今回は、線分比と面積比の関係について、
入試必須の考え方をまとめようかのぉ
これは絶対に外せない方法じゃから、
今のうちに身につけておくと、受験前であわてずにすむんじゃな
具体的には、以下のような、
２つの三角形の面積（MとN）の比と、
線分比についての関係についての話じゃ
三角形の線分比と面積比
図形の問題では、三角形の性質を使うものがほとんどなんじゃ
学校で習う公式や定理も、三角形に関係するものが多いじゃろ
四角形や五角形、六角形も、細かくすると、三角形になるから、
結局、三角形の性質を使って解く問題がほとんどなんじゃ
というわけで、今回は、三角形の性質の中でも、
特に入試によく出る、線分比と面積比の関係について、
まとめようと思うんじゃ
本記事を読むと、
線分比と面積比の関係について、
２つの考え方を学ぶことができる
わけですね
そのとおりじゃ
では解説を始めるかのぉ
【数学】三角形の辺と面積の比について、２つの考え方をサクッとまとめました【中学数学 図形】
まずは定番のやつから説明するかのぉ
三角形の線分比と面積比の関係①
三角形の線分比と面積比２
三角形ABCが、２つの三角形に分かれておるんじゃ
三角形ABDと三角形ACDの２つじゃな
図をみると、この２つの三角形の面積を、
それぞれMとNで表しているわけじゃ
このMとNと図の下の線分BDと線分CDの比 a ： b
には関係があるわけじゃ
その関係はズバリ、
a : b = M : N
なんじゃ
この図の関係が満たされる時、
辺の比は、面積の比に等しい
というわけじゃな
これはよ〜く使うから、
まずは、図と一緒に、シッカリ覚えてしまうんじゃ
何かの問題で、線分の比があった時、
この図の形があれば、面積の比に変えれる
というわけじゃな
逆もあるんじゃ
問題で面積の比がわかったら、
それは線分の比に変えることができる
わけじゃな
これらはどちらも使えるように、練習するのが大事じゃ
三角形の線分比と面積比① の証明
上の性質が成り立つことを示しておくかのぉ
証明というとかた苦しく感じるかもじゃが、
要は、これまで習ったことを使うと、
今習っていることが導ける、
ということじゃな
具体的には、今回の「三角形の線分比と面積比の関係」では、
三角形の面積の公式を使いって、
その関係を導くわけじゃ
三角形の面積の公式は、
（三角形の面積）＝（底辺）×（高さ）÷２
で表せるわけじゃな
では、次の三角形を考えてみるかのぉ
上の図の、左の面積Mじゃな
この三角形ABDは、底辺はm、高さはh となっているわけじゃ
（三角形ABDの面積）＝ m × h ÷ 2 = M
となるわけじゃな
ではこちらの図を考えてみるかのぉ
この図では、青の三角形について、底辺がn、高さh と示されておるわけじゃ
（三角形ACDの面積）＝ n × h ÷ 2 = N
となるわけじゃな
2つの面積を比べてみるかのぉ
（三角形ABDの面積）＝ m × h ÷ 2 = M
（三角形ACDの面積）＝ n × h ÷ 2 = N
じゃから、
（三角形ABDの面積）：（三角形ACDの面積）＝ m × h ÷ 2 : n × h ÷ 2
となるわけじゃ
比があったら、簡単にできるか考えるのが大事じゃな
具体的には、以下のように、できるんじゃな
４ ： ６ ＝ ２ × ２ ： ２ × ３ ＝ ２ ： ３
３÷２ ： ５÷２ ＝ ３ ： ５
のように、比は簡単にできるんじゃな
これを考えて、
（三角形ABDの面積）：（三角形ACDの面積）＝ m × h ÷ 2 : n × h ÷ 2
＝ m：n
となるわけじゃな
つまり、この図のとき、
M：N ＝ m : n
が成り立つわけじゃ
これで、小学校の時に習った、三角形の面積と、比の計算を使って、
中学校で習う、三角形の面積と線分の比の関係を導けたわけじゃな
では、次は、線分比と面積比の２つ目を考えてみるかのぉ
以下のような場合じゃな
この解説については、次の記事にまとめたんじゃ
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