【数学 質問解答】分母の有理化って、どうやればいいの?【平方根 中3 中学数学】(質問ありがとうございました!)

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分母の有理化 中学数学 数学おじさん oj3math 数学(中学校)
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[mathjax]

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました!

ハムちゃん
ハムちゃん

\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \) の分母を有理化してください!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

いわゆる「分母の有理化(ゆうりか)」の問題ですね!

 

では先生、お願いします

 

数学おじさん
数学おじさん

ゼピエルくん、ありがとう

 

今回は、分母の有理化の問題じゃな

 

このタイプは、

 

分母を無理数から有理数にする問題、

 

と言いかえることもできるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

そうなんですね!

数学おじさん
数学おじさん

それと、「分母の」有理化、という、分母というのもポイントじゃな

 

くわしくは、以下で解説しようかのぉ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!お願いします

秘書ザピエル
秘書ザピエル

本記事を読むことで、以下のメリットがあるわけですね

 

①、有理数、無理数について、理解できる

 

②、有理化が何かわかる

 

③、分母の有理化の問題が解けるようになる

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では解説をはじめるかのぉ

 

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【数学】分母の有理化って、どうやればいいの?【平方根 中3 中学数学】

数学おじさん
数学おじさん

まずは、解答を知りたい方のために、解答例を示しておくかのぉ

 

\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)

 

\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) }{ (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} \)

 

\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)^2 }{ \sqrt{3}^2 – 1^2} \)

 

\( = \frac{ \sqrt{3}^2 – 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 }{ 3 – 1} \)

 

\( = \frac{ 3 – 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 }{ 2 } \)

 

\( = \frac{ 4 – 2\sqrt{3} }{ 2 } \)

 

\( = \frac{ 4 }{ 2 } – \frac{2\sqrt{3} }{ 2 } \)

 

\( = 2 – \sqrt{3} \)

 

となり、これが答えじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なにをしてるのか、さっぱりです・・・

数学おじさん
数学おじさん

1つひとつ解説していくから、だいじょうぶじゃ

 

わかるよーって方は、スッーと下に行ってくれたらオッケーじゃ

 

では、見ていくかのぉ

 

有理数とは?無理数とは?

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、言葉を理解できておるかの確認じゃ

 

今回の問題を解くには、

 

有理化」ってなに?

 

というのを理解しておく必要があるんじゃ

 

そして、それを理解するためには、

 

有理数(ゆうりすう)

無理数(むりすう)

 

について、キチンと理解しておくのが大事じゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

有理数?無理数?

数学おじさん
数学おじさん

なんだっけって方は、

 

以下の記事で確認しておくのがオススメじゃ

 

お〜い、ニャンコくん、記事を教えてくれる?

 

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は〜い、先生!

 

『有理数』や『無理数』についてはこちらの記事だにゃん

 

【数学】有理数(ゆうりすう)とは?無理数(むりすう)とは?【平方根 中3 中学数学】

ハムちゃん
ハムちゃん

ありがとう!読んでみます

 

数学おじさん
数学おじさん

有理数と無理数が理解できたら、

 

有理化(ゆうりか)』の説明がわかるはずじゃ

 

「有理化(ゆうりか)」ってなに?

 

数学おじさん
数学おじさん

”有理化しなさい”

 

っていう問題は、高校入試などでよく出るんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!今回の問題も、有理化してください!って問題でした

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

有理化しなさい、というのは、

 

無理数があれば、有理数に変えてください

 

という意味なんじゃ

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり

 

①、無理数がどれか

 

わからないと始まらないわけじゃな

 

そして次に、

 

②、無理数を有理数にする方法

 

を知っておく必要があるわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

そうですね!

 

どれが無理数かは、上の記事を読んだら理解できました!

 

代表的な無理数には、平方根などがありますよね

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

じつは、

 

”有理化してください”

 

という問題でほぼ100%出るのは、平方根を含んだ式なんじゃ

 

つまり、平方根という無理数を、有理数に変えてくださいね

 

というのが、ほとんどの問題の内容なんじゃ

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

じゃあ、平方根は、どうやって、有理化したらいいのですか!

