【数学 質問解答 場合の数】硬貨で払える金額の「場合の数」の考え方・解き方はこちらです【数A 高校数学】(質問ありがとうございました!)

払える金額の場合の数 数学おじさん oj3math 場合の数
払える金額の場合の数 数学おじさん oj3math

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、こんな質問をいただきました

 

10円硬貨が2枚、50円硬貨が3枚、100円硬貨が4枚あります。

 

これらの硬貨の全部、または一部を使って、払える金額は、何通りですか?

 

先生!お願いします

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

は〜い、ゼピエルくん

 

今回は、いわゆる、払える金額問題じゃな

 

これを考えるために必要なのは、

 

樹形図

 

和の法則

 

積の法則

 

重複(ちょうふく)

 

といったものがありそうじゃな

 

ハッチくん
ハッチくん

先生!こんにちブーン!

 

今回は、場合の数のようですね〜

 

何通りあるか?

 

って問題って苦手なんです

 

答えが出ても、確かめることができにくいので・・・

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

例えば、因数分解の問題じゃったら、

 

因数分解した答えを展開してみて、

 

問題と同じになれば、確実にあってることが確かめることができるのぉ

ハッチくん
ハッチくん

そうなんです!

 

場合の数って、確かめができないので、なんかモヤっとします

数学おじさん
数学おじさん

たしかにそうじゃな

 

場合の数は、因数分解のような公式というものがないんじゃな

 

ただし、考え方の方針というか、

 

これを使うとラクができたり、

 

間違いを減らすことができる

 

といった道具があるんじゃな

 

それらを使いこなすことで、

 

時間内に、正確に求めれる確率が高まるわけじゃな

ハッチくん
ハッチくん

はい!わかりました!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

本記事を読むと、次のメリットがあるんですね

 

①、場合の数の考え方について学べる

 

②、和の法則、積の法則の使い方を理解できる

 

③、重複(ちょうふく)の扱い方を学べる

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

樹形図、和の法則、積の法則、重複、

 

どれもラクをしたり、間違いを減らすのに重要な考え方なんじゃ

 

では解説を始めるかのぉ

【数学 質問解答 場合の数】硬貨で払える金額の「場合の数」の考え方・解き方はこちらです【数A 高校数学】(質問ありがとうございました!)

 

数学おじさん
数学おじさん

場合の数で大事なのは、

 

まずは、具体的に、いくつか、考えてみることじゃ

 

次に、それらの例を参考にして、規則や傾向を考えるんじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

う〜ん、むずかしそうですねぇ

 

数学おじさん
数学おじさん

最初はそうじゃな

 

まずは、こんな感じなんだー

 

ってのをつかんでもらえればオッケーじゃ

 

では具体的に考えてみるかのぉ

具体例を、いくつか考えて、規則や傾向を考える

数学おじさん
数学おじさん

まずは、問題をもう一度書いておくかのぉ

 

10円硬貨が2枚、50円硬貨が3枚、100円硬貨が4枚あります。

 

これらの硬貨の全部、または一部を使って、払える金額は、何通りですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、とりあえず、3種類の硬貨(10円、50円、100円)を、

 

それぞれ1枚ずつ使ってみるかのぉ

 

まずは、10円1枚、50円0枚、100円0枚という状況じゃ

 

すると、合計金額は

 

10+0+0=10円

 

となるわけじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

ちなみに、これは、

 

10×1+50×0+100×0=10円

 

とも書けるのぉ

 

ここがポイントでもあるんじゃ

 

数学おじさん
数学おじさん

では次に、10円0枚、50円1枚、100円0枚を考えるとする

 

すると、合計金額は、

 

10×0+50×1+100×0=50円

 

と書けるのぉ

 

では、10円0枚、50円0枚、100円1枚を考えるとする

 

すると合計金額は、

 

10×0+50×0+100×1=100円

 

となるわけじゃ

 

 

 

ハッチくん
ハッチくん

たしかにそうですね!

 

ただ、これじゃ全部で何通りか、

 

まだ、よくわからないブーン

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな、

 

そういう時は、もう少し具体的にしらべてみるといいんじゃよ

ハッチくん
ハッチくん

わかりました!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

次は、10円1枚、50円1枚、100円0枚を考えてみるかのぉ

 

2枚使うわけじゃな

すると、合計金額は、

10×1+50×1+100×0=60円

となるのぉ

 

 

次は、10円2枚、50円1枚、100円0枚を考えてみるかのぉ

すると、合計金額は、

10×2+50×1+100×0=70円

 

次は、10円2枚、50円1枚、100円1枚を考えてみるかのぉ

すると、合計金額は、

10×2+50×1+100×1=170円

となるのぉ

 

 

ハッチくん
ハッチくん

これらは、合計金額が全部違うので、

 

それぞれ1通りと数えればいいですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

今まで調べたことから、それぞれ合計金額は、

 

以下のように表せるようじゃったのぉ

 

合計金額

 

10× (10円硬貨の枚数) + 50× (50円硬貨の枚数)100× (100円硬貨の枚数)

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

問題のすべての場合が、この式で表せるとすると、

 

この式の中で、変わる部分は、硬貨の枚数なわけじゃ

 

10円硬貨は、全部で2枚あるから、

 

0枚使う場合

1枚使う場合

2枚使う場合

 

がそれぞれあるのぉ

 

そして、これらの場合は、同時には起こらないわけじゃ

 

つまり、和の法則が使える

 

なので、全部で3通りがあるわけじゃな

ハッチくん
ハッチくん

同時に起こらない?和の法則?

