今回は、こんな質問をいただきました↓
この問題は、
を求める問題です。
整数の個数を答える問題は、入試ではよく出てきます。
その時に重要なのは、
です。
というわけで、まずは問題の内容を整理してみるところからはじめたいと思います。
【数学・質問解答】「整数の個数」を求める問題：文字と式と不等式の融合（質問ありがとうございます！）
解答だけでいい！って方はこちらの動画をどうぞ
（☆詳しい解答は、ブログの1番下にあります）
詳しい解説は以下になります
この問題のポイントは、以下の３点です。
①、問題文を数式で書きなおすこと
②、整数の個数の考え方
③、不等式の変形のしかた
となります。
それぞれみていきましょう♪
①、問題文の日本語を、数式に書きなおそう！（文字と式）
数学なので、問題文の日本語を、数式に変えてから処理します。
という日本語を、数式で表現することを考えてみます。
ん？どうやって数式であらわすの？
って方も思われるかもしれません。
「ある整数ｘを４倍して１５を加えた数」
がわからなかったら、もっと具体的にして、
たとえば、
と（自分で）考えてみます。
まず、５を4倍する、なので、５×４とかけますよね。
そして、１５を加えるので、
５×４＋１５
とするとよさそうです。
つまり、
「５を４倍して１５を加えた数」という日本語を、数式で書くと、
「５×４＋１２」と表すことができることがわかりました。
（５×４＋１２ ＝ ２０＋１２ ＝ ３２ と計算しなくていいの？と思われるかもしれません。
ここでの目的は、日本語を数式にすることなので、計算しなくてオッケーなんです）
これをふまえて、「ある整数ｘを４倍して１５を加えた数」を考えてみましょう。
「ある整数ｘを４倍する」は、ｘ×４なので、４ｘと表せます。
そして、１５を加えるので、
「４ｘ＋１５」
と表すことができます。
つまり、
「ある整数ｘを４倍して１５を加えた数」を数式で表すと、
「４ｘ＋１５」と書けることがわかりました。
日本語を数式になおすのを勉強したいあなたには、こちらもおすすめです↓
話をもとに戻しますネ。
今回のポイントは、
①、問題文を数式で書きなおすこと
②、整数の個数の考え方
③、不等式の変形のしかた
の３つでした。
①では、
ある整数ｘを４倍して１５を加えた数
⇒ ４ｘ＋１５
となり、数式で書くことができました。
次は、②を考えてみましょう。
②、整数の個数の考え方
②、整数の個数を考えてみる
問題文のこの部分を考えてみるわけです。
とその前に、まずは、言葉を正確に理解できているか、確認してみましょう☆
たとえば、３以上５以下の、「以上」「以下」はその数も含む表現です。
なので、３以上７以下の整数は？と聞かれたら、
答えは、3，4，5, 6, 7 となります。３と７も入るわけです。
それに対して、「より大きい」「より小さい（未満）」は、その数は入らない表現です。
なので、３より大きく7未満の整数は？と聞かれたら、
答えは、4，5, 6 となります。３と７は入らないわけです。
これらの言葉をシッカリ理解しておきましょう
以上・以下・より大きい・未満の解説はこちらにもあります↓
話を戻しますネ。
これを考えていました。
今度は、この日本語を数式で表現してみたいと思います。
求める整数は、不等式を使って、
１ ≦ （求める整数） ≦ ３０
と書けます。
以上・以下は、ここでは「≦（しょうなり、と読みます）」を使って書けるわけです。
求める整数は、不等式の意味を考えると、
１，２，３，４，５，６、・・・・２９、３０
なので、
不等式を満たす整数の個数は、これらを数えて３０個となります。
もともとの問題を思い出してみると以下でした
「ある整数ｘを４倍して１５を加えた数が、
１以上３０以下であるようなｘは全部で何個？」
①、ある整数ｘを４倍して１５を加えた数は、数式でかくと、
⇒ ４ｘ＋１５
となりました。
②、１以上３０以下であるような整数は、不等式を使って、
１ ≦ （求める整数） ≦ ３０
と書けました。
いま、求める整数は、４ｘ＋１５とかけているので、
問題文は、数式で以下のように書くことができます
あとは、整数ｘが何個か？と聞かれているので、
