【数学】方程式の解き方をわかりやすくまとめました。簡単に解くための、たった2つポイントとは【中1 方程式 中学数学 数学】

一次方程式 解き方 行間おじさん oj3math 数学(中学校)
一次方程式 解き方 行間おじさん oj3math
数学おじさん
数学おじさん

今回は、一次方程式の解き方のコツをお話ししようと思うんじゃ

 

一次方程式の解き方として、教科書に書いてあるのは、

  • 等式の性質
  • 移項(いこう)

といった内容になるわけじゃ

 

これらは、方程式を解くときの、公式のようなものじゃな

 

これらは、数学をきちんと理解するときには、この説明は正しいんじゃ

 

しかし、方程式を解くみなさんの側から見ると、分かりづらいかもしれないんじゃ

 

そこで、別の整理をしておくと、簡単に理解でき、わかりやすいはずなんじゃ

 

そこで本記事では、方程式の解き方を、解く側に使いやすい形でまとめたいと思うんじゃ

 

本記事を読めば、一次方程式の解き方が、サクッと理解することができるんじゃ

 

一次方程式のやり方ってよくわからないなぁ〜

 

って方にとって、わかりやすい説明になっていればいいなぁと思うんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

では解説を始めるかのぉ

 

【数学】方程式の解き方をわかりやすくまとめました。簡単に解くための、たった2つポイントとは【中1 方程式 中学数学 数学】

 

方程式の解き方の、わかりやすい考え方と公式

数学おじさん
数学おじさん

最初に結論から述べると、

 

以下の2点をマスターしておけばオッケーじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

一次方程式の解き方の公式

 

①、移項

 

②、逆数をかけ算する

 

え?たった2つでいいの!?

 

と思われるかもしれないんじゃが、これだけで解けてしまうんじゃよ

 

以下で1つずつ詳しく説明していくかのぉ

 

 

 

 

方程式の問題の解き方(1)

[mathjax]

(例)方程式 \( x + 2  =  3 \)  を解いてください

数学おじさん
数学おじさん

方程式を解いてください」とあるから、

 

最終目的は、 \( x =  ◯ \)  

 

という形にすることなんじゃ

 

問題文の式は、 \( x + 2  =  3 \)  

最終目的は、 \( x =  ◯ \)  

 

これらを見比べみるんじゃ

問題文の式は左辺は \( x + 2  \)  となっておるのぉ

これは、2つの項 \( x  \)  と \( + 2 \)  からなっておるわけじゃ  

最終目的の左辺は \( x \)  となっているわけじゃ

 

つまり、

問題文の左辺の \( x + 2  \)  のうち、 \(  + 2 \) の項がなくなれば、

 最終目的の左辺は \( x \)  になることがわかったわけじゃ

 

じゃから、

ハッチくん
ハッチくん

これを実現するには、「移項」すればいい!

と発想するわけじゃ

 

移項について、なんだっけ?って方は、以下の記事で復習してほしいんじゃ

 

お〜い、ニャンコくん、移項についての記事を教えてくれる?

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

実際に解いてみるとするかのぉ

問題文の方程式は、

 \( x + 2  =  3 \)  

これを左辺の +2 を移項して、

 \( x  =  3 – 2\)  

 \( x  =  1\)  

これで解けた、というわけじゃな

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、上の方程式の解き方①を使って解けたわけじゃな

 

 

 

 

 

 

方程式の問題の解き方(2):逆数をかける

(例)方程式 \( 2x  =  6 \)  を解いてください

 

これも方程式を解いてください、じゃから、「x = ◯」の形を目指すわけじゃな

 

数学おじさん
数学おじさん

そのためには、

 

まず、問題の式と、目的の式をよーく見比べてみてほしいんじゃ

 

問題文の式は、 \( 2x   =  6 \)  

最終目的は、 \( x =  ◯ \)  

 

これらを見比べみるんじゃな

 

問題文の式は、左辺は \( 2x  \)  となっておるのぉ

 

これは、\( 2 × x  \) じゃから、 1つの項からなっておるわけじゃな

 

さっきの問題では、2つの項からなっていたんじゃが、

 

今回は1つの項じゃ 

 

これが上の問題との決定的な違いなんじゃ

 

そして、最終目的の左辺は \( x \)  となっているわけじゃ

 

つまり、

 

問題文の左辺の \( 2 × x  \)  のうち、 \(  2 × \) の部分がなくなれば、

 

 最終目的の左辺は \( x \)  になることがわかったわけじゃ

 

じゃから、

ハッチくん
ハッチくん

これを実現するには、

 

\( 2  \) の逆数の \(  \frac{1}{2} \) を、

 

両辺にかけ算すればいい!

と発想するわけじゃ

 

なんで2の逆数なの?

