ありがたいことに、質問をいただきました！
高校数学の整数分野の証明問題です。
整数はむずかしいイメージがありませんか？
そこで本記事では、質問いただいた問題について、
ポイントとなる「考え方」や「解き方」を、なるべくていねいに解説と動画でまとめました。
【高校 数学】整式が○の倍数であることを証明する問題【整数・数学A】（質問解答編、質問ありがとうございます！）
整式が○の倍数であることを証明する問題
今回質問いただいたのは、以下の問題です↓
ｎが整数のとき、
n(n-1)(2n-1) が６の倍数であることを証明せよ
このタイプは、整式が○の倍数であることを証明する問題、と（勝手に）呼んでいます。
このタイプの問題は、やり方が決まっているので、
その考え方ややり方に慣れるようにするといいですよ。
ちなみに、
この問題については、整式の特徴に着目することで、
サクッと解答できる別解も示したいと思います。
（試験の時間節約になるかと思います）
【知っておくこと】すべての整数は、除法の性質を使って、別の表現にかえることができる
結論から言うと、
って話です。
そして、
ってのが今回の問題を解くポイントになります。
どういうことか説明しますね。
まずは、前提となる知識が必要です。
そこでそれらの解説からはじめようと思います。
わかってるよ～
って方は、サーっと下にいっちゃってください。
数は、割り算をつかって、書きかえることができる
例えば、６は３の倍数か？を考えてみます。
これは、６を３でわってみて、あまりがあるかないかを調べればわかります。
これを数学らしく書くと、
６＝３×２＋０
と書けます。
（この意味は、６を３で割った時の、商は２であまりは０ということです。）
となっています。
余りが０なので割り切れることがわかりました。
数は、割り算をつかって、グループ分けができる
では７はどうでしょうか？
７＝３×２＋１
となり、あまりが１です。
つまり割りきれません。
では８はどうでしょうか？
８＝３×２＋２
となり、あまりが２です。
割りきれません。
では９はどうでしょうか？
９＝３×３＋０
となり、あまりが０です。
割りきれました。
・・・
いつまで続くのか！と思ったかもしれませんので、表にまとめました
| わられる数 | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １１ | １２ | １３ | １４ |
| わる数 | ３ | ３ | ３ | ３ | ３ | ３ | ３ | ３ | ３ |
| 商 | ２ | ２ | ２ | ３ | ３ | ３ | ４ | ４ | ４ |
| あまり | ０ | １ | ２ | ０ | １ | ２ | ０ | １ | ２ |
表が間違ってないのを確認したら、
注目してほしいのは、「あまり」です。
あまりは、０、１、２、０、１、２、０、１、２、・・・・となっています。
あまりは、０と１と２しかありません。
そして、わられる数が増えても、あまりは０、１、２のの繰り返しです。
つまり、
すべての整数を３で割ったあまりは、
０か、１か、２
のどれかしかない
といえます。
宇宙のはてまでの距離のような果てしなく大きな整数も、
３でわると、あまりは０か１か２かのどれかになります。
これは、見方を変えると、
すべての整数は、３でわると、
①、あまりが０になるグループ
②、あまりが１になるグループ
③、あまりが２になるグループ
のどれかに分けられる
といえます。
これを数式で書いてみますね。
上で説明したように、
です。
わる数が３の倍数のときは、
と書けます。
このように、
「すべての整数」は、「わる数」と「あまり」と別の整数（ｋ）を使うことで、
別の表現で書ける！
というがわかるかと思います。
また、わる数とあまりは、たがいに関係があって、
わる数が４なら、あまりは０、１、２、３、のどれか
わる数が５なら、あまりは０，１，２，３，４、のどれか
わる数が６なら、あまりは０，１，２，３，４、５、のどれか
・・・・
のようになります。
３の倍数だけでなく、４の倍数、５の倍数、６の倍数、・・・・
でも同じ考え方で別の表現ができることがわかります。
では、これらの内容を、数式で書いてみます。
すべての整数が３で割ったときを考えてみます。
あまりは、０か１か２なので、整数は３つのグループに分けれます。
あまりが０（①のグループ）は、別の整数ｋを使って、
という形で表現できます。
あまりが１のグループ（②）は
あまりが２のグループ（③）は
と書くことができます。
なるほどー
でも、これが質問の問題にどう使えるの？
と思われるかもしれません。
それを説明しますね。
ちょっと以下の例を考えてみてください。
あるクラスの男女構成を知りたいとします。
クラスを３つのグループにわけてみて、どのグループもすべて男性だったとします。
