【数学】面積比と線分比をシッカリわかると、チェバの定理を深く理解できるよ【平面図形 中学数学 高校数学】

チェバの定理を使わずに線分比を求める 数学おじさん oj3math 図形
チェバの定理を使わずに線分比を求める 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

今回は、チェバの定理を使える図形を、

 

チェバの定理を使わずに、解いてみようかと思うんじゃ

 

具体的には、以下の問題じゃ

数学おじさん
数学おじさん

チェバの定理 問題 例題 数学おじさん oj3math

上の図で、

AF : BF = 3 : 2

AE : CE = 1 : 2

のとき、

BD : CD はなんでしょうか?

 

トンちゃん
トンちゃん

チェバの定理を使えばいいのに、

 

なぜ、わざわざ、使わないで解くんだブー?

 

理由は、チェバの定理をより深く知ることができるからなんじゃよ

 

チェバの定理をよりシッカリ理解できるようになるので、

 

サクッと使えるようになるはずじゃ

 

また、「チェバの定理の証明」も、スムーズに理解できるんじゃよ

 

また、チェバの定理というのは、

 

面積比の考え方を、特別な図形のときに限定して便利にしたもの

 

ということがわかってもらえるかと思うんじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

え、どういうことですか?

 

チェバの定理というのは、面積比と線分比の考え方の一部、ということなんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

といっても具体的に解説しないと、何言ってるかわかりにくいじゃろうから、

 

さっそく、具体的に解説をしていくかのぉ

 

【数学】面積比と線分比をシッカリわかると、チェバの定理を深く理解できるよ【平面図形 中学数学 高校数学】

数学おじさん
数学おじさん

ポイントは面積比と線分比をうまく使うことなんじゃ

面積比と線分比とチェバの定理

まずは、面積比ってなに?ってあなたは、こちらで理解しておいてほしいんじゃ

 

おーい、ニャンコくん、面積比と線分比の関係についての解説記事をお願い!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

はーい、先生!

 

面積比と線分比については、基礎編と、応用編があるにゃん

 

基礎編から読んで、次に応用編を読むのがオススメにゃん

 

(基礎編)『【数学】三角形の辺と面積の比について、2つの考え方をサクッとまとめました【中学数学 図形】

 

(応用編)『【数学】入試で差がつく、線分比と面積比の関係をサクッとまとめました【中学数学 図形】

 

トンちゃん
トンちゃん

ありがとブー、読んでみるブー

 

 

 

ここではサクッと紹介しておくかのぉ

三角形の線分比と面積比パート2 数学おじさん oj3math

大文字のMとNは、それぞれ、三角形ABXと三角形ACXの面積を表しておる

小文字のmとnは、それぞれ、辺BDと辺CDを表しておるんじゃ

この図の状態があった時に、

面積比と線分比には、以下の関係があるんじゃ

M  :  N = m : n

トンちゃん
トンちゃん

面積の比は、線分の比と等しい、ってことですね!

そのとおりじゃ

 

そして、比は、分数に書いてもよいから

M  :  N = m : n

というのは、

[mathjax]

\(  \frac{M}{N}  =  \frac{m}{n} \)

と同じことなんじゃな

 

まずは、ここまでシッカリ理解してほしいんじゃ

 

 

 

 

ここからは、面積比と線分比の関係を、分数の形で使っていこうかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

この関係を使うと、

 

上ではチェバの定理で解いた問題を、

 

チェバの定理なしで解くことができるんじゃよ

トンちゃん
トンちゃん

そうなんですね!

 

楽しみだブー

 

もう1度、問題を思い出しておくかのぉ

チェバの定理 問題 例題 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

上の図で、

AF : BF = 3 : 2

AE : CE = 1 : 2

のとき、

BD : CD はなんでしょうか?