 

って、なんでしたっけ???

和の法則、同時に起こらない、とは?

数学おじさん
数学おじさん

とっても大切なポイントじゃ

 

もし、和の法則などがあいまいなら、以下の記事で解説しておるから、

 

シッカリ理解してほしいんじゃ

 

お〜い、ニャンコくん、解説記事を教えてくれる!?

数学にゃんこ
数学にゃんこ

は〜い、先生!

 

「和の法則」や「同時に起こらない」についての解説はこちらニャン

 

【数学】場合の数の「和の法則」「積の法則」と、「多項式(たこうしき)」の関係【場合の数 確率】

ハッチくん
ハッチくん

ありがとう!読んでみるブーン!

数学おじさん
数学おじさん

では話を戻して、まとめの続きをやるかのぉ

 

では、50円硬貨は、どんな場合があるかのぉ?

ハッチくん
ハッチくん

えっと〜

 

50円玉は、全部で3枚なので、

 

0枚使う場合

1枚使う場合

2枚使う場合

3枚使う場合

 

の4通りがあります!

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、100円硬貨の場合はどうじゃろう?

 

ハッチくん
ハッチくん

えっと〜

 

100円硬貨は、全部で4枚なので、

 

0枚使う場合

1枚使う場合

2枚使う場合

3枚使う場合

4枚使う場合

 

の5通りですね!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

では、これらの結果をまとめてみてごらん

ハッチくん
ハッチくん

えっと〜これらをまとめると、

 

10円硬貨は3通り

 

50円硬貨は4通り

 

100円硬貨は5通り

 

ということですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

積の法則、同時に起こる、とは?

ハッチくん
ハッチくん

じゃあ、

 

合計金額を考えるとき、3種類の硬貨を使う状況は同時に起こりますね

 

だから、積の法則が使えますよね!?

 

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

もし、積の法則や、同時に起こる、について自信がないなら、

 

こちらの記事でシッカリ理解しておくといいんじゃ

 

数学にゃんこ
数学にゃんこ

「積の法則」や「同時に起こる」についての解説はこちらニャン

 

【数学】場合の数の「和の法則」「積の法則」と、「多項式(たこうしき)」の関係【場合の数 確率】

 

 

数学おじさん
数学おじさん

話をさえぎってしまったのぉ

 

まとめの続きをやってもらえるかい?

 

ハッチくん
ハッチくん

はい!積の法則が使えるとことまでわかりました。

 

求める合計金額の場合の数は、

 

3種類の硬貨の場合の数のかけ算で表せますよね?

 

つまり、

 

3通り×4通り×5とおり=60通り

 

これが答えでいいんですか!?

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

といいたいところなんじゃが、

 

考え方は正解で、答えは違っておるのぉ

 

この問題については、細かいところをもう少し考える必要があるんじゃよ

ハッチくん
ハッチくん

え、どういうことですか!?

最初はザックリ求めて、あとで細かく調整する

数学おじさん
数学おじさん

上の数え方だと、

 

10円0枚、50円0枚、100円0枚の場合が含まれておるじゃろ?

 

これらの合計金額は0円になるわけじゃが、

 

これは払うことができる金額、ではないわけじゃな

 

なので、この場合は、差し引いて考えないといけないわけじゃ

ハッチくん
ハッチくん

あ〜なるほどです!

 

じゃあ、答えは、

 

60−1=59通り

 

ですか?

数学おじさん
数学おじさん

実は、まだ細かいところを考える必要があるんじゃよ

ハッチくん
ハッチくん

え!まだあるんですか!??

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

これが合計金額の場合の数を考えるときの、最大のポイントなんじゃ

 

次の2つの場合を考えてほしいんじゃ

場合の数の「重複(ちょうふく)」とは?

数学おじさん
数学おじさん

まず、10円0枚、50円2枚、100円1枚を考えるとする

 

すると、合計金額は、

10×0+50×2+100×1=200円

と書けるのぉ

 

では、10円0枚、50円0枚、100円2枚を考えるとする

 

すると合計金額は、

10×0+50×0+100×2=200円

となるわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

あ!硬貨の使い方が違うのに、合計金額が同じになってます!

