
今回は、線分比と面積比の関係について、
入試必須の考え方をまとめようかのぉ
これは絶対に外せない方法じゃから、
今のうちに身につけておくと、受験前であわてずにすむんじゃな
具体的には、以下のような、
2つの三角形の面積(MとN)の比と、
線分比についての関係についての話じゃ

三角形の線分比と面積比
図形の問題では、三角形の性質を使うものがほとんどなんじゃ
学校で習う公式や定理も、三角形に関係するものが多いじゃろ
四角形や五角形、六角形も、細かくすると、三角形になるから、
結局、三角形の性質を使って解く問題がほとんどなんじゃ
というわけで、今回は、三角形の性質の中でも、
特に入試によく出る、線分比と面積比の関係について、
まとめようと思うんじゃ

本記事を読むと、
線分比と面積比の関係について、
2つの考え方を学ぶことができる
わけですね

そのとおりじゃ
では解説を始めるかのぉ
【数学】三角形の辺と面積の比について、2つの考え方をサクッとまとめました【中学数学 図形】

まずは定番のやつから説明するかのぉ
三角形の線分比と面積比の関係①

三角形の線分比と面積比2
三角形ABCが、2つの三角形に分かれておるんじゃ
三角形ABDと三角形ACDの2つじゃな
図をみると、この2つの三角形の面積を、
それぞれMとNで表しているわけじゃ
このMとNと図の下の線分BDと線分CDの比 a : b
には関係があるわけじゃ

その関係はズバリ、
a : b = M : N
なんじゃ

この図の関係が満たされる時、
辺の比は、面積の比に等しい
というわけじゃな
これはよ〜く使うから、
まずは、図と一緒に、シッカリ覚えてしまうんじゃ

何かの問題で、線分の比があった時、
この図の形があれば、面積の比に変えれる
というわけじゃな
逆もあるんじゃ

問題で面積の比がわかったら、
それは線分の比に変えることができる
わけじゃな
これらはどちらも使えるように、練習するのが大事じゃ
三角形の線分比と面積比① の証明
上の性質が成り立つことを示しておくかのぉ
証明というとかた苦しく感じるかもじゃが、
要は、これまで習ったことを使うと、
今習っていることが導ける、
ということじゃな
具体的には、今回の「三角形の線分比と面積比の関係」では、
三角形の面積の公式を使いって、
その関係を導くわけじゃ

三角形の面積の公式は、
(三角形の面積)=(底辺)×(高さ)÷2
で表せるわけじゃな
では、次の三角形を考えてみるかのぉ
上の図の、左の面積Mじゃな
この三角形ABDは、底辺はm、高さはh となっているわけじゃ
(三角形ABDの面積)= m × h ÷ 2 = M
となるわけじゃな
ではこちらの図を考えてみるかのぉ
この図では、青の三角形について、底辺がn、高さh と示されておるわけじゃ
(三角形ACDの面積)= n × h ÷ 2 = N
となるわけじゃな

2つの面積を比べてみるかのぉ
(三角形ABDの面積)= m × h ÷ 2 = M
(三角形ACDの面積)= n × h ÷ 2 = N
じゃから、
(三角形ABDの面積):(三角形ACDの面積)= m × h ÷ 2 : n × h ÷ 2
となるわけじゃ
比があったら、簡単にできるか考えるのが大事じゃな
具体的には、以下のように、できるんじゃな
4 : 6 = 2 × 2 : 2 × 3 = 2 : 3
3÷2 : 5÷2 = 3 : 5
のように、比は簡単にできるんじゃな
これを考えて、
(三角形ABDの面積):(三角形ACDの面積)= m × h ÷ 2 : n × h ÷ 2
= m:n
となるわけじゃな

つまり、この図のとき、
M:N = m : n
が成り立つわけじゃ
これで、小学校の時に習った、三角形の面積と、比の計算を使って、
中学校で習う、三角形の面積と線分の比の関係を導けたわけじゃな
では、次は、線分比と面積比の2つ目を考えてみるかのぉ
以下のような場合じゃな

この解説については、次の記事にまとめたんじゃ
ぜひ読んでみてほしいんじゃ


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