【数学】「メネラウスの定理」のわかりやすい覚え方から、問題の解き方、証明の仕方など、コツをまとめました【平面図形 中学数学 高校数学】

メネラウスの定理 アイキャッチ 数学おじさん oj3math 図形
メネラウスの定理 アイキャッチ 数学おじさん oj3math
数学おじさん
数学おじさん

今回は、「メネラウスの定理」について、まとめてみたんじゃ

 

メネラウスの定理は、1度身につけてしまえば、

使える!って場面で、

問題を瞬殺できる飛び道具になるんじゃ

 

大学受験はもちろん、中学受験や高校受験でも、

メネラウスの定理が使える場面に出会ったら、

ラッキー!瞬殺!

と思って、サクッと答えを導ける素敵な道具になるんじゃよ

 

ただし、使える図形がちと複雑に見えてしまうかもしれないんじゃ

 

そこで本記事では、

メネラウスの定理とは?といった、

そもそもどんな定理なのかがよく分からない方向けに、

メネラウスの定理の内容や覚え方をまとめたいと思うんじゃ

 

次に問題を通じて、使い方を見てもらおうかと思っているんじゃ

 

そして、より深く理解するために、

メネラウスの定理の証明についてもまとめる予定じゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

では解説を始めるかのぉ

 

【数学】「メネラウスの定理」のわかりやすい覚え方から、問題の解き方、証明の仕方など、コツをまとめました 知っておくと応用がきくよ【平面図形 中学数学 高校数学】

数学おじさん
数学おじさん

まずは、メネラウスの定理とは?から

 

いつ、どんな図形で使えるの?ってとこからやるかのぉ

メネラウスの定理とは

メネラウスの定理が使えるのは、(基本的には)以下のような図の時なんじゃ

メネラウスの定理1 数学おじさん oj3math

具体的に言うと、

  • 三角形が対象
  • 三角形の各頂点(A,  B,  C)から、対辺(それぞれBC, CA, AB)に線分を書く
  • それらの線分が1点(点X)で交わっている

という感じなんじゃ

 

これ、実は、「チェバの定理」の時にも出てきた図形なんじゃ

 

チェバの定理とメネラウスの定理は、似ているんじゃが、ちょっと違うから、

 

混同しないように気をつけるんじゃぞ

 

ちなみに、チェバの定理については、こちらに解説しておるんじゃ

 

おーい、にゃんこくん、チェバの定理の解説記事を教えておくれ〜

 

 

ただし、チェバの定理とは違って、

 

この図形の一部を使うのが、メネラウスの定理なんじゃ

 

その一部とは、たとえば、以下の太線の部分じゃ

メネラウスの定理2 数学おじさん oj3math

鳥がくちばしを広げたような形をしておるわけじゃな

 

この図形に対して、以下の式が成り立つというのが、メネラウスの定理なんじゃ

[mathjax]

 

数学おじさん
数学おじさん

メネラウスの定理

 

\( \frac{CB}{BD} × \frac{DX}{XA} × \frac{AF}{FB} = 1 \)

 

と言っても、なんだか複雑じゃから、よく分からないと思うんじゃ

 

そこで、わかりやすい覚え方を示しておくとするかのぉ

 

 

 

 

 

 

メネラウスの定理の、わかりやすい覚え方とは

 

数学おじさん
数学おじさん

メネラウスの定理の覚え方と書いたんじゃが、

 

じつは、式を覚える必要はないんじゃ

 

図を書けば、自然と導けるようなる導き方」を覚えるのが重要なんじゃ

 

そこで、メネラウスの定理の導き方をまとめてみようと思うんじゃ

 

メネラウスの定理の導き方とは

①、重なっていない頂点に注目する

メネラウスの定理1−2 数学おじさん oj3math

この図は、2つの三角形が重なっていると考えることができるんじゃな

 

三角形ABDと三角形BCFが重なっておるとみれるわけじゃ

 

その2つの三角形で、重なっているのは頂点Bじゃな

 

重なってないのが、頂点Aと頂点Cなわけじゃ

 

重なっていない頂点Cに注目して、オレンジ色で丸をつけておいたんじゃ

(頂点Aに注目してもオッケーじゃよ)

 

②、注目した頂点から、一気に、もう1つの頂点まで飛ぶ

もう1つの頂点は、頂点Bと頂点Aがあるんじゃが、

 

頂点Cから頂点A、つまり、辺ACは、

 

今回考えている太字の図形に入っていないじゃろ

 

それに対して、頂点Cから頂点B、つまり、辺BCは、

 

太字の図形に入っておるわけじゃ

 

なので、頂点Cから頂点Bに一気に飛ぶんじゃ

 

オレンジの丸を追っていくと、分かりやすいかもしれんのぉ

メネラウスの定理 1歩目 数学おじさん oj3math

③、飛んだら、戻る

頂点Bまで飛んだら、今度は、もときた辺を戻るんじゃ

 

すると、途中に、点Dがあるから、点Dまで戻るわけじゃな

 

図にすると、以下の感じじゃな

メネラウスの定理 2歩目 数学おじさん oj3math

 

④、新しい頂点に移動する

ここまでで、頂点Bと頂点Cを通ったわけじゃ

 

そこでここからは、通ってない、新しい頂点Aを目指して進んでいくわけじゃ

 

つまり、頂点Dから頂点X、頂点Xから頂点A と進んでいくんわけじゃ

メネラウスの定理 3歩目 数学おじさん oj3math

 

⑤、別の頂点に移動する

これで頂点Aに移動したわけじゃが、

 

さらに別の頂点に移動して、完了となるんじゃよ

 

頂点Aからは、頂点Cには行けないのぉ

 

理由は、辺ACが太字の図形にないからじゃ

 

