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今回は、こんな質問をいただきました！
\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \) の分母を有理化してください！
いわゆる「分母の有理化（ゆうりか）」の問題ですね！
では先生、お願いします
ゼピエルくん、ありがとう
今回は、分母の有理化の問題じゃな
このタイプは、
分母を無理数から有理数にする問題、
と言いかえることもできるんじゃ
そうなんですね！
それと、「分母の」有理化、という、分母というのもポイントじゃな
くわしくは、以下で解説しようかのぉ
はい！お願いします
本記事を読むことで、以下のメリットがあるわけですね
①、有理数、無理数について、理解できる
②、有理化が何かわかる
③、分母の有理化の問題が解けるようになる
そのとおりじゃ
では解説をはじめるかのぉ
【数学】分母の有理化って、どうやればいいの？【平方根 中３ 中学数学】
まずは、解答を知りたい方のために、解答例を示しておくかのぉ
\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)
\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) }{ (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} \)
\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)^2 }{ \sqrt{3}^2 – 1^2} \)
\( = \frac{ \sqrt{3}^2 – 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 }{ 3 – 1} \)
\( = \frac{ 3 – 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 }{ 2 } \)
\( = \frac{ 4 – 2\sqrt{3} }{ 2 } \)
\( = \frac{ 4 }{ 2 } – \frac{2\sqrt{3} }{ 2 } \)
\( = 2 – \sqrt{3} \)
となり、これが答えじゃ
なにをしてるのか、さっぱりです・・・
１つひとつ解説していくから、だいじょうぶじゃ
わかるよーって方は、スッーと下に行ってくれたらオッケーじゃ
では、見ていくかのぉ
有理数とは？無理数とは？
まずは、言葉を理解できておるかの確認じゃ
今回の問題を解くには、
「有理化」ってなに？
というのを理解しておく必要があるんじゃ
そして、それを理解するためには、
「有理数（ゆうりすう）」
「無理数（むりすう）」
について、キチンと理解しておくのが大事じゃ
有理数？無理数？
なんだっけって方は、
以下の記事で確認しておくのがオススメじゃ
お〜い、ニャンコくん、記事を教えてくれる？
ありがとう！読んでみます
有理数と無理数が理解できたら、
『有理化（ゆうりか）』の説明がわかるはずじゃ
「有理化（ゆうりか）」ってなに？
”有理化しなさい”
っていう問題は、高校入試などでよく出るんじゃ
はい！今回の問題も、有理化してください！って問題でした
そうなんじゃよ
有理化しなさい、というのは、
無理数があれば、有理数に変えてください
という意味なんじゃ
つまり
①、無理数がどれか
わからないと始まらないわけじゃな
そして次に、
②、無理数を有理数にする方法
を知っておく必要があるわけじゃ
そうですね！
どれが無理数かは、上の記事を読んだら理解できました！
代表的な無理数には、平方根などがありますよね
そのとおりじゃ
じつは、
”有理化してください”
という問題でほぼ１００％出るのは、平方根を含んだ式なんじゃ
つまり、平方根という無理数を、有理数に変えてくださいね
というのが、ほとんどの問題の内容なんじゃ
なるほどです！
じゃあ、平方根は、どうやって、有理化したらいいのですか！
平方根の有理化の方法とは？
平方根の有理化の方法は、２パターン知っておけばオッケーじゃ
有理化のパターン（１）： 分母が平方根が１項のみ
最初のパターンは、こういう問題の時の考え方じゃ
\( \frac{1}{\sqrt{3}} \) の分母を有理化してください
質問した問題よりもシンプルな問題ですね
そうじゃな
分母に、平方根の項が１つだけじゃろ
この時は、以下の解き方でオッケーじゃ
このように、分母に１項だけの平方根を有理化するときに、
分母と分子に、その平方根を掛け算すればオッケーじゃ
ちなみに、「項（こう）」について不安な方は、
以下の記事で理解しておくのがオススメじゃ
ありがとう！読んでみます！
では、話を元に戻そうかのぉ
分母に平方根１項の時の、具体的な計算じゃな
具体的なやり方を知りたいです！
分母と分子に、 \( \sqrt{3} \) をかければいいわけじゃ
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
となり、分母が \( \sqrt{3} \) の無理数から、
３となり、有理数に変わったわけじゃ
これで分母の有理化ができた、というわけじゃな
この解法のポイントは、
平方根は２乗すると消える
という性質を使ったものなんじゃな
平方根を２乗して消す公式
\( \sqrt{a}^2 = a \)
あ、これ、平方根のところで習った考え方です！
これを応用しているんですね
そのとおりじゃ
平方根は、２乗すると根号の中の数字になる数字
という定義（ルール）じゃから
当たり前といえば当たり前の公式なわけじゃ
なるほどです！
ちなみに、この式のとこで、
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} \)
なぜ、分母と分子に、 \( \sqrt{3} \) をかけたんですか？
無理数がある分母にだけ、かけ算したらいいんじゃないですか？
そうじゃな
