今回は、２次方程式の「解の公式」についての解説をしようと思うんじゃ
２次方程式の「解の公式」は、中学数学では、計算問題の山場の１つじゃな
２次方程式の解を求める時に活躍する公式なんじゃな
でも、初めて習ったときは、複雑な式が出てきて、
なにこれ？？？
ってなった方も多いかもしれないのぉ
解の公式は、複雑なんじゃが、これほどありがたい公式はないんじゃな
因数分解や平方完成が苦手で！
って方も、解の公式さえ使えれば、２次方程式は全部解けてしまうんじゃよ
え！じゃあ、因数分解や平方完成を使った２次方程式の解き方は身につけなくていいの？と思われるかもしれないのぉ
因数分解や平方完成を使った求め方は、解を求めることだけじゃなく、
数式の扱い方や考え方も学べる大事な内容なんじゃから、
それはそれで身につけてほしいんじゃな
とはいっても、解の公式をまずできるようにしておくのは重要じゃな
というわけで、本記事では、
解の公式とは？という基本的なところからわかりやすく解説しようと思うんじゃ
また、解の公式の「覚え方」や「証明」の分かりやすい説明や
具体的な「例題」を解きながら、「計算ミスをしない方法」などもまとめたいと思うんじゃ
加えて、教科書に出てくる解の公式には、弟分のような「別の解の公式」があるんじゃが、
それは２次方程式の xの項の係数が偶数のとき使える、解の公式なんじゃ
これは、２次方程式の解の第２公式、のような呼ばれ方をするかのぉ
第２公式を使えば、計算がとってもラクになるんじゃな
第２公式は、高校数学でならう解の公式なんじゃが、
中学生も知っておいて別に損はないし、テストでの時間短縮やミスを減らすのに役立つんじゃ
じゃから、この機会にぜひ身につけておくことのがオススメじゃ
というわけで、解説をはじめるかのぉ
【数学】（２次方程式の）解の公式とは？覚え方、解き方、証明について、例題を計算しながら、わかりやすく解説しました【２次方程式 中学数学 高校数学】
（２次方程式の）解の公式とは
２次方程式の解の公式とは、２次方程式の解を求めるための公式じゃ
まずは、解の公式を示しておくかのぉ
[mathjax]
\( ２次方程式 ax^2+bx+c=0 がある時、その解は、 \)
\( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
それでは詳しく解説するかのぉ
２次方程式の解じゃから、まずは２次方程式があるわけじゃ
なので、２次方程式がどんなものか知っておく必要があるのぉ
２次方程式とは
２次方程式は、例えば、以下のようなものじゃ
\( x^2-7=0 \)
\( x^2+3x+5=0 \)
\( 3x+5+x^2+=0 \)
\( -3x^2+5x-1=0 \)
\( 4a^2+4a+1=0 \)
２次方程式ってなんだっけ？という方は、
こちらの記事で確認しておくのがオススメじゃ
おーい、ニャンコくんよろしく
今回の内容は、２次方程式があった時に、その解を求めるって話なわけじゃな
というわけで、解の公式と使った、２次方程式の解き方を解説するかのぉ
解の公式を使った、２次方程式の解き方とは？
解の公式の例題
具体的に解いてみるのが一番わかりやすいと思うんじゃな
例題 \( x^2+3x+2=0 の解を求めてください \)
を考えてみるかのぉ
まずやることは、
\( x^2+3x+2=0 \) と
\( ax^2+bx+c=0 \) を比べて、a, b, c の値を決めることなんじゃ
どうやって決めるかは、以下のとおりにやって決めるんじゃ
a, b, c の値の決め方
\( ax^2+bx+c=0 \) の式は、
\( a×x^2+b×x+c=0 \) と同じ式じゃのぉ
すると、
- xの２次の項の係数は、a
- xの１次の項の係数は、b
- xがついてない項は、c
となっていることがわかるわけじゃ
次に、問題の式を考えてみるんじゃ
\( x^2+3x+2=0 \) の式は、
\( 1×x^2+3×x+2=0 \) と同じ式じゃのぉ
すると、
- xの２次の項の係数は、１
- xの１次の項の係数は、３
- xがついてない項は、２
となっていることがわかるわけじゃ
これらの２つのことを合わせると、
- xの２次の項の係数の情報から、a =１
- xの１次の項の係数の情報から、b = ３
- xがついてない項の情報から、 c =２
ということがわかるんじゃ
これが解の公式を使うための、第一歩なんじゃな
次は、このa, b, c の値を、解の公式に代入して計算するわけじゃ
解の公式に代入する
解の公式は、以下じゃったのぉ
\( ２次方程式 ax^2+bx+c=0 がある時、その解は、 \)
\( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
今、\( x^2+3x+2=0 \) の解を求めたいんじゃな
そして解の公式を使うために、a =1, b = 3, c = 2 というのも求めたんじゃ
なので、これらの値を解の公式に代入していくわけじゃ
\( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{3^2-4×1×2}}{2×1} \)
あとは、これを計算していくわけじゃな
\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{9-8}}{2} \)
\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{1}}{2} \)
\( x = \frac{- 3 ± 1}{2} \)
ここで答えにするわけにはいかないんじゃ
\( x = \frac{- 3 ± 1}{2} \) の式の意味なんじゃが、
これは、以下の２つをまとめた式なんじゃ
つまり、
\( x = \frac{- 3 + 1}{2} \)
\( x = \frac{- 3 – 1}{2} \)
の２つの解があるということなんじゃな
それぞれ計算してみるわけじゃ
\( x = \frac{- 3 + 1}{2} = \frac{- 2}{2} = -1\)
