【数学】2次関数の「対称移動(たいしょういどう)」ってどうやるの?【高校数学】(質問ありがとうございました!)

スポンサーリンク
2次関数の対称移動とは 数学おじさん oj3math 関数
2次関数の対称移動とは 数学おじさん oj3math
スポンサーリンク
スポンサーリンク
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今日は「2次関数の対称移動(たいしょういどう)」について、ご質問いただきました

 

今回は、2次関数の対称移動を解説してもらいたいと思います

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう

 

今回は「2次関数の対称移動(たいしょういどう)」じゃな

 

高校に入ると、2次関数が真っ先に出てきて、

 

その後学ぶことの基本になるからのぉ

 

ここでシッカリ理解しておくのは大事なことじゃな

 

質問うさぎ
質問うさぎ

そうなんですー

 

2次関数の対称移動って、いまいち分からなくて・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

うさちゃん、こんにちは

 

2次関数の対称移動はむずかしく感じる方も多いんじゃが、

 

ひとつ1つ解説していくから、

 

シッカリ理解してくれたらオッケーじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

この記事を読むと、

 

①、対称移動とは?がわかる

 

②、2次関数の対称移動の、意味がわかる

 

③、2次関数の対称移動の、計算方法がわかる

 

というメリットがあるわけですね

 

数学おじさん
数学おじさん

その通りじゃ

 

では解説をはじめるかのぉ

スポンサーリンク
スポンサーリンク

【数学】「対称移動(たいしょういどう)ってどうやるの?【高校数学】(質問ありがとうございました!)

数学おじさん
数学おじさん

2次関数の対称移動を理解するには、

 

次の2つの点を理解するといいんじゃ

 

①、「点の対称」について

 

②、「点の集まり」が関数

 

ポイントはこの2点なんじゃ

 

以下で1つひとつ説明していくのぉ

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!お願いします!

点が集まって、関数ができている

数学おじさん
数学おじさん

2次関数の対称移動を理解するには、

 

まずは点の対称を理解するといいんじゃよ

質問うさぎ
質問うさぎ

「点」の対称ですか?

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

まずは、点の対称移動について自信がない方は、

 

以下の記事で、シッカリ理解してほしんじゃ

 

お〜い、ニャンコくん、点の対称移動の記事を教えておくれ

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

はーい、先生!

 

点の対称移動の解説記事はこちらです

 

【数学】点の「対称移動(たいしょういどう)」ってどうやるの?【高校数学】

 

質問うさぎ
質問うさぎ

ありがとうございます!見てみますね!

数学おじさん
数学おじさん

点の対称移動が理解できたら、

 

あとは、最初にいった2つ目のポイント

 

②、「点の集まり」が関数

 

を考えればいいんじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

でも、点の集まりが関数って、どういう意味なんですか?

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

そこからイメージを持ってもらうかのぉ

 

次の図をみてほしいんじゃ

対称移動 点をつなぐ1 数学おじさん oj3math

対称移動 点をつなぐ1 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

座標平面に、1つの点が書いてあるわけじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

これが、どんな意味があるんですか?

数学おじさん
数学おじさん

もう1点書いてみようかのぉ

対称移動 点をつなぐ2 数学おじさん oj3math

対称移動 点をつなぐ2 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

さらに、点を増やしてみるかのぉ

対称移動 点をつなぐ3 数学おじさん oj3math

対称移動 点をつなぐ3 数学おじさん oj3math

対称移動 点をつなぐ4 数学おじさん oj3math

対称移動 点をつなぐ4 数学おじさん oj3math

対称移動 点をつなぐ5 数学おじさん oj3math

対称移動 点をつなぐ5 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

点が多くなったから、点を線でつないでみるかのぉ

対称移動 点をつなぐ6 数学おじさん oj3math

対称移動 点をつなぐ6 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

線でつないだから、大きな丸は消すかのぉ

対称移動 点をつなぐ7 数学おじさん oj3math

対称移動 点をつなぐ7 数学おじさん oj3math

質問うさぎ
質問うさぎ

あ!

2次関数になってますね!

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

点をたくさん集めて、線にすると、関数(グラフ)になるんじゃよ

 

(今回は2次関数の形じゃが

 

直線の式にもなるし、もっと複雑な式にもなるわけじゃ)

 

ポイントは、関数は、点が集まってできていることを理解してほしいわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

たしかにそうなんですけど、

 

それと、対称移動と、どう関係があるんですか?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

今考えているのは、2次関数の対称移動じゃな

 

今の話から、2次関数は、点が集まってできていることがわかったわけじゃ

 

そして、点は、それぞれ対称移動することができるんじゃ

 

点の対称移動については、この記事じゃな

数学にゃんこ
数学にゃんこ

 

 

数学おじさん
数学おじさん

つまり、関数の対称移動というのは、

 

関数を作っている、全部の点を対称移動させればいいわけじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

あー!なるほどです!

 

イメージはできたんですけど、

 

実際の計算は、どうすればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

点の対称移動については、

 

座標にマイナスをつければよかったのぉ

 

関数の対称移動はどうすればいいの?

 

ってことじゃな

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!そうです!