すると、もとのクラスは全員男性、といえますよね。
これと同じことを、整数の世界で考えてみます。
ある整数が３の倍数（３で割り切れるか）を知りたいとします。
ある整数そのままではよくわかりません。
そこで、ある整数をグループにわけて、
それぞれのグループが３の倍数（３で割り切れるか）かどうかを調べる
というように考えます。
具体的には、
すべての整数は、３で割ったとき、あまりは０か１か２なので、
①、あまりが０のとき
②、あまりが１のとき
③、あまりが２のとき
の３グループで調べればいいことがわかります。
そして、①～③すべての場合で、３の倍数であることがいえたとします。
すると、もともと考えたかった整数でも３の倍数である
ということがいえますよね。
これらのことをまずは理解しておきましょう！
すると今回の問題の理解もスムーズになりますよ
（考え方）整式が○の倍数であることを証明する問題
ｎが整数のとき、
n(n-1)(2n-1) が６の倍数であることを証明せよ
ｎが整数なので、「n(n-1)(2n-1)」 も整数であることがわかります。
つまり、
ｎが整数のとき、別の整数「 n(n-1)(2n-1) 」は６の倍数か？を証明する問題です。
６の倍数になるには、整式「 n(n-1)(2n-1) 」が、６×（整数）の形になればいいわけです。
でも、「 n(n-1)(2n-1) 」を見ると、６なんて数字つくれませんよね。
そこで、
ｎが整数ということに目をつけて、
６が出てくるように、「 n(n-1)(2n-1) 」の表現を変えてみるのはどうか？
と考えてみます。
ｎが整数なので、６を関係させる別の表現として、（上で説明したとおり）
①、ｎ＝６ｋ＋０
②、ｎ＝６ｋ＋１
③、ｎ＝６ｋ＋２
④、ｎ＝６ｋ＋３
⑤、ｎ＝６ｋ＋４
⑥、ｎ＝６ｋ＋５
と書くことができます。
ｎを６つのグループにわけて、
それぞれのグループで６の倍数かどうかを調べればいいわけです。
整数「 n(n-1)(2n-1) 」について、
（１）、①から⑥のそれぞれの場合で、６の倍数か調べます。
（２）、そのときには、ｎをｋを使った別の表現に変えてしらべます。
（３）、①から⑥のすべての場合で、
「 n(n-1)(2n-1) 」が「６×（整数）」の形になれば、
「 n(n-1)(2n-1) 」は６の倍数だ、といえる
とすればよさそうです。
これで証明の指針がたちました。
（解答）整式が○の倍数であることを証明する問題
それを実際に証明したのがこちらです↓
６パターンについて、それぞれに調べています。
でも、もっとラクに答案書きたかった！
というのが正直なところです。
テストなどでは時間の勝負なので、書く量は極力減らしたいですよね。
実はこれ、もっと簡単に証明することができるんです！
え！そうなの（一人二役）
というわけで、別解をご紹介します。
（別解①）整式が○の倍数であることを証明する問題
この証明には、別解があって、
式の形に注目するところから生まれます。
「 n(n-1)(2n-1) 」をよくみると、
n(n-1)というのがあります。
これは、「連続する２数の積」です。
なので、必ず２の倍数（偶数）を含んでいることがわかります。
つまり、「 n(n-1)(2n-1) 」は、２の倍数なんです。
そうすると、「 n(n-1)(2n-1) 」が６の倍数であることを示すには、
「 n(n-1)(2n-1) 」が３の倍数であることを示せば、
２の倍数であることとあわせて、６の倍数ということができます。
３の倍数かを調べるには、
①、ｎ＝３ｋ
②、ｎ＝３ｋ＋１
③、ｎ＝３ｋ＋２
の３パターンを使えばいいので、上の６パターンの解答より、ずいぶん楽になりますよね。
３パターンでの証明がこちらになります↓
１つめの解答よりも、ラクになっているのがわかってもらえるかと思います。
これが1番オーソドックスな解答かなぁと思うのですが、
じつはこの問題には、さらにサクッと解ける、もう１つ別解があります。
（別解②）整式が○の倍数であることを証明する問題
別解の２つ目は、
「 n(n-1)(2n-1) 」の式の特徴に注目することで出てくる解法です。
この式の形だから出来る方法なので、汎用性は高くないですが、
試験で気づくことができれば、大幅に時間を短縮できる解法となっています↓
というわけで、今回は
「整式が○の倍数であることを証明する問題」
について、
- 知っておくべきことから
- 考え方
- 解答
- ２つの別解
をまとめました。
今日のお話はこれくらいにするかのぉ
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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