【数学】場合の数の「和の法則」「積の法則」と、「多項式(たこうしき)」の関係【場合の数 確率】

場合の数と多項式の関係 数学おじさん oj3math 集合
場合の数と多項式の関係 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんなお悩み相談を受けました

ハッチくん
ハッチくん

場合の数」や、「確率」をやってるのですが、

 

わかった!

 

というスッキリ感がなくて・・・

 

 

数学おじさん
数学おじさん

ハッチくん、おはよう!

 

場合の数や確率といった分野は、そもそも、

 

できた!と思いにくい分野なんじゃ

 

計算して答えは出たけど、

 

これホントにあってるの?

 

と悩んだことがある方も多いんじゃないかのぉ

 

ハッチくん
ハッチくん

そうなんです!

 

答えは出るんですが、正解かどうか判断しにくいんです!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

例えば、式の展開や因数分解のような計算問題だと、

 

これは必ず合ってる!

 

と確信を持って、答えをだせるんじゃが

 

場合の数や確率は、そうもいかないというわけじゃな

 

ちなみに、数学おじさんにとっても、

 

場合の数や確率は説明しにくいもんなんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

そうなんですねぇ〜

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

だがな、対策がないわけじゃないんじゃ

 

ポイントは、

 

ピンときにくい、場合の数や確率の問題について、

 

ピンときやすい式の展開という観点から理解する

 

ということを試みているんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なんだか、むずしそうですねぇ

数学おじさん
数学おじさん

1つひとつ、ていねいに解説するから大丈夫じゃよ

 

今回は特に、場合の数で出てくる、

 

和の法則」や「積の法則」について

 

多項式との関係をまとめてみようかのぉ

 

ハッチくん
ハッチくん

わかりました!

 

よろしくお願いします!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回の記事を読むと、

 

①、場合の数や確率を理解しやすくなる

 

②、和の法則、積の法則について理解できる

 

③、わかりにくい場合の数や確率を、分かりやすい式の展開として理解できる

 

といったメリットがあるんですね

 

ハッチくん
ハッチくん

わかりました!それはうれしいです!

数学おじさん
数学おじさん

では、解説をはじめるかのぉ

【数学】場合の数の「和の法則」「積の法則」と「多項式(たこうしき)」の関係についてまとめました【場合の数 確率】

ハッチくん
ハッチくん

先生、思ったんですけど、

 

なぜ、和の法則や、積の法則を学ぶ必要があるんですか?

「和の法則」や「積の法則」を学ぶメリットとは?

 

数学おじさん
数学おじさん

「和の法則」や「積の法則」を理解しておけば、

 

場合の数を求めるのがラクになるんじゃよ

 

たくさんの場合の数を数えるのは、大変じゃろ?

 

和の法則や積の法則を使うと、

 

場合の数を小分けにして考えることができるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

え、どういうことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

例えば、ハッチくんの学校の生徒の数の合計を数えたいとする

 

全校生徒を1カ所に集めて、1人1人数えるより、

 

各クラスごとにそれぞれ人数を数えて、

 

後で合計した方が、間違いが少なそうじゃろ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

そうですね!

 

全員いるところだと、誰か1人を数え忘れたりしそうです(笑)!

 

クラスごとに数えるなら、間違わなそうだし、

 

数えなおしてやすいですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

場合の数や確率でも同じことで、

 

和の法則や積の法則を使って、

 

全部の場合の数を小分けにするんじゃ

 

そうすることで、


数えまちがいが減る
し、

 

見なおしもしやすくなるんじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

それなら学ぶメリットがありますね!

 

でも、そもそも、和の法則や積の法則って、なんなんですか??

 

数学おじさん
数学おじさん

とりあえず、これらをざっと理解してもらおうかのぉ

 

①、和の法則とは

 

②、積の法則とは

 

③、多項式とは

 

ハッチくん
ハッチくん

はい!お願いします

数学おじさん
数学おじさん

わかるよ!って方は、スーっとしたに行ってもらえばオッケーじゃ

 

「和の法則」とは

 

数学おじさん
数学おじさん

2つの物事があるとしようかのぉ

 

その2つの物事どうしの関係は、

 

①、関係がない場合

 

②、関係がある場合

 

のどちらかに、必ずなるんじゃ

 

これはいいかな?

