【数学・質問解答】分数の数列の和の求め方（部分分数分解）【高校数学数列数学A】（質問ありがとうございます！）

今回は、こんな質問をいただきました↓

むずかしくみえるかもしれませんが、よ～くみると、これは「分数のたし算」とみることができます。

ただし、項がたくさんあったり、文字ｎを含んでいます。

なので、求める S は、ｎを使って表現することになります。

また、分母の変化のしかたに規則性があります。

1項目は１、2項目は１＋２、となっていて、

ｎ項目は１＋２＋・・・＋ｎと規則的に変化していることもわかります。

１～ｎ項の間の第ｋ項の分母は、１＋２＋３＋・・・＋ｋ　と表現できそうです

このような「文字を使った分数のたし算」は、

「部分分数分解（ぶぶんぶんすうぶんかい）」という解き方があります。

そこで本記事では、部分分数分解の考え方をまじえながら、解答解説をまとめたいと思います。

【数学・質問解答】分数の数列の和の求め方（部分分数分解）【高校数学数学数学A】（質問ありがとうございます！）

[mathjax]

まず解答だけでいい！って方はこちらをどうぞ↓

解説をしていきますね。

ポイント１：「∑ （シグマ）の記号」

まず知っておかないといけないのが、「∑ （シグマ）の記号」です。

∑ は、たくさんのたし算をかんたんに書くために使われます。

むずかしそうにみえますが、じつはラクするために使われている記号なんですね＾＾

ポイント２：自然数の和の公式

つぎに、「自然数の和」についてです。

自然数の和というのは、

１＋２＋３＋・・・＋ｎ

ってやつです。

自然数の和の求め方は、こちらをどうぞ↓

（結果だけ書いておくと）

「自然数の和の公式」と呼ばれるもので、

\(１＋２＋３＋・・・＋ｎ=\frac{n(n+1)}{2}\)

となります。

この２つをふまえて、問題の式を変形してみたいと思います。

次の和 S を求めてください

\( S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + … + \frac{1}{1+2+3+…+n} \)

このSについて、自然数の和の公式

\( １＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ \frac{1}{2}n(n+1) \)

を使って書き換えてみます。

\( S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + … + \frac{1}{1+2+3+…+n} \)

\(＝ 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + … + \frac{1}{\frac{1}{2}n(n+1)} \)

\(＝ 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + … + \frac{2}{n(n+1)} \)

\(＝ \frac{1}{1} + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + … + \frac{2}{n(n+1)} \)

\(＝ \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} \)

\(＝ 2\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \)

と変形することができます。

ここからは、最初に紹介した「部分分数分解」のテクニックが使えます。

ポイント３：部分分数分解とは？

\( \frac{1}{k(k+1)} \)

は、以下のように変形することができます。

\( \frac{1}{k(k+1)} \)

\( = \frac{1}{k} － \frac{1}{(k+1)} \)

（逆に計算してみて、成り立つか確かめてみましょう☆）

この変形の特徴は、２点あります。

①、１つの分数を、２つの分数にわけている

②、２つの分数の引き算にしている

このような変形を、「部分分数分解」と呼んでいます。

でも、こんな変形して、なんの意味があるの？

と思われるかもしれません。

実は、たくさんの項の和を求める時に威力を発揮するんです。

どういうことか、以下の変形をみてみてください♪

\( 2\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \)

まず部分分数分解します。

\(＝ 2\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} － \frac{1}{(k+1)} ) \)

∑の記号を使わずに書きなおしてみます。

\(＝ 2 ×\{ ( \frac{1}{1} － \frac{1}{2}) + ( \frac{1}{2} － \frac{1}{3}) + …　+ ( \frac{1}{n-1} － \frac{1}{n}) + ( \frac{1}{n} － \frac{1}{n+1}) \}\)

（　）の場所をかえてみます。

\(＝ 2 ×\{ \frac{1}{1} + ( \frac{1}{2} ー \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} － \frac{1}{3}) + …　+ (\frac{1}{n-1} － \frac{1}{n-1}) + (\frac{1}{n}－\frac{1}{n}) － \frac{1}{n+1}) \}\)

＋とーの絶対値が等しい分数があり、それらを互いに計算すると、ゼロになります。

\(＝ 2 ×\{ \frac{1}{1} － \frac{1}{n+1}) \}\)

残ったのは、この２項だけです！

もう少し計算して整理します。

\(＝ \frac{2}{n+1} \)

となり、これが答えになります。

今回の計算のポイントをまとめたいと思います。

\( S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + … + \frac{1}{1+2+3+…+n} \)

自然数の和の公式を使います。

\(＝ 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + … + \frac{2}{n(n+1)} \)

