【数学】「メネラウスの定理」のわかりやすい覚え方から、問題の解き方、証明の仕方など、コツをまとめました【平面図形 中学数学 高校数学】

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メネラウスの定理 アイキャッチ 数学おじさん oj3math 図形
メネラウスの定理 アイキャッチ 数学おじさん oj3math
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数学おじさん
数学おじさん

今回は、「メネラウスの定理」について、まとめてみたんじゃ

 

メネラウスの定理は、1度身につけてしまえば、

使える!って場面で、

問題を瞬殺できる飛び道具になるんじゃ

 

大学受験はもちろん、中学受験や高校受験でも、

メネラウスの定理が使える場面に出会ったら、

ラッキー!瞬殺!

と思って、サクッと答えを導ける素敵な道具になるんじゃよ

 

ただし、使える図形がちと複雑に見えてしまうかもしれないんじゃ

 

そこで本記事では、

メネラウスの定理とは?といった、

そもそもどんな定理なのかがよく分からない方向けに、

メネラウスの定理の内容や覚え方をまとめたいと思うんじゃ

 

次に問題を通じて、使い方を見てもらおうかと思っているんじゃ

 

そして、より深く理解するために、

メネラウスの定理の証明についてもまとめる予定じゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

では解説を始めるかのぉ

 

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【数学】「メネラウスの定理」のわかりやすい覚え方から、問題の解き方、証明の仕方など、コツをまとめました 知っておくと応用がきくよ【平面図形 中学数学 高校数学】

数学おじさん
数学おじさん

まずは、メネラウスの定理とは?から

 

いつ、どんな図形で使えるの?ってとこからやるかのぉ

メネラウスの定理とは

メネラウスの定理が使えるのは、(基本的には)以下のような図の時なんじゃ

メネラウスの定理1 数学おじさん oj3math

具体的に言うと、

  • 三角形が対象
  • 三角形の各頂点(A,  B,  C)から、対辺(それぞれBC, CA, AB)に線分を書く
  • それらの線分が1点(点X)で交わっている

という感じなんじゃ

 

これ、実は、「チェバの定理」の時にも出てきた図形なんじゃ

 

チェバの定理とメネラウスの定理は、似ているんじゃが、ちょっと違うから、

 

混同しないように気をつけるんじゃぞ

 

ちなみに、チェバの定理については、こちらに解説しておるんじゃ

 

おーい、にゃんこくん、チェバの定理の解説記事を教えておくれ〜

 

 

ただし、チェバの定理とは違って、

 

この図形の一部を使うのが、メネラウスの定理なんじゃ

 

その一部とは、たとえば、以下の太線の部分じゃ

メネラウスの定理の図1

鳥がくちばしを広げたような形をしておるわけじゃな

 

この図形に対して、以下の式が成り立つというのが、メネラウスの定理なんじゃ

[mathjax]

 

数学おじさん
数学おじさん

メネラウスの定理

 

\( \frac{BC}{CD} × \frac{DX}{XA} × \frac{AF}{FB} = 1 \)

 

と言っても、なんだか複雑じゃから、よく分からないと思うんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

この式、覚えなくていいんじゃ

 

ただし、公式の作り方を理解しておくのが大事じゃ

 

 

 

そこで、メネラウスの定理の、わかりやすい作り方・覚え方を示しておくとするかのぉ

 

 

 

 

 

 

メネラウスの定理の、わかりやすい覚え方とは

 

数学おじさん
数学おじさん

メネラウスの定理の覚え方と書いたんじゃが、

 

じつは、式を覚える必要はないんじゃ

 

図を書けば、自然と導けるようなる導き方」を覚えるのが重要なんじゃ

 

そこで、メネラウスの定理の導き方をまとめてみようと思うんじゃ

 

メネラウスの定理の導き方とは

(1)、2つの三角形の、重なっている角に注目する

メネラウスの定理の図2

この図は、2つの三角形が重なっていると考えることができるんじゃな

 

三角形ABDと三角形BCFが重なっておるとみれるわけじゃ

 

その2つの三角形で、重なっているのは頂点Bじゃな

 

重なっている頂点Bに注目して、オレンジ色で丸をつけておいたんじゃ

 

(2)、問題が解けるような、動き方を考える

メネラウスの定理は、オレンジで示した点を移動させながら式を立てるとわかりやすいんじゃ

 

じゃあ、どう移動させればいいの?

 

というところを考えていくかのぉ

 

点の動かし方の最初の一歩は、以下のとおりじゃ

 

  • 出発点は小さい2つの三角形が重なっているとこ(今回は点B、すでに示したものです)

 

  • どちらかに移動(大きな三角形の他の2頂点へ(今回は点Aか点C))

 

じゃあ

 

点Aと点Cの、どっちを選べばいいの?

