【数学】「部分分数分解」すると「極限」を求めることができるよ【高校数学 数3 極限 】

部分分数分解で極限を求める1 入門・基礎問題(教科書理解)
部分分数分解で極限を求める1

今回は、極限を求める問題です。

 

え?極限ってなに!?

なんかむずかしそう

数3なんていらないよ

 

って方もおられるかもしれません。

 

たしかに習ってない方にとっては、極限は新しい概念かと思います。

 

でも、解き方をみてみると、

 

やってることは、部分分数分解と、分数の割り算の2つだけなんです。

 

そして最後に、極限の操作をチョロッとしてあげれば完成なんです。

 

要するに、分数の割り算、部分分数分解、極限、の3つの組合せで解けるってことなんです。

 

 

かんたんそうでしょ?

 

 

このように数3は、意味を理解して、ポイントとなる操作を1つひとつ実行することで、サクッと出来てしまう問題も多いんです。

 

 

今回は、その一例として、部分分数分解を使った、極限を求める問題を示したいと思います。

 

【数学】「部分分数分解」すると「極限」を求めることができるよ【高校 数学 数学3 極限 】

部分分数分解とは?

部分分数分解とは、1つの分数を、2つの分数に分ける操作のことをいいます。

[mathjax]

部分分数分解の典型例をご紹介しますね。

 

\( \frac{1}{k(k+1)} \)

は、以下のように変形することができます。

 

\( \frac{1}{k(k+1)} \)
\( = \frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)} \)

(逆に計算してみて、成り立つか確かめてみましょう☆)

 

この変形の特徴は、2点あります。

①、1つの分数を、2つの分数にわけている
②、2つの分数の引き算にしている

 

このような変形を、「部分分数分解」と呼んでいます。

 

 

 

 

準備ができたところで、

今日の本題、部分分数分解をつかった極限の求め方をやってみます。

部分分数分解を使って、「極限」をもとめる

次の例題を考えてみますね

次の式について、nを無限大にしたときの極限値をもとめてください。

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ・・・+ \frac{1}{n^2+n} \)

 

 

解答動画はこちら(下の解説を読んだ後だと理解がしやすいです)

【数学】「部分分数分解」すると「極限」を求めることができるよ【高校数学 数3 極限 】

 

え、なにこれ!

 

パッとみるとむずかしそうですよね。

  • たくさんの項がある
  • ・・・でつながってる
  • nとかある

 

だいじょうぶです!

 

わからないときは、

 

手を動かしながら考えてみるといいですよ
すると、解決の糸口がみつかることがあります☆

 

そこで、問題の式を、ちがう形で表せないか考えてみましょう。

 

式変形を紙に書きながら(手を動かしながら)、解法を考えてみます。

 

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ・・・+ \frac{1}{n^2+n} \)

 

とりあえず n項に注目してみてます。すると、

 

\( \frac{1}{n^2+n}  = \frac{1}{n(n+1)} \)

 

と変形することができます。

 

これをヒントに、他の項も形をかえてみると、

 

\( \frac{1}{1×2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + ・・・+ \frac{1}{n(n+1)} \)

 

となります。

 

つまり、すべての項は、『  ある数×(ある数+1) 』の形をしていることがわかります。

 

そして、左の項から順番に、ある数が、1,2,3,・・・n となっているのもわかります。

 

なので、これらの和は、∑を使ってシンプルにあらわすこともできます。

 

\( \frac{1}{1×2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + ・・・+ \frac{1}{n(n+1)} \)
\(= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \)

 

となります。

 

すごくシンプルになりましたね。

 

さらに、

 

\(\frac{1}{k(k+1)} \) の部分をみると、

 

部分分数分解できる!!

 

なのでやってみましょう↓

 

\(= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \)
\( = \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)}) \)

 

これを「部分分数分解」すると、

 

\(=  \frac{1}{1}  - \frac{1}{n+1} \)

 

 

「部分分数分解」ってなに?どうやってこうなるの?って方は、こちらをどうぞ↓

 

 

 

 

ここまで変形すると、極限の基本問題をやったことあると、

 

あ、解ける!

 

とひらめいてもらえると思います。

 

では、これまでのためし計算を参考にして、もう一度問題をみてみますね。

(問題文)次の式について、nを無限大にしたときの極限値をもとめてください。

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ・・・+ \frac{1}{n^2+n} \)

 

問題文を数式であらわすと、以下のようにできます。

 

\( \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ・・・+ \frac{1}{n^2+n}) \)

 

これを変形して、

 

\( = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } ( \frac{1}{1}  - \frac{1}{n+1})) \)

 

nを無限大(∞)にすると、この式は、

 

\( =   \frac{1}{1}  - \frac{1}{∞} \)

 

となります。

 

\(  \frac{1}{∞})) = 0 \) なので、

 

\( \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ・・・+ \frac{1}{n^2+n})\)
\(= 1\)

 

となります。

 

☆部分分数分解の知識

☆nを∞にしたときの整式の扱い方(極限の基本知識)

 

を使ったら解けました。

 

 

解説動画はこちら

【数学】「部分分数分解」すると「極限」を求めることができるよ【高校数学 数3 極限 】

 

このように、一見むずかしそうな、数3の問題も、

 

これまで学んだ知識(部分分数分解)に、新しい分野の基本知識が加わっただけ、

 

ということもよくあります。

 

 

最後に、応用問題を学ぶときのポイントをサクッとまとめますね。

 

数学で新しいことを習った時には、

 

①、これまでの知識でできるところ

 

②、新しく習ったところ

 

③、①②を組み合わせとして解いていること

 

を意識しましょう。

 

応用問題では、この組み合わせをたくさん考えれるほど、解答の糸口がみつかりやすくなります。

 

また、応用問題での組み合わせ方は膨大な数があります。

 

なので、応用問題そのもの(基本の組み合わせ)を覚えるのでなく、

 

目の前の問題を、知ってる知識の組み合わせに分解できるようになりましょう

 

 

そのためには、

 

式などの特徴をシッカリ観察する
変形しながら手を動かしながら考える

 

といった「分析的な考え方と実行力」が大事です。

 

この力をつけるには、日頃から訓練しておく必要があります。

 

 

まとめると、

応用問題では、とっかかりを見つけるところの分析的思考を磨くことが大切

といえます。

 

 

ちなみに、今回使った、部分分数分解ですが、

高校数学の他の問題でも使われています↓

 

他にも部分分数分解が使われている問題ある?

あります!

 

他の例としては、分数の和の計算するのに活用されています↓

 

 

 

 

部分分数分解って大事なんだね~ってわかってもらえたかと思います。

 

部分分数分解を練習したいなぁ~ってあなたはこちらもございます↓

部分分数分解をサクッとできるようになりたい(練習問題)

 

部分分数分解をサクッとできるようになる例題を用意しています↓

 

 

 

 

というわけで、今回は、部分分数分解を使った、極限の求め方をやりました。

 

 

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