【数学・質問解答】「整数の個数」を不等式から求める問題:文字と式での表現と不等式の融合【高校 数学 整数 数学A】(質問ありがとうございます!)

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整数の個数を不等式から求める問題 数学(中学校)
整数の個数を不等式から求める問題
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今回は、こんな質問をいただきました↓

 

「ある整数xを4倍して15を加えた数が、1以上30以下であるようなxは全部で何個?」

 

この問題は、

「条件を満たす整数の個数」

を求める問題です。

 

整数の個数を答える問題は、入試ではよく出てきます。

 

その時に重要なのは、

どんな条件が与えられているか

です。

 

というわけで、まずは問題の内容を整理してみるところからはじめたいと思います。

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【数学・質問解答】「整数の個数」を求める問題:文字と式と不等式の融合(質問ありがとうございます!)

「ある整数xを4倍して15を加えた数が、1以上30以下であるようなxは全部で何個?」

 

解答だけでいい!って方はこちらの動画をどうぞ
(☆詳しい解答は、ブログの1番下にあります)

 

詳しい解説は以下になります

 

この問題のポイントは、以下の3点です。

①、問題文を数式で書きなおすこと

②、整数の個数の考え方

③、不等式の変形のしかた

となります。

 

それぞれみていきましょう♪

①、問題文の日本語を、数式に書きなおそう!(文字と式)

数学なので、問題文の日本語を、数式に変えてから処理します。

「ある整数xを4倍して15を加えた数」

という日本語を、数式で表現することを考えてみます。

 

ん?どうやって数式であらわすの?

 

って方も思われるかもしれません。

 

わかりにくいときは、具体的に考えるといいですよ!

「ある整数xを4倍して15を加えた数」

がわからなかったら、もっと具体的にして、

たとえば、

「5を4倍して15を加えた数」を表現するにはどうすればいいかな?

と(自分で)考えてみます。

まず、5を4倍する、なので、5×4とかけますよね。

そして、15を加えるので、

5×4+15

とするとよさそうです。

つまり、

「5を4倍して15を加えた数」という日本語を、数式で書くと、

「5×4+12」と表すことができることがわかりました。

(5×4+12 = 20+12 = 32 と計算しなくていいの?と思われるかもしれません。

ここでの目的は、日本語を数式にすることなので、計算しなくてオッケーなんです)

 

これをふまえて、「ある整数xを4倍して15を加えた数」を考えてみましょう。

「ある整数xを4倍する」は、x×4なので、4xと表せます。

そして、15を加えるので、

「4x+15」

と表すことができます。

つまり、

「ある整数xを4倍して15を加えた数」を数式で表すと、

「4x+15」と書けることがわかりました。

 

 

 

話をもとに戻しますネ。

 

今回のポイントは、

①、問題文を数式で書きなおすこと

②、整数の個数の考え方

③、不等式の変形のしかた

の3つでした。

 

 

①では、

ある整数xを4倍して15を加えた数

⇒ 4x+15

となり、数式で書くことができました。

 

次は、②を考えてみましょう。

②、整数の個数の考え方

 

②、整数の個数を考えてみる

1以上30以下である整数

問題文のこの部分を考えてみるわけです。

 

とその前に、まずは、言葉を正確に理解できているか、確認してみましょう☆

 

数学は、言葉を正確に理解しするのは、すごく大事です

 

たとえば、3以上5以下の、「以上」「以下」はその数も含む表現です。

なので、3以上7以下の整数は?と聞かれたら、

答えは、3,4,5,  6,  7 となります。3と7も入るわけです。

 

それに対して、「より大きい」「より小さい(未満)」は、その数は入らない表現です。

なので、3より大きく7未満の整数は?と聞かれたら、

答えは、4,5,  6 となります。3と7は入らないわけです。

 

これらの言葉をシッカリ理解しておきましょう

 

 

話を戻しますネ。

1以上30以下である整数

これを考えていました。

今度は、この日本語を数式で表現してみたいと思います。

求める整数は、不等式を使って、

1 ≦ (求める整数) ≦ 30

と書けます。

以上・以下は、ここでは「≦(しょうなり、と読みます)」を使って書けるわけです。

 

求める整数は、不等式の意味を考えると、

1,2,3,4,5,6、・・・・29、30

なので、

不等式を満たす整数の個数は、これらを数えて30個となります。

 

もともとの問題を思い出してみると以下でした

「ある整数xを4倍して15を加えた数が、

1以上30以下であるようなxは全部で何個?」

①、ある整数xを4倍して15を加えた数は、数式でかくと、

⇒ 4x+15

となりました。

 

②、1以上30以下であるような整数は、不等式を使って、

1 ≦ (求める整数) ≦ 30

と書けました。

 

いま、求める整数は、4x+15とかけているので、

問題文は、数式で以下のように書くことができます

1 ≦ 4x+15 ≦ 30

あとは、整数xが何個か?と聞かれているので、

数字 ≦ x ≦ 数字

の形になれば、xがわかり、その個数もかぞえることができます。

(下に説明がありますので、わからなくてもとりあえず下に進んでみてください☆)

 

でもどうやって、

1 ≦ 4x+15 ≦ 30

数字 ≦ x ≦ 数字

の形にするの?