数字 ≦ ｘ ≦ 数字
の形になれば、ｘがわかり、その個数もかぞえることができます。
（下に説明がありますので、わからなくてもとりあえず下に進んでみてください☆）
でもどうやって、
１ ≦ ４ｘ＋１５ ≦ ３０
を
数字 ≦ ｘ ≦ 数字
の形にするの？
って思われるかもしれません。
それが３つめのポイント
③、不等式の変形のルール
を使うと、できちゃうんです。
不等式とは？
まず、不等式というのをサクッと説明しますね。
（わかってるよ！って方は、さーっと下にいっちゃってください）
不等式とは、不等号を使った式のことで、
たとえば、
３≦５
のような数字だけものや、
ー１≦ｘ
のような文字を含んだものもあります。
また、３つの関係を表すこともできます。
３≦５≦１０
とか
－１≦ｘ≦３
といった感じです。
ちなみに、
－１≦ｘ≦３
となるような整数ｘは？と聞かれたら、
この数式の意味は、－１以上３以下の整数ｘ なので、
－１、０、１、２、３
となります。
－１≦ｘ≦３
となるような整数ｘの個数は？と聞かれたら、
５個（－１、０、１、２、３なので）
となります。
つまり、
数字 ≦ ｘ ≦ 数字
または
数字 ＜ ｘ ＜ 数字
という形にできたなら、整数ｘの個数を求めることができる
では、数字 ≦ ｘ ≦ 数字 の形に変形すべく、
不等式の変形ルールをみてみますね。
③、不等式の変形のルール
不等式の変形するには、以下の３つが使えます
例をあげてみますね。
①、同じ数を、不等式の両辺に、足すとは？
３ ≦ ５
があるとします。このとき、
同じ数２を、不等式の両辺に、それぞれ足してみましょう。
３＋２＝５
５＋２＝７
なので、
３＋２ ≦ ５＋２
となり、不等号の向きはそのままで、足し算することができます。
え？これになんの意味があるの？
って思われるかもしれません。
次の例をみてください
の不等式があります。これを、
の形にしたいとします。
不等式の両辺に同じ数を足しても、不等号の向きは変わらないことをさっき示しました。
なので、両辺に２を足すと以下のようになります。
３＋２ ≦ ｘ－２＋２
これを計算すると、
５ ≦ ｘ
となり、
数字 ≦ ｘ
の形になりました！
つまり、
つまり、不等式を目的の形に変形するための手段なんですね。
その手段をまとめると、以下のようになります。
これらをつかって、不等式を目的の形にしていきます。
（いろいろな練習問題をやって、スムーズにできるようにしておきましょう）
今回の問題を数式にすると、
となり、整数ｘの個数をもとめたいので、
の形にしたいなぁ～
と考えるわけです。
そのために、不等号の変形のルールを活用しましょう。
４ｘ＋１５を、ｘに変えたいので、（とりあえず）１５がじゃまです。
なので、不等式の左・真ん中・右から、それぞれ、１５を引き算します。
（すべて同じ数を引くので、不等号の向きはそのままでオッケーです）
１－１５ ≦ ４ｘ＋１５－１５ ≦ ３０－１５
これを計算して
－１４ ≦ ４ｘ ≦ １５
４ｘを、ｘに変えたいので、４がじゃまです。
[mathjax]
なので、不等式の左・真ん中・右に、それぞれ、４の逆数の \( \frac{1}{4} \)をかけ算します。
\( －１４×\frac{1}{4} ≦ ４ｘ×\frac{1}{4} ≦ １５×\frac{1}{4} \)
これを計算して、
\( －\frac{7}{2} ≦ ｘ ≦ \frac{1５}{4} \)
分数だとわかりにくいので、小数になおしてみます
－3.5 ≦ ｘ ≦ 3.75
となります。
よって、
この不等式を満たす整数ｘは、－３、－２、－１、０、１，２，３ となります。
つまり、求める整数ｘの個数は、７個と求めることができました。
まとめ
今回は、不等式を使って整数の個数を求める問題をやりました。
このあたりをシッカリ理解しておくと、似た問題がスムーズに解けるはずです☆
復習するなら、こちらの記事がおすすめです
以上・以下・より大きい・未満の解説はこちらにもあります↓
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