【数学】点の「対称移動(たいしょういどう)」ってどうやるの?【高校数学】

点の対称移動とは 数学おじさん oj3math 関数
点の対称移動とは 数学おじさん oj3math
秘書ザピエル
秘書ザピエル

今日は「対称移動(たいしょういどう)」について、ご質問いただきました

 

今回は、対称移動を解説してもらいたいと思います

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくん、ありがとう

 

今回は「対称移動(たいしょういどう)」じゃな

 

高校に入ると、2次関数などで、出てくるかのぉ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

そうなんですー

 

対称移動って、いまいち分からなくて・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

うさちゃん、こんにちは

 

対称移動はむずかしく感じる方も多いんじゃが、

 

ひとつ1つ解説していくから、

 

シッカリ理解してくれたらオッケーじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

この記事を読むと、

 

①、点の「X軸対称」のやり方がわかる

 

②、点の「Y軸対称」のやり方がわかる

 

③、点の「原点対称」のやり方がわかる

 

というメリットがあるわけですね

 

数学おじさん
数学おじさん

その通りじゃ

 

では解説をはじめるかのぉ

【数学】点の「対称移動(たいしょういどう)ってどうやるの?【高校数学】

数学おじさん
数学おじさん

点の対称移動を理解するには、

 

次の3つの点を理解するといいんじゃ

 

①、X軸対称

 

②、Y軸対称

 

③、原点対称

 

ポイントはこの3つなんじゃ

 

以下で1つひとつ説明していくのぉ

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!お願いします!

点の対称とは?

数学おじさん
数学おじさん

まずはX軸の対称を解説するかのぉ

質問うさぎ
質問うさぎ

「X軸」の対称ですか?

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃ

 

まずは、下のような図を考えてみようかのぉ

 

対称を表現するには、図が必要だからのぉ

対称移動 準備 数学おじさん oj3math

対称移動 準備 数学おじさん @oj3math

数学おじさん
数学おじさん

点の場所を表現するには、座標軸を使う必要があるんじゃな

 

座標軸や点とかグラフが書かれた図を、

 

座標平面(ざひょうへいめん)」と呼ぶんじゃな

座標平面について

数学おじさん
数学おじさん

座標平面について、簡単に復習しておくかのぉ

 

わかってる!って方は、サーと下に行ってもらったらオッケーじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!

ちょっと不安なので、教えて下さい!

 

数学おじさん
数学おじさん

もちろんじゃ

 

上の図の座標平面には、点が1つ、点Aが書かれておるな

 

これは、点の名前が A で、

 

その座標が、(x,  y)  となっているわけじゃ

 

 

質問うさぎ
質問うさぎ

( )の外に描いてあるAが、点の名前になるですね

 

そして、

 

( )の中にある、2つの数字が、座標なんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では次に、座標の意味なんじゃが、

 

図では、(x,  y) と書いてあるのぉ

 

この意味じゃが、(  )の中に、2つの数値を書くんじゃ

 

xとyは、文字じゃが、数字じゃと思ってほしいんじゃ

 

(3,  2) のような感じじゃな

 

すると、この意味は、この点は、

 

x軸で測った目盛りの数3で、かつ、y軸ではかった目盛りの数は2

 

という2つを満たす点という意味なんじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

2つの数字のうち、左側の数字が、x軸の目盛りで、

 

右側の数字が、y軸の目盛りを表すんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、まずは、x軸対称から解説するかのぉ

 

x軸対称とは

数学おじさん
数学おじさん

x軸対称というのは、x軸に関して対称、という意味じゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

え、x軸に関して対称って、どういうことですか?

数学おじさん
数学おじさん

折り紙を思い出してほしいんじゃ

 

鶴とか折ったことあるんじゃないかのぉ

 

x軸対称の点というのは、

 

折り紙みたいに、

 

x軸という線で折り返したら元の点と重なる点

 

ってことなんじゃよ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

わかるような、わからないような・・・

数学おじさん
数学おじさん

言葉でいっても分かりにくいかもしれんのぉ

図で見てみるかのぉ

 

x軸対称というのは、こんな感じなんじゃ

対称移動 x軸 具体例 数学おじさん oj3math

対称移動 x軸 具体例 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

まず、点A1を見てほしいんじゃ

 

点A1の座標はわかるかな?

質問うさぎ
質問うさぎ

点A1の横の(  )の中の数字を見ればいいので、

 

座標は(3、2)です!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

この点A1を、x軸で折り返してみてほしいんじゃ

 

ここは頭の中で想像してほしいんじゃな

 

すると、点A2と重なるんじゃよ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

たしかに、X軸で折り返すと、点A1点A2は重なりますね!

