今回は、メネラウスの定理を使える図形を、
メネラウスの定理を使わずに、解いてみようかと思うんじゃ
具体的には、以下の問題じゃ
問題：AF : BF = 3 : 2, BD : CD = 1 : 3, AE : CE = 1 : 2 のとき、
メネラウスの定理を使わずに、
AX : DX を求めてください
これは、メネラウスの定理を使える問題なんじゃが、
今回は、メネラウスの定理を使わずに、解いてみようかと思うんじゃよ
メネラウスの定理を使えばいいのに、
なぜ、わざわざ、使わないで解くんだブー？
理由は、メネラウスの定理をより深く知ることができるからなんじゃよ
メネラウスの定理をよりシッカリ理解できるようになるので、
サクッと使えるようになるはずじゃ
また、「メネラウスの定理の証明」も、スムーズに理解できるんじゃよ
また、メネラウスの定理というのは、
平行と線分比の考え方を、特別な図形のときに限定して便利にしたもの
ということがわかってもらえるかと思うんじゃな
え、どういうことですか？
メネラウスの定理というのは、平行と線分比の考え方の一部、ということなんじゃ
なるほどです！
といっても具体的に解説しないと、何言ってるかわかりにくいじゃろうから、
さっそく、具体的に解説をしていくかのぉ
【数学】平行と線分比をシッカリわかると、メネラウスの定理を深く理解できるよ【平面図形 中学数学 高校数学】
今回の話を理解するためには、
「平行」と「線分比」の関係について、理解していないとダメなんじゃよ
もし、なにそれ？
って方は、以下で解説しておるので、いちど読んで理解すると、
今回の内容が、スーッと頭に入ってくるはずじゃ
おーい、にゃんこくん、平行と線分比の関係について、教えてくれる！？
にゃんこくん、ありがとう
問題をもう一度、確認しておこうかのぉ
問題：AF : BF = 3 : 2, BD : CD = 1 : 3, AE : CE = 1 : 2 のとき、
メネラウスの定理を使わずに、
AX : DX を求めてください
実はこの問題は、平行と線分比の関係で解くことができるんじゃ
ただし、１本補助線を入れる必要があるんじゃ
ここは思いつくのは難しいじゃろうから、とりあえず下の図をみてほしいんじゃ
補助線というのは、線分DG（青線）のことじゃな
線分DGは、線分BE（紫）と平行に引かれた補助線なんじゃな
なぜ、この補助線を書いたかというと、
この補助線があると、平行と線分比の関係をうまく使えるからなんじゃ
具体的に見ていくかのぉ
まず、AX : XD を考えてみるかのぉ
図で考えると、AX : XD というのは、以下の感じじゃ
この図を少し書き換えてみると、このようになるんじゃ
この図は、さっきと同じ図なんじゃが、不要な線などを消したんじゃ
線分XEと線分DGは平行じゃから、平行と線分比の関係から、
AX : XD = AE : EG
が言えるわけじゃな
同じものじゃが、分数の形で書いておくと、
[mathjax]
\( \frac{AX}{XD} = \frac{AE}{EG} \) ・・・式（１）
となるわけじゃ（これを、式（１）とするかのぉ）
もう１つ、別の線分比を考えてみるかのぉ
つまり、BD : BC を考えてみたいんじゃ
ちなみに、これは問題から、
BD : BC = 1 : 3
とわかっておるんじゃな
このとき、以下のような図を考えてほしいんじゃ
この図を考えてみると、線分BEと線分DGは平行じゃから、
BD : BC = EG : CE
となるわけじゃ
同じものを、分数の形で書いておくと、
\( \frac{BD}{BC} = \frac{EG}{CE} \) ・・・式（２）
と書けるわけじゃ（これを、式（２）とする）
最後にもう１つ、別の線分比を考えてみるかのぉ
ここで新しく考えた線分比は、CE : AE じゃな
分数で書くと、
\( \frac{CE}{AE} = \frac{CE}{AE} \) ・・・式（３）
同じものを、あえて、＝でつないで、２つ書いているんじゃ
なぜかは、次を読んでもらえれば分かるはずじゃ
ここで、得られた３つの式をまとめると、以下じゃ
\( \frac{AX}{XD} = \frac{AE}{EG} \) ・・・式（１）
\( \frac{BD}{BC} = \frac{EG}{CE} \) ・・・式（２）
\( \frac{CE}{AE} = \frac{CE}{AE} \) ・・・式（３）
ここで、これら３つの式の、左辺は左辺同士、右辺は右辺同士、
かけ算して、１つの式にまとめてみると、以下になるんじゃ
例えば、
１＝１
２＝２
３＝３
の式があったら、
１×２×３＝１×２×３
という感じで１つの式にできるわけじゃな
これを、上の式（１）（２）（３）でやると、以下じゃ
\( \frac{AX}{XD} × \frac{BD}{BC} × \frac{CE}{AE} = \frac{AE}{EG} × \frac{EG}{CE} × \frac{CE}{AE} \)
となるわけじゃ。この式はだいじょうぶかの
まずは、この右辺をみてほしいんじゃ
約分してみると、右辺はなんと、１になるんじゃよ
ここがポイントなんじゃな
\( \frac{AX}{XD} × \frac{BD}{BC} × \frac{CE}{AE} = 1 \)・・・式（４）
さらにここで、問題から、わかっている線分比があるから使ってみようかのぉ
\( \frac{BD}{BC} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{CE}{AE} = \frac{2}{1} \)
というわけじゃ
これを上の式（４）に代入すると、
\( \frac{AX}{XD} × \frac{BD}{BC} × \frac{CE}{AE} = 1 \)
\( \frac{AX}{XD} × \frac{1}{4} × \frac{2}{1} = 1 \)
これを計算すると、
\( \frac{AX}{XD} = \frac{2}{1} \)
となるわけじゃ
これより、AX : XD = 2 : 1
と求めることができたわけじゃ
あ、メネラウスの定理で解いた時と同じ答えが出ました！
そうなんじゃよ
メネラウスの定理を使わずとも、平行と線分比の関係を使うことで、
同じ答えが導けたわけじゃな
（ちなみに、メネラウスの定理を使った解法は、
以下のリンクから解説記事があるんじゃ）
なるほどです！
これをふまえると、
メネラウスの定理の証明の証明が、すごくよくわかるんじゃよ
というわけで、続きは以下の記事で読んでもらえるかのぉ
おーい、にゃんこくん、お願い！
はーい、先生！
メネラウスの定理の解説は、こちらの記事だにゃん
『【数学】「メネラウスの定理」のわかりやすい覚え方から、問題の解き方、証明の仕方など、コツをまとめました【平面図形 中学数学 高校数学】』
今日はこれくらいにするかのぉ
あ、先生！告知をさせてください
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ザピエルくんお願い！
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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