平方根の有理化の方法とは?

数学おじさん
数学おじさん

平方根の有理化の方法は、2パターン知っておけばオッケーじゃ

有理化のパターン(1): 分母が平方根が1項のみ

 

数学おじさん
数学おじさん

最初のパターンは、こういう問題の時の考え方じゃ

 

\( \frac{1}{\sqrt{3}} \) の分母を有理化してください

 

ハムちゃん
ハムちゃん

質問した問題よりもシンプルな問題ですね

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

分母に、平方根の項が1つだけじゃろ

 

この時は、以下の解き方でオッケーじゃ

 

このように、分母に1項だけの平方根を有理化するときに、

 

分母と分子に、その平方根を掛け算すればオッケーじゃ

 

ちなみに、「項(こう)」について不安な方は、

 

以下の記事で理解しておくのがオススメじゃ

 

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

ありがとう!読んでみます!

数学おじさん
数学おじさん

では、話を元に戻そうかのぉ

 

分母に平方根1項の時の、具体的な計算じゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

具体的なやり方を知りたいです!

数学おじさん
数学おじさん

分母と分子に、 \( \sqrt{3} \) をかければいいわけじゃ

 

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} \)

 

\(  = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

 

となり、分母が \( \sqrt{3} \) の無理数から、

 

3となり、有理数に変わったわけじゃ

 

これで分母の有理化ができた、というわけじゃな

数学おじさん
数学おじさん

この解法のポイントは、

 

平方根は2乗すると消える

 

という性質を使ったものなんじゃな

数学おじさん
数学おじさん

平方根を2乗して消す公式

\( \sqrt{a}^2 = a \)

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、これ、平方根のところで習った考え方です!

 

これを応用しているんですね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

平方根は、2乗すると根号の中の数字になる数字

 

という定義(ルール)じゃから

 

当たり前といえば当たり前の公式なわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

ちなみに、この式のとこで、

 

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} \)

 

なぜ、分母と分子に、 \( \sqrt{3} \) をかけたんですか?

 

無理数がある分母にだけ、かけ算したらいいんじゃないですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

そこはよく間違うとことじゃから、よく理解してほしいんじゃ

 

まず、分母の有理化をするためには、分母にかけるだけでいいんじゃ

 

だから、分母だけにかけ算すればいいと思うかもしれん

 

しかし、分母にだけ、自分で勝手に \( \sqrt{3} \) をかけたら

 

もともとの式と違うものになってしまうじゃろ ?

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ、そうですね!

 

例えば、

 

\( \frac{1}{2} について \frac{1}{2×2} = \frac{1}{4} \)

 

のように、分母だけに数字をかけ算すると、

 

元の数と違うものになりますね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃ

 

しかし、分母と分子に同じ数をかけ算してごらん

 

ハムちゃん
ハムちゃん

\( \frac{1}{2} \) について

 

\( \frac{1×2}{2×2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

 

あ!分母と分子の両方に同じものをかけ算すると

 

約分できるから結局、もとの分数と同じものになるですね

 

数学おじさん
数学おじさん

そういうことなんじゃよ

 

だから、分母と分子の両方に かけたんじゃ

 

分母だけにかけたらダメなわけじゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりました!

 

じゃあ、今回の問題では、分母が \( \sqrt{3} + 1 \)  なんですけど、

 

この場合も、分母・分子に \( \sqrt{3} \) をかけるのですか?

 

有理化のパターン(2): 分母が平方根を含んだ2項の場合

 

数学おじさん
数学おじさん

今回は、ちがうパターンなんじゃ

 

どういうことかというと、

 

問題の式は、これじゃが

 

\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)

 

分母は、 \( \sqrt{3} + 1 \) となっていて、

 

2つの項 \( \sqrt{3} \) と \(  + 1 \) からできているわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

上の問題は、

 

\( \frac{1}{\sqrt{3}} \)

 

だったんですが、

 

分母は、 \( \sqrt{3} \) の1つの項でした

 

今回の問題では、分母が2項でできているところが違いますよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

今回は、分母の項数が2つの時の有理化に使えるパターンじゃ

 

実は、分母の項数が2つ以上といったほうが正確なんじゃがな

 

これは今はおいておくとするかのぉ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほど!

