【数学】平方根(へいほうこん)のかけ算って、どうやるの?【平方根 中3 中学数学】 

平方根 かけ算 数学おじさん oj3math 数学(中学校)
平方根 かけ算 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、「平方根(へいほうこん)」についての内容です

 

第2回として、

 

「平方根のかけ算」

 

について、解説してもらいたいと思います。

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう

 

平方根の2回目じゃな

 

今回は、

 

平方根のかけ算

 

についてじゃ

 

平方根でつまずく原因の1つには、

 

平方根のかけ算を、なんとなくやってしまっていることがあるんじゃ

 

平方根のかけ算は、平方根全体の基礎なんじゃ

 

ぜひシッカリ理解してほしい

 

トンちゃん
トンちゃん

先生、こんにちわブー

 

今日も平方根を習いにきたブー

 

数学おじさん
数学おじさん

トンちゃん、よくきたのぉ

 

今日も一緒にがんばろう!

 

トンちゃん
トンちゃん

はいブー

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回の記事を読むことで、

 

①、「平方根のかけ算」についてシッカリ理解できる

 

②、平方根のかけ算の使い方をわかる

 

といったメリットがあるわけですね。

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では解説をはじめるかのぉ

 

【数学】平方根(へいほうこん)のかけ算って、どうやるの?【平方根 中3 中学数学】

[mathjax]

数学おじさん
数学おじさん

まずは、第1回を思い出してほしいんじゃ

 

平方根とは?

 

というところを、

 

コンビニの面積を例にして解説したんじゃ

 

これが分かっていないと、

 

今回の内容は理解しづらいんじゃ

 

もし、平方根ってなんだっけ?

 

という方は、以下の記事を読んで、シッカリ理解してほしいんじゃ

 

それで理解できたら、この記事を読むというのがオススメじゃ

 

お〜い、ニャンコくん、第1回の記事を教えてくれる?

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

平方根の最初の一歩には、こちらの記事がおすすめにゃん

 

【数学】平方根(へいほうこん)ってなに?【平方根 中3 中学数学】 』

 

数学おじさん
数学おじさん

ニャンコくん、ありがとう

数学おじさん
数学おじさん

詳しい解説に入る前に、全体像をまとめておくかのぉ

 

全体は、4つのパートに分かれておるんじゃ

 

1、平方根と数字のかけ算のやり方

 

2、平方根と平方根のかけ算のやり方

 

3、同じ平方根同士のかけ算

 

4、平方根のかけ算のルールは、かけ算以外でも活躍する

 

といった流れになっておるんじゃ

 

これを意識して読んでもらうと、分かりやすくなるかと思うんじゃ

 

では、くわしい解説をはじめるかのぉ

「平方根」と「普通の数字」のかけ算のやり方

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、平方根と、普通の数字のかけ算を考えてみるかのぉ

 

例えば、

 

\(  \sqrt{3} × 2  \)

 

\( 2 × \sqrt{3}   \)

のような計算じゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

これらの場合は、どうするんだブー?

数学おじさん
数学おじさん

平方根と普通の数字は、例えると、異次元の数字同士なんじゃ

 

じゃから、

 

\(  \sqrt{3} × 2  = \sqrt{3× 2}  \) (←まちがい)

 

のように、

 

数字同士を、そのままかけ算することはできないんじゃ

 

じゃから、

 

平方根と、普通の数字は、かけ算できない

 

というのがルールなんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

へぇ〜

 

じゃあ、式はこのままでいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

式の書き方にルールがあるんじゃ

 

平方根と普通の数字のかけ算は、

 

①、数字を先に書いて、後ろに平方根を書く

 

②、かけ算は省略する

 

という書き方をするのが一般的じゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

ということは、

 

\( 2 × \sqrt{3}  = 2\sqrt{3}  \)

 

\(  \sqrt{3} × 2  = 2\sqrt{3}  \)

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

話が別の単元になるんじゃが、

 

文字と式のところで、

 

数字と文字のかけ算について習ったじゃろ

 

例えば、

 

\( 2 × x  \) とか \(  x × 2   \)

 

じゃな

 

これらは、

 

①、数字を前に書き、文字は後ろに書く

 

②、かけ算は省略する

 

という書き方のルールがあったわけじゃ

 

つまり、

 

\( 2 × x = 2x  \)

 

\(  x × 2  = 2x  \)

 

というわけじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

平方根は、文字みたいな感覚で扱っているんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

これが、数字と平方根のかけ算のルールじゃな

 

では次は、平方根同士のかけ算について解説するかのぉ

 

トンちゃん
トンちゃん

はい!お願いします!

