【数学】平方根（へいほうこん）のかけ算って、どうやるの？【平方根　中３　中学数学】　

ザピエルくん、ありがとう

平方根の２回目じゃな

今回は、

「平方根のかけ算」

についてじゃ

平方根でつまずく原因の１つには、

平方根のかけ算を、なんとなくやってしまっていることがあるんじゃ

平方根のかけ算は、平方根全体の基礎なんじゃ

ぜひシッカリ理解してほしい

トンちゃん、よくきたのぉ

今日も一緒にがんばろう！

そのとおりじゃ

では解説をはじめるかのぉ

まずは、第１回を思い出してほしいんじゃ

平方根とは？

というところを、

コンビニの面積を例にして解説したんじゃ

これが分かっていないと、

今回の内容は理解しづらいんじゃ

もし、平方根ってなんだっけ？

という方は、以下の記事を読んで、シッカリ理解してほしいんじゃ

それで理解できたら、この記事を読むというのがオススメじゃ

お〜い、ニャンコくん、第１回の記事を教えてくれる？

ニャンコくん、ありがとう

詳しい解説に入る前に、全体像をまとめておくかのぉ

全体は、４つのパートに分かれておるんじゃ

１、平方根と数字のかけ算のやり方

２、平方根と平方根のかけ算のやり方

３、同じ平方根同士のかけ算

４、平方根のかけ算のルールは、かけ算以外でも活躍する

といった流れになっておるんじゃ

これを意識して読んでもらうと、分かりやすくなるかと思うんじゃ

では、くわしい解説をはじめるかのぉ

まずは、平方根と、普通の数字のかけ算を考えてみるかのぉ

例えば、

\(　 \sqrt{3} × 2  \)

や

\(　2 × \sqrt{3}   \)

のような計算じゃな

平方根と普通の数字は、例えると、異次元の数字同士なんじゃ

じゃから、

\(　 \sqrt{3} × 2  = \sqrt{3× 2}  \)　（←まちがい）

のように、

数字同士を、そのままかけ算することはできないんじゃ

じゃから、

平方根と、普通の数字は、かけ算できない

というのがルールなんじゃ

式の書き方にルールがあるんじゃ

平方根と普通の数字のかけ算は、

①、数字を先に書いて、後ろに平方根を書く

②、かけ算は省略する

という書き方をするのが一般的じゃ

そのとおりじゃ

話が別の単元になるんじゃが、

文字と式のところで、

数字と文字のかけ算について習ったじゃろ

例えば、

\(　2 × x  \)　とか　\(　 x × 2   \)

じゃな

これらは、

①、数字を前に書き、文字は後ろに書く

②、かけ算は省略する

という書き方のルールがあったわけじゃ

つまり、

\(　2 × x = 2x  \)

\(　 x × 2  = 2x  \)

というわけじゃ

そのとおりじゃ

これが、数字と平方根のかけ算のルールじゃな

では次は、平方根同士のかけ算について解説するかのぉ

平方根同士のかけ算の計算の仕方は、この公式を理解してほしいんじゃ

日本語で説明すると以下じゃな

\(　 \sqrt{a} × \sqrt{b} ＝ \sqrt{a × b}  \)

この式は、２つの平方根のかけ算のルールを表しておるわけじゃ

この意味じゃが、

２つの平方根のかけ算は、

１つの平方根にまとめることができる

ということを言っておる

そして、

１つにまとめた平方根の中の数字は、

元の２つの平方根の中の数字のかけ算になる

というわけじゃな

そのとおりじゃ

この式はさらに計算することができるんじゃよ

こんな感じじゃ

\(　 \sqrt{3} × \sqrt{5} ＝ \sqrt{3 × 5} ＝ \sqrt{15}   \)