 

ハッチくん
ハッチくん

たしかにそうですね!

 

誰かの写真を見たときに、

 

その人と自分は、関係がある、関係ない、のどっちかしかないですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

でも、それと和の法則は、どう、つながるのですか?

数学おじさん
数学おじさん

和の法則は、2つの物事が、関係ない時に使える法則なんじゃよ

 

これを、場合の数や確率の言葉で言うと、

 

2つの物事が、「同時に起こらないとき」に使える

 

となるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

同時に起こらないというのは、具体的には、どんなときですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

次の例を考えてみるかのぉ

 

2枚のカードがあったとする

 

それぞれ、1と2と書いてあるとする

 

この2枚を袋に入れて、1枚ひくとき、

 

出るカードの数字の場合の数は?

 

というのを考えてみてほしいんじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと〜

 

1と2のカードが、2枚入っているので、

 

1をひく場合と、2をひく場合の2通りですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

この1をひく場合1通りと、2をひく場合1通りは、

 

同時には起こらないじゃろ?

 

こういうときは「和の法則」が使えるわけじゃ

 

だから、

 

1をひく1通り+2をひく1通り

を足し算して、合計2通り

 

と考えることができるわけじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

これまで、なんとなくやっていたことが

 

実は、和の法則を使っていたわけなんですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

「和の法則」というのは、

 

何かが同時に起こらない場合は、それぞれ数えて、足せばいいよ!

 

というわけじゃな

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

和の法則はわかった気がします!

 

次は、「積の法則」とは、どうちがうのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

では、「積の法則」を説明するかのぉ

「積の法則」とは

 

数学おじさん
数学おじさん

さっき、2つの物事の関係には、

 

①、関係がない場合


②、関係がある場合

 

のどちらかだけと言ったんじゃ

 

和の法則は、①の関係がない場合じゃったわけじゃ

 

積の法則は、②の関係がある場合で使える法則なんじゃ

 

これも場合の数や確率の言葉で言うと、

 

同時に起こる」とき、

 

使える法則ということができるんじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

でも、「同時に起こる」っていうのは、具体的に、どんな時ですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

今度は、こんな例で説明しようかのぉ

 

カードが5枚あるとする

 

それぞれ1、2、3、4、5と書いてあるカードじゃ

 

1と2のカードを箱Aに入れる

 

3、4、5のカードを箱Bに入れる

 

箱Aから1枚ひく

 

箱Bから1枚カードをひく

このとき、

箱Aからのカードの数を、十の位に

 

箱Bからのカードの数を、一の位にした

 

2けたの整数は何通りできる?

 

という問題を考えてほしいんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

問題が長いですね・・・意味がよくわからないです・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

例えば、

 

箱Aで、カード2を引いて、箱Bでカード3を引けば、

 

2つのカードでできる2けたの数字は、23、じゃな

 

この23を1通りと考えるわけじゃ

 

このようにしてできる2けたの数字は、全部で何通りありますか?

 

という問題じゃな

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

えっと〜

 

箱Aは、カード1とカード2があるから、1か2をひく、2通りがありますね

 

箱Bは、カード3、4、5があるから、3通りありますね

 

そうするとできる数字の組み合わせは、・・・・あれれ

 

箱Aで何をひくかで、箱Bで引いた数との数字の組が変わりますね!

 

できる2けたの数字が変わってしまいます!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

つまり、箱Aからひくことと、箱Bからひくことは、

 

関係がある

 

というわけじゃ

 

箱Aからカードをひくことと、箱Bからカードをひくことは、

 

ひくタイミングとかは違うかもしれんが、

 

何通りかを数えるという意味では、

 

同時に考えなければいけないわけじゃ

 

つまり、同時に起こる、といえる場合なわけじゃな

 

 

ハッチくん
ハッチくん

同時に起こるって聞くと、

 

箱Aと箱Bから、いっせいに、せーのでカードを引かないとダメなのかと思いました!