「平方根同士」のかけ算のやり方とは

数学おじさん
数学おじさん

平方根同士のかけ算の計算の仕方は、この公式を理解してほしいんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

平方根のかけ算の規則

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}  \)

 

トンちゃん
トンちゃん

なんですか?これ

数学おじさん
数学おじさん

日本語で説明すると以下じゃな

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}  \)

 

この式は、2つの平方根のかけ算のルールを表しておるわけじゃ

 

この意味じゃが、

 

2つの平方根のかけ算は、

 

1つの平方根にまとめることができる

 

ということを言っておる

 

そして、

 

1つにまとめた平方根の中の数字は、

 

元の2つの平方根の中の数字のかけ算になる

 

というわけじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

例えば、

 

\(  \sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3 × 5}   \)

 

のように、計算できるわけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

この式はさらに計算することができるんじゃよ

 

こんな感じじゃ

 

\(  \sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3 × 5} = \sqrt{15}   \)

 

つまり、

 

2つの平方根を1つの平方根にまとめれば、

 

中の数字を、ふつうの数字の計算(3×5=15)と同じように、

 

かけ算していいわけじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

では次は、2つの平方根のかけ算の特別な場合を考えてみるかのぉ

 

特別というのは、2つの平方根が同じものの場合じゃ

 

「同じ平方根同士」のかけ算のやり方とは

 

数学おじさん
数学おじさん

同じ平方根のかけ算というのは、

 

例えば、\(  \sqrt{3} × \sqrt{3}   \) のような

 

中の数字が同じ平方根のかけ算のことじゃな

 

この時、どう計算すればいいか?

 

という話じゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

同じ平方根同士でも、かけ算には違いないので、

 

上の計算ルールを使うことができますよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

やってみてごらん

 

トンちゃん
トンちゃん

えっと〜

 

\(  \sqrt{3} × \sqrt{3} =   \sqrt{3 × 3} = \sqrt{9} \)

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ

 

2つの平方根のかけ算は、

 

1つにまとめて、

 

中の数字同士のかけ算をすればいいわけじゃな

 

ただし、この場合は、これで終わりじゃないんじゃよ

 

さらに計算ができるんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

え どういうことですか?

数学おじさん
数学おじさん

それを説明するためには、

 

思い出してほしいことがあるんじゃ

同じ平方根のかけ算をすると、根号をなくすことができる

 

数学おじさん
数学おじさん

平方根とは?の記事で、

 

正方形のコンビニの面積で解説したのを思い出してほしいんじゃ

 

面積15mの正方形のコンビニの1辺は、

 

15の平方根 \( \sqrt{15}   \) で表すことができたんじゃったな

 

これを式で書くと、

 

\( 15 = \sqrt{15} × \sqrt{15}   \)

 

と書くことができたわけじゃ

 

第1回の記事ってなに?って方はこちらの記事のことじゃな

 

お〜い、ニャンコくん、記事をよろしく!

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

平方根とは?を理解するには、こちらの記事がおすすめにゃん

 

【数学】平方根(へいほうこん)ってなに?【平方根 中3 中学数学】 』

 

トンちゃん
トンちゃん

はい!たしかにそうですね!

 

でも、これがどんな意味があるんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

この式

 

\( 15 = \sqrt{15} × \sqrt{15}   \)

 

は、式の左から右に変形したと見ると

 

15を2つの平方根のかけ算に分解している

 

と理解できるわけじゃ

 

面積から1辺を求める

 

という考えの流れを、左から右に表現しているわけじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

では、この等式

 

\( 15 = \sqrt{15} × \sqrt{15}   \)

 

の、左右ひっくり返してみようかのぉ

 

すると

 

\(  \sqrt{15} × \sqrt{15} =15  \)

 

が成り立つわけじゃな

 

なぜかというと、

 

等式は、左右をひっくり返しても成り立つ

 

という数学のルールがあるからじゃ

 

ひっくり返した、この式の意味を考えてみてごらん

 

トンちゃん
トンちゃん

\(  \sqrt{15} × \sqrt{15} =15  \)

 

 

えっと〜・・・

 

よくわからないブー(笑)

 

数学おじさん
数学おじさん

こういう時は、見たまんまでいいから、

 

言葉にしてみるのが役に立つんじゃよ

 

\(  \sqrt{15} × \sqrt{15} =15  \)

 

の式の左(左辺)を見ると、

 

同じ平方根のかけ算になっておるじゃろ

 

そして式の右側(右辺)を見ると

 

根号がなくなった15

 

になっているわけじゃ

 

そして、左辺の平方根の中の数字15と、

 

右辺の15が一致していることもわかるわけじゃ

 

つまり、これらをまとめると、

 

同じ平方根のかけ算をすると、根号を取ることができる

 

といえるわけじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

あ〜たしかにそうですね!

