今回は、極限を求める問題です。
え？極限ってなに！？
なんかむずかしそう
数３なんていらないよ
って方もおられるかもしれません。
たしかに習ってない方にとっては、極限は新しい概念かと思います。
でも、解き方をみてみると、
やってることは、部分分数分解と、分数の割り算の２つだけなんです。
そして最後に、極限の操作をチョロッとしてあげれば完成なんです。
要するに、分数の割り算、部分分数分解、極限、の３つの組合せで解けるってことなんです。
かんたんそうでしょ？
このように数３は、意味を理解して、ポイントとなる操作を１つひとつ実行することで、サクッと出来てしまう問題も多いんです。
今回は、その一例として、部分分数分解を使った、極限を求める問題を示したいと思います。
【数学】「部分分数分解」すると「極限」を求めることができるよ【高校 数学 数学３ 極限 】
部分分数分解とは？
部分分数分解とは、１つの分数を、２つの分数に分ける操作のことをいいます。
[mathjax]
部分分数分解の典型例をご紹介しますね。
は、以下のように変形することができます。
（逆に計算してみて、成り立つか確かめてみましょう☆）
この変形の特徴は、２点あります。
このような変形を、「部分分数分解」と呼んでいます。
準備ができたところで、
今日の本題、部分分数分解をつかった極限の求め方をやってみます。
部分分数分解を使って、「極限」をもとめる
次の例題を考えてみますね
次の式について、nを無限大にしたときの極限値をもとめてください。
\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ・・・+ \frac{1}{n^2+n} \)
解答動画はこちら（下の解説を読んだ後だと理解がしやすいです）
え、なにこれ！
パッとみるとむずかしそうですよね。
- たくさんの項がある
- ・・・でつながってる
- ｎとかある
だいじょうぶです！
わからないときは、
そこで、問題の式を、ちがう形で表せないか考えてみましょう。
式変形を紙に書きながら（手を動かしながら）、解法を考えてみます。
とりあえず ｎ項に注目してみてます。すると、
\( \frac{1}{n^2+n} ＝ \frac{1}{n(n+1)} \)
と変形することができます。
これをヒントに、他の項も形をかえてみると、
となります。
つまり、すべての項は、『 ある数×（ある数＋１）』の形をしていることがわかります。
そして、左の項から順番に、ある数が、１，２，３，・・・ｎ となっているのもわかります。
なので、これらの和は、∑を使ってシンプルにあらわすこともできます。
となります。
すごくシンプルになりましたね。
さらに、
\(\frac{1}{k(k+1)} \) の部分をみると、
部分分数分解できる！！
なのでやってみましょう↓
これを「部分分数分解」すると、
「部分分数分解」ってなに？どうやってこうなるの？って方は、こちらをどうぞ↓
「部分分数分解」を解説しています☆
ここまで変形すると、極限の基本問題をやったことあると、
あ、解ける！
とひらめいてもらえると思います。
では、これまでのためし計算を参考にして、もう一度問題をみてみますね。
（問題文）次の式について、nを無限大にしたときの極限値をもとめてください。
\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ・・・+ \frac{1}{n^2+n} \)
問題文を数式であらわすと、以下のようにできます。
これを変形して、
ｎを無限大（∞）にすると、この式は、
\( = \frac{1}{1} － \frac{1}{∞} \)
となります。
\( \frac{1}{∞})) = 0 \) なので、
となります。
☆部分分数分解の知識
☆ｎを∞にしたときの整式の扱い方（極限の基本知識）
を使ったら解けました。
解説動画はこちら
このように、一見むずかしそうな、数３の問題も、
これまで学んだ知識（部分分数分解）に、新しい分野の基本知識が加わっただけ、
ということもよくあります。
最後に、応用問題を学ぶときのポイントをサクッとまとめますね。
数学で新しいことを習った時には、
①、これまでの知識でできるところ
②、新しく習ったところ
③、①②を組み合わせとして解いていること
を意識しましょう。
応用問題では、この組み合わせをたくさん考えれるほど、解答の糸口がみつかりやすくなります。
また、応用問題での組み合わせ方は膨大な数があります。
なので、応用問題そのもの（基本の組み合わせ）を覚えるのでなく、
そのためには、
といった「分析的な考え方と実行力」が大事です。
この力をつけるには、日頃から訓練しておく必要があります。
まとめると、
といえます。
ちなみに、今回使った、部分分数分解ですが、
高校数学の他の問題でも使われています↓
他にも部分分数分解が使われている問題ある？
あります！
他の例としては、分数の和の計算するのに活用されています↓
部分分数分解って大事なんだね～ってわかってもらえたかと思います。
部分分数分解を練習したいなぁ～ってあなたはこちらもございます↓
部分分数分解をサクッとできるようになりたい（練習問題）
部分分数分解をサクッとできるようになる例題を用意しています↓
というわけで、今回は、部分分数分解を使った、極限の求め方をやりました。
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