そこはよく間違うとことじゃから、よく理解してほしいんじゃ
まず、分母の有理化をするためには、分母にかけるだけでいいんじゃ
だから、分母だけにかけ算すればいいと思うかもしれん
しかし、分母にだけ、自分で勝手に \( \sqrt{3} \) をかけたら、
もともとの式と違うものになってしまうじゃろ ？
あ、そうですね！
例えば、
\( \frac{1}{2} について \frac{1}{2×2} = \frac{1}{4} \)
のように、分母だけに数字をかけ算すると、
元の数と違うものになりますね！
そうなんじゃ
しかし、分母と分子に同じ数をかけ算してごらん
\( \frac{1}{2} \) について
\( \frac{1×2}{2×2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
あ！分母と分子の両方に同じものをかけ算すると、
約分できるから、結局、もとの分数と同じものになるですね
そういうことなんじゃよ
だから、分母と分子の両方に かけたんじゃ
分母だけにかけたらダメなわけじゃな
わかりました！
じゃあ、今回の問題では、分母が \( \sqrt{3} + 1 \) なんですけど、
この場合も、分母・分子に \( \sqrt{3} \) をかけるのですか？
有理化のパターン（２）： 分母が平方根を含んだ２項の場合
今回は、ちがうパターンなんじゃ
どういうことかというと、
問題の式は、これじゃが
\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)
分母は、 \( \sqrt{3} + 1 \) となっていて、
２つの項 \( \sqrt{3} \) と \( + 1 \) からできているわけじゃ
上の問題は、
\( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
だったんですが、
分母は、 \( \sqrt{3} \) の１つの項でした
今回の問題では、分母が２項でできているところが違いますよね？
そのとおりじゃ
今回は、分母の項数が２つの時の有理化に使えるパターンじゃ
実は、分母の項数が２つ以上といったほうが正確なんじゃがな
これは今はおいておくとするかのぉ
なるほど！
では、分母の項数が３つとかになっても使える解き方なんですね！
どうすればいいのですか！？
このパターンでは、展開公式を応用するんじゃよ
使う展開公式は、これじゃな↓
展開公式
\( (a+b)(a – b) = a^2 – b^2 \)
あ！この公式知ってます！
でも、どうやって、有理化に使うのですか？
まずこれを考えてみるかのぉ
\( \sqrt{2} + 1 \) という式があったとするじゃろ
これに、 \( \sqrt{2} ー 1 \) をかけ算してみるんじゃ
もとの式に、
あいだの符号が変わったものを
かけ算するんですね
そのとおりじゃ
そうすることで、上の展開公式が使える形になるからのぉ
計算してごらん
\( (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} ー 1) \) は、
上の展開公式が使えますね！
なので、
\( (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} ー 1) \)
\( = \sqrt{2}^2 ー 1^2 \)
\( = 2 ー 1 \)
\( = 1 \)
となりました！
大正解じゃ
この操作を行うことで、
\( \sqrt{2} + 1 \) という、平方根（無理数）を含んだ式を、
１という有理数の式に変えることができたわけじゃ
ただし今の例は、
\( \sqrt{2} + 1 \) に \( \sqrt{2} ー 1 \)
をかけておるから、
\( \sqrt{2} + 1 = １\) というわけじゃないがな
なるほどです！
平方根を含んだ２項の有理化には、
展開公式 \( (a+b)(a – b) = a^2 – b^2 \)
が使って、平方根を有理化するのがポイントなんですね！
そのとおりじゃ
では、これらをふまえて、
今回の問題を解いてみるかのぉ
問題の解答例の解説
今回の問題は、これでした
\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)
まず式を観察すると、分数の形をしておることがわかるのぉ
分母には平方根があることもわかる
そして、分母は平方根を含んだ、２項になっているわけじゃ
分母が平方根を含んだ２項だ！
じゃあ、上の展開公式を使うパターンだ！
と考えればいいのですか？
大正解じゃ！
分母に２項なので、展開公式が使えるように、
分母の \( \sqrt{3} + 1 \) の間の符号を変えた、
\( \sqrt{3} – 1 \) を
分母にかけ算すればいいわけじゃな
分母は有理化されるはずじゃな
なるほどです！
しかしここで注意点があるんじゃ
忘れてはいかんのは、分母だけにかけ算するのはダメじゃったな
元の式と違うものになってしまうからじゃ
つまり、
分母だけでなく、分子にも同じ \( \sqrt{3} – 1 \) をかけ算する
というのがポイントじゃ
あ〜そうでした！
じゃあ、
\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)
\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) }{ (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} \)
と考えればいいんですか？
そのとおりじゃ
最初はややこしい式に見えるかもしれんが、
慣れてしまえば、そんなに難しくはないはずじゃ
慣れるまでは、分母は分母で計算、分子は分子で計算し、
後で分数の形にしてみる、
として解くのも１つの方法じゃな
わかりました！
まだ慣れていないので、分母と分子を別々に計算してみます！
まず分母は、展開公式を使うと、
\( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) \)
\( = \sqrt{3}^2 – 1^2) \)
\( = 3 – 1 \)
\( = 2 \)
となりました！
そのとおりじゃ
では、分子はどうなるかのぉ
えっと〜
\( (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) \)
\( = \sqrt{3}^2 – \sqrt{3} – \sqrt{3} +1 \)
\( = \sqrt{3}^2 – 2\sqrt{3} +1 \)
\( = 3 – 2\sqrt{3} +1 \)
\( = 4 – 2\sqrt{3} \)
となりました！
大正解じゃ
ちなみに、 \( (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) \) の計算じゃが
\( (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) \)
\( = (\sqrt{3} – 1)^2 \)
\( = \sqrt{3}^2 – 2\sqrt{3} +1 \)
として、以下の展開公式を使うと、サクッと計算ができるんじゃよ
かっこの２乗の展開公式
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
なるほどです！
練習してみます！
テストなどでは、時間との戦いでもあるから、
早くできる方法は、できるようにしておくのがオススメじゃ
また、展開公式は、因数分解の逆の公式なので、
因数分解を理解するには、
公式を使った展開になれておく方が有利なんじゃな
わかりました！
ぜひ展開公式をマスターしたいと思います！
では、問題の計算に戻るかのぉ
分母と分子を別々に計算して、
分子が \( 4 – 2\sqrt{3} \)
分母が \( 2 \)
となったわけじゃ
はい！
なので、答えは
\( \frac{ 4 – 2\sqrt{3} }{ 2 } \)
でいいんですか？
正解！
と言いたいところなんじゃが、
分数の時には、「約分」を忘れちゃいかんのじゃ
あ！約分ができますね！
\( \frac{ 4 – 2\sqrt{3} }{ 2 } \)
\( = \frac{ 4 }{2} – \frac{2\sqrt{3} }{ 2 } \)
\( = 2 – \sqrt{3} \)
となりました！
大正解じゃ！
これ以上計算できないから、これで答えじゃな
よかったです！
ありがとうございました！
わかってもらえたようでよかった
今の説明では、分母と分子を別々に計算したのじゃが、
慣れてきたら、分母分子を同時に計算してもオッケーじゃ
その解き方は、解答例で示したとおりじゃな
もう一度書いておくかのぉ
今回は何をしておるか、意味がわかるのではないかのぉ
\( \frac{ \sqrt{3} – 1 }{\sqrt{3} + 1} \)
\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1) }{ (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} \)
\( = \frac{ (\sqrt{3} – 1)^2 }{ \sqrt{3}^2 – 1^2} \)
\( = \frac{ \sqrt{3}^2 – 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 }{ 3 – 1} \)
\( = \frac{ 3 – 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 }{ 2 } \)
\( = \frac{ 4 – 2\sqrt{3} }{ 2 } \)
\( = \frac{ 4 }{ 2 } – \frac{2\sqrt{3} }{ 2 } \)
\( = 2 – \sqrt{3} \)
となり、これが答えじゃな
今回は何をしているか、わかりました！
うれしいです！！
それはよかった
今回の解説は以上じゃな
実は分母の有理化には、
分母が３項のものが出題されることもあるんじゃが、
２項のやり方と全く同じ考え方なので、
そういう問題に出くわしたら、
何をしているかは解答例を見れば理解できるのではないかと思う
機会があれば、解説記事を書こうかとも考え中じゃ
分母が３項の場合もあるんですね！
解説を聞きたい気もしますチュー
そうじゃな
まずは１項と２項を身につけるのが先決じゃから
そちらをシッカリ理解してもらえたらオッケーじゃ
そのうち３項の場合も解説するかのぉ
はい！お願いします！
了解じゃ
興味ある方は、ツイッターなどフォローしておくと見逃さないはずじゃ
お〜い、ザピエルくん、ツイッターなど教えてくれる！
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
誰しもそんな経験があると思います。
実は、そんなあなたが
勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
勉強を楽しめるようになる
ためのペースメーカーをやっています。
あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。
具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
ペースメーカーというのは、
もしもあなたが、
- やる気が続かない
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- 勉強を教えてほしい
なら、私たちが、あなたのために、
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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