【数学】場合の数の「和の法則」「積の法則」と、「多項式（たこうしき）」の関係【場合の数 確率】

ハッチくん、おはよう！

場合の数や確率といった分野は、そもそも、

できた！と思いにくい分野なんじゃ

計算して答えは出たけど、

これホントにあってるの？

と悩んだことがある方も多いんじゃないかのぉ

そうじゃな

例えば、式の展開や因数分解のような計算問題だと、

これは必ず合ってる！

と確信を持って、答えをだせるんじゃが

場合の数や確率は、そうもいかないというわけじゃな

ちなみに、数学おじさんにとっても、

場合の数や確率は説明しにくいもんなんじゃ

そうなんじゃよ

だがな、対策がないわけじゃないんじゃ

ポイントは、

ピンときにくい、場合の数や確率の問題について、

ピンときやすい、式の展開という観点から理解する

ということを試みているんじゃ

１つひとつ、ていねいに解説するから大丈夫じゃよ

今回は特に、場合の数で出てくる、

「和の法則」や「積の法則」について

多項式との関係をまとめてみようかのぉ

では、解説をはじめるかのぉ

「和の法則」や「積の法則」を理解しておけば、

場合の数を求めるのがラクになるんじゃよ

たくさんの場合の数を数えるのは、大変じゃろ？

和の法則や積の法則を使うと、

場合の数を小分けにして考えることができるんじゃ

例えば、ハッチくんの学校の生徒の数の合計を数えたいとする

全校生徒を１カ所に集めて、１人１人数えるより、

各クラスごとにそれぞれ人数を数えて、

後で合計した方が、間違いが少なそうじゃろ

そのとおりじゃ

場合の数や確率でも同じことで、

和の法則や積の法則を使って、

全部の場合の数を小分けにするんじゃ

そうすることで、

数えまちがいが減るし、

見なおしもしやすくなるんじゃ

とりあえず、これらをざっと理解してもらおうかのぉ

①、和の法則とは

②、積の法則とは

③、多項式とは

わかるよ！って方は、スーっとしたに行ってもらえばオッケーじゃ

２つの物事があるとしようかのぉ

その２つの物事どうしの関係は、

①、関係がない場合

②、関係がある場合

のどちらかに、必ずなるんじゃ

これはいいかな？

そのとおりじゃ

和の法則は、２つの物事が、関係ない時に使える法則なんじゃよ

これを、場合の数や確率の言葉で言うと、

２つの物事が、「同時に起こらないとき」に使える

となるんじゃ

次の例を考えてみるかのぉ

２枚のカードがあったとする

それぞれ、１と２と書いてあるとする

この２枚を袋に入れて、１枚ひくとき、

出るカードの数字の場合の数は？

というのを考えてみてほしいんじゃ

そのとおりじゃ

この１をひく場合１通りと、２をひく場合１通りは、

同時には起こらないじゃろ？

こういうときは「和の法則」が使えるわけじゃ

だから、

１をひく１通り＋２をひく１通り

を足し算して、合計２通り

と考えることができるわけじゃ

そのとおりじゃ

「和の法則」というのは、

何かが同時に起こらない場合は、それぞれ数えて、足せばいいよ！

というわけじゃな

では、「積の法則」を説明するかのぉ

さっき、２つの物事の関係には、

①、関係がない場合

②、関係がある場合

のどちらかだけと言ったんじゃ

和の法則は、①の関係がない場合じゃったわけじゃ

積の法則は、②の関係がある場合で使える法則なんじゃ

これも場合の数や確率の言葉で言うと、

「同時に起こる」とき、

使える法則ということができるんじゃ

今度は、こんな例で説明しようかのぉ

カードが５枚あるとする

それぞれ１、２、３、４、５と書いてあるカードじゃ

１と２のカードを箱Aに入れる

３、４、５のカードを箱Bに入れる

箱Aから１枚ひく

箱Bから１枚カードをひく

このとき、

箱Aからのカードの数を、十の位に

箱Bからのカードの数を、一の位にした

２けたの整数は何通りできる？

という問題を考えてほしいんじゃ

例えば、

箱Aで、カード２を引いて、箱Bでカード３を引けば、

２つのカードでできる２けたの数字は、２３、じゃな

この２３を１通りと考えるわけじゃ

このようにしてできる２けたの数字は、全部で何通りありますか？

という問題じゃな

そうなんじゃよ

つまり、箱Aからひくことと、箱Bからひくことは、

関係がある

というわけじゃ

