 

ハッチくん
ハッチくん

よかったです!お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

では、解説をはじめるかのぉ

 

まずどの因数分解でもそうなんじゃが、

 

因数分解するには、まず、「式の特徴」をシッカリみて、方針を決めるんじゃ

因数分解では、まず、式の特徴をシッカリつかむ

ハッチくん
ハッチくん

でも、「式の特徴」って、何をみるんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

まず「文字の種類」をみるんじゃ。

 

今回の式は、文字が2つ使われておるじゃろ

 

ハッチくん
ハッチくん

はい!xとyが使われています

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃ

 

そしたら次に、

 

xとyについて、それぞれ、「次数(じすう)」を考えるんじゃ

式の文字それぞれの「次数(じすう)」を調べる

ハッチくん
ハッチくん

先生、「次数(じすう)」ってなんでしたっけ?

数学おじさん
数学おじさん

次数はとても重要じゃから、

 

シッカリ理解しておくようにするのじゃ

 

お~い、にゃんこくん、次数の解説記事を教えておくれ

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

ハッチくん
ハッチくん

ありがとうございます!読んでみます!

数学おじさん
数学おじさん

では話をもどすとするかのぉ

 

\( x^2 + xy - 4x - y + 3 \) の、xとyの次数を考えておったんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

どうやって、次数を考えるんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

xとyを別々に考えるのがポイントじゃ

 

xの次数を考える時は、

 

xだけ文字と考えて、他の文字(今回はy)は数字だと考えるんじゃ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、

 

\( x^2 + xy - 4x - y + 3 \) という式は、

 

\( x^2 + x - 4x - 1 + 3 \)  のように、

 

yを数字のように考えるんじゃ

 

この例では、y=1として考えておる。

 

数字はなんでもよくて、yを数字として考えれればオッケーじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

\( x^2 + x - 4x - 1 + 3 \)  という式なら、

 

xの次数は、2次になりますね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

もし、なぜ、xの次数が2次?と思うなら、

 

上の次数の解説記事を読みなおしておくんじゃぞ~

 

では、yの次数はどうなるか考えてごらん

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと~

 

今度はyの次数を考えるから、xは数字と考えるんですよね?

 

イメージしやすいように、x=1 としてみると、

 

\( x^2 + xy - 4x - y + 3 \) という式は、

 

\( 1^2 + y - 4 - y + 3 \)  のように考えることができますよね。

 

すると、yの次数は、「1次」となりますよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

これで、式の中の文字の次数を調べれたのぉ。

 

では次のステップにいくとするかのぉ

「式を整理」をする:次数の低い文字をつかう

ハッチくん
ハッチくん

なぜ、次数を調べたんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

問題の式にふくまれる文字、xとyのうち、

 

次数が低い文字は知りたかったんじゃ

 

どっちじゃったかのぉ?

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと~

 

xが2次で、yが1次だったので、

 

次数が低いのは、yでした!

 

数学おじさん
数学おじさん

では次は、式を、yについて整理するのじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なぜyなのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

因数分解する式に含まれている文字中で、

 

次数が一番低い文字じゃからじゃよ

 

ハッチくん
ハッチくん

ということは、


次数が低い文字をみつけて、
その文字について整理する

 

のがポイントなんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

今回の因数分解のポイントは、

 

次数が低い文字をみつけて、その文字について整理する

 

なんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

でも、「その文字について整理する」って、具体的にどうするんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

その文字について、

 

降べきの順(こうべきのじゅん)」に書きかえればオッケーじゃ

「降べきの順」とは?

ハッチくん
ハッチくん

先生!神戸木の順?ってなんですか?

数学おじさん
数学おじさん

神戸の木じゃないぞ

 

「降べきの順」じゃよ

 

イメージとしては、階段を下りるような順番に並べるってことなんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

たとえば、

 

\( 3x -5 + x^2 \)  という式があったとするじゃろ?

 

すると、この式は、3つの項( \( 3x,  -5,  x^2 \) )でできておる

 

それぞれの項の(xについての)次数は、1次、0次、2次となっておるわけじゃ

 

これを「降べきの順」に並べるというのは、

 

2次⇒1次⇒0次の順に項を並べかえることなんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

ということは、

 

\( 3x -5 + x^2 \)   を降べきの順にならべると、

 

\( x^2 + 3x -5\)   でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

\( x^2 + 3x -5\)  の式のそれぞれの項は、

 

2次、1次、0次のように、

 

左から右に次数が下がっておるわけじゃ

 

これを降べきの順というわけじゃな

 

階段を下りてるようじゃろ?

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

複数の文字をふくむ式を、降べきの順に並べかえる

数学おじさん
数学おじさん

では話をもとに戻すかのぉ

 

\( x^2 + xy - 4x - y + 3 \) という式は、

 

yの方が次数が低いので、yについて整理するところじゃったわけじゃ

 

つまり、yについて、降べきの順にならべかえるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと~

 

でもこの式には、y以外にxもあるので、どうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

yについて整理するときには、他の文字は数字のように考えればいいんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

じゃあ

 

\( x^2 + xy - 4x - y + 3 \)  という式は、

 

yについて整理するから、

 

yについて降べきの順にならべかえればいいですよね?

 

xは数字だと考えて・・・

 

すると、

 

\( xy - y + x^2 - 4x+ 3 \)

 

でいいですか??

