【数学】(2次方程式の)解の公式とは?覚え方、解き方、証明について、例題を計算しながら、わかりやすく解説しました【2次方程式 中学数学 高校数学】

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数学おじさん
数学おじさん

今回は、2次方程式の「解の公式」についての解説をしようと思うんじゃ

 

2次方程式の「解の公式」は、中学数学では、計算問題の山場の1つじゃな

 

2次方程式の解を求める時に活躍する公式なんじゃな

 

でも、初めて習ったときは、複雑な式が出てきて、

 

なにこれ???

 

ってなった方も多いかもしれないのぉ

 

解の公式は、複雑なんじゃが、これほどありがたい公式はないんじゃな

 

因数分解や平方完成が苦手で!

 

って方も、解の公式さえ使えれば、2次方程式は全部解けてしまうんじゃよ

 

え!じゃあ、因数分解や平方完成を使った2次方程式の解き方は身につけなくていいの?と思われるかもしれないのぉ

 

因数分解や平方完成を使った求め方は、解を求めることだけじゃなく、

 

数式の扱い方や考え方も学べる大事な内容なんじゃから、

 

それはそれで身につけてほしいんじゃな

 

とはいっても、解の公式をまずできるようにしておくのは重要じゃな

 

というわけで、本記事では、

 

解の公式とは?という基本的なところからわかりやすく解説しようと思うんじゃ

 

また、解の公式の「覚え方」や「証明」の分かりやすい説明や

 

具体的な「例題」を解きながら、「計算ミスをしない方法」などもまとめたいと思うんじゃ

 

加えて、教科書に出てくる解の公式には、弟分のような「別の解の公式」があるんじゃが、

 

それは2次方程式の xの項の係数が偶数のとき使える、解の公式なんじゃ

 

これは、2次方程式の解の第2公式、のような呼ばれ方をするかのぉ

 

第2公式を使えば、計算がとってもラクになるんじゃな

 

第2公式は、高校数学でならう解の公式なんじゃが、

 

中学生も知っておいて別に損はないし、テストでの時間短縮やミスを減らすのに役立つんじゃ

 

じゃから、この機会にぜひ身につけておくことのがオススメじゃ

 

というわけで、解説をはじめるかのぉ

 

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【数学】(2次方程式の)解の公式とは?覚え方、解き方、証明について、例題を計算しながら、わかりやすく解説しました【2次方程式 中学数学 高校数学】

(2次方程式の)解の公式とは

2次方程式の解の公式とは、2次方程式の解を求めるための公式じゃ

 

まずは、解の公式を示しておくかのぉ

[mathjax]

\( 2次方程式 ax^2+bx+c=0 がある時、その解は、  \)

 

\( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \)

 

 

それでは詳しく解説するかのぉ

 

2次方程式の解じゃから、まずは2次方程式があるわけじゃ

 

なので、2次方程式がどんなものか知っておく必要があるのぉ

 

 

 

 

2次方程式とは

2次方程式は、例えば、以下のようなものじゃ

 

\( x^2-7=0  \)

\( x^2+3x+5=0  \)

\( 3x+5+x^2+=0  \)

\( -3x^2+5x-1=0  \)

\( 4a^2+4a+1=0  \)

 

 

数学おじさん
数学おじさん

2次方程式ってなんだっけ?という方は、

 

こちらの記事で確認しておくのがオススメじゃ

 

おーい、ニャンコくんよろしく

 

 

 

 

 

今回の内容は、2次方程式があった時に、その解を求めるって話なわけじゃな

 

というわけで、解の公式と使った、2次方程式の解き方を解説するかのぉ

 

 

 

 

解の公式を使った、2次方程式の解き方とは?

解の公式の例題

具体的に解いてみるのが一番わかりやすいと思うんじゃな

 

例題 \( x^2+3x+2=0  の解を求めてください \)

 

を考えてみるかのぉ

 

まずやることは、

\( x^2+3x+2=0  \) と

\( ax^2+bx+c=0  \) を比べて、a, b, c の値を決めることなんじゃ

 

どうやって決めるかは、以下のとおりにやって決めるんじゃ

a,  b,  c  の値の決め方

\( ax^2+bx+c=0  \) の式は、

\( a×x^2+b×x+c=0  \) と同じ式じゃのぉ

すると、

  • xの2次の項の係数は、a
  • xの1次の項の係数は、b
  • xがついてない項は、c

となっていることがわかるわけじゃ

 

次に、問題の式を考えてみるんじゃ

\( x^2+3x+2=0  \) の式は、

\( 1×x^2+3×x+2=0  \) と同じ式じゃのぉ

すると、

  • xの2次の項の係数は、1
  • xの1次の項の係数は、3
  • xがついてない項は、2

となっていることがわかるわけじゃ

 

これらの2つのことを合わせると、

  • xの2次の項の係数の情報から、a =1
  • xの1次の項の係数の情報から、b = 3
  • xがついてない項の情報から、 c =2

ということがわかるんじゃ

 

これが解の公式を使うための、第一歩なんじゃな

 

次は、このa, b, c の値を、解の公式に代入して計算するわけじゃ

 

 

 

 

 

 

解の公式に代入する

解の公式は、以下じゃったのぉ

 

\( 2次方程式 ax^2+bx+c=0 がある時、その解は、  \)

\( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \)

 

今、\( x^2+3x+2=0  \) の解を求めたいんじゃな

 

そして解の公式を使うために、a =1, b = 3, c = 2 というのも求めたんじゃ

 

なので、これらの値を解の公式に代入していくわけじゃ

 

\( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{3^2-4×1×2}}{2×1}  \)

 

あとは、これを計算していくわけじゃな

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{9-8}}{2}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{1}}{2}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± 1}{2}  \)

 

ここで答えにするわけにはいかないんじゃ

 

\( x = \frac{- 3 ± 1}{2}  \) の式の意味なんじゃが、

 

これは、以下の2つをまとめた式なんじゃ

 

つまり、

\( x = \frac{- 3 + 1}{2}  \)

\( x = \frac{- 3 – 1}{2}  \)

の2つの解があるということなんじゃな

 

それぞれ計算してみるわけじゃ

\( x = \frac{- 3 + 1}{2} =  \frac{- 2}{2} = -1\)

 

\( x = \frac{- 3 – 1}{2} = \frac{- 4}{2}  =  -2  \)

 

以上から、\( x^2+3x+2=0  \) の解は、

 

\( x=−1、−2  \) の2つ、というわけじゃな

 

数学おじさん
数学おじさん

まとめておくと、解の公式の使い方は、

 

(1),  a, b, c  の値を決める

 

(2),  解の公式に a,  b,  c  の値を代入して計算する

 

というわけじゃな

 

もう少し問題をやってみるかのぉ

 

 

 

 

解の公式を使った2次方程式の問題

次は、以下の問題を考えてみるかのぉ

 

\( 2次方程式 x^2-5x-3=0 を解いてください \)

 

ではまず、解の公式を使うために、a, b, c の値を決めるかのぉ

 

\( x^2-5x-3=0 \) と

\( ax^2+bx+c=0 \)

の各項を比べると、

\( a = 1,  b = -5,   = -3 \)

となるわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

bとcは、マイナスの値じゃな

 

マイナスの値の扱いには注意が必要なんじゃ

 

では、a, b, cの値を解の公式に代入するかのぉ

 

解の公式 \( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \) に

 

\( a = 1,  b = -5,   = -3 \) を代入じゃな

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

こうやってしまったら、間違いなんじゃ

 

え?どこが?

 

と思われた方は、間違いと正解を2つ書くから、よく見比べて欲しいんじゃ

 

解の公式 \( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \)

 

間違い  \( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

正解   \( x = \frac{- (-3) ± \sqrt{(-3)^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

間違いには気づいたかのぉ

 

マイナスの値を代入するときなんじゃが、

 

マイナスのときは、かっこをつけて代入するのが重要なんじゃ

 

かっこをつけていないと、計算結果が違ってくるからじゃ

 

え?ほんとに計算結果が違うの?

 

って思うかもしれないのぉ

 

両方1つひとつ計算してみるから、

 

かっこがないと間違える

 

というところを書く人してほしいんじゃな

 

まず正解の計算をやってみるかのぉ

 

正解   \( x = \frac{- (-3) ± \sqrt{(-3)^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

\( x = \frac{ +3 ± \sqrt{(-3)×(-3)+12}}{2}  \)

 

\( x = \frac{ +3 ± \sqrt{9+12}}{2}  \)

 

\( x = \frac{ +3 ± \sqrt{21}}{2}  \)

 

となり、平方根の中はこれ以上小さくできないので、これが答え、というわけじゃ

 

では、間違いの計算をしてみるかのぉ

 

間違い  \( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3×3+12}}{2}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-9+12}}{2}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{3}}{2}  \)

 

となり、これで計算は終了じゃ

 

正解  \( x = \frac{ +3 ± \sqrt{21}}{2}  \)

 

間違い \( x = \frac{- 3 ± \sqrt{3}}{2}  \)

 

どうじゃろ、かっこをつけていないと、答えが変わってしまうじゃろ

 

まとめると、

 

数学おじさん
数学おじさん

a, b,  c  の値が、マイナスになる時は注意が必要じゃ

 

解の公式に代入するときには、かっこをつけて代入する

 

というわけじゃな

 

 

 

というわけで、解の公式を使った解き方はこんな感じで、

 

他の問題も同じやり方になるんじゃな

 

あとは、いろいろな問題で練習をして、ミスをしないように訓練すればオッケーじゃ

 

次は、解の公式をより詳しく知るために、

 

解の公式の証明をやってみようかと思うんじゃな

 

詳しく知ると、それだけミスも少なくできるわけじゃ

 

 

 

 

長くなったから、とりあえずあ、証明や、第2公式の解説は、

 

また次回にしておくかのぉ

 

ツイッターなどフォローしておいてくれれば、通知するから見逃さないはずじゃ

 

フォローは下からできるんじゃな

 

解の公式の証明

解の第2公式とは(偶数・ビーダッシュ)

解の第2公式の例題と問題(偶数・ビーダッシュ)

解の第2公式の証明(偶数・ビーダッシュ)

 

数学おじさん
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というわけで、今日は終わりにするかのぉ

 

おーい、ザピエルくん、あとはお願い!

 

秘書ザピエル
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あ、先生!告知をさせてください

数学おじさん
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おーそうじゃった

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数学おじさん
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い!

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