 

と思うかもしれないのぉ

 

どちらに移動するかは、問題に書いてあるんじゃ

 

例えば、「AX : XD を求めよ」だったら、

 

AXとXDを含めなくちゃと考えるんじゃ

 

点Bから点Cに行き、点Cから戻って点Dに行けば、

 

点Dから点X、点Xから点Aと移動すれば、

 

  • AXとXDを通るなぁ

 

と考え、点Bから点Cに移動することを決めるんじゃ

 

また他の問題ではこうだったとしようかのぉ

 

問題に「FX : XC を求めよ」だったとしたら

 

点Bから点Aに行き、戻って点F、点Fから点X、点Xから点Cに行けば

 

  • FXとXCを通るなぁ

 

と考え、点Bから点Aに移動することを決めるんじゃ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、

 

行き方を選ぶには、問題を解くのに必要なmは?と考える

 

のがコツなんじゃな

 

 

数学おじさん
数学おじさん

ここからは「AX : XD を求めよ」という問題だとして、解説をしていくかのぉ

 

(CX : FXを求めよ、など他の問題でも同じ考え方でできるやり方じゃ)

 

これは、問題によっては、

\( \frac{AX}{XD} \) を求めよ

\( \frac{DX}{XA} \) を求めよ

という書き方があるかもしれないんじゃが、

 

数学おじさん
数学おじさん

「分数」は「比」の意味も持っているから、

 

同じ問題と考えてオッケーじゃ

 

では実際に移動していくかのぉ

(3)、注目した頂点から、一気に、もう1つの頂点まで飛ぶ

メネラウスの定理の図3

今回は、点Bから点Cに移動することを、問題文から決めたので、点Cに移動したわけじゃ

 

(4)、飛んだら、戻る

頂点Cまで飛んだら、今度は、もときた辺を戻るんじゃ

 

ただし途中に点Dがあるから、点Dまで戻るとしようかのぉ

(そうすれば、問題にあるAXやXDを通るからのぉ)

 

図にすると、以下の感じじゃな

メネラウスの定理の図4

 

(5)、新しい頂点に移動する

ここまでで、頂点Bと頂点Cを通ったわけじゃ

 

そこでここからは、通ってない、新しい頂点Aを目指して進んでいくわけじゃ

 

つまり、頂点Dから頂点X、頂点Xから頂点A と進んでいくんわけじゃ

メネラウスの定理の図5

 

(6)、別の頂点に移動して、元に戻る

これで頂点Aに移動したわけじゃが、

 

最後は、頂点Aから、頂点Bに戻るとよいんじゃな

 

つまり、頂点Aから頂点F、そして、頂点Fから頂点B と移動していくわけじゃな

 

これで出発点の点Bに戻ってきたわけじゃな

 

メネラウスの定理の図6

 

(7)、移動を式に表していく

ここからは、移動を元に、メネラウスの定理の式を立てるやり方の説明じゃ

 

移動には、①から⑥の順序をつけておるのぉ

 

この順序を使って、以下のように式を作るんじゃよ

 

メネラウスの定理 覚え方 数学おじさん oj3math

これは3つの分数のかけ算を表しておるんじゃが

 

左の分数は、分子に①分母に②

真ん中の分数は、分子に③分母に④

右の分数は、分子に⑤分母に⑥

 

と順番に書いていけばいいんじゃ

 

そして最後に、分数式=1

 

とすれば、メネラウスの定理の導出の成功じゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

メネラウスの定理

 

\( \frac{BC}{CD} × \frac{DX}{XA} × \frac{AF}{FB} = 1 \)

 

 

 

 

 

 

 

メネラウスの定理を使う問題

数学おじさん
数学おじさん

具体的な問題を解いてみるかのぉ

メネラウスの定理 問題 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

問題:AF : BF = 3 : 2,  BD : CD = 1 : 3,  AE : CE = 1 : 2 のとき、

 

AX : DX を求めてください

 

今回は、これはメネラウスの定理の問題です!

 

として紹介したからできると思うんじゃ

 

しかし、テストなどでは、ただ図形が与えられただけなはずじゃ

 

つまり、自分でメネラウスの定理が使えるかどうかを判断しなければいけない

 

というわけじゃ

 

そこでまず、

 

メネラウスの定理が使える図形かどうかを確かめる手順

 

をまとめておこうかと思うんじゃな

 

メネラウスの定理がつかえる図形の見分け方とは

メネラウスの定理で使える図形の見分け方をまとめておくかのぉ

 

基本的には、

 

大きい三角形の中に、小さい三角形がいくつかある

 

ような場合にメネラウスの定理を使える可能性がある、

 

と考えればいいんじゃ

 

上で「鳥がくちばしを開いたような形」と書いたんじゃが、

 

そういう形を見つけれたら、メネラウスの定理が使えるかも?

