【数学・質問・解答編1】整式が○の倍数であることを証明する問題【高校 数学, 整数, 数学A】(質問ありがとうございます!)

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ありがたいことに、質問をいただきました!

 

高校数学の整数分野の証明問題です。

 

整数はむずかしいイメージがありませんか?

 

そこで本記事では、質問いただいた問題について、

 

ポイントとなる「考え方」や「解き方」を、なるべくていねいに解説と動画でまとめました。

 

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【高校 数学】整式が○の倍数であることを証明する問題【整数・数学A】(質問解答編、質問ありがとうございます!)

 

整式が○の倍数であることを証明する問題

 

今回質問いただいたのは、以下の問題です↓

nが整数のとき、

 

n(n-1)(2n-1) が6の倍数であることを証明せよ

 

このタイプは、整式が○の倍数であることを証明する問題、と(勝手に)呼んでいます。

 

このタイプの問題は、やり方が決まっているので、

 

その考え方ややり方に慣れるようにするといいですよ。

 

ちなみに、

 

この問題については、整式の特徴に着目することで、

 

サクッと解答できる別解も示したいと思います。

(試験の時間節約になるかと思います)

 

【知っておくこと】すべての整数は、除法の性質を使って、別の表現にかえることができる

結論から言うと、

すべての整数を、別の書き方をつかって、あらわしてみよう

って話です。

そして、

別の書き方にすると、今までわからなかったことがわかることもあるよ

ってのが今回の問題を解くポイントになります。

 

 

どういうことか説明しますね。

 

まずは、前提となる知識が必要です。

 

そこでそれらの解説からはじめようと思います。

 

わかってるよ~

 

って方は、サーっと下にいっちゃってください。

 

 

 

 

数は、割り算をつかって、書きかえることができる

例えば、6は3の倍数か?を考えてみます。

 

これは、6を3でわってみて、あまりがあるかないかを調べればわかります。

これを数学らしく書くと、

6=3×2+0

と書けます。

(この意味は、6を3で割った時の、商は2であまりは0ということです。)

(わられる数)=(わる数)×(商)+(あまり)

となっています。

余りが0なので割り切れることがわかりました。

 

また、
6という数字が、3×2+0という別の表現に書きかえられています

 

 

数は、割り算をつかって、グループ分けができる

では7はどうでしょうか?

7=3×2+1

となり、あまりが1です。

つまり割りきれません。

 

では8はどうでしょうか?

8=3×2+2

となり、あまりが2です。

割りきれません。

 

では9はどうでしょうか?

9=3×3+0

となり、あまりが0です。

割りきれました。

・・・

 

いつまで続くのか!と思ったかもしれませんので、表にまとめました

わられる数 10 11 12 13 14
わる数
あまり

 

表が間違ってないのを確認したら、

 

注目してほしいのは、「あまり」です。

 

あまりは、0、1、2、0、1、2、0、1、2、・・・・となっています。

 

あまりは、0と1と2しかありません。

 

そして、わられる数が増えても、あまりは0、1、2のの繰り返しです。

 

つまり、

すべての整数で割ったあまりは、

か、か、

のどれかしかない

といえます。

宇宙のはてまでの距離のような果てしなく大きな整数も、

3でわると、あまりは0か1か2かのどれかになります。

 

これは、見方を変えると、

すべての整数は、でわると、

①、あまりが0になるグループ

②、あまりが1になるグループ

③、あまりが2になるグループ

のどれかに分けられる

といえます。

 

これを数式で書いてみますね。

 

上で説明したように、

(わられる数)=(わる数)×(商)+(あまり)

です。

わる数が3の倍数のときは、

(ある整数)=3×(別の整数)+(あまり)

と書けます。

 

このように、

「すべての整数」は、「わる数」と「あまり」と別の整数(k)を使うことで、

別の表現で書ける

というがわかるかと思います。

 

また、わる数とあまりは、たがいに関係があって、

 

あまりは、0から(割る数 ー 1)までの整数になっています

わる数が4なら、あまりは0、1、2、3、のどれか

わる数が5なら、あまりは0,1,2,3,4、のどれか

わる数が6なら、あまりは0,1,2,3,4、5、のどれか

・・・・

のようになります。

 

3の倍数だけでなく、4の倍数、5の倍数、6の倍数、・・・・

 

でも同じ考え方で別の表現ができることがわかります。

 

では、これらの内容を、数式で書いてみます。

 

すべての整数が3で割ったときを考えてみます。

 

あまりは、0か1か2なので、整数は3つのグループに分けれます。

 

あまりが0(①のグループ)は、別の整数kを使って、

整数n=3×k + 0

という形で表現できます。

 

あまりが1のグループ(②)は

n=3×k+1

あまりが2のグループ(③)は

n=3×k+2

と書くことができます。

 

なるほどー

 

でも、これが質問の問題にどう使えるの?