数学おじさん
数学おじさん

まずは下の図をみてほしいんじゃ

対称移動 2次関数 x軸 数学おじさん oj3math

対称移動 2次関数 x軸 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

この図は、2次関数を、X軸対称に移動させたものじゃ

 

オレンジの2次関数を、紫の2次関数に、X軸対称に移動させたわけじゃな

 

2次関数の点を、それぞれ、対称移動させているわけじゃ

 

例えば、点A1の座標を(X、Y)とすると、X軸対称に移動すると、

 

点A2になるわけじゃな

 

点A2の座標は、Xじく対称移動じゃから、

 

点A1のY座標にマイナスをつければいいわけじゃ

 

すると、オレンジの2次関数

 

Y=f(X):オレンジの2次関数

 

は、Y が ーY にかわって、紫の2次関数になるわけじゃ

 

つまり、

 

ーY=f(X):紫の2次関数

 

となるわけじゃ

 

これを変形すると、

 

Y=ーf(X)

 

とも書けるわけじゃな

 

質問うさぎ
質問うさぎ

関数の場合は、具体的な数字じゃなくて、

 

XとかYとか、文字を使って、座標を表現してるんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

このことがわかったら、具体的な2次関数の対称移動も計算ができるんじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

どういうことですか?

[mathjax]

 

数学おじさん
数学おじさん

例えば、

 

\( y = 3x^2 + 5x – 2 \)

 

をX軸対称移動させることを考えてみようかのぉ

 

どうなると思う?

質問うさぎ
質問うさぎ

えっと〜・・・

 

わからないです!

数学おじさん
数学おじさん

X軸対称移動なので、

 

Y座標にマイナスをつければいいわけじゃ

 

これを文字でいうと、

 

y を ーy に変えればいい

 

というわけじゃ

 

すると、

 

\( y = 3x^2 + 5x – 2 \)

 

をX軸対称移動させると

 

\( (ーy) = 3x^2 + 5x – 2 \)

 

となるわけじゃ

 

関数は y= の形が一般的な書き方じゃから

 

\( y = ー3x^2 ー 5x + 2 \)

 

となるわけじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

両辺にマイナスをかけ算すればいいんですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、Y軸対称移動について考えてみるかのぉ

 

Y軸対称移動は、以下のような図になるわけじゃ

対称移動 2次関数 y軸 数学おじさん oj3math

対称移動 2次関数 y軸 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

Y軸対称移動は、X座標にマイナスをつければいいわけじゃ

 

つまり、

 

Y=f(X)を、

 

Y軸対称移動すると、

 

Y=f(ーX)になるわけじゃな

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

具体的な計算はどうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

\( y = 3x^2 + 5x – 2 \)

 

をY軸対称移動させることを考えてみようかのぉ

 

すると、Xを(ーX)に変えればいいわけじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

ということは

 

\( y = 3(-x)^2 + 5(-x) – 2 \)

 

になるわけですね!

 

これを計算すると、

 

\( y = 3x^2 ー 5x ー 2 \)

 

となりますね

 

これでいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ!

 

これで、X軸対称と、Y軸対称の移動がわかったわけじゃ

 

あとは、原点対称移動じゃな

 

これは、点の対称移動でもやったように、

 

X軸対称と、Y軸対称を両方行えばいいわけじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

ということは

 

Yを(ーY)にして、

 

Xを(ーX)にして、

 

計算して、Y= の形にすればいいんですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では計算してみてごらん

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!

 

えっと、もともとの関数は

 

\( y = 3x^2 + 5x – 2 \)

 

だから、

 

このXを(ーX)に、Yを(ーY)にすればいいんですね

 

\( ーy = 3(ーx)^2 + 5(ーx) – 2 \)

 

\( ーy = 3x^2 ー 5x ー 2 \)

 

\( y = ー3x^2 + 5x + 2 \)

 

となりました!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ちなみに、これを図で書くと、以下のようになるわけじゃ

対称移動 2次関数 原点 数学おじさん oj3math

対称移動 2次関数 原点 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

元の関数がオレンジの2次関数とすると、

 

X軸対称に移動させて、紫の2次関数になるわけじゃ

 

この時、Y座標にマイナスがつくわけじゃな

 

そして次に、その紫の2次関数をY軸対称に移動させるわけじゃ

 

この時、X座標にマイナスをつけるわけじゃ

 

すると、緑の2次関数になるわけじゃな

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

これで関数の対称移動もわかりました!

 

図で意味もつかめて、

 

計算のやり方もわかりました!

 

ありがとうございました!

 

数学おじさん
数学おじさん

わかってもらえたようでよかった

 

というわけで、今回の解説は以上じゃ

 

お〜い、ザピエルくん、あとお願い!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

Twitter のリプライや、ダイレクトメールでどうぞ☆

ツイッターは ⇒ こちら

 

ちなみに、ブログ執筆にあたって、質問してくれた方には許可をとっています。

 

質問しても勝手に載せることはないので安心してください。

 

 

よかったら、Youtube のチャンネル登録もお願いします☆

Youtube チャンネルは ⇒ こちら
登録してもらえると、とても 励みになります
ってだれがハゲやねん!

コメント

error: Content is protected !!
タイトルとURLをコピーしました