 

では、分母の項数が3つとかになっても使える解き方なんですね!

 

どうすればいいのですか!?

 

数学おじさん
数学おじさん

このパターンでは、展開公式を応用するんじゃよ

 

使う展開公式は、これじゃな↓

数学おじさん
数学おじさん

展開公式

\(  (a+b)(a – b) = a^2 – b^2 \)

ハムちゃん
ハムちゃん

あ!この公式知ってます!

 

でも、どうやって、有理化に使うのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

まずこれを考えてみるかのぉ

 

\( \sqrt{2} + 1 \) という式があったとするじゃろ

 

これに、 \( \sqrt{2} ー 1 \) をかけ算してみるんじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

もとの式に、

 

あいだの符号が変わったものを

 

かけ算するんですね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

そうすることで、上の展開公式が使える形になるからのぉ

 

計算してごらん

 

ハムちゃん
ハムちゃん

\( (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} ー 1) \) は、

 

上の展開公式が使えますね!

 

なので、

 

\( (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} ー 1) \)

 

\( = \sqrt{2}^2 ー 1^2 \)

 

\( = 2 ー 1 \)

 

\( = 1 \)

 

となりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

この操作を行うことで、

 

\( \sqrt{2} + 1 \) という、平方根(無理数)を含んだ式を、

 

1という有理数の式に変えることができたわけじゃ

 

ただし今の例は、

 

\( \sqrt{2} + 1 \)  に \( \sqrt{2} ー 1 \)

 

をかけておるから、

 

\( \sqrt{2} + 1  = 1\) というわけじゃないがな

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

平方根を含んだ2項の有理化には、

 

展開公式 \(  (a+b)(a – b) = a^2 – b^2 \) 

 

が使って、平方根を有理化するのがポイントなんですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、これらをふまえて、

 

今回の問題を解いてみるかのぉ

 

問題の解答例の解説

ハムちゃん
ハムちゃん

今回の問題は、これでした

 

\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)

 

数学おじさん
数学おじさん

まず式を観察すると、分数の形をしておることがわかるのぉ

 

分母には平方根があることもわかる

 

そして、分母は平方根を含んだ、2項になっているわけじゃ

 

 

ハムちゃん
ハムちゃん

分母が平方根を含んだ2項だ!

 

じゃあ、上の展開公式を使うパターンだ!

 

と考えればいいのですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

分母に2項なので、展開公式が使えるように、

 

分母の \( \sqrt{3} + 1 \) の間の符号を変えた、

 

\( \sqrt{3} – 1 \) を

 

分母にかけ算すればいいわけじゃな

 

分母は有理化されるはずじゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

しかしここで注意点があるんじゃ

 

忘れてはいかんのは、分母だけにかけ算するのはダメじゃったな

 

元の式と違うものになってしまうからじゃ

 

つまり、

 

分母だけでなく、分子にも同じ \( \sqrt{3} – 1 \) をかけ算する

 

というのがポイントじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ〜そうでした!

 

じゃあ、

 

\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)

 

\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) }{ (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} \)

 

と考えればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

最初はややこしい式に見えるかもしれんが、

 

慣れてしまえば、そんなに難しくはないはずじゃ

 

慣れるまでは、分母は分母で計算、分子は分子で計算し、

 

後で分数の形にしてみる、

 

として解くのも1つの方法じゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりました!

 

まだ慣れていないので、分母と分子を別々に計算してみます!