 

と思われるかもしれないのぉ

 

やりたいことは、

 

 \( 2x   =  6 \)  

 

の左辺の2を1にすることなんじゃ

 

2が1になれば、

 

 1 × x   =  ◯ 

 

かける1は、省略していいから、この式は

 

 x   =  ◯  

 

と書けて、これが目的の式なわけじゃな

 

だから、どうやったら、2が1になるかな?って考えるんじゃ

 

そこでこれを思い出してほしいんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

何かの数字に、その数字の逆数をかけると、1になる

実はこれ、逆数の定義でもあるんじゃ、

 

これを満たすものを、逆数と言おう、という決めたルールなんじゃな

 

1つずつ具体的に説明してみるかのぉ

(わかってる方はスーッと下にいってもらえばオッケーじゃ)

 

 

 

 

逆数とは?

逆数とは?っていうのを、言葉で説明すると、わかりにくいんじゃな

 

そこで、具体例で理解してもらうとするかのぉ

 

(1)、3の逆数は、\( \frac{1}{3} \)

 

その理由なんじゃが

 

3は、分数で書くと、\( \frac{3}{1} \) じゃな

 

逆数というのは分母と分子を入れかえたものなんじゃ

 

\( \frac{3}{1} \) の分母・分子を入れ替えると

 

\( \frac{1}{3} \) となり、これが逆数になるわけじゃな

 

(2)、−3の逆数は、ー\( \frac{1}{3} \)

マイナスがあれば、

 

マイナスをつけたままひっくり返せばオッケーじゃ

 

次に、分数の逆数を考えてみると、

(3)、\( \frac{2}{5} \) の逆数は、\( \frac{5}{2} \) なんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、

 

逆数を求めるには、分母と分子を入れ替えればいい

 

というわけじゃな

では、話を元に戻すかのぉ

 

やりたいことは、

 

 \( 2x   =  6 \)  

 

の左辺の2を1にすることだったんじゃ

 

左辺の2を1にしたいので、2の「逆数」 \( \frac{1}{2} \) を、

 

両辺に」かけ算するわけじゃ

 

実際にやってみると、以下のようじゃ

 

\( 2x   =  6 \)  

 

\( \frac{1}{2} × 2 x   =  \frac{1}{2} × 6 \)  

 

\( \frac{1}{2} × \frac{2}{1} x   =  \frac{6}{2}  \)  

 

\( 1 × x   =  \frac{3}{1}  \)  

 

\( x   =  3  \)  

 

となり、「x =」の形じゃから、これで答えになるわけじゃな

 

等式の性質

ちなみに、なぜ、両辺にかけたの?って思う方は、

 

こちらの記事を読んでほしいんじゃ

 

おーい、ニャンコくん、等式の性質の解説記事をお願い!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

はーい、先生!両辺にかける理由はこちらの記事を読めばわかるニャン

 

【数学】方程式の解を求める方法①:4つのルールを使うやり方とは?【入門・基礎問題・ 中1・1次方程式5】

 

 

 

 

 

簡単に説明すると、以下のような形じゃ

 

まず前提は、方程式は等式ということじゃ。

 

その上で、ある等式(方程式)が成り立っている時、

 

両辺に同じ数を「足して」できる新しい式も、等式になる

 

ということなんじゃ

 

そして上の「足して」の部分は、

 

「引いて」「かけて」「割って」でも同じように成り立つんじゃ

 

つまり、もともと等式があって、

 

両辺にこれらの4つの操作をするなら、

 

新しい式も、等式になるよってことなんじゃな

 

数学おじさん
数学おじさん

最初の等式を、

 

その関係を保ったまま、別の形の等式にできる

 

ということなんじゃ

 

ここまでで、一次方程式の解き方を2つ示したわけじゃ

 

これで、一次方程式を解くときのやり方はすべてなんじゃ

 

え!?そうなの?

 

これはわかったけど、解けない問題があるよ!

 

って思われるかもしれないのぉ

 

その理由は、

 

数学おじさん
数学おじさん

上で紹介した一次方程式の2つの解き方以外に、

 

必要な知識があるからなんじゃ

 

それを付け加えて知っておけば、一次方程式が得意分野になるはずじゃ

 

 

 

 

一次方程式の問題の解き方(3):かっこがある場合

以下の問題を考えてみよう

(例)\(  3( 1 –  2x)   =  6 \)  を解いてください

 

数学おじさん
数学おじさん

この問題では、方程式の中に、かっこがあるのが特徴じゃな

 

ただのかっこじゃなくて、

 

かっこの中に、項が2つあるのも特徴じゃ

 

つまり、こういう形をしているわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

(項0)×(項1 + 項2

 

この形の時は、「分配法則」を使って、

 

かっこをはずすのがポイントじゃ

 

分配法則ってなんだっけ?