箱Aからカードをひくことと、箱Bからカードをひくことは、

ひくタイミングとかは違うかもしれんが、

何通りかを数えるという意味では、

同時に考えなければいけないわけじゃ

つまり、同時に起こる、といえる場合なわけじゃな

そういうことじゃ

同時に起こるっていうのは、

せーの！でひく、タイミングのことを

言っているわけじゃないんじゃ

数えたい場合を調べるためには、

箱Aと箱Bのどちらの情報も必要、

このことを指して、同時に起こる、という言い方をするんじゃ

そのとおりじゃ

そうじゃな

上の例について、

まずは積の法則を使わずに、全部数えてみるかのぉ

そうすると、後でわかりやすいからのぉ

まず、箱Aから１枚ひくと、１か２のカードが出るじゃろ

１が出たとしたら、その１に対して、

箱Bでは、それぞれ、３と４と５のカードが出る場合があるわけじゃ

なので、できる２けたの数字は、

１３、１４、１５

の３通りが考えられるわけじゃ

続きを考えれるかな？

そのとおりじゃ

これで数える場合の数は全部じゃから、

１３、１４、１５

２３、２４、２５

全部で６通りとなるわけじゃ

積の法則を使うと、以下のように考えれるんじゃ

箱Aからひくとカード１と２の２通りで、

その２通りそれぞれに、

箱Bからひくカード３、４、５の３通りがあるわけじゃ

箱Aから引いて、そのそれぞれの場合に、箱Bのカードが関係するから、

積の法則が使える、と考えて、

全部の場合の数は、

２×３＝６通り

と計算することができるわけじゃ

そのとおりじゃ

今回の例だと、シンプルなので、

積の法則のありがたみが感じにくいかもしれんが、

複雑な問題の場合の数を考えるときには、

積の法則を使うと、サクッと解けることがあるんじゃよ

ここからが本番じゃな

そうじゃな

まず多項式について、サクッとまとめておくかのぉ

多項式というのは、「項（こう）」が多い式のことじゃ

「項」というのは、わかるかな？

お〜い、ニャンコくん、「項（こう）」の解説記事を教えて〜

では、話を戻すとするかのぉ

「多項式」というのは、項が多い式のことじゃ

例えば、

¥( x^2 + 3x + 2 ¥)

¥( a^2 ー 3ab + b^2 ¥)

のような式のことをいうんじゃ

他にも、

¥( (x + 3)(y ー1) ¥)

¥( (a ー2b)(3a + b) ¥)

のような形も、多項式と呼んでいいはずじゃ

そのとおりじゃ

ここで例えば、

¥(  (2 + 5)(3 + 7) ¥)

のような、数字だけの式も、多項式と呼ぶことにしようかのぉ

いい質問じゃ

ちょっと例を見てもらおうかのぉ

例えば、Aくんがみかん３個、

Bさんがりんご２個持ってたとするじゃろ

果物がいくつあるかを数式で表現すると、

３＋２

と書けるじゃろ

これを

５

と書いてもいいんじゃが、

そうすると、みかん３とりんご２という情報は失われるわけじゃ

なので、計算できても、あえて計算せずに、残しておいて、

式に意味をもたせているわけなんじゃ

じゃから、

¥(  (2 + 5)(3 + 7) ¥)

のような式があったとしたら、

２とか５、３とか７という数字に意味があるとか、

２と５や３と７を足す操作に意味があるとか、

（２＋５）と（３＋７）をかけ算するのに意味があるとか、

なにかの意味を、数式で表現するために、

わざわざ、計算せずに書いているわけじゃ

では、さっきの例を思い出してもらえるかのぉ

こんな問題じゃったのぉ

カードが５枚あるとする

それぞれ１、２、３、４、５と書いてあるカードじゃ

１と２のカードを箱Aに入れる

３、４、５のカードを箱Bに入れる

箱Aから１枚ひく

箱Bから１枚カードをひく

このとき、

箱Aからのカードの数を、十の位に

箱Bからのカードの数を、一の位にした

２けたの整数は何通りできる？

という問題じゃ

箱Aから１枚ひく場合を考えると、

カード１かカード２の２通りがあるわけじゃ

これらは同時に起こるかな？起こらないかな？

そのとおりじゃ

では、同時に起こらないから、何の法則が使えるんじゃ？

そのとおりじゃ

では、箱Aから１枚ひくことは、和の法則から、

（カード１をひく場合）＋（カード２をひく場合）

と書くことができるじゃろ？

日本語だと数学ぽくないから、

カード１をひくことを、[1]