数学おじさん
数学おじさん

このことから、平方根のかけ算の計算ルールに、

 

同じ平方根のかけ算についてのルールが導けるんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

平方根のかけ算のルール(同じ平方根のとき)

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{a} = a  \)

 

トンちゃん
トンちゃん

え、なんでこうなるんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

上のコンビニの面積の例だと、

 

\(  \sqrt{15} × \sqrt{15} =15  \)

 

だったわけじゃ

 

これは15という数字に限らず、いろいろな数字で成り立つわけじゃな

 

だから、

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{a} = a  \)

 

と書けるわけじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

ちなみに、この計算ルールには、

 

付け加えて知っておくべきことがあるんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なんですか?

数学おじさん
数学おじさん

同じ平方根のかけ算に、

 

ちがう平方根のかけ算のルールを使ってみてほしいんじゃ

 

すると、

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{a}  \) 


について、

 

2つの平方根のかけ算は、1つの平方根にまとめれたのぉ

 

じゃから、

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{a} = \sqrt{a × a} = \sqrt{a^2} \)・・・①

 

となるわけじゃ

 

一方、

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{a}  \) 

 

について、同じ平方根のかけ算の計算ルールでは、

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{a} = a  \)・・・②

 

とも書けたわけじゃ

 

つまり、①と②より、これらをまとめると、

 

\(  \sqrt{a^2} = a  \)

 

ということが言えるんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

あ!たしかにそうなりますね!

 

でもこれは、どんな意味があるんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

この意味はとても重要じゃ

 

平方根の中の数字が2乗になったら、平方根をとることができる

 

というわけじゃ

数学おじさん
数学おじさん

平方根の中に2乗があるときのルール

 

\(  \sqrt{a^2} = a  \)

 

トンちゃん
トンちゃん

上のコンビニの面積の時も、平方根をとることができましたね!

 

それとは、どう、ちがうんだブー?

 

数学おじさん
数学おじさん

いい質問じゃ

 

根号をなくせる時の話を整理しておくかのぉ

 

コンビニの面積の例では、

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{a} = a  \)

 

という式で表現できていたわけじゃ

 

つまり、

 

2つの同じ平方根のかけ算があれば、平方根をはずせる

 

ということじゃった

 

今やったのは、

 

\(  \sqrt{a^2} = a  \)

 

1つの平方根の数字の中に、2乗があれば、平方根をはずせる

 

ということなんじゃ

 

ちがっておるじゃろ?

 

トンちゃん
トンちゃん

はい!わかりました!

 

でも、これらのルールって、どんな時に役立つんですか?

 

平方根のかけ算のルールは、かけ算以外でも活躍する

数学おじさん
数学おじさん

平方根のかけ算のルールは、

 

平方根のかけ算をする時だけ使うわけじゃないんじゃよ

 

そこがポイントなんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

かけ算のルールなのに、

 

かけ算以外の時にも使うんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

そこが平方根の問題をむずかしく感じさせる原因でもあると思うんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

具体的には、どんな問題ですか?

数学おじさん
数学おじさん

例えば、以下の問題を考えてほしいんじゃ

 

\(  \sqrt{2} × \sqrt{6} = ? \)

トンちゃん
トンちゃん

えっと

 

ちがう平方根のかけ算だから、

 

ちがう平方根のかけ算のルールに従って計算すればいいわけですね!

 

\(  \sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{2 × 6} = \sqrt{12} \)

 

これでオッケーですよね?

 

数学おじさん
数学おじさん

ルールの使い方はシッカリできておる

 

でも、テストで、


\(  \sqrt{12} \)

 

と答えに書いてしまったら、まちがいなんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

え!なんでだブー!?

 

きちんと計算できてるブー?

