【数学 質問解答 場合の数】硬貨で払える金額の「場合の数」の考え方・解き方はこちらです【数A　高校数学】（質問ありがとうございました！）

は〜い、ゼピエルくん

今回は、いわゆる、払える金額問題じゃな

これを考えるために必要なのは、

樹形図

和の法則

積の法則

重複（ちょうふく）

といったものがありそうじゃな

そうじゃな

例えば、因数分解の問題じゃったら、

因数分解した答えを展開してみて、

問題と同じになれば、確実にあってることが確かめることができるのぉ

たしかにそうじゃな

場合の数は、因数分解のような公式というものがないんじゃな

ただし、考え方の方針というか、

これを使うとラクができたり、

間違いを減らすことができる

といった道具があるんじゃな

それらを使いこなすことで、

時間内に、正確に求めれる確率が高まるわけじゃな

そのとおりじゃ

樹形図、和の法則、積の法則、重複、

どれもラクをしたり、間違いを減らすのに重要な考え方なんじゃ

では解説を始めるかのぉ

場合の数で大事なのは、

まずは、具体的に、いくつか、考えてみることじゃ

次に、それらの例を参考にして、規則や傾向を考えるんじゃ

最初はそうじゃな

まずは、こんな感じなんだー

ってのをつかんでもらえればオッケーじゃ

では具体的に考えてみるかのぉ

まずは、とりあえず、３種類の硬貨（１０円、５０円、１００円）を、

それぞれ１枚ずつ使ってみるかのぉ

まずは、１０円１枚、５０円０枚、１００円０枚という状況じゃ

すると、合計金額は

１０＋０＋０＝１０円

となるわけじゃ

では次に、１０円０枚、５０円１枚、１００円０枚を考えるとする

すると、合計金額は、

１０×０＋５０×１＋１００×０＝５０円

と書けるのぉ

では、１０円０枚、５０円０枚、１００円１枚を考えるとする

すると合計金額は、

１０×０＋５０×０＋１００×１＝１００円

となるわけじゃ

そうじゃな、

そういう時は、もう少し具体的にしらべてみるといいんじゃよ

次は、１０円１枚、５０円１枚、１００円０枚を考えてみるかのぉ

２枚使うわけじゃな

すると、合計金額は、

１０×１＋５０×１＋１００×０＝６０円

となるのぉ

次は、１０円２枚、５０円１枚、１００円０枚を考えてみるかのぉ

すると、合計金額は、

１０×２＋５０×１＋１００×０＝７０円

次は、１０円２枚、５０円１枚、１００円１枚を考えてみるかのぉ

すると、合計金額は、

１０×２＋５０×１＋１００×１＝１７０円

となるのぉ

そのとおりじゃ

今まで調べたことから、それぞれ合計金額は、

以下のように表せるようじゃったのぉ

合計金額

＝10円 × (10円硬貨の枚数) + 50円 × (50円硬貨の枚数)＋100円 × (100円硬貨の枚数)