∑で書きなおしてみます（見通しがよくなります）

\(＝ 2\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \)

部分分数分解をします。

\(＝ 2\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} － \frac{1}{(k+1)} ) \)

∑を使わずに書いてみます。

\(＝ 2 ×\{ ( \frac{1}{1} － \frac{1}{2}) + ( \frac{1}{2} － \frac{1}{3}) + …　+ ( \frac{1}{n-1} － \frac{1}{n}) + ( \frac{1}{n} － \frac{1}{n+1}) \}\)

同じ絶対値の分数同士を計算します。

\(＝ 2 ×\{ \frac{1}{1} － \frac{1}{n+1}) \}\)

残ったのは、最初と最後の項だけです。これを整理して、

\(S　＝ \frac{2}{n+1} \)

が答えになります。

まとめ

部分分数分解をすることで、１つだったものを２つにわけ、引き算にかえれることがわかりました。

すると多くの項がたがいに消えて、少しの項だけが残りました。

これが、部分分数分解のメリットだったわけです。

部分分数分解は、入試ではよく見る典型的なパターンですので、シッカリ理解してくださいね☆

というわけで、今回は、部分分数分解をつかった数列の和の問題の解説をしました。

こちらもどうぞ↓

『【数学・質問解答】分数の数列の和の求め方（部分分数分解）【高校数学数列数学A】（質問ありがとうございます！）』

『【数学】分数の部分分数分解の問題にはこちらをどうぞ【高校数学数列数学A】』

『【数学】「部分分数分解」すると「極限」を求めることができるよ【高校数学数３極限】』

数学おじさん

今日のお話はこれくらいにするかのぉ

秘書ザピエル

あ、先生！告知をさせてください

数学おじさん

おーそうじゃった

秘書ザピエル

実はいろんなお悩みを聞いているんです

質問くまさん

勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ

シャンシャン

わからない問題があると、やる気なくしちゃう

ハッチくん

１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン

数学おじさん

誰しもそんな経験があると思います。

実は、そんなあなたが

勉強が継続できる

成績アップ、志望校合格できる

勉強を楽しめるようになる

ためのペースメーカーをやっています。

あなたの勉強のお手伝いをしますってことです。

具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ

ザピエルくんお願い！

秘書ザピエル

はい先生！

ペースメーカーというのは、

もしもあなたが、

やる気が続かない
励ましてほしい
勉強を教えてほしい

なら、私たちが、あなたのために、

一緒に勉強する（丸つけや解説する）ことをやりながら、

あなたの勉強をサポートするという仕組みです。

やる気を継続したい
成績をアップさせたい
楽しく勉強したい

といったあなたに特にオススメです。

できるだけ楽しみながら勉強できるように工夫しています。

ご興味のあるあなたは、詳しことはこちらにありますので、よかったらどうぞ↓

「【中学生高校生社会人】勉強のペースメーカーはいかがでしょう【受験入試資格試験】」

不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください

数学おじさん

というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！

秘書ザピエル

はーい、先生！数学おじさん、秘書のザピエルです。

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました！

申し込みやお問い合わせは、随時うけていますので、

Twitter のリプライや、ダイレクトメールでどうぞ☆

ツイッターは　⇒　こちら

よかったら、Youtube のチャンネル登録もお願いします☆

Youtube チャンネルは　⇒　こちら

登録してもらえると、とても励みになります

ってだれがハゲやねん！

数学にゃんこ

「中学数学」を学んだりやり直しならこちらの本がおすすめだにゃん

『【数学】中学数学を独学したい、やり直したいあなたにおすすめの参考書や問題集はこちらです【中学数学高校数学数学検定】』

数学にゃんこ

「高校数学」を学びたいあなたにオススメの本はこちらニャン『「高校数学」を独学したいあなたにおすすめの参考書や本はこちらです（教科書理解編）』

数学にゃんこ

「英文法」を学びたいあなたにオススメの本はこちらニャン『【英語】英文法をサクッと身につけれる、おすすめの参考書や問題集などをまとめました【中学英語高校英語】』

数学にゃんこ

「勉強法」についての記事はこちらニャン↓ 『勉強法についての記事の一覧（まとめ）はこちらをどうぞ』

【数学・質問解答】分数の数列の和の求め方（部分分数分解）【高校 数学 数学 数学A】（質問ありがとうございます！）

ポイント１：「∑ （シグマ）の記号」

ポイント２：自然数の和の公式

ポイント３：部分分数分解とは？

まとめ

コメント

【数学・質問解答】分数の数列の和の求め方（部分分数分解）【高校数学数学数学A】（質問ありがとうございます！）