 

そうじゃないんですねぇ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そういうことじゃ

 

同時に起こるっていうのは、

 

せーの!でひく、タイミングのことを

 

言っているわけじゃないんじゃ

 

数えたい場合を調べるためには、

 

箱Aと箱Bのどちらの情報も必要

 

このことを指して、同時に起こる、という言い方をするんじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

今回の問題では、同時に起こる物事を考えていますよね?

 

ということは、「積の法則」の出番ですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

積の法則は、具体的には、どんなとき、使うのですか?

 

実際にやってみてほしいです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

上の例について、

 

まずは積の法則を使わずに、全部数えてみるかのぉ

 

そうすると、後でわかりやすいからのぉ

 

まず、箱Aから1枚ひくと、1か2のカードが出るじゃろ

 

1が出たとしたら、その1に対して、

 

箱Bでは、それぞれ、3と4と5のカードが出る場合があるわけじゃ

 

なので、できる2けたの数字は、

 

13、14、15

 

の3通りが考えられるわけじゃ

 

続きを考えれるかな?

 

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと〜

 

今度は、箱Aから2のカードが出たとすると、

 

箱Bでは、それぞれ、3と4と5のカードが出る場合がありますね!

 

なので、できる2けたの数字は、

 

23、24、25

 

の3通りが考えられますね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

これで数える場合の数は全部じゃから、

 

13、14、15

23、24、25

 

全部で6通りとなるわけじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

じゃあ、積の法則を使うと、どうなるのですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

積の法則を使うと、以下のように考えれるんじゃ

 

箱Aからひくとカード1と2の2通りで、

 

その2通りそれぞれに、

 

箱Bからひくカード3、4、5の3通りがあるわけじゃ

 

箱Aから引いて、そのそれぞれの場合に、箱Bのカードが関係するから、

積の法則が使える、と考えて、

 

全部の場合の数は、

 

×=6通り

 

と計算することができるわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

上の答えと同じですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

今回の例だと、シンプルなので、

 

積の法則のありがたみが感じにくいかもしれんが、

 

複雑な問題の場合の数を考えるときには、

 

積の法則を使うと、サクッと解けることがあるんじゃよ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

かけ算を使うから、積の法則なんですね!

 

とりあえず「和の法則」と「積の法則」がわかったんですけど、

 

これらと、多項式との関係って何ですか??

 

和の法則・積の法則と、多項式の関係とは?

数学おじさん
数学おじさん

ここからが本番じゃな

ハッチくん
ハッチくん

ここまで長かったです(笑)

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

まず多項式について、サクッとまとめておくかのぉ

多項式(たこうしき)とは

数学おじさん
数学おじさん

多項式というのは、「項(こう)」が多い式のことじゃ

 

「項」というのは、わかるかな?

 

ハッチくん
ハッチくん

ちょっと自信ないです(汗)

数学おじさん
数学おじさん

お〜い、ニャンコくん、「項(こう)」の解説記事を教えて〜

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

ハッチくん
ハッチくん

ありがとう!読んでみます!

[mathjax]

数学おじさん
数学おじさん

では、話を戻すとするかのぉ

 

「多項式」というのは、のことじゃ

 

例えば、

 

¥( x^2 + 3x + 2 ¥)

¥( a^2 ー 3ab + b^2 ¥)

 

のような式のことをいうんじゃ

 

他にも、

 

¥( (x + 3)(y ー1) ¥)

¥( (a ー2b)(3a + b) ¥)

 

のような形も、多項式と呼んでいいはずじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

式の展開(てんかい)や

 

因数分解(いんすうぶんかい)

 

でよく出てきたやつですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ここで例えば、

 

¥(  (2 + 5)(3 + 7) ¥)

 

のような、数字だけの式も、多項式と呼ぶことにしようかのぉ

 

ハッチくん
ハッチくん

え?なんですかこれ?

