【数学】三角形の辺と面積の比について、２つの考え方をサクッとまとめました【中学数学　図形】

 

 

 

図形の問題では、三角形の性質を使うものがほとんどなんじゃ

 

学校で習う公式や定理も、三角形に関係するものが多いじゃろ

 

四角形や五角形、六角形も、細かくすると、三角形になるから、

 

結局、三角形の性質を使って解く問題がほとんどなんじゃ

 

 

というわけで、今回は、三角形の性質の中でも、

 

特に入試によく出る、線分比と面積比の関係について、

 

まとめようと思うんじゃ

 

 

 

【数学】三角形の辺と面積の比について、２つの考え方をサクッとまとめました【中学数学　図形】

三角形の線分比と面積比の関係①

三角形ABCが、２つの三角形に分かれておるんじゃ

 

三角形ABDと三角形ACDの２つじゃな

 

図をみると、この２つの三角形の面積を、

それぞれMとNで表しているわけじゃ

 

このMとNと図の下の線分BDと線分CDの比　a ： b

 

には関係があるわけじゃ

 

 

 

これはよ〜く使うから、

 

まずは、図と一緒に、シッカリ覚えてしまうんじゃ

 

 

逆もあるんじゃ

 

 

これらはどちらも使えるように、練習するのが大事じゃ

 

 

 

 

三角形の線分比と面積比①　の証明

上の性質が成り立つことを示しておくかのぉ

 

証明というとかた苦しく感じるかもじゃが、

 

要は、これまで習ったことを使うと、

 

今習っていることが導ける、

 

ということじゃな

 

具体的には、今回の「三角形の線分比と面積比の関係」では、

 

三角形の面積の公式を使いって、

 

その関係を導くわけじゃ

 

 

では、次の三角形を考えてみるかのぉ

 

上の図の、左の面積Mじゃな

 

この三角形ABDは、底辺はm、高さはh　となっているわけじゃ

（三角形ABDの面積）＝ m × h ÷ 2 = M

となるわけじゃな

 

ではこちらの図を考えてみるかのぉ

 

この図では、青の三角形について、底辺がn、高さh　と示されておるわけじゃ

（三角形ACDの面積）＝　n × h  ÷  2 = N

となるわけじゃな

 

（三角形ABDの面積）＝ m × h ÷ 2 = M

（三角形ACDの面積）＝　n × h  ÷  2 = N

じゃから、

 

（三角形ABDの面積）：（三角形ACDの面積）＝ m × h ÷ 2   :    n × h  ÷  2

 

となるわけじゃ

 

比があったら、簡単にできるか考えるのが大事じゃな

具体的には、以下のように、できるんじゃな

 

４  ：  ６   ＝   ２ × ２  ：  ２ × ３    ＝  ２  ：  ３

 

３÷２   ：   ５÷２    ＝   ３  ：  ５

 

のように、比は簡単にできるんじゃな

 

これを考えて、

（三角形ABDの面積）：（三角形ACDの面積）＝ m × h ÷ 2  :  n × h  ÷  2

＝ m：n

となるわけじゃな

 

 

 

 

これで、小学校の時に習った、三角形の面積と、比の計算を使って、

 

中学校で習う、三角形の面積と線分の比の関係を導けたわけじゃな

 

では、次は、線分比と面積比の２つ目を考えてみるかのぉ

以下のような場合じゃな