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

つまり、同じ合計金額のものを、違うものとして数えているわけじゃ

 

このように、同じものなのに、違うものとして多く数えてしまうことを

 

重複(ちょうふく)

 

というんじゃ

 

だから、答えとなる場合の数は、

 

この重複したものを引いてあげないといけないわけじゃ

 

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

でも、全部の合計金額を考えて、

 

その中で重複を除くって考えると、すごく大変ですよねぇ〜

 

数学おじさん
数学おじさん

そうなんじゃよ

 

そこで、合計金額を求める問題では、以下のようなテクニックを使うといいんじゃ

ハッチくん
ハッチくん

テクニックがあるんですか!?

数学おじさん
数学おじさん

そもそも、重複を起こすのは、

 

50円と100円の枚数が原因なわけじゃ

 

ここで頭を柔らかくして、

 

重複が起こらないようにできないか?

 

と発想するんじゃよ

ハッチくん
ハッチくん

え、そんなことができるんですか?

数学おじさん
数学おじさん

重複がイヤだったら、重複が起こらないように工夫できないか?

 

と発想するのは、とても大事なんじゃ

 

数学では、何かが原因で、公式が使えなかったり、

 

いつもの方法が使えないことが多いんじゃ

 

そういう時は、

 

こうだったらできるのにぃ〜

 

こうならないかなぁ〜

 

のように、問題と、自分が解けるパターンの差を比べて、

 

問題を解ける形にできないか?

 

と考えるのが定石なんじゃな

数学おじさん
数学おじさん

今回の問題点は、重複じゃから、

 

重複がないならできるのにぃ〜

 

重複をなくせないかなぁ〜

 

と発想するのは、数学の定石からの自然な発想なわけじゃ

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

 

じゃあ、具体的に、どう、重複をなくすんですか?

数学おじさん
数学おじさん

こう考えればいいんじゃ

 

問題では、10円硬貨2枚、50円硬貨は3枚、100円硬貨は4枚あるわけじゃ

 

例えば、50円硬貨2枚以上あると、100円を作ることができるわけじゃ

 

そうすると、100円硬貨1枚の場合と、重複してしまうわけじゃな

 

つまり、50円硬貨が、2枚以上なければ、重複しない!わけじゃ

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

数学おじさん
数学おじさん

じゃから、問題の硬貨の50円の枚数を3枚のうち2枚を

 

100円1枚に変えてしまうんじゃよ

 

すると、10円硬貨2枚、50円硬貨は1枚、100円硬貨は5枚となるわけじゃ

 

この硬貨を使った支払い金額の場合の数は、

 

もともとの問題の時と変わらずに、

 

重複をはぶくことができるんじゃ

ハッチくん
ハッチくん

なるほどです!

数学おじさん
数学おじさん

では、この変更した枚数で、合計金額の場合の数を求めてごらん

ハッチくん
ハッチくん

はい!えっと〜

 

10円硬貨2枚、50円硬貨は1枚、100円硬貨は5枚なので、

 

10円を使う場合は3通り、(0枚、1枚、2枚)

50円を使う場合は2通り、(0枚、1枚)

100円を使う場合は6通り、(0枚、1枚、2枚、3枚、4枚、5枚)

 

となります!

 

なので、積の法則から、

 

合計金額の場合の数=3通り×2通り×6通り=36通り

 

そして、10円0枚、50円0枚、100円0枚の場合を引いて、

 

36ー1=35通り

 

これで答えですか?

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

よくできたのぉ!

ハッチくん
ハッチくん

よかったです!

 

重複をなくすように、硬貨の枚数を変えるんですね〜

数学おじさん
数学おじさん

その通りじゃ

 

そこが今回のポイントの1つじゃったわけじゃ

 

ちなみに、上の解答では、

 

50円硬貨を、100円硬貨に変えたんじゃが、

 

100円硬貨を、50円硬貨に変えて、重複をなくしてもいいんじゃよ

ハッチくん
ハッチくん

なるほど!

 

問題では、10円硬貨2枚、50円硬貨は3枚、100円硬貨は4枚あるので、

 

100円硬貨4枚を8枚の50円硬貨にしてしまうわけですね!

 

すると、

 

10円硬貨2枚、50円硬貨は11枚、100円硬貨は0枚になりますね

 

なので、

 

10円硬貨を使うのは、3通り(0枚、1枚、2枚)

50円硬貨を使うのは、12通り(0枚、1枚、2枚、・・・10枚、11枚)

100円硬貨を使うのは、1通り(0枚)

 

となるので、積の法則によって、

 

合計金額の場合の数=3×12×1=36通り

 

ここから、10円0枚、50円0枚、100円0枚の場合を引いて、

 

36ー1=35通り

 

これで上と同じ答えが出ましたね!

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

これで、硬貨の合計金額を求める問題は、自信が持てたんじゃないかのぉ

ハッチくん
ハッチくん

はい!次からデキそうです!

 

数学おじさん
数学おじさん

それは良かった!

 

では今回の解説はこのくらいにしておくかのぉ

 

お〜い、ザピエルくん、あとよろしく!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

質問は随時うけていますので、

 

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