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

xy - y   +  x^2 - 4x+ 3   の式は、

 

yの1次式)+(yの0次式という形をしておるわけじゃ。

 

つまり、xは考えずに降べきの順にしたわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

では、この後はどうするんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

(yの1次式)+(yの0次式)という形をしておるから、

 

これを因数分解することを考えるわけじゃ。

 

数学おじさん
数学おじさん

(yの1次式)+(yの0次式)は、

 

(yの1次式)と(yの0次式)の2つの項でできておると考えられる。

 

だから、これら2つの項に、共通因数がみつかれば、

 

因数分解できるのになぁ~

 

と発想するんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

でも、

 

xy - y   +  x^2 - 4x + 3  の

 

yの1次式)と(yの0次式)には、共通因数はなさそうですね・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

そのままではない

 

じゃあ、それぞれ2つの項を変形してみたらどうだろう?!

 

と考えるわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、(yの1次式)の部分だけみてみるかのぉ

 

\( xy - y  \)  は、共通因数yをもっているわけじゃ

 

だから、yでくくってみるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

\( xy - y  \)

 

\( = y(x - 1)  \)

 

ですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

次は、(yの0次式)の部分だけみてみるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

\(  x^2 - 4x + 3 \)

 

\( = ( x - 1)(x - 3) \)

 

と因数分解できますね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな!

 

では、もとの式を考えてみよう

 

xy - y  +  x^2 - 4x + 3

 

= y(x - 1)  +  ( x - 1)(x - 3)

 

となったわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

なぜ、こんな変形をしたんじゃったかのぉ?

ハッチくん
ハッチくん

  y(x - 1)  +  ( x - 1)(x - 3)  という式について、

 

yの1次式)と(yの0次式)の2つの項に、共通因数がみつかれば、

 

因数分解できるのになぁ~

 

と考えてたからです!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

では、共通因数はあるかのぉ?

 

ハッチくん
ハッチくん

\(  y(x - 1)  +  ( x - 1)(x - 3) \) の2つの項には、

 

どちらも、 \(  (x - 1) \) が因数にあります!

 

数学おじさん
数学おじさん

では、共通因数 \(  (x - 1)  \) でくくってごらん

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと~

 

\(  y(x - 1) + ( x - 1)(x - 3) \)

 

\(  = (x - 1)??? \)

 

わからないです~なんか複雑ですね・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

文字がたくさん出てくるとわかりにくいじゃろ

 

こういうときは、かたまりを1文字でおきかえて考えるといいんじゃ

 

\(  (x - 1) \)  を たとえば、A

 

\(  (x - 3) \)  を たとえば、B とか1文字で考えてみるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

じゃあ、

 

\(  y(x - 1) + ( x - 1)(x - 3) \)

 

\(  = yA + AB \)

 

\( = A(y + B) \)

 

となりますよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

もしも、これで正しいかな?って思ったら、

 

展開して、同じになるか確かめればいいじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

はい!たしかめたら、だいじょうぶでした!

 

なので、正しくくくれてることが確認できました!

数学おじさん
数学おじさん

よろしい!

 

1つひとつ確認しながら進むのが、確実に得点するポイントじゃ

 

では、AとBをもとにもどしてごらん

 

ハッチくん
ハッチくん

はい!

 

AとBをもとにもどすと、

 

\( A(y + B) \)

 

\( = (x - 1)(y + x -3) \)

 

これでいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

ふむ、それで正解じゃ

 

ただ、こまかいことをいうと、アルファベット順に書くのがいいから、

 

\( (x - 1)(y + x -3) \)

 

\( = (x - 1)(x + y -3) \)

 

とするのがキレイじゃな

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

というわけで、今回は、

 

「複数文字をふくむ式の因数分解」の解説じゃったわけじゃ

 

次数の低い文字に着目して整理する!

 

これが今回のポイントじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

ありがとうございました!

 

でも先生、今回は、次数が低い文字がありましたけど、

 

もし、どの文字も同じ次数だったら、どうすればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

いい質問じゃ

 

答えは、「どの文字に着目してもいい」となる。

 

特に決まりはないので、好みで選んでいいわけじゃ

 

ただし、その式に「他の特徴」があれば、

 

その特徴を活かした式変形をすることになる

 

「式の特徴」によっては、

 

公式を使うといった「因数分解のパターン」が決まってくることがあるんじゃな

 

ハッチくん
ハッチくん

このやり方以外にも、因数分解のパターンがあるってことですね

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

それらのパターンを1つひとつ身につけていけば、

 

自然とどれを使えばいいのか、見えてくるようになるんじゃ

 

ただし、ポイントをシッカリ理解しながら学ぶことが大事じゃぞ

 

問題数をたくさんやればいい、というものでもないんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!わかりました!

数学おじさん
数学おじさん

いえいえ、ハッチくんも勉強がんばるんじゃぞ。

 

ハッチくん
ハッチくん

はい!がんばります!

数学おじさん
数学おじさん

では、にゃんこくん、復習におすすめの記事をおねがい!

復習しておくとよい内容

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は~い、先生

 

今回の復習は、以下の記事がおすすめにゃん

 

★「共通因数」で「くくる」とは?についてだにゃん↓

【数学】「共通因数」で「くくる」とは?なぜする必要があるの?【中学数学 因数分解】

 

★「共通因数でくくる問題」についてだにゃん↓
【数学 質問解答】因数分解の難問(共通因数をくくる問題)【中学数学 中3 因数分解】(質問ありがとうございました!)

 

★「次数」についてだにゃん↓

【数学】文字と式の「次数」とは?【入門・基礎問題・ 中1・文字と式13】

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

というわけで、

 

ザピエルく~ん、あとよろしく!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生、おつかれまでした

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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数学にゃんこ
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わからないところが、サクッとわかる「因数分解」の解説記事をまとめました

 

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