というやつじゃったのぉ

 

今回の発想のポイントは、

BD:CD という、線分の比を求めたいので、

面積の比から求める方法もあるよね

 

と考えるんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、線分の比を求める問題では、

 

解き方の候補として、面積比を使う方法が、あるわけなんじゃ

 

 

 

では、具体的に、上で紹介した面積比を使っていくかのぉ

チェバの定理 面積比1 数学おじさん oj3math

まず問題の図を、このように図を見てほしいんじゃ

 

すると、ピンクと緑の面積比は、BDとCDの線分比で表現できるわけじゃ

 

ここでは分数の形で書いておくと

 

\(  \frac{三角形ABX}{三角形ACX}  =  \frac{BD}{CD} \)  ・・・(式1)

 

となるわけじゃ(この式を、式1、と名前をつけておくかのぉ)

 

 

 

 

次に、別の面積比を考えてみるかのぉ

チェバの定理 面積比2 数学おじさん oj3math

ピンクと緑の面積比は、AFとBFの線分比で表現できるわけじゃ

 

ここでは分数の形で書いておくと

 

\(  \frac{三角形ACX}{三角形BCX}  =  \frac{AF}{BF}  =  \frac{3}{2} \)  ・・・(式2)

 

問題に辺の比が与えられているので、それを代入しておいたわけじゃ

 

この式を、式2、と名前をつけておくかのぉ

 

 

 

 

さらに、別の面積比を考えてみるかのぉ

チェバの定理 面積比3 数学おじさん oj3math

ピンクと緑の面積比は、CEとAEの線分比で表現できるわけじゃ

 

ここでは分数の形で書いておくと

 

\(  \frac{三角形BCX}{三角形ABX}  =  \frac{CE}{AE}  =  \frac{2}{1} \)  ・・・(式3)

 

問題に辺の比は与えられているので、それを代入しておいたわけじゃ

 

この式を、式3、と名前をつけておくかのぉ

 

トンちゃん
トンちゃん

面積比と線分比の関係を、

 

別の三角形の組みに、3回使ったんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、式1、2、3を書いてみると、

\(  \frac{三角形ABX}{三角形ACX}  =  \frac{BD}{CD} \)  ・・・(式1)

\(  \frac{三角形ACX}{三角形BCX}  =  \frac{3}{2} \)  ・・・(式2)

\(  \frac{三角形BCX}{三角形ABX}  =  \frac{2}{1} \)  ・・・(式3)

 

となったわけじゃ

 

ここで、この3つの式を、かけ算してみるんじゃよ

すると、

\(  \frac{三角形ABX}{三角形ACX} × \frac{三角形ACX}{三角形BCX} × \frac{三角形BCX}{三角形ABX}  =  \frac{BD}{CD} ×  \frac{3}{2} × \frac{2}{1} \)  

となるんじゃ

 

左辺は式1、2、3の3つの左辺のかけ算、

右辺は式1、2、3の3つの右辺のかけ算

となっているわけじゃな

 

この式は、さらに計算ができるんじゃよ

左辺は、同じ三角形の面積が分母分子にあるから、約分ができるんじゃ

右辺は、数字があるから、これも約分ができるんじゃ

 

約分を実行すると、

\(  1  =  \frac{BD}{CD} ×  \frac{3}{1}  \)  

となるんじゃ

トンちゃん
トンちゃん

あ!左辺は約分されて、1になってますね!!!

そうなんじゃよ

 

すごく見やすい式になったんじゃろ

 

ただ、もうひと息、計算をするとさらにいいんじゃよ

 

両辺に \(  \frac{1}{3}  \)  をかけ算すると、

 

\(  1 ×  \frac{1}{3}  =  \frac{BD}{CD} ×  \frac{3}{1}  ×  \frac{1}{3} \)  

 

\(  \frac{BD}{CD}  =  \frac{1}{3}  \)  

 

となるわけじゃ

 

ここから、

 

知りたかった

 

BD : CD = 1 : 3

 

が求まるわけじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

あ、チェバの定理で解いた時と同じ答えが出ました!

そうなんじゃよ

 

チェバの定理を使わずとも、面積比と線分比の関係を使うことで、

 

同じ答えが導けたわけじゃな

 

(ちなみに、チェバの定理での解法は、以下のリンクから解説記事があるんじゃ)

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

これをふまえると、

 

チェバの定理の証明の証明が、すごくよくわかるんじゃよ

 

というわけで、続きは以下の記事で読んでもらえるかのぉ

 

おーい、にゃんこくん、お願い!

 

 

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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