 

数学おじさん
数学おじさん

計算自体は、きちんとできておるよ

 

ただし、平方根の分野では、

 

平方根の中の数字は、できるだけ小さくする

 

というルールがあるんじゃよ

 

\(  \sqrt{12} \) の 平方根の中の数字12は、


できるだけ小さくなっていない

 

だから、まちがい、ということになるんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

えーなんかややこしいですねぇ

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

じゃあ、どうやって、12を小さくするかというと、

 

12を素因数分解するのが早道じゃ

 

もし、素因数分解ってなに?って方は、

 

以下の解説記事を読んで理解してほしい

 

お〜い、ニャンコくん、素因数分解の解説記事を教えてくれる?

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう!

 

話を元に戻すとするかのぉ

 

12の素因数分解を考えておったわけじゃ

 

12を素因数分解すると、

 

\(  12 = 2 × 2 × 3 = 2^2 × 3 \)

 

と書けるわけじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

でも、今は、12じゃなくて

 

\(  \sqrt{12} \)

 

を考えてるブー?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

では、素因数分解の結果を使って、

 

\(  \sqrt{12} \)

 

を書き直してみる。すると、

 

\(  \sqrt{12}  =  \sqrt{2^2 × 3} \)

 

となるわけじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

あ!たしかにそうですね!

 

でも、なんで、わざわざ、そんなことするんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

平方根のかけ算のルールを思い出すと

 

\(  \sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}  \)

 

があったのぉ

 

これは等式じゃから、左右を入れかえても成り立つのぉ

 

すると

 

\( \sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}  \)

 

となるじゃろ

 

つまり、

 

1つの平方根の中に、かけ算があったら、

 

2つの平方根に分解することができる

 

わけじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

ということは、

 

\(  \sqrt{12}  =  \sqrt{2^2 × 3} =  \sqrt{2^2} ×\sqrt{3} \)

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

さらに、

 

\(  \sqrt{2^2} \)

 

を見てほしいんじゃ

 

これは、平方根のかけ算のルールで

 

\(  \sqrt{a^2} = a  \)

 

というのがあったじゃろ

 

これが使えるんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほど!それを使うと

 

\(  \sqrt{12}  =  \sqrt{2^2 × 3} \)

 

\(  =  \sqrt{2^2} × \sqrt{3} \)

 

\(  = 2\sqrt{3} \)

 

となりました!これでいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

これで、平方根の中が、12から3と小さくなったじゃろ?

 

3はこれ以上小さくならないので、ここでストップなんじゃ

 

さらに小さくできるかどうかは、

 

その数字を素因数分解してみて、2乗となる部分があるかを調べればオッケーじゃ

 

3は素因数分解したら 3=1×3じゃから、

 

\( \sqrt{3} \) は、これ以上小さくならないわけじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

まとめてみるかのぉ

 

平方根のかけ算は、

 

①、かけ算の計算をする

 

②、平方根の中の数字を小さくする(素因数分解も使う)

 

という2つの計算が必要なんじゃ

 

そして、平方根のかけ算のルールは、

 

①だけじゃなくて、②にも使われる

 

というわけじゃな

 

平方根のかけ算は、このように、なんとも複雑なものなんじゃよ

 

だから、平方根ってむずかしい!

 

と思われる学生さんが多いんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

平方根のかけ算って、数字のかけ算と比べると、

 

とっても複雑なんだブーね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

じゃが、

 

①、平方根のかけ算のルール

 

②、平方根のかけ算の手順

 

③、素因数分解

 

を1つずつ、シッカリ身につけることで、

 

必ずできるようになるはずじゃ

 

最初はゆっくりでいいから、

 

1つずつルールや手順を確認しながらやってほしいんじゃ

 

そこを雑にやってしまうと、

 

少し難しい問題になった時に、あれ?となってしまうからのぉ

 

基本こそ丁寧に!

 

やってほしいんじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

わかりました!

 

1問1問、丁寧にやってみるブー!

 

具体的には、どう、やったらいいですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

慣れるまでは、式を省かないことじゃな

 

1つ1つの式展開を、シッカリ書いて、

 

なぜ、その式から次の式になるのか、

 

確認しながら解いていくことをオススメするかのぉ

 

解答などを見て、

 

ある式から、次の式に、なぜそう変形するかわからなかったら、

 

その理由をキチンとわかるようにすることじゃ

 

自分で調べるのいいし、先生や友達に聞くのも1つの手じゃな

 

もちろん数学おじさんに聞いてもオッケーじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

わかったブー

 

書くのはめんどくさいけど、

 

慣れるまでは、シッカリ書いて、

 

手順を確認しながらやっていくブー

 

数学おじさん
数学おじさん

というわけで、平方根のかけ算の解説は以上じゃな

 

お〜い、ザピエルくん、あとお願い!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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