 

まず分母は、展開公式を使うと、

 

\( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) \)

 

\( = \sqrt{3}^2  – 1^2) \)

 

\( = 3  – 1 \)

 

\( = 2 \)

 

となりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、分子はどうなるかのぉ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

えっと〜

 

\(  (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) \)

 

\(  = \sqrt{3}^2 – \sqrt{3} – \sqrt{3} +1 \)

 

\(  = \sqrt{3}^2 – 2\sqrt{3} +1 \)

 

\(  = 3 – 2\sqrt{3} +1 \)

 

\(  = 4 – 2\sqrt{3} \)

 

となりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

ちなみに、 \(  (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) \) の計算じゃが

 

\(  (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) \)

 

\(  = (\sqrt{3} – 1)^2 \)

 

\(  = \sqrt{3}^2 – 2\sqrt{3} +1 \)

 

として、以下の展開公式を使うと、サクッと計算ができるんじゃよ

 

数学おじさん
数学おじさん

かっこの2乗の展開公式

 

\(  (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

 

\(  (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

 

ハムちゃん
ハムちゃん

なるほどです!

 

練習してみます!

 

数学おじさん
数学おじさん

テストなどでは、時間との戦いでもあるから、

 

早くできる方法は、できるようにしておくのがオススメじゃ

 

また、展開公式は、因数分解の逆の公式なので、

 

因数分解を理解するには、

 

公式を使った展開になれておく方が有利なんじゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

わかりました!

 

ぜひ展開公式をマスターしたいと思います!

数学おじさん
数学おじさん

では、問題の計算に戻るかのぉ

 

分母と分子を別々に計算して、

 

分子が \(  4 – 2\sqrt{3} \)

 

分母が \(  2 \)

 

となったわけじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!

 

なので、答えは

 

\( \frac{  4 – 2\sqrt{3} }{ 2 } \)

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

正解!

 

と言いたいところなんじゃが、

 

分数の時には、「約分」を忘れちゃいかんのじゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

あ!約分ができますね!

 

\( \frac{  4 – 2\sqrt{3} }{ 2 } \)

 

\( = \frac{  4 }{2} – \frac{2\sqrt{3} }{ 2 } \)

 

\( = 2 – \sqrt{3} \)

 

となりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

これ以上計算できないから、これで答えじゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

よかったです!

 

ありがとうございました!

 

数学おじさん
数学おじさん

わかってもらえたようでよかった

 

今の説明では、分母と分子を別々に計算したのじゃが、

 

慣れてきたら、分母分子を同時に計算してもオッケーじゃ

 

その解き方は、解答例で示したとおりじゃな

 

もう一度書いておくかのぉ

 

今回は何をしておるか、意味がわかるのではないかのぉ

 

\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)

 

\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) }{ (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} \)

 

\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)^2 }{ \sqrt{3}^2 – 1^2} \)

 

\( = \frac{ \sqrt{3}^2 – 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 }{ 3 – 1} \)

 

\( = \frac{ 3 – 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 }{ 2 } \)

 

\( = \frac{ 4 – 2\sqrt{3} }{ 2 } \)

 

\( = \frac{ 4 }{ 2 } – \frac{2\sqrt{3} }{ 2 } \)

 

\( = 2 – \sqrt{3} \)

 

となり、これが答えじゃな

 

ハムちゃん
ハムちゃん

今回は何をしているか、わかりました!

 

うれしいです!!

 

数学おじさん
数学おじさん

それはよかった

 

今回の解説は以上じゃな

 

実は分母の有理化には、

 

分母が3項のものが出題されることもあるんじゃが、

 

2項のやり方と全く同じ考え方なので、

 

そういう問題に出くわしたら、

 

何をしているかは解答例を見れば理解できるのではないかと思う

 

機会があれば、解説記事を書こうかとも考え中じゃ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

分母が3項の場合もあるんですね!

 

解説を聞きたい気もしますチュー

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

まずは1項と2項を身につけるのが先決じゃから

 

そちらをシッカリ理解してもらえたらオッケーじゃ

 

そのうち3項の場合も解説するかのぉ

 

ハムちゃん
ハムちゃん

はい!お願いします!

数学おじさん
数学おじさん

了解じゃ

 

興味ある方は、ツイッターなどフォローしておくと見逃さないはずじゃ

 

お〜い、ザピエルくん、ツイッターなど教えてくれる!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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