【数学】平行と線分比をシッカリわかると、メネラウスの定理を深く理解できるよ【平面図形 中学数学 高校数学】

メネラウスの定理 なし 平行 線分比 数学おじさん oj3math 図形
メネラウスの定理 なし 平行 線分比 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

今回は、メネラウスの定理を使える図形を、

 

メネラウスの定理を使わずに、解いてみようかと思うんじゃ

 

具体的には、以下の問題じゃ

メネラウスの定理 問題 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

問題:AF : BF = 3 : 2,  BD : CD = 1 : 3,  AE : CE = 1 : 2 のとき、

 

メネラウスの定理を使わずに、

 

AX : DX を求めてください

 

これは、メネラウスの定理を使える問題なんじゃが、

 

今回は、メネラウスの定理を使わずに、解いてみようかと思うんじゃよ

 

トンちゃん
トンちゃん

メネラウスの定理を使えばいいのに、

 

なぜ、わざわざ、使わないで解くんだブー?

 

理由は、メネラウスの定理をより深く知ることができるからなんじゃよ

 

メネラウスの定理をよりシッカリ理解できるようになるので、

 

サクッと使えるようになるはずじゃ

 

また、「メネラウスの定理の証明」も、スムーズに理解できるんじゃよ

 

また、メネラウスの定理というのは、

 

平行と線分比の考え方を、特別な図形のときに限定して便利にしたもの

 

ということがわかってもらえるかと思うんじゃな

 

トンちゃん
トンちゃん

え、どういうことですか?

 

メネラウスの定理というのは、平行と線分比の考え方の一部、ということなんじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

といっても具体的に解説しないと、何言ってるかわかりにくいじゃろうから、

 

さっそく、具体的に解説をしていくかのぉ

 

【数学】平行と線分比をシッカリわかると、メネラウスの定理を深く理解できるよ【平面図形 中学数学 高校数学】

今回の話を理解するためには、

 

「平行」と「線分比」の関係について、理解していないとダメなんじゃよ

 

もし、なにそれ?

 

って方は、以下で解説しておるので、いちど読んで理解すると、

 

今回の内容が、スーッと頭に入ってくるはずじゃ

 

おーい、にゃんこくん、平行と線分比の関係について、教えてくれる!?

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

はーい、先生!

 

「平行」と「線分比」の関係についての解説記事はこちらニャン

 

【数学】「平行」と「線分比」の関係についてまとめました 知っておくと応用がきくよ【平面図形 中学数学 高校数学】

 

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう

 

問題をもう一度、確認しておこうかのぉ

メネラウスの定理 問題 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

問題:AF : BF = 3 : 2,  BD : CD = 1 : 3,  AE : CE = 1 : 2 のとき、

 

メネラウスの定理を使わずに、

 

AX : DX を求めてください

 

実はこの問題は、平行と線分比の関係で解くことができるんじゃ

 

ただし、1本補助線を入れる必要があるんじゃ

 

ここは思いつくのは難しいじゃろうから、とりあえず下の図をみてほしいんじゃ

 

メネラウスの定理 なし1 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

補助線というのは、線分DG(青線)のことじゃな

 

線分DGは、線分BE(紫)と平行に引かれた補助線なんじゃな

 

なぜ、この補助線を書いたかというと、

 

この補助線があると、平行と線分比の関係をうまく使えるからなんじゃ

 

具体的に見ていくかのぉ

 

まず、AX : XD を考えてみるかのぉ

 

図で考えると、AX : XD というのは、以下の感じじゃ

メネラウスの定理 なし4 数学おじさん oj3math

 

この図を少し書き換えてみると、このようになるんじゃ

メネラウスの定理 なし2 数学おじさん oj3math

この図は、さっきと同じ図なんじゃが、不要な線などを消したんじゃ

 

線分XEと線分DGは平行じゃから、平行と線分比の関係から、

 

AX : XD  =  AE : EG

 

が言えるわけじゃな

 

同じものじゃが、分数の形で書いておくと、

[mathjax]

\(  \frac{AX}{XD}  =  \frac{AE}{EG} \) ・・・式(1)

