【数学】「ベクトル」を使って、「同一直線上」の「直線」を表現するには、どうすればいいの?【高校数学 数B ベクトル】

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、「ベクトル」で、「直線」を表現するには?

 

という内容です。

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくんありがとう

 

今回は、ベクトルの内容じゃ。

 

ベクトルで、直線を表すには?

 

について解説しようと思う。

 

その中でも、学生さんは理解しにくい部分かもしれん。

 

シャンシャン
シャンシャン

そうなんですよ!

 

ベクトルがわかりにくいのに、その上、直線だなんて・・・

 

数学おじさん
数学おじさん

たしかにそうじゃな

 

でもだいじょうぶじゃ

 

わかりやすく解説するから、1つひとつ理解すればよいんじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

わかりました!おねがいします!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回の記事をよむと、

 

「ベクトルを使った直線の表し方」を理解することができる

 

わけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ベクトルのたし算・ひき算・実数倍・分解なども

 

そのつど復習していく予定じゃ。

 

ベクトルが苦手なあなたも、シッカリ理解できるはずじゃ。

 

では、はじめるかのぉ

【数学】「ベクトル」を使って、同一直線上の「直線」を表現するには、どうすればいいの?【高校数学 ベクトル】

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、「直線の表し方」について、

 

サクッと復習しておこうかのぉ

 

直線の表し方①:座標平面(ざひょうへいめん)をつかう

 

数学おじさん
数学おじさん

たとえば、

 

A(1,  2),  B(-3,  5) を通る直線を求めてください~

 

なんていう問題をやったことがあるじゃろ?

 

シャンシャン
シャンシャン

はい!中学校のときや、高校数学では、図形と方程式のところでやりました!

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな。

 

いまは、この問題の解き方を学ぶのではなく、

 

2点 A(1,  2),  B(-3,  5) について

 

確認しておきたいことがあるんじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

え?なんですか?

数学おじさん
数学おじさん

それはじゃな。

 

たとえば、A(1,  2) という点があるためには、

 

なにが必要か?

 

ってことなんじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

え~、なんかむずかしい質問ですね~

 

数学おじさん
数学おじさん

Aという点の場所を定義するためには、

 

座標平面(ざひょうへいめん)

 

を用意したはずじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

座標平面ってなんでしたっけ?

 

数学おじさん
数学おじさん

「座標平面」というのは、方眼紙みたいなもんじゃ。

 

たてとよこに、目盛りがある平面のことじゃな。

 

シャンシャン
シャンシャン

あ!直線や関数のグラフを書くときなんかに、

 

x軸、y軸って書いてたやつですか?

数学おじさん
数学おじさん

そうそう、それじゃそれじゃ。

シャンシャン
シャンシャン

でも、それがなんの関係があるんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

ここで言いたいことはのぉ

 

A(1,  2),  B(-3,  5) を通る直線を求めるためには、

 

点を示すための、目盛りがあったから求めれたということじゃ。

 

そしてその目盛りは、たて・よこ、方眼紙みたいに

 

直角になっていた、というわけじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほど!

 

でも、それがベクトルと、どう関係あるんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

ベクトルで直線を求める場合には、

 

”直角に交わった目盛りを使う” という先入観が邪魔なんじゃよ

 

ベクトルで直線を求めるには、

 

ベクトルの流儀で、考える必要があるんじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

あ~なるほど!ベクトルの流儀に慣れてないかもしれないです。

 

だから、ベクトルが苦手なのかなぁ~

 

数学おじさん
数学おじさん

先入観というのは、自分ではなかなか気づきにくいんじゃ

 

だからこそ、まずは先入観があるかもしれない、と思えることが大事なんじゃ

シャンシャン
シャンシャン

なんかむずかしいですね~

 

数学おじさん
数学おじさん

要するに、

 

ベクトルのときは、

 

ベクトルの考え方に、頭を切りかえる必要がある

 

ということなんじゃ。

 

これを意識できるかどうかで、だいぶ変わってくるはずじゃ。

 

 

シャンシャン
シャンシャン

はい!わかりました!

 

では、ベクトルでの直線の表現ってどうするんですか?

直線の表し方②:ベクトルを使う

 

数学おじさん
数学おじさん

上で言ったように、

 

ベクトルでは、ベクトルの考え方をしみ込ませてほしいんじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

はい!

 

具体的にはどういうことですか?

数学おじさん
数学おじさん

ベクトルで、直線を表すことを考えてみようかのぉ

 

数学おじさん
数学おじさん

これまでは、直線を表すためには、x軸、y軸の目盛りを使っていたんじゃな。

 

ベクトルでは、x軸やy軸のかわりに、

 

軸の役割をする、基準となるベクトルを使うんじゃ。

 

私はそれらを、基本ベクトルと(勝手に)呼んでいるんじゃが、

 

基本ベクトルを使って、目的の直線を表現するわけじゃ。

 

基本ベクトルはベクトルなので、ななめになっていることがほとんどじゃ。

 

つまり、見た目は、座標平面の目盛りとはぜんぜん違ってくるわけじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

みためが違うと、イメージがわきにくいですよね。

 

ベクトルと座標平面では、点や直線の表現方法がちがうってことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

座標平面では、x軸・y軸

 

ベクトルでは、基本ベクトル

 

を使って、様々な状況を数式で表現していくんじゃ。

 

このことを意識せずに学んでしまうと、

 

頭の中がごちゃごちゃになってしまうんじゃ。

シャンシャン
シャンシャン

分かりました!気をつけます!

