【数学】三角形の辺と面積の比について、2つの考え方をサクッとまとめました【中学数学 図形】

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三角形の線分比と面積比2 数学おじさん oj3math 図形
三角形の線分比と面積比2 数学おじさん oj3math
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数学おじさん
数学おじさん

今回は、線分比と面積比の関係について、

 

入試必須の考え方をまとめようかのぉ

 

これは絶対に外せない方法じゃから、

 

今のうちに身につけておくと、受験前であわてずにすむんじゃな

 

具体的には、以下のような、

 

2つの三角形の面積(MとN)の比と、

 

線分比についての関係についての話じゃ

 

 

三角形の線分比と面積比1 数学おじさん oj3math

三角形の線分比と面積比

 

図形の問題では、三角形の性質を使うものがほとんどなんじゃ

 

学校で習う公式や定理も、三角形に関係するものが多いじゃろ

 

四角形や五角形、六角形も、細かくすると、三角形になるから、

 

結局、三角形の性質を使って解く問題がほとんどなんじゃ

 

 

というわけで、今回は、三角形の性質の中でも、

 

特に入試によく出る、線分比と面積比の関係について、

 

まとめようと思うんじゃ

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

本記事を読むと、

 

線分比と面積比の関係について、

 

2つの考え方を学ぶことができる

 

わけですね

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では解説を始めるかのぉ

 

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【数学】三角形の辺と面積の比について、2つの考え方をサクッとまとめました【中学数学 図形】

数学おじさん
数学おじさん

まずは定番のやつから説明するかのぉ

三角形の線分比と面積比の関係①

三角形の線分比と面積比2 数学おじさん oj3math

三角形の線分比と面積比2

三角形ABCが、2つの三角形に分かれておるんじゃ

 

三角形ABDと三角形ACDの2つじゃな

 

図をみると、この2つの三角形の面積を、

それぞれMとNで表しているわけじゃ

 

このMとNと図の下の線分BDと線分CDの比 a : b

 

には関係があるわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

その関係はズバリ、

 

 a : b = M : N

 

なんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

この図の関係が満たされる時、

 

辺の比は、面積の比に等しい

 

というわけじゃな

 

これはよ〜く使うから、

 

まずは、図と一緒に、シッカリ覚えてしまうんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

何かの問題で、線分の比があった時、

 

この図の形があれば、面積の比に変えれる

 

というわけじゃな

 

 

逆もあるんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

問題で面積の比がわかったら、

 

それは線分の比に変えることができる

 

わけじゃな

 

これらはどちらも使えるように、練習するのが大事じゃ

 

 

 

 

三角形の線分比と面積比① の証明

上の性質が成り立つことを示しておくかのぉ

 

証明というとかた苦しく感じるかもじゃが、

 

要は、これまで習ったことを使うと、

 

今習っていることが導ける、

 

ということじゃな

 

具体的には、今回の「三角形の線分比と面積比の関係」では、

 

三角形の面積の公式を使いって、

 

その関係を導くわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

三角形の面積の公式は、

 

(三角形の面積)=(底辺)×(高さ)÷2

 

で表せるわけじゃな

 

では、次の三角形を考えてみるかのぉ

 

上の図の、左の面積Mじゃな

 

この三角形ABDは、底辺はm、高さはh となっているわけじゃ

三角形の面積m 数学おじさん oj3math

(三角形ABDの面積)= m × h ÷ 2 = M

となるわけじゃな

 

ではこちらの図を考えてみるかのぉ

 

この図では、青の三角形について、底辺がn、高さh と示されておるわけじゃ

三角形の面積n 数学おじさん oj3math

(三角形ACDの面積)= n × h  ÷  2 = N

となるわけじゃな

 

数学おじさん
数学おじさん

2つの面積を比べてみるかのぉ

(三角形ABDの面積)= m × h ÷ 2 = M

(三角形ACDの面積)= n × h  ÷  2 = N

じゃから、

 

(三角形ABDの面積):(三角形ACDの面積)= m × h ÷ 2   :    n × h  ÷  2

 

となるわけじゃ

 

比があったら、簡単にできるか考えるのが大事じゃな

具体的には、以下のように、できるんじゃな

 

4  :  6   =   2 × 2  :  2 × 3    =  2  :  3

 

3÷2   :   5÷2    =   3  :  5

 

のように、比は簡単にできるんじゃな

 

これを考えて、

(三角形ABDの面積):(三角形ACDの面積)= m × h ÷ 2  :  n × h  ÷  2

= m:n

となるわけじゃな

 

三角形の線分比と面積比2 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、この図のとき、

 

M:N = m : n

 

が成り立つわけじゃ

 

 

これで、小学校の時に習った、三角形の面積と、比の計算を使って、

 

中学校で習う、三角形の面積と線分の比の関係を導けたわけじゃな

 

では、次は、線分比と面積比の2つ目を考えてみるかのぉ

以下のような場合じゃな

三角形の線分比と面積比パート2 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

この解説については、次の記事にまとめたんじゃ

 

ぜひ読んでみてほしいんじゃ

 

 

 

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