つまり、

２つの平方根を１つの平方根にまとめれば、

中の数字を、ふつうの数字の計算（３×５＝１５）と同じように、

かけ算していいわけじゃ

では次は、２つの平方根のかけ算の特別な場合を考えてみるかのぉ

特別というのは、２つの平方根が同じものの場合じゃ

同じ平方根のかけ算というのは、

例えば、\(　 \sqrt{3} × \sqrt{3}   \) のような

中の数字が同じ平方根のかけ算のことじゃな

この時、どう計算すればいいか？

という話じゃ

そのとおりじゃ

やってみてごらん

大正解じゃ

２つの平方根のかけ算は、

１つにまとめて、

中の数字同士のかけ算をすればいいわけじゃな

ただし、この場合は、これで終わりじゃないんじゃよ

さらに計算ができるんじゃよ

それを説明するためには、

思い出してほしいことがあるんじゃ

平方根とは？の記事で、

正方形のコンビニの面積で解説したのを思い出してほしいんじゃ

面積１５m^２の正方形のコンビニの１辺は、

１５の平方根 \(　\sqrt{15}   \) で表すことができたんじゃったな

これを式で書くと、

\(　15 = \sqrt{15} × \sqrt{15}   \)

と書くことができたわけじゃ

第１回の記事ってなに？って方はこちらの記事のことじゃな

お〜い、ニャンコくん、記事をよろしく！

この式

\(　15 = \sqrt{15} × \sqrt{15}   \)

は、式の左から右に変形したと見ると

１５を２つの平方根のかけ算に分解している

と理解できるわけじゃ

面積から１辺を求める、

という考えの流れを、左から右に表現しているわけじゃな

では、この等式

\(　15 = \sqrt{15} × \sqrt{15}   \)

の、左右ひっくり返してみようかのぉ

すると

\(　 \sqrt{15} × \sqrt{15} ＝１５  \)

が成り立つわけじゃな

なぜかというと、

等式は、左右をひっくり返しても成り立つ

という数学のルールがあるからじゃ

ひっくり返した、この式の意味を考えてみてごらん

こういう時は、見たまんまでいいから、

言葉にしてみるのが役に立つんじゃよ

\(　 \sqrt{15} × \sqrt{15} ＝１５  \)

の式の左（左辺）を見ると、

同じ平方根のかけ算になっておるじゃろ

そして式の右側（右辺）を見ると

根号がなくなった１５

になっているわけじゃ

そして、左辺の平方根の中の数字１５と、

右辺の１５が一致していることもわかるわけじゃ

つまり、これらをまとめると、

同じ平方根のかけ算をすると、根号を取ることができる

といえるわけじゃな

このことから、平方根のかけ算の計算ルールに、

同じ平方根のかけ算についてのルールが導けるんじゃ

上のコンビニの面積の例だと、

\(　 \sqrt{15} × \sqrt{15} ＝１５  \)

だったわけじゃ

これは１５という数字に限らず、いろいろな数字で成り立つわけじゃな

だから、

\(　 \sqrt{a} × \sqrt{a} ＝ a  \)

と書けるわけじゃ

ちなみに、この計算ルールには、

付け加えて知っておくべきことがあるんじゃ

同じ平方根のかけ算に、

ちがう平方根のかけ算のルールを使ってみてほしいんじゃ

すると、

\(　 \sqrt{a} × \sqrt{a}  \)　

について、

２つの平方根のかけ算は、１つの平方根にまとめれたのぉ

じゃから、

\(　 \sqrt{a} × \sqrt{a} ＝ \sqrt{a × a} = \sqrt{a^2} \)・・・①

となるわけじゃ

一方、

\(　 \sqrt{a} × \sqrt{a}  \)　

について、同じ平方根のかけ算の計算ルールでは、

\(　 \sqrt{a} × \sqrt{a} ＝ a  \)・・・②

とも書けたわけじゃ

つまり、①と②より、これらをまとめると、

\(　 \sqrt{a^2} ＝ a  \)

ということが言えるんじゃよ

この意味はとても重要じゃ

平方根の中の数字が２乗になったら、平方根をとることができる

というわけじゃ

いい質問じゃ

根号をなくせる時の話を整理しておくかのぉ

コンビニの面積の例では、

\(　 \sqrt{a} × \sqrt{a} ＝ a  \)

という式で表現できていたわけじゃ

つまり、

２つの同じ平方根のかけ算があれば、平方根をはずせる

ということじゃった

今やったのは、

\(　 \sqrt{a^2} ＝ a  \)

