【数学】方程式の解き方③:「○x=△」の形の方程式【入門・基礎問題・ 中1・1次方程式8】

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方程式を解くには、これまでに2つの方法をまとめました。

 

①、方程式(等式)で成り立つ、「4つのルール」を使う方法

 

②、「移項」を使う方法

 

どちらの方法を使っても、

 

計算のとちゅうで、

 

「○x=△」の形

 

が出てくることがほとんどです。

 

そこで、本記事では、方程式を解くときに、

 

よく出てくるよく出てくる「○x=△」の形の計算のやり方をまとめたいと思います。

 

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【数学】「○x=△」の形の方程式の解き方とは?

「○x=△」ってどんな形?

まずは、「○x=△」ってなんなの?

 

ってことを具体的に説明しますね。

 

たとえば、

3x=6
5x=15

のような形のものを、

 

○x=△

と呼んでいます。

 

○とか△には、数字が入ります。

 

数字にはいろいろありますよね。

 

なので、同じ「○x=△」の形ですが、いくつか見た目が少しちがうものもあります。

それを以下に示しますね。

 

例えば、○や△にマイナスがついたものもあります。

-2x=6
4x=-8
-7x=-21

のようなやつです。

 

[mathjax]

他には、○や△が分数の形になっているものもあります。

\( \frac{1}{2}x=4 \)
\( \frac{2}{3}x=9 \)
-\( \frac{3}{5}x=\frac{1}{2} \)

のようなやつです。

 

 

他には、○や△が小数の形になっているものもあります。

0.2x = 4
1.25x = 2.25
-0.8x = 0.2
のようなやつです。

いろいろありますが、ぜんぶ

○x=△

の形なので、

 

同じ解き方で計算することができるんです

 

え!そうなの!?

 

と思われるかもしれません。

 

以下で説明していきますね。

 

「○x=△」の方程式の解き方とは?

 

結論から言うと、

 

○の逆数を、両辺にかけ算すれば、オッケーです

 

ん?どういうこと?

 

逆数ってなに?

 

なんで、両辺に?

 

かけ算するの?

 

って思われるかもしれません。

 

1つずつ説明しますね。(わかってる方はスーッと下にいってくださいね)

「逆数(ぎゃくすう)」とは?

逆数とは?っていうのを、言葉で説明すると、わかりにくいんです。

 

そこで、具体例で理解してもらえたらと思います。

 

3の逆数は、\( \frac{1}{3} \)です

 

3は、分数で書くと、\( \frac{3}{1} \) です。

 

逆数は、\( \frac{3}{1} \) の分母と分子を入れかえたものになります。

 

ー3の逆数は、ー\( \frac{1}{3} \)

マイナスがついていても、マイナスをつけたままひっくり返せばオッケーです。

 

 

次に、分数の逆数を考えてみます。

\( \frac{2}{5} \) の逆数はなんでしょうか?

 

\( \frac{2}{5} \) の逆数は、\( \frac{5}{2} \) です。

 

分母と分子を入れかえれば逆数になる
わけです。

 

 

逆数は理解できたでしょうか。

 

 

では、逆数をつかって、「○x=△」の方程式を解いてみましょう。

 

両辺に○の逆数をかけて、「○x=△」の方程式を解く

3x=6

を考えてみます。

 

この式は、「=」の左右に、どちらも1項だけしかない、ですよね。

 

なので、この方程式は、「○x=△」の形だ!と判断します。

 

 

 

「○x=△」とみくらべると、xにかけている数字が○になります。

 

なので今回は、○が3になります。

 

「○x=△」の方程式を解くには、

 

○の逆数を、両辺に、かけ算すればいい

 

といいました。

 

なので、3の逆数 \( \frac{1}{3} \) を、両辺にかけ算してみます。

 

すると、

3x=6
\( \frac{1}{3} ×3x=\frac{1}{3} ×6 \)

左辺は、\( \frac{1}{3} と3で、約分して1になりますよね。

 

右辺も計算すると、\( \frac{1}{3}×6=\frac{6}{3} \)で、約分して、2となります。

 

すると、

\(1×x=2\)

となります。

 

1のかけ算は省略することができます(1をかけ算しても値は変わらないので)

 

なので、

 

\(x=2\)

 

となり、方程式の解を求めるための、「x=~」になりました。

 

これで、この方程式の解は、2とわかります。

 

なぜ、「両辺に」なの?