カード２をひくことを、[2]

と表現しようかのぉ

すると、箱Aから１枚ひくことは、

（カード１をひく場合）＋（カード２をひく場合）

＝ [1] + [2]

のように、数学ぽく表現できるじゃろ

では同じように、

箱Bから１枚ひくことは、和の法則から、

（カード３をひく場合）＋（カード４をひく場合）＋（カード５をひく場合）

と書くことができるじゃろ？

カード３をひくことを、[3]

カード４をひくことを、[4]

カード５をひくことを、[5]

と表現すると、

箱Bから１枚ひくことは、

（カード３をひく場合）＋（カード４をひく場合）＋（カード５をひく場合）

＝ [3] + [4]+ [5]

とかけるわけじゃ

そうじゃな

今回知りたい、つくれる２けたの数字の場合の数は、

箱Aから１枚ひいて、

その場合のそれぞれについて、

箱Bから１枚引くわけじゃ

つまり、箱Aから引くことと、箱Bから引くことは

同時に起こることじゃな

だから、積の法則を使って

（箱Aから１枚ひく場合の数）×（箱Bから１枚ひく場合の数）

と書くことができるわけじゃ

そして、

（箱Aから１枚ひく場合の数）というのは、

和の法則から、

（カード１をひく場合）＋（カード２をひく場合）

＝ [1] + [2]

じゃし、

（箱Bから１枚ひく場合の数）というのは、

（カード３をひく場合）＋（カード４をひく場合）＋（カード５をひく場合）

＝ [3] + [4]+ [5]

だったわけじゃ

つまり、知りたい、２けたの数字の場合の数は、

（箱Aから１枚ひく場合の数）×（箱Bから１枚ひく場合の数）

＝（ [1] + [2] ) × ( [3] + [4]+ [5] )

と書けるわけじゃ

いいところに気づいたのぉ

多項式じゃから、展開することができるわけじゃ

展開してごらん

そのとおりじゃ

もし「分配法則ってなに？」って方は、

こちらを参考にしておくのがオススメじゃ

お〜い、ニャンコくん、記事を教えておくれ

では話を元に戻すかのぉ

いま考えておるのは、２けたの数字の場合の数じゃったな

そしてそれは、以下の式で書けるとこまで進んだんじゃ

（箱Aから１枚ひく場合の数）×（箱Bから１枚ひく場合の数）

＝（ [1] + [2] ) × ( [3] + [4]+ [5] )

この式を展開してごらん

よくできたのぉ

では、この式と、上で求めた答えを見比べてほしいんじゃ

上で求めた答えは、これじゃったな

１３、１４、１５、２３、２４、２５

の全部で６通りじゃったわけじゃ

展開した式は・・・

 ¥(   [1][3] + [1][4] + [1][5] + [2][3] + [2][4] + [2][5] ¥) 

上で数えた答えは・・・

１３、１４、１５、２３、２４、２５

くらべてみると、

そうなんじゃよ

実は、場合の数を知りたいときに、

和の法則や積の法則にしたがって、数式が作れたら、

その数式を展開してみるんじゃ

すると、展開した式の「項の数」が、

求めたい場合の数と一致するんじゃよ

そのとおりじゃ

じつはこの考え方は、高校数学でとくに活躍するんじゃ

中学数学では、場合の数といえば、

樹形図を書いたり、辞書式に書いたりするかと思うんじゃ

それでも全然いいんじゃが、

最初に言ったように、

答えに自信を持ちたいなぁ〜

という場合には、

多項式の展開を習ったなら、この考え方を使って、

場合の数や確率を復習してみると、理解がさらに深まるはずじゃ

学校の授業では、場合の数と多項式は、

ぜんぜん別物として習うからのぉ

じゃが、考え方としては、共通点があるってことじゃな

そうじゃのぉ

というわけで、今回はこれぐらいにしておこうかのぉ

お〜い、ザピエルくん、あとお願い！