 

と考えればいいんじゃな

 

以下で、もう少し詳しく説明するかのぉ

(メネラウスの定理には、他の図形でも使える場合がありますが、

今回は初めて学ぶ方向けなので、省いています)

 

まず、三角形を1つ決めるんじゃ

大きな三角形(この場合ABC)のどれか1辺を含むように

小さい三角形を選んでみよう

 

たとえば、こうじゃ

メネラウスの定理1−0 数学おじさん oj3math

ここでは、三角形ABDに注目してみたんじゃ

 

別にこの三角形じゃないとダメ!ってことはなくて、

 

他のどれでもオッケーなんじゃ

 

とりあえず、今回は、この三角形で話を進めていくかのぉ

 

次は、大きな三角形の頂点のうち、注目した三角形上にないものをチェックするんじゃ

メネラウスの定理1−1 数学おじさん oj3math

大きな三角形は、三角形ABCじゃな

 

この頂点は、A,  B,  C  の3つじゃ

 

そして、注目した三角形ABD上にないものは、頂点Cじゃな

 

そこで、頂点Cに、オレンジ色の太丸をおいてみたんじゃ

 

次に、頂点Cを含んで、角が重なるように、三角形を選ぶんじゃ

メネラウスの定理1−2 数学おじさん oj3math

もともとの太字の三角形ABDの角ABDと、

 

新しく注目した点Cを含んだ三角形BCFは、

 

角ABC(角FBD)が重なっているじゃろ

 

この図形の時に、

 

この太い線の図形に対して、メネラウスの定理が使えるわけじゃな

 

 

では、実際にメネラウスの定理を使った問題の解き方について解説してみます。

 

メネラウスの定理を使って問題を解くには?

 

数学おじさん
数学おじさん

問題を解くには、知りたい線分比(または分数)を含む形で、

 

メネラウスの定理の式を組み立てればいいんじゃ

 

 

え?なにそれ?

 

と思われるかもしれないんじゃが、とりあえず下のやり方を読んでみて欲しいんじゃ

 

メネラウスの定理の式の組み立て方は、上の導き方でまとめたとおりじゃ

 

(1)、2つの三角形の角が重なっているところをスタートにする

(2)、注目した頂点から、一気に、もう1つの頂点まで飛ぶ

(3)、飛んだら、戻る

(4)、新しい頂点に移動する

(5)、元のスタートの頂点に戻ってくる

(6)、移動を式に表していく

 

メネラウスの定理の図6

 

数学おじさん
数学おじさん

この図から、メネラウスの定理の式が、以下のように導けるんじゃな

 

\( \frac{BC}{CD} × \frac{DX}{XA} × \frac{AF}{FB} = 1 \)

 

 

メネラウスの定理 問題 数学おじさん oj3math

\( \frac{BC}{CD} × \frac{DX}{XA} × \frac{AF}{FB} = 1 \)

 

数学おじさん
数学おじさん

このメネラウスの式に、

 

問題で与えられた線分比の数値を入れてみるんじゃ

 

\( \frac{(1+3)}{3} × \frac{DX}{XA} × \frac{3}{2} = 1 \)

 

となるわけじゃ

 

これの式の左辺は、3つの分数のかけ算だから、約分など計算ができるわけじゃ

 

そういう計算をして整理すると、

 

\(  \frac{DX}{XA}  = \frac{1}{2} × \)

 

となる

 

数学おじさん
数学おじさん

「分数」は「比」でもあるんじゃったな

 

じゃから、知りたかった線分比 AX : DX = 2 : 1 となるわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

メネラウスの定理は、3つの線分比を使う式なんじゃが、

 

そのうち2つはわかっていて、

 

もう1つを知りたいときに使える式なんじゃな

 

 

 

 

 

 

 

まとめ

 

というわけで、本記事では、

 

  • メネラウスの定理とは?
  • メネラウスの定理の覚え方
  • メネラウスの定理の問題

 

などをまとめたんじゃ

 

あとはメネラウスの定理の証明なんじゃが、

 

これから野暮用があってのぉ、また後で追記する予定じゃ

 

というわけで、メネラウスの定理については、

 

こういうものね!

 

とつかんでいただけたと思うんじゃ

 

では今回はこれくらいにしておくかのぉ

 

おーい、ザピエルくん、あとお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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