今回は、線分比と面積比の関係についてのパート２じゃ
受験で必須の考え方じゃから、
このページでマスターするくらいの気持ちで読んでほしいんじゃ
今回は、前回の続きで、三角形の面積比と線分比の関係パート２じゃ
前回とは、図形の中の三角形の関係が違うんじゃな
そこをよーくチェックしてほしいんじゃ
また、前回の関係を使うことで、今回の関係が導けるので、
前回の内容って？？
って方は、前回の記事を読んでから、こちらを読むと理解が進むはずじゃ
おーい、にゃんこくん、前回の記事を教えてくれる！？
それでは今回の解説を始めるかのぉ
【数学】入試で差がつく、線分比と面積比の関係をサクッとまとめました【中学数学 図形】
三角形の線分比と面積比の関係について パート２
今回の内容は、具体的には、以下のような、
２つの三角形の面積（MとN）の比と、
線分比についての関係についての話じゃ
今回は、もう結論から先に観かのぉ
実はこの図のときの、MとNの面積比は、線分BDと線分CDの線分比は、
M : N = m : n
と書けるんじゃ
とりあえず使いたいだけなら、上の比をシッカリ理解しておけばオッケーじゃ
ほんとにそうなの？
って思うあなたは、以下の証明を読んでみるのがおすすめじゃ
三角形の線分比と面積比の関係について パート２ 証明編
今回は、上と同じ図なんじゃが、
以下のように見てほしいんじゃ
見比べてほしいんじゃが、
上の図の、面積 M と N の関係は、
下の図では、① と ③ と同じになっているわけじゃ
そして、下の図では、さらに
AE : ED = x : y
を新しく加えたわけじゃな（これは後で使うんじゃ）
では、導いてみようかのぉ
まずは、いきなり、求める M : N である、①：③を考えるんじゃなくて、
①＋② ： ③＋④
を考えてみるのがポイントじゃ
するとこれは、前回の三角形の線分比と面積比の図になっているわけじゃ
このときに、全体の面積（三角形ABCの面積）を文字 S と書いてみるかのぉ
（こうしておくと、シンプルに式が書けるからじゃ）
そうすると、
[mathjax]
\( (三角形ABDの面積) = 三角形ABC × \frac{m}{m+n} \)
と書けるわけじゃ
この
\( \frac{m}{m+n} \)
の意味は、
\( \frac{ABDの面積}{全体の面積} \)
となっていて、
全体の面積のうちの、三角形ABDの面積の「割合」を表しておるわけじゃ
割合がわかりにくいなら、こんな例を考えてみるかのぉ
８０人の生徒の中の、３０人が男子、５０人が女子とするかのぉ
すると、男子の割合は、
\( \frac{男子の人数}{全体の人数} \)
と書けるわけじゃ
上の図の話に戻すかのぉ
\( (三角形ABDの面積) = 三角形ABC × \frac{m}{m+n} \)
\( = S × \frac{m}{m+n} \) ・・・・（⭐︎１）
と書けるわけじゃな
次に、同じように、三角形ACDの面積を、全体の面積 S を使って表してみるんじゃ
すると、
\( (三角形ACDの面積) = 三角形ABC × \frac{n}{m+n} \)
\( = S × \frac{n}{m+n} \) ・・・・（⭐︎２）
上の場合とで、割合の部分の分子が n に変わってるところに気をつけるんじゃよ
次は、三角形ABDを全体として、①と②の２つの三角形があると考えてみるんじゃ
こう見ることができると、
三角形ABX(①)：三角形BDX(②) ＝ x：y
というのがわかるはずじゃ
\( (三角形ABXの面積) = (三角形ABDの面積） × \frac{x}{x+y} \)
と書けるわけじゃ
三角形ABDの面積は、（⭐︎１）で求めていたんじゃ
\( (三角形ABDの面積) = S × \frac{m}{m+n} \) ・・・・（⭐︎１）
じゃから、（⭐︎１）を代入すると、
\( (三角形ABXの面積) = (三角形ABDの面積） × \frac{x}{x+y} \)
\( = S × \frac{m}{m+n} × \frac{x}{x+y} \) ・・・（⭐︎３）
となるわけじゃ
次は、同じように、
三角形ABCを全体として、③と④の２つの三角形があると考えてみるんじゃ
こう見れれば、
三角形ACX(③)：三角形CDX(②) ＝ x：y
というのがわかるはずじゃ
\( (三角形ACXの面積) = (三角形ACDの面積） × \frac{x}{x+y} \)
と書けるわけじゃ
三角形ACDの面積は、（⭐︎2）で求めていたんじゃ
\( (三角形ACDの面積) = S × \frac{n}{m+n} \) ・・・・（⭐︎2）
じゃから、（⭐︎2）を代入すると、
\( (三角形ACXの面積) = (三角形ACDの面積） × \frac{x}{x+y} \)
\( = S × \frac{n}{m+n} × \frac{x}{x+y} \) ・・・（⭐︎4）
となるわけじゃ
これでいよいよ、知りたかった面積の比を考えてみようかのぉ
三角形ABX（M）と、三角形ACX（N）は、それぞれ、
（⭐︎３）と（⭐︎４）で求めたんじゃ
\( (三角形ABXの面積 M (①)) = S × \frac{m}{m+n} × \frac{x}{x+y} \) ・・・（⭐︎３）
\( (三角形ACXの面積 N (③)) = S × \frac{n}{m+n} × \frac{x}{x+y} \) ・・・（⭐︎4）
これらから、面積の比を作ると、
(三角形ABXの面積 M (①)) : (三角形ACXの面積 N (③))
\( = S × \frac{m}{m+n} × \frac{x}{x+y} : S × \frac{n}{m+n} × \frac{x}{x+y} \)
この比を簡単にすると、
M : N = m : n
となるわけじゃ
これで、以下の関係が導けたわけじゃな
この図のとき、
M：N ＝ m：n
というわけじゃ
おーい、ザピエルくん、あとはお願い！
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