 

となるわけじゃ(これを、式(1)とするかのぉ)

 

数学おじさん
数学おじさん

もう1つ、別の線分比を考えてみるかのぉ

つまり、BD : BC を考えてみたいんじゃ

 

ちなみに、これは問題から、

 

BD :  BC  =  1 : 3

 

とわかっておるんじゃな

メネラウスの定理 なし5 数学おじさん oj3math

 

このとき、以下のような図を考えてほしいんじゃ

メネラウスの定理 なし3 数学おじさん oj3math

この図を考えてみると、線分BEと線分DGは平行じゃから、

 

BD : BC  = EG :  CE

 

となるわけじゃ

 

同じものを、分数の形で書いておくと、

 

\(  \frac{BD}{BC}  =  \frac{EG}{CE} \) ・・・式(2)

 

と書けるわけじゃ(これを、式(2)とする)

 

数学おじさん
数学おじさん

最後にもう1つ、別の線分比を考えてみるかのぉ

メネラウスの定理 なし6 数学おじさん oj3math

ここで新しく考えた線分比は、CE :  AE じゃな

 

分数で書くと、

 

\(  \frac{CE}{AE}  =  \frac{CE}{AE} \) ・・・式(3)

 

同じものを、あえて、=でつないで、2つ書いているんじゃ

 

なぜかは、次を読んでもらえれば分かるはずじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

ここで、得られた3つの式をまとめると、以下じゃ

\(  \frac{AX}{XD}  =  \frac{AE}{EG} \) ・・・式(1)

\(  \frac{BD}{BC}  =  \frac{EG}{CE} \) ・・・式(2)

\(  \frac{CE}{AE}  =  \frac{CE}{AE} \) ・・・式(3)

 

ここで、これら3つの式の、左辺は左辺同士、右辺は右辺同士、

 

かけ算して、1つの式にまとめてみると、以下になるんじゃ

 

例えば、

1=

2=

3=

の式があったら、

1×2×3=××

という感じで1つの式にできるわけじゃな

 

これを、上の式(1)(2)(3)でやると、以下じゃ

 

\(  \frac{AX}{XD} × \frac{BD}{BC} × \frac{CE}{AE}  =  \frac{AE}{EG} × \frac{EG}{CE} × \frac{CE}{AE} \) 

 

となるわけじゃ。この式はだいじょうぶかの

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、この右辺をみてほしいんじゃ

 

約分してみると、右辺はなんと、1になるんじゃよ

 

ここがポイントなんじゃな

 

\(  \frac{AX}{XD} × \frac{BD}{BC} × \frac{CE}{AE}  =  1 \)・・・式(4) 

 

さらにここで、問題から、わかっている線分比があるから使ってみようかのぉ

\(  \frac{BD}{BC}  = \frac{1}{4} \) 

\(  \frac{CE}{AE}  = \frac{2}{1} \) 

というわけじゃ

 

これを上の式(4)に代入すると、

 

\(  \frac{AX}{XD} × \frac{BD}{BC} × \frac{CE}{AE}  =  1 \) 

 

\(  \frac{AX}{XD} × \frac{1}{4} × \frac{2}{1} =  1 \) 

 

これを計算すると、

 

\(  \frac{AX}{XD}  = \frac{2}{1} \) 

 

となるわけじゃ

 

これより、AX :  XD  =  2  :  1

 

と求めることができたわけじゃ

 

トンちゃん
トンちゃん

あ、メネラウスの定理で解いた時と同じ答えが出ました!

そうなんじゃよ

 

メネラウスの定理を使わずとも、平行と線分比の関係を使うことで、

 

同じ答えが導けたわけじゃな

 

(ちなみに、メネラウスの定理を使った解法は、

 

以下のリンクから解説記事があるんじゃ)

 

トンちゃん
トンちゃん

なるほどです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

これをふまえると、

 

メネラウスの定理の証明の証明が、すごくよくわかるんじゃよ

 

というわけで、続きは以下の記事で読んでもらえるかのぉ

 

おーい、にゃんこくん、お願い!

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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