【数学】(2次方程式の)解の公式とは?覚え方、解き方、証明について、例題を計算しながら、わかりやすく解説しました【2次方程式 中学数学 高校数学】

解の公式 2次方程式 例題 解き方 問題 証明 解の第2公式 ビーダッシュ 偶数 中学 高校 数学 2次方程式
解の公式 2次方程式 例題 解き方 問題 証明 解の第2公式 ビーダッシュ 偶数 中学 高校 数学

 

数学おじさん
数学おじさん

今回は、2次方程式の「解の公式」についての解説をしようと思うんじゃ

 

2次方程式の「解の公式」は、中学数学では、計算問題の山場の1つじゃな

 

2次方程式の解を求める時に活躍する公式なんじゃな

 

でも、初めて習ったときは、複雑な式が出てきて、

 

なにこれ???

 

ってなった方も多いかもしれないのぉ

 

解の公式は、複雑なんじゃが、これほどありがたい公式はないんじゃな

 

因数分解や平方完成が苦手で!

 

って方も、解の公式さえ使えれば、2次方程式は全部解けてしまうんじゃよ

 

え!じゃあ、因数分解や平方完成を使った2次方程式の解き方は身につけなくていいの?と思われるかもしれないのぉ

 

因数分解や平方完成を使った求め方は、解を求めることだけじゃなく、

 

数式の扱い方や考え方も学べる大事な内容なんじゃから、

 

それはそれで身につけてほしいんじゃな

 

とはいっても、解の公式をまずできるようにしておくのは重要じゃな

 

というわけで、本記事では、

 

解の公式とは?という基本的なところからわかりやすく解説しようと思うんじゃ

 

また、解の公式の「覚え方」や「証明」の分かりやすい説明や

 

具体的な「例題」を解きながら、「計算ミスをしない方法」などもまとめたいと思うんじゃ

 

加えて、教科書に出てくる解の公式には、弟分のような「別の解の公式」があるんじゃが、

 

それは2次方程式の xの項の係数が偶数のとき使える、解の公式なんじゃ

 

これは、2次方程式の解の第2公式、のような呼ばれ方をするかのぉ

 

第2公式を使えば、計算がとってもラクになるんじゃな

 

第2公式は、高校数学でならう解の公式なんじゃが、

 

中学生も知っておいて別に損はないし、テストでの時間短縮やミスを減らすのに役立つんじゃ

 

じゃから、この機会にぜひ身につけておくことのがオススメじゃ

 

というわけで、解説をはじめるかのぉ

 

【数学】(2次方程式の)解の公式とは?覚え方、解き方、証明について、例題を計算しながら、わかりやすく解説しました【2次方程式 中学数学 高校数学】

(2次方程式の)解の公式とは

2次方程式の解の公式とは、2次方程式の解を求めるための公式じゃ

 

まずは、解の公式を示しておくかのぉ

[mathjax]

\( 2次方程式 ax^2+bx+c=0 がある時、その解は、  \)

 

\( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \)

 

 

それでは詳しく解説するかのぉ

 

2次方程式の解じゃから、まずは2次方程式があるわけじゃ

 

なので、2次方程式がどんなものか知っておく必要があるのぉ

 

 

 

 

2次方程式とは

2次方程式は、例えば、以下のようなものじゃ

 

\( x^2-7=0  \)

\( x^2+3x+5=0  \)

\( 3x+5+x^2+=0  \)

\( -3x^2+5x-1=0  \)

\( 4a^2+4a+1=0  \)

 

 

数学おじさん
数学おじさん

2次方程式ってなんだっけ?という方は、

 

こちらの記事で確認しておくのがオススメじゃ

 

おーい、ニャンコくんよろしく

 

 

 

 

 

今回の内容は、2次方程式があった時に、その解を求めるって話なわけじゃな

 

というわけで、解の公式と使った、2次方程式の解き方を解説するかのぉ

 

 

 

 

解の公式を使った、2次方程式の解き方とは?

解の公式の例題

具体的に解いてみるのが一番わかりやすいと思うんじゃな

 

例題 \( x^2+3x+2=0  の解を求めてください \)

 

を考えてみるかのぉ

 

まずやることは、

\( x^2+3x+2=0  \) と

\( ax^2+bx+c=0  \) を比べて、a, b, c の値を決めることなんじゃ

 

どうやって決めるかは、以下のとおりにやって決めるんじゃ

a,  b,  c  の値の決め方

\( ax^2+bx+c=0  \) の式は、

\( a×x^2+b×x+c=0  \) と同じ式じゃのぉ

すると、

  • xの2次の項の係数は、a
  • xの1次の項の係数は、b
  • xがついてない項は、c

となっていることがわかるわけじゃ

 

次に、問題の式を考えてみるんじゃ

\( x^2+3x+2=0  \) の式は、

\( 1×x^2+3×x+2=0  \) と同じ式じゃのぉ

すると、

  • xの2次の項の係数は、1
  • xの1次の項の係数は、3
  • xがついてない項は、2

となっていることがわかるわけじゃ

 

これらの2つのことを合わせると、

  • xの2次の項の係数の情報から、a =1
  • xの1次の項の係数の情報から、b = 3
  • xがついてない項の情報から、 c =2

ということがわかるんじゃ

 