１つの平方根の数字の中に、２乗があれば、平方根をはずせる、

ということなんじゃ

ちがっておるじゃろ？

平方根のかけ算のルールは、

平方根のかけ算をする時だけ使うわけじゃないんじゃよ

そこがポイントなんじゃ

そうなんじゃよ

そこが平方根の問題をむずかしく感じさせる原因でもあると思うんじゃ

例えば、以下の問題を考えてほしいんじゃ

\(　 \sqrt{2} × \sqrt{6} ＝ ? \)

ルールの使い方はシッカリできておる

でも、テストで、

\(　 \sqrt{12} \)

と答えに書いてしまったら、まちがいなんじゃよ

計算自体は、きちんとできておるよ

ただし、平方根の分野では、

平方根の中の数字は、できるだけ小さくする

というルールがあるんじゃよ

\(　 \sqrt{12} \)　の　平方根の中の数字１２は、

できるだけ小さくなっていない

だから、まちがい、ということになるんじゃ

そうなんじゃよ

じゃあ、どうやって、１２を小さくするかというと、

１２を素因数分解するのが早道じゃ

もし、素因数分解ってなに？って方は、

以下の解説記事を読んで理解してほしい

お〜い、ニャンコくん、素因数分解の解説記事を教えてくれる？

にゃんこくん、ありがとう！

話を元に戻すとするかのぉ

１２の素因数分解を考えておったわけじゃ

１２を素因数分解すると、

\(　 12 = 2 × 2 × 3 = 2^2 × 3 \)

と書けるわけじゃ

そうじゃな

では、素因数分解の結果を使って、

\(　 \sqrt{12} \)

を書き直してみる。すると、

\(　 \sqrt{12}  =  \sqrt{2^2 × 3} \)

となるわけじゃ

平方根のかけ算のルールを思い出すと

\(　 \sqrt{a} × \sqrt{b} ＝ \sqrt{a × b}  \)

があったのぉ

これは等式じゃから、左右を入れかえても成り立つのぉ

すると

\( \sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}  \)

となるじゃろ

つまり、

１つの平方根の中に、かけ算があったら、

２つの平方根に分解することができる

わけじゃな

そのとおりじゃ

さらに、

\(　 \sqrt{2^2} \)

を見てほしいんじゃ

これは、平方根のかけ算のルールで

\(　 \sqrt{a^2} ＝ a  \)

というのがあったじゃろ

これが使えるんじゃよ

大正解じゃ！

これで、平方根の中が、１２から３と小さくなったじゃろ？

３はこれ以上小さくならないので、ここでストップなんじゃ

さらに小さくできるかどうかは、

その数字を素因数分解してみて、２乗となる部分があるかを調べればオッケーじゃ

３は素因数分解したら　３＝１×３じゃから、

\(　\sqrt{3} \)　は、これ以上小さくならないわけじゃな

まとめてみるかのぉ

平方根のかけ算は、

①、かけ算の計算をする

②、平方根の中の数字を小さくする（素因数分解も使う）

という２つの計算が必要なんじゃ

そして、平方根のかけ算のルールは、

①だけじゃなくて、②にも使われる

というわけじゃな

平方根のかけ算は、このように、なんとも複雑なものなんじゃよ

だから、平方根ってむずかしい！

と思われる学生さんが多いんじゃ

そのとおりじゃ

じゃが、

①、平方根のかけ算のルール

②、平方根のかけ算の手順

③、素因数分解

を１つずつ、シッカリ身につけることで、

必ずできるようになるはずじゃ

最初はゆっくりでいいから、

１つずつルールや手順を確認しながらやってほしいんじゃ

そこを雑にやってしまうと、

少し難しい問題になった時に、あれ？となってしまうからのぉ

基本こそ丁寧に！

やってほしいんじゃな

慣れるまでは、式を省かないことじゃな

１つ１つの式展開を、シッカリ書いて、

なぜ、その式から次の式になるのか、

確認しながら解いていくことをオススメするかのぉ

解答などを見て、

ある式から、次の式に、なぜそう変形するかわからなかったら、

その理由をキチンとわかるようにすることじゃ

自分で調べるのいいし、先生や友達に聞くのも１つの手じゃな

もちろん数学おじさんに聞いてもオッケーじゃよ

というわけで、平方根のかけ算の解説は以上じゃな

お〜い、ザピエルくん、あとお願い！

おーそうじゃった

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具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ

ザピエルくんお願い！