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃ

 

このように、X軸で折り返した時に、重なる点を、X軸対称の点、というわけじゃ

 

つまり、A1のX軸対称の点は、A2、というわけじゃ

 

(同じように、A2のX軸対称の点は、A1、もいえるわけじゃな)

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

では、A1の座標が(3、2)とわかっているとすると、

 

点A2の座標がどうなるか、考えてみてほしいんじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

図には点A2(3, ー2)と書いてありますね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、別の点(5,  3)があったら、

 

そのX軸対称の点の座標はわかるかな?

質問うさぎ
質問うさぎ

えっと〜、X軸で折り返すので、

 

わからないです・・

 

数学おじさん
数学おじさん

実はの、ある点の、X軸対称の点の座標は、

 

ある点のY座標にマイナスをつければオッケーなんじゃ

 

つまり、点(5,  3)の、

X軸対称の点の座標は(5、−3)

とすぐわかるんじゃよ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

え、図を想像して、折り返して考えてたんですけど、

 

そんな必要ないんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

図はあくまで、意味を理解するためのものなんじゃ

 

実際に計算するときには、

 

X軸対称にするなら、Y座標にマイナスをつければいい

 

という操作をすればオッケーなんじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

じゃあ、最初っから、図を出さないで、

 

それだけ教えてくれたらいいじゃないですかー

 

数学おじさん
数学おじさん

たしかにそう思うかもじゃが、

 

図を使って、意味を理解するのも大事なんじゃ

意味を理解していないと、テストなどで、

 

あれ、どうだったっけ?

 

と忘れたときに、カンになってしまうじゃろ

図で意味を理解しておけば、

 

その場で、Y座標にマイナスをつければいいことを、

 

その場で、確かめることができるわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

ただ暗記するんじゃなくて、

 

その意味を理解しておくと、忘れても大丈夫だし、間違いが減るわけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

では、まとめておくかのぉ

 

ある点のX軸対称の点は、ある点のY座標に、マイナスをつければいい

 

これがポイントなわけじゃ

 

では次は、Y軸対称を解説するかのぉ

 

Y軸対称とは

数学おじさん
数学おじさん

Y軸対称は、図で書くと、こんな感じじゃ

対称移動 y軸 具体例 数学おじさん oj3math

対称移動 y軸 具体例 数学おじさん oj3math

数学おじさん
数学おじさん

点A1をY軸対称に移動させると、

 

点A3になるわけじゃな

 

あれ?って方は、

 

Y軸で折り返すおりがみを想像してみてほしいんじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

数学おじさん
数学おじさん

すると、Y軸対称に移動した点の座標A3は、どうなるかのぉ

質問うさぎ
質問うさぎ

A3(−3, 2)となりますね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

つまり、


Y軸対称にした座標は、


元の座標のX座標に、マイナスをつければオッケー

 

というわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

これも図と一緒に、意味を理解しておくといいですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、原点対称について解説するかのぉ

 

原点対称とは

数学おじさん
数学おじさん

対称の最後は、原点対称じゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

原点対称って、なんですか?

数学おじさん
数学おじさん

まず「原点」というのは、(0、0)の点のことじゃな

 

つまり、X軸とY軸の交わったところじゃ

質問うさぎ
質問うさぎ

はい!

 

じゃあ、ある点の原点対称に移動って、どうすればいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

原点対称は、じつは、

 

①、X軸対称にして、

 

②、Y軸対称にすれば

 

オッケーなんじゃよ

 

図にすると、以下のような感じじゃな

対称移動 原点 具体例 数学おじさん oj3math

対称移動 原点 具体例 数学おじさん oj3math

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

X軸対称移動と、Y軸対称移動を組み合わせればいいんですね!

 

まず、X軸に対称移動して、

 

(3、2)が(3、−2)

 

になりますね

 

そして、その(3、−2)をY軸対称に移動して、

 

(3、−2)が(−3、−2)

 

になるわけですね!

この(−3、−2)が原点対称移動させた点なわけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

X軸対称にするには、Y座標にマイナスをつけて、

 

Y軸対称にするには、X座標にマイナスをつけるわけじゃ

 

つまり、

 

原点対称にするには、

 

X座標とY座標の、両方にマイナスをつければいいわけじゃな

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

これで点の対称移動はわかりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

それではまとめておくかのぉ

 

ある点を、対称移動させたい時、

 

①、X軸対称にするには、Y座標にマイナスをつける

 

②、Y軸対称にするには、X座標にマイナスをつける

 

③、原点対称にするには、X軸座標、Y軸座標の両方にマイナスをつける

 

とすればいいわけじゃ

 

質問うさぎ
質問うさぎ

なるほどです!

 

点の対称移動がわかりました!

 

ありがとうございます!

 

数学おじさん
数学おじさん

よかったのぉ

 

それじゃ今回の解説は、このくらいにしておくかのぉ

 

お〜い、ザピエルくん、あとお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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数学にゃんこ
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2次関数の対称移動のやり方にゃん

 

【数学】2次関数の「対称移動(たいしょういどう)」ってどうやるの?【高校数学】(質問ありがとうございました!)

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