 

2+5=7だし、3+7=10ですよね

 

だから、7×10=70 なのに、

 

なんでわざわざ、 ¥(  (2 + 5)(3 + 7) ¥)  のように書くのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

いい質問じゃ

 

ちょっと例を見てもらおうかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

例えば、Aくんがみかん3個、

 

Bさんがりんご2個持ってたとするじゃろ

 

果物がいくつあるかを数式で表現すると、

 

3+2

 

と書けるじゃろ

 

これを

 

 

と書いてもいいんじゃが、

 

そうすると、みかん3とりんご2という情報は失われるわけじゃ

 

なので、計算できても、あえて計算せずに、残しておいて、

 

式に意味をもたせているわけなんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

数学おじさん
数学おじさん

じゃから、

 

¥(  (2 + 5)(3 + 7) ¥)

 

のような式があったとしたら、

 

2とか5、3とか7という数字に意味があるとか、

 

2と5や3と7を足す操作に意味があるとか、

 

(2+5)と(3+7)をかけ算するのに意味があるとか、

 

なにかの意味を、数式で表現するために、

 

わざわざ、計算せずに書いているわけじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです〜

 

 

数学おじさん
数学おじさん

では、さっきの例を思い出してもらえるかのぉ

 

こんな問題じゃったのぉ

 

カードが5枚あるとする

 

それぞれ1、2、3、4、5と書いてあるカードじゃ

 

1と2のカードを箱Aに入れる

 

3、4、5のカードを箱Bに入れる

 

箱Aから1枚ひく

 

箱Bから1枚カードをひく

このとき、

箱Aからのカードの数を、十の位に

 

箱Bからのカードの数を、一の位にした

 

2けたの整数は何通りできる?

 

という問題じゃ

箱Aから1枚ひく場合を考えると、

 

カード1かカード2の2通りがあるわけじゃ

 

これらは同時に起こるかな?起こらないかな?

 

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと〜

 

箱Aからは1枚ひくので、カード1かカード2かのどっちかだけなんで、

 

同時には起こらない と思います!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、同時に起こらないから、何の法則が使えるんじゃ?

 

ハッチくん
ハッチくん

同時に起こらない時は、「和の法則」です!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、箱Aから1枚ひくことは、和の法則から、

 

(カード1をひく場合)+(カード2をひく場合)

 

と書くことができるじゃろ?

 

日本語だと数学ぽくないから、

 

カード1をひくことを、[1]

 

カード2をひくことを、[2]

 

と表現しようかのぉ

 

すると、箱Aから1枚ひくことは、

 

(カード1をひく場合)+(カード2をひく場合)

 

= [1] + [2]

 

のように、数学ぽく表現できるじゃろ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

数学おじさん
数学おじさん

では同じように、

 

箱Bから1枚ひくことは、和の法則から、

 

(カード3をひく場合)+(カード4をひく場合)+(カード5をひく場合)

 

と書くことができるじゃろ?

 

カード3をひくことを、[3]

 

カード4をひくことを、[4]

 

カード5をひくことを、[5]

 

と表現すると、

 

箱Bから1枚ひくことは、

 

(カード3をひく場合)+(カード4をひく場合)+(カード5をひく場合)

 

= [3] + [4]+ [5]

 

とかけるわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

でも、なぜ、こんなことをするんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

今回知りたい、つくれる2けたの数字の場合の数は、

 

箱Aから1枚ひいて、

 

その場合のそれぞれについて、

 

箱Bから1枚引くわけじゃ

 

つまり、箱Aから引くことと、箱Bから引くことは

 

同時に起こることじゃな

 

だから、積の法則を使って

 

(箱Aから1枚ひく場合の数)×(箱Bから1枚ひく場合の数)

 

と書くことができるわけじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

たしかにそうですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そして、

 

(箱Aから1枚ひく場合の数)というのは、

 

和の法則から、

 

(カード1をひく場合)+(カード2をひく場合)

 

 

= [1] + [2]

 

じゃし、

 

(箱Bから1枚ひく場合の数)というのは、

 

(カード3をひく場合)+(カード4をひく場合)+(カード5をひく場合)

 

= [3] + [4]+ [5]

 

だったわけじゃ

 

つまり、知りたい、2けたの数字の場合の数は、

 

(箱Aから1枚ひく場合の数)×(箱Bから1枚ひく場合の数)

 

 [1] + [2] ) × ( [3] + [4]+ [5] )

 

と書けるわけじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

あれ!?

