【数学】入試で差がつく、線分比と面積比の関係をサクッとまとめました【中学数学 図形】

三角形の線分比と面積比パート2 数学おじさん oj3math 図形
三角形の線分比と面積比パート2 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

今回は、線分比と面積比の関係についてのパート2じゃ

 

受験で必須の考え方じゃから、

 

このページでマスターするくらいの気持ちで読んでほしいんじゃ

 

今回は、前回の続きで、三角形の面積比と線分比の関係パート2じゃ

 

前回とは、図形の中の三角形の関係が違うんじゃな

 

そこをよーくチェックしてほしいんじゃ

 

また、前回の関係を使うことで、今回の関係が導けるので、

 

前回の内容って??

 

って方は、前回の記事を読んでから、こちらを読むと理解が進むはずじゃ

 

おーい、にゃんこくん、前回の記事を教えてくれる!?

 

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

はーい、先生

 

前回の、三角形の面積比と線分比の関係パート1は、こちらにゃん

 

【数学】三角形の辺と面積の比について、2つの考え方をサクッとまとめました【中学数学 図形】

 

数学おじさん
数学おじさん

それでは今回の解説を始めるかのぉ

 

【数学】入試で差がつく、線分比と面積比の関係をサクッとまとめました【中学数学 図形】

三角形の線分比と面積比の関係について パート2

 

今回の内容は、具体的には、以下のような、

 

2つの三角形の面積(MとN)の比と、

 

線分比についての関係についての話じゃ

 

三角形の線分比と面積比パート2 数学おじさん oj3math

 

今回は、もう結論から先に観かのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

実はこの図のときの、MとNの面積比は、線分BDと線分CDの線分比は、

 

M  :  N  =  m  :  n

 

と書けるんじゃ

 

とりあえず使いたいだけなら、上の比をシッカリ理解しておけばオッケーじゃ

 

ほんとにそうなの?

 

って思うあなたは、以下の証明を読んでみるのがおすすめじゃ

 

 

三角形の線分比と面積比の関係について パート2 証明編

今回は、上と同じ図なんじゃが、

 

以下のように見てほしいんじゃ

三角形の線分比と面積比パート2 数学おじさん oj3math

三角形の線分比と面積比パート2−2 数学おじさん oj3math

見比べてほしいんじゃが、

 

上の図の、面積 M と N の関係は、

 

下の図では、① と ③ と同じになっているわけじゃ

 

そして、下の図では、さらに

 

AE : ED = x : y

 

を新しく加えたわけじゃな(これは後で使うんじゃ)

 

 

では、導いてみようかのぉ

 

まずは、いきなり、求める M : N である、①:③を考えるんじゃなくて、

 

①+②   :   ③+④

 

を考えてみるのがポイントじゃ

 

するとこれは、前回の三角形の線分比と面積比の図になっているわけじゃ

三角形の線分比と面積比2 数学おじさん oj3math

このときに、全体の面積(三角形ABCの面積)を文字 S と書いてみるかのぉ

(こうしておくと、シンプルに式が書けるからじゃ)

 

そうすると、

[mathjax]

\( (三角形ABDの面積) = 三角形ABC × \frac{m}{m+n} \)

と書けるわけじゃ

 

この

\( \frac{m}{m+n} \)

の意味は、

\( \frac{ABDの面積}{全体の面積} \)

となっていて、

全体の面積のうちの、三角形ABDの面積の「割合」を表しておるわけじゃ

 

 

割合がわかりにくいなら、こんな例を考えてみるかのぉ

80人の生徒の中の、30人が男子、50人が女子とするかのぉ

すると、男子の割合は、

\( \frac{男子の人数}{全体の人数} \)

と書けるわけじゃ

 

上の図の話に戻すかのぉ

\( (三角形ABDの面積) = 三角形ABC × \frac{m}{m+n} \)

 

\( = S × \frac{m}{m+n} \)  ・・・・(⭐︎1)

 

と書けるわけじゃな

 

三角形の線分比と面積比2 数学おじさん oj3math

次に、同じように、三角形ACDの面積を、全体の面積 S を使って表してみるんじゃ

 

すると、

\( (三角形ACDの面積) = 三角形ABC × \frac{n}{m+n} \)

 

\( = S × \frac{n}{m+n} \) ・・・・(⭐︎2)

 

上の場合とで、割合の部分の分子が n に変わってるところに気をつけるんじゃよ

 

三角形の線分比と面積比パート2−2 数学おじさん oj3math

 

 

 

次は、三角形ABDを全体として、①と②の2つの三角形があると考えてみるんじゃ

三角形ABD 数学おじさん oj3math

こう見ることができると、

三角形ABX(①):三角形BDX(②) = x:y

というのがわかるはずじゃ

 

\( (三角形ABXの面積) = (三角形ABDの面積) × \frac{x}{x+y} \)

 

と書けるわけじゃ

 

三角形ABDの面積は、(⭐︎1)で求めていたんじゃ

\( (三角形ABDの面積) = S × \frac{m}{m+n} \)  ・・・・(⭐︎1)

 

じゃから、(⭐︎1)を代入すると、

\( (三角形ABXの面積) = (三角形ABDの面積) × \frac{x}{x+y} \)

 

\( =  S × \frac{m}{m+n}  × \frac{x}{x+y} \) ・・・(⭐︎3)

 

となるわけじゃ

 

 

 

 

次は、同じように、

三角形ABCを全体として、③と④の2つの三角形があると考えてみるんじゃ

三角形ACD 数学おじさん oj3math

こう見れれば、

三角形ACX(③):三角形CDX(②) = x:y

というのがわかるはずじゃ

 

\( (三角形ACXの面積) = (三角形ACDの面積) × \frac{x}{x+y} \)

 

と書けるわけじゃ

 

三角形ACDの面積は、(⭐︎2)で求めていたんじゃ

\( (三角形ACDの面積) = S × \frac{n}{m+n} \)  ・・・・(⭐︎2)

 

じゃから、(⭐︎2)を代入すると、

\( (三角形ACXの面積) = (三角形ACDの面積) × \frac{x}{x+y} \)

 

\( =  S × \frac{n}{m+n}  × \frac{x}{x+y} \) ・・・(⭐︎4)

 

となるわけじゃ

 

 

 

これでいよいよ、知りたかった面積の比を考えてみようかのぉ

三角形の線分比と面積比パート2 数学おじさん oj3math

三角形ABX(M)と、三角形ACX(N)は、それぞれ、

(⭐︎3)と(⭐︎4)で求めたんじゃ

 

\( (三角形ABXの面積 M (①))  =  S × \frac{m}{m+n}  × \frac{x}{x+y} \) ・・・(⭐︎3)

 

\( (三角形ACXの面積 N (③))  =  S × \frac{n}{m+n}  × \frac{x}{x+y} \) ・・・(⭐︎4)

 

これらから、面積の比を作ると、

(三角形ABXの面積 M (①)) : (三角形ACXの面積 N (③))

 

\( = S × \frac{m}{m+n} × \frac{x}{x+y}  :   S × \frac{n}{m+n} × \frac{x}{x+y} \)

 

この比を簡単にすると、

 

 M :  N = m : n 

 

となるわけじゃ

 

これで、以下の関係が導けたわけじゃな

三角形の線分比と面積比パート2 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

この図のとき、

 

M:N = m:n

 

というわけじゃ

 

おーい、ザピエルくん、あとはお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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