\( x = \frac{- 3 – 1}{2} = \frac{- 4}{2} = -2 \)
以上から、\( x^2+3x+2=0 \) の解は、
\( x＝−１、−２ \) の２つ、というわけじゃな
まとめておくと、解の公式の使い方は、
(1), a, b, c の値を決める
(2), 解の公式に a, b, c の値を代入して計算する
というわけじゃな
もう少し問題をやってみるかのぉ
解の公式を使った２次方程式の問題
次は、以下の問題を考えてみるかのぉ
\( ２次方程式 x^2-5x-3=0 を解いてください \)
ではまず、解の公式を使うために、a, b, c の値を決めるかのぉ
\( x^2-5x-3=0 \) と
\( ax^2+bx+c=0 \)
の各項を比べると、
\( a = 1, b = -5, = -3 \)
となるわけじゃ
bとcは、マイナスの値じゃな
マイナスの値の扱いには注意が必要なんじゃ
では、a, b, cの値を解の公式に代入するかのぉ
解の公式 \( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) に
\( a = 1, b = -5, = -3 \) を代入じゃな
\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3^2-4×1×(-3)}}{2×1} \)
こうやってしまったら、間違いなんじゃ
え？どこが？
と思われた方は、間違いと正解を２つ書くから、よく見比べて欲しいんじゃ
解の公式 \( x = \frac{- b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
間違い \( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3^2-4×1×(-3)}}{2×1} \)
正解 \( x = \frac{- (-3) ± \sqrt{(-3)^2-4×1×(-3)}}{2×1} \)
間違いには気づいたかのぉ
マイナスの値を代入するときなんじゃが、
マイナスのときは、かっこをつけて代入するのが重要なんじゃ
かっこをつけていないと、計算結果が違ってくるからじゃ
え？ほんとに計算結果が違うの？
って思うかもしれないのぉ
両方１つひとつ計算してみるから、
かっこがないと間違える
というところを書く人してほしいんじゃな
まず正解の計算をやってみるかのぉ
正解 \( x = \frac{- (-3) ± \sqrt{(-3)^2-4×1×(-3)}}{2×1} \)
\( x = \frac{ +3 ± \sqrt{(-3)×(-3)+12}}{2} \)
\( x = \frac{ +3 ± \sqrt{9+12}}{2} \)
\( x = \frac{ +3 ± \sqrt{21}}{2} \)
となり、平方根の中はこれ以上小さくできないので、これが答え、というわけじゃ
では、間違いの計算をしてみるかのぉ
間違い \( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3^2-4×1×(-3)}}{2×1} \)
\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-3×3+12}}{2} \)
\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{-9+12}}{2} \)
\( x = \frac{- 3 ± \sqrt{3}}{2} \)
となり、これで計算は終了じゃ
正解 \( x = \frac{ +3 ± \sqrt{21}}{2} \)
間違い \( x = \frac{- 3 ± \sqrt{3}}{2} \)
どうじゃろ、かっこをつけていないと、答えが変わってしまうじゃろ
まとめると、
a, b, c の値が、マイナスになる時は注意が必要じゃ
解の公式に代入するときには、かっこをつけて代入する！
というわけじゃな
というわけで、解の公式を使った解き方はこんな感じで、
他の問題も同じやり方になるんじゃな
あとは、いろいろな問題で練習をして、ミスをしないように訓練すればオッケーじゃ
次は、解の公式をより詳しく知るために、
解の公式の証明をやってみようかと思うんじゃな
詳しく知ると、それだけミスも少なくできるわけじゃ
長くなったから、とりあえずあ、証明や、第２公式の解説は、
また次回にしておくかのぉ
ツイッターなどフォローしておいてくれれば、通知するから見逃さないはずじゃ
フォローは下からできるんじゃな
解の公式の証明
解の第２公式とは（偶数・ビーダッシュ）
解の第２公式の例題と問題（偶数・ビーダッシュ）
解の第２公式の証明（偶数・ビーダッシュ）
というわけで、今日は終わりにするかのぉ
おーい、ザピエルくん、あとはお願い！
あ、先生！告知をさせてください
おーそうじゃった
実はいろんなお悩みを聞いているんです
勉強しなきゃって思ってるのに、思ったようにできないクマ
わからない問題があると、やる気なくしちゃう
１人で勉強してると、行きずまっちゃうブーン
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勉強が継続できる
成績アップ、志望校合格できる
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具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ
ザピエルくんお願い！
はい先生！
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「【中学生 高校生 社会人】勉強のペースメーカーはいかがでしょう【受験 入試 資格試験】」
不明な点があったら、お気軽にお問い合わせください
というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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