って思われるかもしれません。

 

それが3つめのポイント

③、不等式の変形のルール

を使うと、できちゃうんです。

不等式とは?

まず、不等式というのをサクッと説明しますね。

(わかってるよ!って方は、さーっと下にいっちゃってください)

 

不等式とは、不等号を使った式のことで、

たとえば、

3≦5

のような数字だけものや、

ー1≦x

のような文字を含んだものもあります。

 

また、3つの関係を表すこともできます。

3≦5≦10

とか

-1≦x≦3

といった感じです。

 

ちなみに、

-1≦x≦3

となるような整数xは?と聞かれたら、

この数式の意味は、-1以上3以下の整数x なので、

-1、0、1、2、3

となります。

 

-1≦x≦3

となるような整数xの個数は?と聞かれたら、

5個(-1、0、1、2、3なので)

となります。

 

つまり、

数字 ≦ x ≦ 数字

または

数字 < x < 数字

という形にできたなら、整数xの個数を求めることができる

わけです。

 

では、数字 ≦ x ≦ 数字 の形に変形すべく、

不等式の変形ルールをみてみますね。

③、不等式の変形のルール

不等式の変形するには、以下の3つが使えます

①、同じ数を、不等式の両辺に、足したり・引いたりする
②、プラスの数を、不等式の両辺に、かけたり・割ったりする
③、マイナスの数を、不等式の両辺に、かけたり・割ったりして、不等号の向きを変える

 

例をあげてみますね。

①、同じ数を、不等式の両辺に、足すとは?

  

があるとします。このとき、

同じ数2を、不等式の両辺に、それぞれ足してみましょう。

+2=5

+2=7

なので、

+2  +2

となり、不等号の向きはそのままで、足し算することができます

 

え?これになんの意味があるの?

 

って思われるかもしれません。

次の例をみてください

3 ≦ x-2

の不等式があります。これを、

数字 ≦ x

の形にしたいとします。

不等式の両辺に同じ数を足しても、不等号の向きは変わらないことをさっき示しました。

なので、両辺に2を足すと以下のようになります。

3+2 ≦ x-2+2

これを計算すると、

5 ≦ x

となり、

数字 ≦ x

の形になりました!

つまり、

不等式の両辺に同じ数を足すことで、目的の形に変形することができるわけです。

 

つまり、不等式を目的の形に変形するための手段なんですね。

 

その手段をまとめると、以下のようになります。

不等式の両辺から、同じ数を、たす・引く
不等式の両辺に、プラスの数を、かける・わる
不等式の両辺に、マイナスの数を、かける・わる、そして不等号の向きを変える(忘れないように注意しましょう)

 

これらをつかって、不等式を目的の形にしていきます。

(いろいろな練習問題をやって、スムーズにできるようにしておきましょう)

 

今回の問題を数式にすると、

1 ≦ 4x+15 ≦ 30

となり、整数xの個数をもとめたいので、

数字 ≦ x ≦ 数字

の形にしたいなぁ~

と考えるわけです。

 

そのために、不等号の変形のルールを活用しましょう。

1 ≦ 4x+15 ≦ 30

 

4x+15を、xに変えたいので、(とりあえず)15がじゃまです。

なので、不等式の左・真ん中・右から、それぞれ、15を引き算します。

すべて同じ数を引くので、不等号の向きはそのままでオッケーです)

 

1-15 ≦ 4x+15-15 ≦ 30-15

 

これを計算して

 

-14 ≦ 4x ≦ 15

 

4xを、xに変えたいので、4がじゃまです。

 

[mathjax]

 

なので、不等式の左・真ん中・右に、それぞれ、4の逆数の \( \frac{1}{4} \)をかけ算します。

 

\( -14×\frac{1}{4}  ≦ 4x×\frac{1}{4}  ≦ 15×\frac{1}{4}  \)

 

これを計算して、

 

\( -\frac{7}{2}  ≦ x  ≦ \frac{15}{4}  \)

 

分数だとわかりにくいので、小数になおしてみます

 

-3.5 ≦ x  ≦ 3.75

 

となります。

 

よって、

この不等式を満たす整数xは、-3、-2、-1、0、1,2,3 となります。

 

つまり、求める整数xの個数は、7個と求めることができました。

 

 

まとめ

今回は、不等式を使って整数の個数を求める問題をやりました。

 

問題文を数式で表現すること
整数の個数を求めるための考え方
不等式の変形のルール

 

このあたりをシッカリ理解しておくと、似た問題がスムーズに解けるはずです☆

 

 

 

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