それに対して、頂点Bは、太字の図形の中でつながっておるじゃろ

 

じゃから次は、頂点Aから、頂点Bに移動する!となるわけじゃ

 

つまり、頂点Aから頂点F、そして、頂点Fから頂点B と移動していくわけじゃな

 

メネラウスの定理 4歩目 数学おじさん oj3math

 

⑥、移動を式に表していく

 

この移動には、①から⑥の順序をつけておるのぉ

 

この順序を使って、以下のように式を作るんじゃよ

 

メネラウスの定理 覚え方 数学おじさん oj3math

これは3つの分数のかけ算を表しておるんじゃが

 

左の分数は、分子に①分母に②

真ん中の分数は、分子に③分母に④

右の分数は、分子に⑤分母に⑥

 

と順番に書いていけばいいんじゃ

 

そして最後に、分数式=1

 

とすれば、メネラウスの定理の導出の成功じゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

メネラウスの定理

 

\( \frac{CB}{BD} × \frac{DX}{XA} × \frac{AF}{FB} = 1 \)

 

 

 

 

 

 

 

メネラウスの定理を使う問題

数学おじさん
数学おじさん

具体的な問題を解いてみるかのぉ

メネラウスの定理 問題 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

問題:AF : BF = 3 : 2,  BD : CD = 1 : 3,  AE : CE = 1 : 2 のとき、

 

AX : DX を求めてください

 

今回は、これはメネラウスの定理の問題です!

 

として紹介したからできると思うんじゃ

 

しかし、テストなどでは、ただ図形が与えられただけなはずじゃ

 

つまり、自分でメネラウスの定理が使えるかどうかを判断しなければいけない

 

というわけじゃ

 

そこでまず、

 

メネラウスの定理が使える図形かどうかを確かめる手順

 

をまとめておこうかと思うんじゃな

 

メネラウスの定理がつかえる図形の見分け方とは

メネラウスの定理で使える図形の見分け方をまとめておくかのぉ

 

基本的には、大きい三角形の中に、小さい三角形がいくつかあるような場合に

 

メネラウスの定理を使える可能性がある、

 

と考えればいいんじゃ

(メネラウスの定理には拡張された、これ以外の図形でも使えるんじゃが、

今回は、初めて学ぶ方向けじゃから、それは省いておくかのぉ)

 

まず、三角形を1つ決めるんじゃ

 

たとえば、こうじゃ

メネラウスの定理1−0 数学おじさん oj3math

ここでは、三角形ABDに注目してみたんじゃ

 

別にこの三角形じゃないとダメ!ってことはなくて、

 

他のどれでもオッケーなんじゃ

 

とりあえず、今回は、この三角形で話を進めていくかのぉ

 

次は、大きな三角形の頂点のうち、注目した三角形上にないものをチェックするんじゃ

メネラウスの定理1−1 数学おじさん oj3math

大きな三角形は、三角形ABCじゃな

 

この頂点は、A,  B,  C  の3つじゃ

 

そして、注目した三角形ABD上にないものは、頂点Cじゃな

 

そこで、頂点Cに、オレンジ色の太丸をおいてみたんじゃ

 

次に、頂点Cを含んで、角が重なるように、三角形を選ぶんじゃ

メネラウスの定理1−2 数学おじさん oj3math

もともとの太字の三角形ABDの角ABDと、

 

新しく注目した点Cを含んだ三角形BCFは、

 

角ABC(角FBD)が重なっているじゃろ

 

この太い線の図形に対して、メネラウスの定理が使えるわけじゃな

 

では、問題の解き方はどうなるかのぉ

 

メネラウスの定理を使って問題を解くには?

問題を解くには、知りたい線分比を含む形で、

 

メネラウスの定理の式を組み立てればいいんじゃ

 

メネラウスの定理の式の組み立て方は、上の導き方でまとめたとおりじゃ

 

①、重なっていない頂点に注目する

②、注目した頂点から、一気に、もう1つの頂点まで飛ぶ

③、飛んだら、戻る

④、新しい頂点に移動する

⑤、別の頂点に移動する

⑥、移動を式に表していく

 

メネラウスの定理1−7 数学おじさん oj3math

この図から、メネラウスの定理の式が、以下のように導けるんじゃな

 

\( \frac{CB}{BD} × \frac{DX}{XA} × \frac{AF}{FB} = 1 \)

 

メネラウスの定理 問題 数学おじさん oj3math

\( \frac{CB}{BD} × \frac{DX}{XA} × \frac{AF}{FB} = 1 \)

 

このメネラウスの式に、知りたい線分比と、わかっている線分比を入れてみると

 

\( \frac{(1+3)}{1} × \frac{DX}{XA} × \frac{3}{2} = 1 \)

 

となるわけじゃ

 

これを整理すると、

 

\(  \frac{DX}{XA}  = \frac{2}{1} × \)

 

となる

 

じゃから、知りたかった線分比 AX : DX = 1 : 2 となるわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

メネラウスの定理は、3つの線分比を使う式なんじゃが、

 

そのうち2つはわかっていて、

 

もう1つを知りたいときに使える式なんじゃな

 

 

 

 

 

 

 

まとめ

 

というわけで、本記事では、

 

  • メネラウスの定理とは?
  • メネラウスの定理の覚え方
  • メネラウスの定理の問題

 

などをまとめたんじゃ

 

あとはメネラウスの定理の証明なんじゃが、

 

これから野暮用があってのぉ、また後で追記する予定じゃ

 

というわけで、メネラウスの定理については、

 

こういうものね!

 

とつかんでいただけたと思うんじゃ

 

では今回はこれくらいにしておくかのぉ

 

おーい、ザピエルくん、あとお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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