問題のすべての場合が、この式で表せるとすると、

この式の中で、変わる部分は、硬貨の枚数なわけじゃ

１０円硬貨は、全部で２枚あるから、

０枚使う場合

１枚使う場合

２枚使う場合

がそれぞれあるのぉ

そして、これらの場合は、同時には起こらないわけじゃ

つまり、和の法則が使える

なので、全部で３通りがあるわけじゃな

とっても大切なポイントじゃ

もし、和の法則などがあいまいなら、以下の記事で解説しておるから、

シッカリ理解してほしいんじゃ

お〜い、ニャンコくん、解説記事を教えてくれる！？

では話を戻して、まとめの続きをやるかのぉ

では、５０円硬貨は、どんな場合があるかのぉ？

そのとおりじゃ

では、１００円硬貨の場合はどうじゃろう？

そのとおりじゃ

では、これらの結果をまとめてみてごらん

そのとおりじゃ

そのとおりじゃ

もし、積の法則や、同時に起こる、について自信がないなら、

こちらの記事でシッカリ理解しておくといいんじゃ

話をさえぎってしまったのぉ

まとめの続きをやってもらえるかい？

大正解じゃ！

といいたいところなんじゃが、

考え方は正解で、答えは違っておるのぉ

この問題については、細かいところをもう少し考える必要があるんじゃよ

上の数え方だと、

１０円０枚、５０円０枚、１００円０枚の場合が含まれておるじゃろ？

これらの合計金額は０円になるわけじゃが、

これは払うことができる金額、ではないわけじゃな

なので、この場合は、差し引いて考えないといけないわけじゃ

実は、まだ細かいところを考える必要があるんじゃよ

そうなんじゃよ

これが合計金額の場合の数を考えるときの、最大のポイントなんじゃ

次の２つの場合を考えてほしいんじゃ

まず、１０円０枚、５０円２枚、１００円１枚を考えるとする

すると、合計金額は、

１０×０＋５０×２＋１００×１＝２００円

と書けるのぉ

では、１０円０枚、５０円０枚、１００円２枚を考えるとする

すると合計金額は、

１０×０＋５０×０＋１００×２＝２００円

となるわけじゃ

そうなんじゃよ

つまり、同じ合計金額のものを、違うものとして数えているわけじゃ

このように、同じものなのに、違うものとして多く数えてしまうことを

「重複（ちょうふく）」

というんじゃ

だから、答えとなる場合の数は、

この重複したものを引いてあげないといけないわけじゃ

そうなんじゃよ

そこで、合計金額を求める問題では、以下のようなテクニックを使うといいんじゃ

そもそも、重複を起こすのは、

５０円と１００円の枚数が原因なわけじゃ

ここで頭を柔らかくして、

重複が起こらないようにできないか？

と発想するんじゃよ

重複がイヤだったら、重複が起こらないように工夫できないか？

と発想するのは、とても大事なんじゃ

数学では、何かが原因で、公式が使えなかったり、

いつもの方法が使えないことが多いんじゃ

そういう時は、

こうだったらできるのにぃ〜

こうならないかなぁ〜

のように、問題と、自分が解けるパターンの差を比べて、

問題を解ける形にできないか？

と考えるのが定石なんじゃな

今回の問題点は、重複じゃから、

重複がないならできるのにぃ〜

重複をなくせないかなぁ〜

と発想するのは、数学の定石からの自然な発想なわけじゃ

こう考えればいいんじゃ

問題では、１０円硬貨２枚、５０円硬貨は３枚、１００円硬貨は４枚あるわけじゃ

例えば、５０円硬貨２枚以上あると、１００円を作ることができるわけじゃ

そうすると、１００円硬貨１枚の場合と、重複してしまうわけじゃな

つまり、５０円硬貨が、２枚以上なければ、重複しない！わけじゃ

じゃから、問題の硬貨の５０円の枚数を３枚のうち２枚を

１００円１枚に変えてしまうんじゃよ

すると、１０円硬貨２枚、５０円硬貨は１枚、１００円硬貨は５枚となるわけじゃ

この硬貨を使った支払い金額の場合の数は、

もともとの問題の時と変わらずに、

重複をはぶくことができるんじゃ

では、この変更した枚数で、合計金額の場合の数を求めてごらん

大正解じゃ！

よくできたのぉ！

その通りじゃ

そこが今回のポイントの１つじゃったわけじゃ

ちなみに、上の解答では、

５０円硬貨を、１００円硬貨に変えたんじゃが、

１００円硬貨を、５０円硬貨に変えて、重複をなくしてもいいんじゃよ

大正解じゃ！

これで、硬貨の合計金額を求める問題は、自信が持てたんじゃないかのぉ

それは良かった！

では今回の解説はこのくらいにしておくかのぉ

お〜い、ザピエルくん、あとよろしく！

おーそうじゃった

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