 

これって、

 

(a + b)×(x + y + z)

 

みたいな多項式の形をしていますね

 

 

数学おじさん
数学おじさん

いいところに気づいたのぉ

 

多項式じゃから、展開することができるわけじゃ

 

展開してごらん

 

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと〜

分配法則を使えばいいんですよね?

 

 ¥( (a + b)×(x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz ¥)

 

となりました

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

もし「分配法則ってなに?」って方は、

 

こちらを参考にしておくのがオススメじゃ

 

お〜い、ニャンコくん、記事を教えておくれ

 

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は〜い、先生!

 

「分配法則」なら、こちらの記事がオススメにゃん

 

【数学】「分配法則」を身につけたいあなたはこちらをどうぞ【入門・基礎問題・ 中1・正負の数20】

 

ハッチくん
ハッチくん

にゃんこくん、ありがとう!見ておくね!

 

数学おじさん
数学おじさん

では話を元に戻すかのぉ

 

いま考えておるのは、2けたの数字の場合の数じゃったな

 

そしてそれは、以下の式で書けるとこまで進んだんじゃ

 

(箱Aから1枚ひく場合の数)×(箱Bから1枚ひく場合の数)

 

=( [1] + [2] ) × ( [3] + [4]+ [5] )

 

この式を展開してごらん

 

 

ハッチくん
ハッチくん

さっきの展開のように、分配法則を使えばいいんですよね?

 

¥( ( [1] + [2] ) × ( [3] + [4]+ [5] ) ¥)


¥(  = [1][3] + [1][4] + [1][5] + [2][3] + [2][4] + [2][5] ¥) 

 

となりました!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

よくできたのぉ

 

では、この式と、上で求めた答えを見比べてほしいんじゃ

 

上で求めた答えは、これじゃったな

 

13、14、15、23、24、25

 

の全部で6通りじゃったわけじゃ

展開した式は・・・

 

 ¥(   [1][3] + [1][4] + [1][5] + [2][3] + [2][4] + [2][5] ¥) 

 

上で数えた答えは・・・

13、14、15、23、24、25

 

くらべてみると、

 

 

ハッチくん
ハッチくん

あれ!

多項式の展開項が、上で数えた答えと同じになっています!

 

そして、求めたい答えの6通りは、

 

展開した項の数と同じになっています!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

実は、場合の数を知りたいときに、

 

和の法則や積の法則にしたがって、数式が作れたら、

 

その数式を展開してみるんじゃ

 

すると、展開した式の「項の数」が、

 

求めたい場合の数と一致するんじゃよ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

え!そうなんですか!

 

今まで、1つ1つ数えていたのを、

 

数式でサクッと求めることができるってことですよね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

じつはこの考え方は、高校数学でとくに活躍するんじゃ

 

中学数学では、場合の数といえば、

 

樹形図を書いたり、辞書式に書いたりするかと思うんじゃ

 

それでも全然いいんじゃが、

 

最初に言ったように、

 

答えに自信を持ちたいなぁ〜

 

という場合には、

 

多項式の展開を習ったなら、この考え方を使って、

 

場合の数や確率を復習してみると、理解がさらに深まるはずじゃ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

場合の数が、多項式の展開と関係があるなんて、驚きでした!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

学校の授業では、場合の数と多項式は、

 

ぜんぜん別物として習うからのぉ

 

じゃが、考え方としては、共通点があるってことじゃな

 

ハッチくん
ハッチくん

数学っておもしろいですねぇ〜

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃのぉ

 

というわけで、今回はこれぐらいにしておこうかのぉ

 

お〜い、ザピエルくん、あとお願い!

 

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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