 

と思われるかもしれません。

 

それを説明しますね。

 

 

ちょっと以下の例を考えてみてください。

 

あるクラスの男女構成を知りたいとします。

クラスを3つのグループにわけてみて、どのグループもすべて男性だったとします。

すると、もとのクラスは全員男性、といえますよね。

 

これと同じことを、整数の世界で考えてみます。

 

ある整数が3の倍数(3で割り切れるか)を知りたいとします。

ある整数そのままではよくわかりません。

そこで、ある整数をグループにわけて、

それぞれのグループが3の倍数(3で割り切れるか)かどうかを調べる

というように考えます。

 

具体的には、

すべての整数は、3で割ったとき、あまりは0か1か2なので、

①、あまりが0のとき

②、あまりが1のとき

③、あまりが2のとき

 

の3グループで調べればいいことがわかります。

そして、①~③すべての場合で、3の倍数であることがいえたとします。

すると、もともと考えたかった整数でも3の倍数である

ということがいえますよね。

 

 

これらのことをまずは理解しておきましょう!

 

すると今回の問題の理解もスムーズになりますよ

 

 

 

 

(考え方)整式が○の倍数であることを証明する問題

nが整数のとき、

 

n(n-1)(2n-1) が6の倍数であることを証明せよ

 

nが整数なので、「n(n-1)(2n-1)」 も整数であることがわかります。

つまり、

nが整数のとき、別の整数「 n(n-1)(2n-1) 」は6の倍数か?を証明する問題です。

 

6の倍数になるには、整式「 n(n-1)(2n-1) 」が、6×(整数)の形になればいいわけです。

 

でも、「 n(n-1)(2n-1) 」を見ると、6なんて数字つくれませんよね。

 

そこで、

nが整数ということに目をつけて、

 

6が出てくるように、「 n(n-1)(2n-1) 」の表現を変えてみるはどうか?

と考えてみます。

 

nが整数なので、6を関係させる別の表現として、(上で説明したとおり)

①、n=6k+0

②、n=6k+1

③、n=6k+2

④、n=6k+3

⑤、n=6k+4

⑥、n=6k+5

と書くことができます。

 

nを6つのグループにわけて、

それぞれのグループで6の倍数かどうかを調べればいいわけです。

 

整数「 n(n-1)(2n-1) 」について、

 

(1)、①から⑥のそれぞれの場合で、6の倍数か調べます。

 

(2)、そのときには、nをkを使った別の表現に変えてしらべます。

 

(3)、①から⑥のすべての場合で、

 

「 n(n-1)(2n-1) 」が「6×(整数)」の形になれば、

 

「 n(n-1)(2n-1) 」は6の倍数だ、といえる

とすればよさそうです。

 

これで証明の指針がたちました。

 

 

(解答)整式が○の倍数であることを証明する問題

それを実際に証明したのがこちらです↓

【高校 数学】整式が○の倍数であることを証明する問題 【解答①】【整数・数学A】(質問解答編)

 

6パターンについて、それぞれに調べています。

 

でも、もっとラクに答案書きたかった!

 

というのが正直なところです。

 

テストなどでは時間の勝負なので、書く量は極力減らしたいですよね。

 

 

実はこれ、もっと簡単に証明することができるんです!

 

 

え!そうなの(一人二役)

 

 

というわけで、別解をご紹介します。

 

 

 

(別解①)整式が○の倍数であることを証明する問題

この証明には、別解があって、

式の形に注目するところから生まれます。

 

「 n(n-1)(2n-1) 」をよくみると、

 

n(n-1)というのがあります。

 

これは、「連続する2数の積」です。

 

なので、必ず2の倍数(偶数)を含んでいることがわかります。

 

つまり、「 n(n-1)(2n-1) 」は、2の倍数なんです。

 

そうすると、「 n(n-1)(2n-1) 」が6の倍数であることを示すには、

「 n(n-1)(2n-1) 」が3の倍数であることを示せば、

2の倍数であることとあわせて、6の倍数ということができます。

 

3の倍数かを調べるには、

①、n=3k

②、n=3k+1

③、n=3k+2

の3パターンを使えばいいので、上の6パターンの解答より、ずいぶん楽になりますよね。

 

3パターンでの証明がこちらになります↓

【高校 数学】整式が○の倍数であることを証明する問題 【別解①】【整数・数学A】(質問解答編)

 

1つめの解答よりも、ラクになっているのがわかってもらえるかと思います。

 

これが1番オーソドックスな解答かなぁと思うのですが、

 

じつはこの問題には、さらにサクッと解ける、もう1つ別解があります。

 

 

(別解②)整式が○の倍数であることを証明する問題

別解の2つ目は、

 

「 n(n-1)(2n-1) 」の式の特徴に注目することで出てくる解法です。

 

この式の形だから出来る方法なので、汎用性は高くないですが、

 

試験で気づくことができれば、大幅に時間を短縮できる解法となっています↓

【高校 数学】整式が○の倍数であることを証明する問題 【別解②】【整数・数学A】(質問解答編)

 

 

 

というわけで、今回は

 

「整式が○の倍数であることを証明する問題」

 

について、

  • 知っておくべきことから
  • 考え方
  • 解答
  • 2つの別解

をまとめました。

 

数学おじさん
数学おじさん

今日のお話はこれくらいにするかのぉ

秘書ザピエル
秘書ザピエル

あ、先生!告知をさせてください

数学おじさん
数学おじさん

おーそうじゃった

秘書ザピエル
秘書ザピエル

実はいろんなお悩みを聞いているんです

質問くまさん
質問くまさん

勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ

シャンシャン
シャンシャン

わからない問題があると、やる気なくしちゃう

ハッチくん
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数学おじさん
数学おじさん

というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

はーい、先生!   数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

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