今回は、こんな質問をいただきました↓
[mathjax]
この問題は、「ルートの中を小さくする問題」と（勝手に）呼んでいます。
\( \sqrt{2} と \sqrt{8}\) だったら、ルートの中は、２の方が小さいですよね
でも、 \( \sqrt{8}\) は、\( 2\sqrt{2}\) と変形することができるんです。
すると、\( \sqrt{2}\) と \( 2\sqrt{2}\) なので、同類項になります。
すると同類項の計算ができて、式が整理されたりします。
というのは入試でよく出る計算の流れなんですが、
今回の話とはそれるので、話を本題に戻しますネ。
ここで言いたいことは、
じゃあ、ルートの中なら、なんでも小さくできるの？
って思われるかもしれません。
実は、できるときと、できないときの、両方の場合があります。
たとえば、\( \sqrt{8}\) は、\( ２\sqrt{２}\) と、小さくできました。
\( \sqrt{10}\) は、小さくすることができません。
小さくできるものと、できないものがあるわけです。
え！？なんで？？
どうやったら小さくできるの？
と思われるかもしれません。
そんなあなたのために、
本記事では、ルートの中を小さくするやり方をまとめました。
【数学】「平方根」の計算：ルートの中の数字を小さくしたい【中学数学 中３ 平方根】
結論から言うと、小さくできるかどうかは、
ルートの中の数字を、
素因数分解（そいんすうぶんかい）すれば、
わかります。
素因数分解して、2乗があれば、小さくすることができます。
ルートの中を小さくする計算は、以下のルートの性質を使います。
\( \sqrt{a^2} = a \)
\( \sqrt{a^2×b} = a\sqrt{b} \)
素因数分解については、他の記事でまとめていますので、
素因数分解ってなに？って方は、こちらをどうぞ↓
それでは解説していきますね。まずは小さめの数字でやってみます
\( \sqrt{12} \)のルートの中は、小さくできる？
を考えてみます。
そのためには、
すると、
１２＝２×２×３
=２2×３
のように、２の２乗があることがわかりました。
このように、素因数分解して、
といえます。
え？なんで？
と思われるかもしれません。
その理由は、平方根の性質にあります。
平方根の性質（重要）
\( \sqrt{a^2} = a \)
\( \sqrt{a^2×b} = a\sqrt{b} \)
この平方根の性質を言葉でいうと、
ルートの中に、２乗があったら、
2乗をとって、ルートの外に出していい
となります。
この2乗がつくれるかどうかを調べるために、素因数分解を行ったわけです。
１２＝２2×３ なので、
となります。
ルートの中の数字が、１２から３と小さくなっていますね。
以上をまとめると、
とすればいいことがわかりました。
それでは、今回質問いただいた問題をやってみます。
\( \sqrt{96} の中をできるだけ小さい自然数にしてください \)
９６を素因数分解を使って、２乗がつくれるか調べてみましょう
| ２ | ） | ９６ |
| ２ | ） | ４８ |
| ２ | ） | ２４ |
| ２ | ） | １２ |
| ２ | ） | ６ |
| ３ | ） | ３ |
| １ |
この計算から、９６を素因数分解すると、
とわかります。
これ、なにやってるの？って方は、こちらをどうぞ
素因数分解をしたことで、
９６には、４の2乗がふくまれていることが分かりました。
なので、ルートのなかを小さくすることができるわけです。
問題の解答を書くと、こんな感じになります。
となります。
見た目はさっぱりしてますが、
裏では、素因数分解の計算と、ルートの性質を使っているわけです。
というわけで、今回は、ルートの中を小さくする計算についてまとめました。
ルートの中を小さくする計算は、入試などでもよく出てきますので、
素因数分解を練習しながら、シッカリできるようにしておきましょう♪
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