これが解の公式を使うための、第一歩なんじゃな

 

次は、このa, b, c の値を、解の公式に代入して計算するわけじゃ

 

 

 

 

 

 

解の公式に代入する

解の公式は、以下じゃったのぉ

 

\( 2次方程式 ax^2+bx+c=0 がある時、その解は、  \)

\( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \)

 

今、\( x^2+3x+2=0  \) の解を求めたいんじゃな

 

そして解の公式を使うために、a =1, b = 3, c = 2 というのも求めたんじゃ

 

なので、これらの値を解の公式に代入していくわけじゃ

 

\( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{3^2-4×1×2}}{2×1}  \)

 

あとは、これを計算していくわけじゃな

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{9-8}}{2}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{1}}{2}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± 1}{2}  \)

 

ここで答えにするわけにはいかないんじゃ

 

\( x = \frac{- 3 ± 1}{2}  \) の式の意味なんじゃが、

 

これは、以下の2つをまとめた式なんじゃ

 

つまり、

\( x = \frac{- 3 + 1}{2}  \)

\( x = \frac{- 3 – 1}{2}  \)

の2つの解があるということなんじゃな

 

それぞれ計算してみるわけじゃ

\( x = \frac{- 3 + 1}{2} =  \frac{- 2}{2} = -1\)

 

\( x = \frac{- 3 – 1}{2} = \frac{- 4}{2}  =  -2  \)

 

以上から、\( x^2+3x+2=0  \) の解は、

 

\( x=−1、−2  \) の2つ、というわけじゃな

 

数学おじさん
数学おじさん

まとめておくと、解の公式の使い方は、

 

(1),  a, b, c  の値を決める

 

(2),  解の公式に a,  b,  c  の値を代入して計算する

 

というわけじゃな

 

もう少し問題をやってみるかのぉ

 

 

 

 

解の公式を使った2次方程式の問題

次は、以下の問題を考えてみるかのぉ

 

\( 2次方程式 x^2-5x-3=0 を解いてください \)

 

ではまず、解の公式を使うために、a, b, c の値を決めるかのぉ

 

\( x^2-5x-3=0 \) と

\( ax^2+bx+c=0 \)

の各項を比べると、

\( a = 1,  b = -5,   = -3 \)

となるわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

bとcは、マイナスの値じゃな

 

マイナスの値の扱いには注意が必要なんじゃ

 

では、a, b, cの値を解の公式に代入するかのぉ

 

解の公式 \( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \) に

 

\( a = 1,  b = -5,   = -3 \) を代入じゃな

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

こうやってしまったら、間違いなんじゃ

 

え?どこが?

 

と思われた方は、間違いと正解を2つ書くから、よく見比べて欲しいんじゃ

 

解の公式 \( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \)

 

間違い  \( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

正解   \( x = \frac{- (-3) ± \sqrt{(-3)^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

間違いには気づいたかのぉ

 

マイナスの値を代入するときなんじゃが、

 

マイナスのときは、かっこをつけて代入するのが重要なんじゃ

 

かっこをつけていないと、計算結果が違ってくるからじゃ

 

え?ほんとに計算結果が違うの?

 

って思うかもしれないのぉ

 

両方1つひとつ計算してみるから、

 

かっこがないと間違える

 

というところを書く人してほしいんじゃな

 

まず正解の計算をやってみるかのぉ

 

正解   \( x = \frac{- (-3) ± \sqrt{(-3)^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

\( x = \frac{ +3 ± \sqrt{(-3)×(-3)+12}}{2}  \)

 

\( x = \frac{ +3 ± \sqrt{9+12}}{2}  \)

 

\( x = \frac{ +3 ± \sqrt{21}}{2}  \)

 

となり、平方根の中はこれ以上小さくできないので、これが答え、というわけじゃ

 

では、間違いの計算をしてみるかのぉ

 

間違い  \( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3^2-4×1×(-3)}}{2×1}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3×3+12}}{2}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-9+12}}{2}  \)

 

\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{3}}{2}  \)

 

となり、これで計算は終了じゃ

 

正解  \( x = \frac{ +3 ± \sqrt{21}}{2}  \)

 

間違い \( x = \frac{- 3 ± \sqrt{3}}{2}  \)

 

どうじゃろ、かっこをつけていないと、答えが変わってしまうじゃろ

 

まとめると、

 

数学おじさん
数学おじさん

a, b,  c  の値が、マイナスになる時は注意が必要じゃ

 

解の公式に代入するときには、かっこをつけて代入する

 

というわけじゃな

 

 

 

というわけで、解の公式を使った解き方はこんな感じで、

 

他の問題も同じやり方になるんじゃな

 

あとは、いろいろな問題で練習をして、ミスをしないように訓練すればオッケーじゃ

 

次は、解の公式をより詳しく知るために、

 

解の公式の証明をやってみようかと思うんじゃな

 

詳しく知ると、それだけミスも少なくできるわけじゃ

 

 

 

 

長くなったから、とりあえずあ、証明や、第2公式の解説は、

 

また次回にしておくかのぉ

 

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数学おじさん
数学おじさん

というわけで、今日は終わりにするかのぉ

 

おーい、ザピエルくん、あとはお願い!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

はーい、先生!

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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数学にゃんこ
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