 

数学おじさん
数学おじさん

ではもう少し具体的に解説していくとするかのぉ

 

ベクトルで直線を表す場合には、2つの場合があるんじゃ

 

①、考えている直線が、基本ベクトルと、同一直線上のとき

 

②、考えている直線が、基本ベクトルと、同一直線上にないとき

 

本記事では、①の場合を解説するわけじゃな

考えている直線が、基本ベクトルと、同一直線上のとき

数学おじさん
数学おじさん

では、下の図をみてほしい

直線 点 ベクトル 数学おじさん oj3math

考えている直線上に、基本ベクトルがある場合(数学おじさん@oj3math)

数学おじさん
数学おじさん

直線1では、これから表現したい直線を書いておる。

数学おじさん
数学おじさん

しかしこのままでは、ベクトルで表現できないから、

基準となるベクトルを定義する必要があるんじゃ。

 

原点Oと任意の点Aをとって(直線2の図)、

 

Oを始点、Aを終点とするベクトルを定義したんじゃ(直線3の図)。

 

このベクトルOAを、基本ベクトルとするわけじゃな。

シャンシャン
シャンシャン

じゃあ、これから、OAベクトルを使って、直線を表していくわけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ではそのために、まず、

 

OAベクトルを使って、他のベクトルを表すやり方を理解しておくのじゃ

 

直線x1 数学おじさん oj3math

 

数学おじさん
数学おじさん

この図には、あたらしい点、X1が加わっておる。

 

そして、点Oから点X1へのベクトル「ベクトルOX1」を、

 

基本ベクトルを使って表現することを考えてみるんじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

えっと~、点X1は、ベクトルOAと同じ直線上にありますよね。

 

ってことは、OAベクトルを何倍かすれば、OX1ベクトルになる?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ベクトルは、何倍かすると、大きさが何倍になる性質があったな。

 

この場合は、OAベクトルを2倍すると、OX1ベクトルなるとしよう。

 

シャンシャン
シャンシャン

すると、点X1は、基本ベクトルを使って、

 

(OX1ベクトル)= 2×(OAベクトル)

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

これで、点X1を(基準)ベクトルを使って表現した、というわけじゃ。

 

では、次の場合はどうじゃ?

 

 

 

 

 

ベクトル 直線(数学おじさん@oj3math)

 

シャンシャン
シャンシャン

こんどは、OX2ベクトルをOAベクトルで表現するんですね!

 

えっと~、O, A, X2は、同じ直線上にありますね。

 

また、OX2ベクトルは、OAベクトルの3倍くらい?

 

とすると、点X2は、基本ベクトルを使って、

 

(OX2ベクトル)= 3×(OAベクトル)

 

と書けますネ。

 

数学おじさん
数学おじさん

大正解じゃ!

 

では、もう1つだけ考えてもらおうかのぉ

ベクトルで直線3 (数学おじさん@oj3math)

シャンシャン
シャンシャン

あ、OX3ベクトルは、OAベクトルと「逆向き」ですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな。

 

ベクトルが逆向きの時は、マイナスをつければオッケーじゃ

 

これは重要じゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

ということは、

 

OX3ベクトルは、基本ベクトルと同じ長さで、向きが反対なので、

 

(OX3ベクトル)= -(OAベクトル)

 

でいいんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ。これで、

 

(基本ベクトルと)同一直線上にある点の表し方

 

がわかったかのぉ

シャンシャン
シャンシャン

同じ直線上なので、基本ベクトルの何倍かを考えればいいんですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

もし向きが反対だったら、マイナスをつけるわけじゃな

シャンシャン
シャンシャン

はい!わかりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

では、ちょっと話をかえるかのぉ。

いままで、点X1、X2、X3の3つを考えてきたわけじゃが、

 

もっとたくさん点があったらどうなるかのぉ。

 

それを図にすると、こんな感じじゃ。

ベクトルによる直線の表現(数学おじさん@oj3math)

 

シャンシャン
シャンシャン

点をあらわす黒丸(●)がたくさんありますね!

 

その黒丸をあらわすベクトルもたくさん!

 

ってことは、基本ベクトルの何倍か、というベクトルがたくさんあるわけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

そしてここがポイントなんじゃが、

 

点がたくさん集まると、直線になるわけじゃが

 

これをベクトルの表現でいいかえると、

 

基本ベクトルを何倍かしたベクトルをたくさん集めると、直線になる

 

となるわけじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほどです!

 

じゃあ、このことを式で書くとどうなるんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

式で書くと、

 

(OXベクトル)= k × (OAベクトル)

 

のように書けるんじゃ。

 

OAベクトルは、基本ベクトルじゃな。

 

は、1とか2とか-1とか、さまざまな実数のなにかじゃ。

 

kが変化することで、(OXベクトル)が変化する、つまり点Xが動くわけじゃ。

 

kがさまざまな実数をとる、ということは、

 

OXベクトルが示す点Xは、さまざまな点をとり、

 

それらを集めると「直線」になる、というわけじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

むずかしいですね~

 

でも、ベクトルによる直線の表し方の雰囲気はわかりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな

 

慣れないうちはピンとこないかもしれんが、

 

ベクトルで直線を表現する方法ということで、

 

頭になじませるのが大事じゃ。

シャンシャン
シャンシャン

はい、わかりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

というわけで、今回の内容は以上じゃ。

 

今回は、ベクトルで直線を表現するのパート①といったところじゃな。

 

表したい直線が、基本ベクトルと同一直線上にある場合の解説をしたわけじゃ。

 

次回は、同一直線上にない場合を解説する予定じゃ

シャンシャン
シャンシャン

楽しみです!

 

 

数学おじさん
数学おじさん

お~い、ザピエルくん、あとお願い!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生、おつかれまでした

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

また、質問してくれた方も、ありがとうございました!

 

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