 

って方は、以下の記事で確認してほしいんじゃ

 

おーい、ニャンコくん、分配法則の記事をお願い!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

はーい、先生!分配法則のわかりやすい解説は、以下の記事だニャン

 

【数学】「分配法則」を身につけたいあなたはこちらをどうぞ【入門・基礎問題・ 中1・正負の数20】

 

分配法則は、以下のような計算をするやり方なんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

分配法則

 

(項0)×(項1+項2

 

(項0)×(項1)+(項0)×(項2)

 

今回の問題は、\(  3( 1 –  2x)   =  6 \)  じゃから、

 

左辺は分配法則を使うわけじゃ

 

(項0)が3、(項1)が1、(項2)が −2x

 

というわけじゃ

 

つまり、

\(  3( 1 –  2x)   =  6 \)    (分配法則)

 

\(  3 × 1 + 3 × (-  2x)   =  6 \)  

 

\(  3 + (-  6x)   =  6 \)  

 

\(  3 –  6x   =  6 \)  

 

左辺は、3と−6xの2項があるのぉ

 

3は邪魔な項なので、右辺に「移項」するんじゃ(方程式の解き方(1):移項)

 

\( –  6x   =  6 – 3\)  

 

+3じゃから、移項すると、−3になるところに注意じゃな

 

\( –  6x   =  3 \)  

 

左辺は \( – 6x \)  という1つの項じゃな

 

\( – 6 \)が邪魔で、1にしたいから、

 

\( – 6 \) の逆数を、両辺にかけ算すればいいんじゃ(方程式の解き方(2):逆数をかける)

 

\( – 6 \) の逆数は、\( – \frac{1}{6} \)じゃから、

 

( \( – \frac{1}{6} \) ) ×  ( \( –  6x \) )   =   ( \( – \frac{1}{6} \) ) × 3  

 

 1 × x    =  \(  – \frac{3}{6} \)

 

x   =  \( - \frac{1}{2}  \)

 

となり、これが答え、というわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

方程式の解き方(1)と(2)に、

 

分配法則を組み合わせて、解いたわけじゃな

 

もう1つよくあるパターンが、以下のものじゃ

 

 

 

一次方程式の問題の解き方(4):分数がある場合

(問題)\(  \frac{ 1 –  2x}{2}   =   \frac{ 5x + 3}{3} \)

 

数学おじさん
数学おじさん

方程式が分数になっているパターンじゃ

 

むずかしそう!って思ったあなたは、以下の考え方を身につけてほしいんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

わからない問題は、

 

知ってる(できる)問題と比べて、

 

どこが違うか考える

 

どう違うかわかれば、その違いを解消して、できる問題に変えればいい

 

というわけじゃ

 

具体的に説明してみるかのぉ

 

(問題)\(  \frac{ 1 –  2x}{2}   =   \frac{ 5x + 3}{3} \)

 

数学おじさん
数学おじさん

分数になってるから解けない!(知ってる問題との違い)

 

分数をなくせないかな?と発想するわけじゃ(違いの解消)

 

分数がなくなれば解ける(知ってる解き方で解ける)

 

というわけじゃ

 

分数をなくすには、どうすればいいんじゃろうか?

 

分数の分母は、左辺は2、右辺は3じゃのう

 

この2と3の最小公倍数は6じゃから、

 

両辺に6をかけ算すればいい!

 

と考えることができるんじゃ

 

具体的にやってみるかのぉ

 

\(  \frac{ 1 –  2x}{2}   =   \frac{ 5x + 3}{3} \)

 

両辺に6をかけ算して、

 

\( 6 × \frac{ 1 –  2x}{2}   =   6 × \frac{ 5x + 3}{3} \)  (分数を消す)

 

\( \frac{ 6 × (1 –  2x)}{2}   =   \frac{ 6 × (5x + 3)}{3} \)

 

\( 3 × (1 –  2x)   =  2 × (5x + 3) \)   (分配法則)

 

\( 3 × 1 + 3 × (-  2x)   =  2 × 5x + 2 × 3) \)

 

\( 3 × 1 + 3 × (-  2x)   =  2 × 5x + 2 × 3) \)

 

\( 3 + (-  6x)   =  10x + 6 \)

 

\( 3  –  6x   =  10x + 6 \)  (方程式の解き方(1):移項)

 

\( –  6x -10x   =   6 – 3 \) 

 

\( –  16x   =   3 \)   (方程式の解き方(2):逆数をかける)

 

\( – \frac{1}{16} × (- 16x)   =  – \frac{1}{16} × 3 \) 

 

\( x  =  – \frac{3}{16}  \) 

 

となり、これが答えというわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん
  • 分数を消す
  • 分配法則
  • 方程式の解き方(1)
  • 方程式の解き方(2)

 

と順番にやっていったわけじゃな

 

これは、前の問題に、「分数を消す」が加わっただけだとわかるじゃろ

 

このように、数学の問題は、基本の組み合わせで、応用問題ができているわけじゃ

 

 

というわけで、今回は、

 

方程式の解き方が簡単に解ける2つのポイントと、

 

かっこがある場合や、分数がある場合についてまとめてみたんじゃ

 

これで一次方程式に自信がついたのじゃないかのぉ

 

手持ちの問題集などで練習してみてほしいんじゃ

 

いきなりすべてできる人はいないから、

 

わからなければ、また戻ってきて、よく読み直してみてほしいんじゃ

 

必ずできるようになるから、信じて頑張ってほしいんじゃ

 

というわけで、今回の内容はこれくらいにするかのぉ

 

おーい、ザピエルくん、あとお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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数学にゃんこ
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