「○x=△」を、「x=~」の形にしたいなら、

 

○の逆数を、左辺にだけ、かけ算すればいいんじゃないの?

 

その方が計算がラクだし!

 

と思われるかもしれません。

 

でも、それはまちがいなんです。

 

理由を説明しますね。

 

例えば、Aくんはみかん3個もってて、Bさんはみかん3個もっているとします。

 

この状態は、

 

(Aくんのみかんの個数)=(Bさんのみかんの個数)

 

のように、等号「=」を使って表現することができます。

 

もしAくんとBさんが、みかんをそれぞれ2個たべたら、どちらも1個ずつ残りますヨネ。

 

なので、(Aくんのみかんの個数)=(Bさんのみかんの個数)の関係はそのままです。

 

でも、Aくんだけ2個食べたら、Aくんはみかん1個、Bさんはみかん3個になります。

 

なので、(Aくんのみかんの個数)=(Bさんのみかんの個数)が成り立たなくなります

 

つまり、

等式は両辺に同じ操作をすれば、同じ関係が保たれる
片方だけに操作すれば、同じ関係はなくなる

ってことなんです。

 

 

方程式を解くということは、

最初に与えられた式の「(左辺)=(右辺)」の関係をそのままにしながら、

「x=~」の形にすることなんです。

だから、かけ算を左辺だけにする、ってのはダメなんです。

 

なっとくがいったでしょうか?

この辺の話は、こちらでも詳しく説明しているので、よかったら参考にしてください↓

【数学】「方程式」なら必ず使える、4つのルールとは?【入門・基礎問題・ 中1・1次方程式3】

では次に、マイナスがついた場合をやってみますね。

-2x=6

を考えてみます。

「○x=△」の形をしていて、○は、-2です。

-2の逆数は、\( (ー\frac{1}{2} )\) なので、これを両辺にかけ算します。

\( (ー\frac{1}{2} )×(-2x)=(-\frac{1}{2}) ×6 \)

左辺の数字は、\( \frac{1}{2} と2で、約分して1になりますよね。

 

また、左辺の符号は、マイナス×マイナスです。

 

マイナスが2個、かけ算されているので、計算結果はプラスになります。

 

なので、左辺は、計算すると、\(+1×x\) となり、

 

+と1は省略できるので、

 

以上から、左辺は最終的に、\(x\) となります。

 

右辺も計算すると、\( -\frac{1}{2}×6=\frac{6}{2} \)となり、

 

約分して、-3となります。(マイナス符号を忘れないようにしましょう)

 

以上から、

\(x=-3\)

として解を求めることができました。

 

 

いかがでしょうか。

 

「○x=△」の形の方程式は、同じやり方で解けるのがわかるかと思います。

 

 

まとめると、

①、「○x=△」の形だ!ときづく

判断のしかたは、「方程式の両辺が、どちらも1つの項だけでできているか」をみればオッケーです。

 

「○x=△」の形だとわかったら、

②、「○x=△」の形の解き方で、xを求める

両辺に、○の逆数をかけ算すればオッケーでしたね。

 

 

あれ、分数とか小数がきたらどうするの?

 

 

と思われるかもしれません。

 

長くなったので、その話は次回にまとめますね。

 

 

 

数学にゃんこ
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一次方程式の解き方などのまとめはこちらニャン

 

一次方程式の記事のまとめはこちらです

 

数学にゃんこ
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中学数学」の記事は、こちらにまとめてあるニャン

 

中学数学のまとめ記事はこちらです

 

数学おじさん
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今日のお話はこれくらいにするかのぉ

秘書ザピエル
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あ、先生!告知をさせてください

数学おじさん
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実はいろんなお悩みを聞いているんです

質問くまさん
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