【数学 質問解答】「平方根」の計算:ルートの中の数字を小さくしたい【中学数学 中3 平方根】(質問ありがとうございました!)

ルートの中を小さくする 数学(中学校)
ルートの中を小さくする

今回は、こんな質問をいただきました↓

[mathjax]

\( \sqrt{96} の\sqrt{ } \) 中をできるだけ小さい自然数にしてください

 

この問題は、「ルートの中を小さくする問題」と(勝手に)呼んでいます。

 

\( \sqrt{2} と  \sqrt{8}\) だったら、ルートの中は、2の方が小さいですよね

 

でも、 \( \sqrt{8}\)  は、\( 2\sqrt{2}\) と変形することができるんです。

 

すると、\( \sqrt{2}\)  と \( 2\sqrt{2}\) なので、同類項になります。

 

すると同類項の計算ができて、式が整理されたりします。

 

というのは入試でよく出る計算の流れなんですが、

 

今回の話とはそれるので、話を本題に戻しますネ。

 

ここで言いたいことは、

 

ルートの中は、小さくすることができる
ということです。

 

じゃあ、ルートの中なら、なんでも小さくできるの?

 

って思われるかもしれません。

 

実は、できるときと、できないときの、両方の場合があります。

 

たとえば、\( \sqrt{8}\) は、\( 2\sqrt{2}\) と、小さくできました

 

\( \sqrt{10}\) は、小さくすることができません

 

小さくできるものと、できないものがあるわけです。

 

え!?なんで??

 

どうやったら小さくできるの?

 

と思われるかもしれません。

 

そんなあなたのために、

 

本記事では、ルートの中を小さくするやり方をまとめました。

【数学】「平方根」の計算:ルートの中の数字を小さくしたい【中学数学 中3 平方根】

結論から言うと、小さくできるかどうかは、

ルートの中の数字を、

素因数分解(そいんすうぶんかい)すれば、

わかります。

素因数分解して、2乗があれば、小さくすることができます。

ルートの中を小さくする計算は、以下のルートの性質を使います。

\( \sqrt{a^2} = a \)

\( \sqrt{a^2×b} = a\sqrt{b} \)

 

素因数分解については、他の記事でまとめていますので、

 

素因数分解ってなに?って方は、こちらをどうぞ↓

 

 

それでは解説していきますね。まずは小さめの数字でやってみます

\( \sqrt{12} \)のルートの中は、小さくできる?

 

を考えてみます。

 

そのためには、

 

12を素因数分解します

 

すると、

 

12=2×2×3

=22×3

 

のように、2の2乗があることがわかりました。

 

このように、素因数分解して、

2乗があるときには、ルートの中は小さくできる!

といえます。

 

え?なんで?

 

と思われるかもしれません。

 

その理由は、平方根の性質にあります。

平方根の性質(重要)

\( \sqrt{a^2} = a \)

\( \sqrt{a^2×b} = a\sqrt{b} \)

 

この平方根の性質を言葉でいうと、

ルートの中に、2乗があったら、

2乗をとって、ルートの外に出していい

となります。

 

この2乗がつくれるかどうかを調べるために、素因数分解を行ったわけです。

 

12=22×3 なので、

 

\( \sqrt{12}= \sqrt{2^2×3}=2\sqrt{3} \)

 

となります。

 

ルートの中の数字が、12から3と小さくなっていますね。

 

 

 

以上をまとめると、

 

①、ルートの中の数字を素因数分解する
②、2乗があれば、2乗をとった数字をルートの外に出す

 

とすればいいことがわかりました。

 

 

 

それでは、今回質問いただいた問題をやってみます。

\( \sqrt{96} の中をできるだけ小さい自然数にしてください \)

 

96を素因数分解を使って、2乗がつくれるか調べてみましょう

96
48
24
12
   

この計算から、96を素因数分解すると、

96=2×2×2×2×2×3
=4×4×2×3
=4×6

とわかります。

 

 

素因数分解をしたことで、

96には、4の2乗がふくまれていることが分かりました。

なので、ルートのなかを小さくすることができるわけです。

 

問題の解答を書くと、こんな感じになります。

\( \sqrt{96} = \sqrt{4^2×6} \)
\( = 4\sqrt{6} \) (答え)

となります。

 

見た目はさっぱりしてますが、

裏では、素因数分解の計算と、ルートの性質を使っているわけです。

 

というわけで、今回は、ルートの中を小さくする計算についてまとめました。

ルートの中を小さくする計算は、入試などでもよく出てきますので、

素因数分解を練習しながら、シッカリできるようにしておきましょう♪

 

 

質問してくれた方、ありがとうございました!ほんと感謝です!

 

 

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