【数学】「ベクトル」を使って、「同一直線上」の「直線」を表現するには、どうすればいいの？【高校数学 数B ベクトル】

ザピエルくんありがとう

今回は、ベクトルの内容じゃ。

ベクトルで、直線を表すには？

について解説しようと思う。

その中でも、学生さんは理解しにくい部分かもしれん。

たしかにそうじゃな

でもだいじょうぶじゃ

わかりやすく解説するから、１つひとつ理解すればよいんじゃ

そのとおりじゃ

ベクトルのたし算・ひき算・実数倍・分解なども

そのつど復習していく予定じゃ。

ベクトルが苦手なあなたも、シッカリ理解できるはずじゃ。

では、はじめるかのぉ

まずは、「直線の表し方」について、

サクッと復習しておこうかのぉ

たとえば、

A(１,  2),  B(－３,  5) を通る直線を求めてください～

なんていう問題をやったことがあるじゃろ？

そうじゃな。

いまは、この問題の解き方を学ぶのではなく、

２点　A(１,  2),  B(－３,  5)　について

確認しておきたいことがあるんじゃ。

それはじゃな。

たとえば、A(１,  2)　という点があるためには、

なにが必要か？

ってことなんじゃ

Aという点の場所を定義するためには、

「座標平面（ざひょうへいめん）」

を用意したはずじゃ。

「座標平面」というのは、方眼紙みたいなもんじゃ。

たてとよこに、目盛りがある平面のことじゃな。

そうそう、それじゃそれじゃ。

ここで言いたいことはのぉ

A(１,  2),  B(－３,  5) を通る直線を求めるためには、

点を示すための、目盛りがあったから求めれたということじゃ。

そしてその目盛りは、たて・よこ、方眼紙みたいに

直角になっていた、というわけじゃ

ベクトルで直線を求める場合には、

”直角に交わった目盛りを使う”　という先入観が邪魔なんじゃよ

ベクトルで直線を求めるには、

ベクトルの流儀で、考える必要があるんじゃ。

先入観というのは、自分ではなかなか気づきにくいんじゃ

だからこそ、まずは先入観があるかもしれない、と思えることが大事なんじゃ

要するに、

ベクトルのときは、

ベクトルの考え方に、頭を切りかえる必要がある

ということなんじゃ。

これを意識できるかどうかで、だいぶ変わってくるはずじゃ。

上で言ったように、

ベクトルでは、ベクトルの考え方をしみ込ませてほしいんじゃ

ベクトルで、直線を表すことを考えてみようかのぉ

これまでは、直線を表すためには、ｘ軸、ｙ軸の目盛りを使っていたんじゃな。

ベクトルでは、ｘ軸やｙ軸のかわりに、

軸の役割をする、基準となるベクトルを使うんじゃ。

私はそれらを、基本ベクトルと（勝手に）呼んでいるんじゃが、

基本ベクトルを使って、目的の直線を表現するわけじゃ。

基本ベクトルはベクトルなので、ななめになっていることがほとんどじゃ。

つまり、見た目は、座標平面の目盛りとはぜんぜん違ってくるわけじゃ。

そのとおりじゃ

座標平面では、x軸・y軸

ベクトルでは、基本ベクトル

を使って、様々な状況を数式で表現していくんじゃ。

このことを意識せずに学んでしまうと、

頭の中がごちゃごちゃになってしまうんじゃ。

ではもう少し具体的に解説していくとするかのぉ

ベクトルで直線を表す場合には、２つの場合があるんじゃ

①、考えている直線が、基本ベクトルと、同一直線上のとき

②、考えている直線が、基本ベクトルと、同一直線上にないとき

本記事では、①の場合を解説するわけじゃな

では、下の図をみてほしい

しかしこのままでは、ベクトルで表現できないから、

基準となるベクトルを定義する必要があるんじゃ。

原点Oと任意の点Aをとって（直線２の図）、

Oを始点、Aを終点とするベクトルを定義したんじゃ（直線３の図）。

このベクトルOAを、基本ベクトルとするわけじゃな。

そのとおりじゃ

ではそのために、まず、

OAベクトルを使って、他のベクトルを表すやり方を理解しておくのじゃ

この図には、あたらしい点、X1が加わっておる。

そして、点Oから点X1へのベクトル「ベクトルOX1」を、

基本ベクトルを使って表現することを考えてみるんじゃ。

そのとおりじゃ

ベクトルは、何倍かすると、大きさが何倍になる性質があったな。

この場合は、OAベクトルを２倍すると、OX1ベクトルなるとしよう。

そのとおりじゃ

これで、点X1を（基準）ベクトルを使って表現した、というわけじゃ。

では、次の場合はどうじゃ？

大正解じゃ！

では、もう１つだけ考えてもらおうかのぉ

そうじゃな。

ベクトルが逆向きの時は、マイナスをつければオッケーじゃ

これは重要じゃ。

そのとおりじゃ。これで、

（基本ベクトルと）同一直線上にある点の表し方

がわかったかのぉ

そのとおりじゃ

もし向きが反対だったら、マイナスをつけるわけじゃな

では、ちょっと話をかえるかのぉ。

いままで、点X1、X2、X3の３つを考えてきたわけじゃが、

もっとたくさん点があったらどうなるかのぉ。

それを図にすると、こんな感じじゃ。

そのとおりじゃ

そしてここがポイントなんじゃが、

点がたくさん集まると、直線になるわけじゃが

これをベクトルの表現でいいかえると、

基本ベクトルを何倍かしたベクトルをたくさん集めると、直線になる

となるわけじゃ。

式で書くと、

（OXベクトル）＝　ｋ　×　（OAベクトル）

のように書けるんじゃ。

OAベクトルは、基本ベクトルじゃな。

ｋは、１とか２とか－１とか、さまざまな実数のなにかじゃ。

ｋが変化することで、（OXベクトル）が変化する、つまり点Xが動くわけじゃ。

ｋがさまざまな実数をとる、ということは、

OXベクトルが示す点Xは、さまざまな点をとり、

それらを集めると「直線」になる、というわけじゃ。

そうじゃな

慣れないうちはピンとこないかもしれんが、

ベクトルで直線を表現する方法ということで、

頭になじませるのが大事じゃ。

というわけで、今回の内容は以上じゃ。

今回は、ベクトルで直線を表現するのパート①といったところじゃな。

表したい直線が、基本ベクトルと同一直線上にある場合の解説をしたわけじゃ。

次回は、同一直線上にない場合を解説する予定じゃ

お～い、ザピエルくん、あとお願い！

おーそうじゃった

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具体的にはザピエルくんに説明してもらうかのぉ

ザピエルくんお願い！