今回は、「ベクトル」で、「直線」を表現するには？
という内容です。
では先生、お願いします！
ザピエルくんありがとう
今回は、
ベクトルで、直線を表すには？
について解説しようと思う。
前回は、表したい直線上に、基本ベクトルがある場合の解説をしたんじゃ
先生、おはようございます～
前回の解説のことですね！
シャンシャンくん、おはよう
今回の内容は、前回の内容が基礎になってるんじゃ。
もし読んでないあなたは、目を通しておいてもらうと、
今回の内容の理解がスムーズじゃ。
お～い、にゃんこくん、教えてくれる！？
にゃんこくん、ありがとう
前回と今回の違いをサクッというと、
今回のは、
表現したい直線が、基本ベクトルと同一直線上にない場合
を解説するんじゃ。
それを理解するためには、前回の、
基本ベクトルが、同一直線上にある場合
が必要なんじゃ。
なるほどです！前回のも見てみますネ！
今回の記事をよむと、
「ベクトルを使った直線の表し方」を理解することができる
わけですね！
そのとおりじゃ
ベクトルが苦手なあなたも、１つひとつ解説するから、
シッカリ理解できるはずじゃ。
では、はじめるかのぉ！
【数学】「ベクトル」を使って、「直線」を表現するには、どうすればいいの？【高校数学 ベクトル】
まずは、前回の復習をかねて、
表現したい直線と基本ベクトルが、「同一直線上にある」場合を
やってみるかのぉ
表現したい直線と基本ベクトルが、「同一直線上にある」場合
ベクトルによる直線の表現（数学おじさん@oj3math）
表現したい直線上に、基本ベクトルのOAベクトルがある場合じゃ。
このとき、直線上の点Xは、基本ベクトルを使って、
（OXベクトル）＝ ｋ × （OAベクトル）
のように書けるんじゃ。
ｋは、さまざまな実数で、ｋが変化することで、
OXベクトルが示す点Xは、さまざまな点をとる。
それらを集めると「直線」になる、というわけじゃな。
基本ベクトルの「実数倍」で、直線が表せるってことですね！
そのとおりじゃ
ではこれをふまえて、
直線が、基本ベクトルと「同一直線上にない」場合を考えてみようかのぉ
表現したい直線と基本ベクトルが、「同一直線上にない」場合
あ
ベクトルと直線 非同一直線上（数学おじさん@oj3math）
今回考えておるのは、
表現したい直線と、基本ベクトルOAは同一直線上にない場合じゃ。
なので、（１）のように、
直線について、点Aは通るが、点Oは通らないものとして考えることにする。
求めたい直線は、直線上の点Xのあつまりじゃ。
なので（２）のように、点Xをあらわすベクトルを、基本ベクトルであらわそう！
と考えるわけじゃ。
なるほどです！
線は点のあつまり、
点をベクトルとして、基本ベクトルを使って表現する
ということですね！
でも、この先、どうすればいいんですか？
そうじゃな。
じつはいまあるOAベクトルだけでは、
OXベクトルを表現することはできないんじゃ。
というわけで、ここで新しいアイデアを解説しよう
いま、点O, 点A, 点Xの３つの点は、同一直線上にはないんじゃ。
しかし、同一「平面上」にはある。
つまり、２次元の世界を考えておる。
２次元っていうのが関係あるんですか？
あるんじゃよ。
２次元にあるベクトルは、どんなベクトルも、
２種類の基本ベクトルで、ただ１通りに、表すことができるんじゃ。
平面（２次元）にあるベクトルは、
２つの基本ベクトルを用意すれば、
どんなベクトルも、１通りに表せるってことですか？
そのとおりじゃ
ただし２つの条件があるんじゃ。
①、２つの基本ベクトルは、どちらもゼロベクトルじゃない
②、２つの基本ベクトルは、たがいに平行でない
この２つを満たすような基本ベクトルなら、上のことが成り立つんじゃ
ベクトルと直線 （数学おじさん@oj3math）
上の図（２）では、基本ベクトルはOAの１つだけなので、
２次元の点Xを表現するには、
もう１つ基本ベクトルが必要だと考えられるわけじゃ。
そこで２つめの基本ベクトル、OBベクトルを付け加えたんじゃ。
これで、点O, A ,B平面にある任意のベクトルを表現することができるわけじゃ。
２つの基本ベクトル（OAベクトルとOBベクトル）を使えば、
OXベクトルを表現することができるってことですね！
でも、どうやって表現するのですか？
ここで、前回の内容が役に立つんじゃ
ベクトルを直線（数学おじさん@oj3math）
ここで新しいベクトル AXベクトル（赤）を考えるんじゃ。
すると、知りたいOXベクトルは、
（OXベクトル）＝（OAベクトル）＋（AXベクトル）
と書けるわけじゃ。
OXベクトルを
基本ベクトル（OAベクトル、OBベクトル）を使って書くのが目的なので、
あとは、AXベクトルを、基本ベクトルで書ければいいわけじゃ。
ではどうするかじゃな。
A、X、Bは同一線上の３点じゃ。
だから、
（AXベクトル）＝ ｋ ×（ABベクトル）
と書くことができる。
よくわからないなぁ～
という方は、こちらの記事を読むとわかるようになるはずじゃ
ABベクトルは、「ベクトルの分解」を使って、
このように書き換えることができる
（ABベクトル）＝（OBベクトル）－（OAベクトル）
じゃあ、これらを使って、OXベクトルを基本ベクトルで書いてみてごらん
最初のOXベクトルを、書きかえていけばいいんですね！
（OXベクトル）
＝（OAベクトル）＋（AXベクトル）
＝（OAベクトル）＋ ｋ（ABベクトル）
＝（OAベクトル）＋ ｋ｛（OBベクトル）－（OAベクトル）｝
＝（OAベクトル）＋ ｋ（OBベクトル）－ ｋ（OAベクトル）
＝（１－ｋ）（OAベクトル）＋ｋ（OBベクトル）
となりました！
これでOXベクトルを、
基本ベクトル（OAベクトルとOBベクトル）で書きたのぉ。
はい！うれしいです！
よくできたのぉ
さて最後に、１つ重要なことを、解説しておこうかのぉ
なんですか？
ベクトルと直線 （数学おじさん@oj3math）
（３）のように、３点が一直線上にあるときには、
２つのベクトルで、もう１つのベクトルを表現することができるんじゃ
今回、Xを、AとBで表現するとすると、（上でやったように）
（OXベクトル）＝（１－ｋ）（OAベクトル）＋ｋ（OBベクトル）
と書くことができる。
ここで、OAベクトルと、OBベクトルの係数をみてほしいんじゃ
１－ｋ と ｋ
になっておるじゃろ。
はい、でもこれがどうしたんですか？
これらを足してみてごらん
（１－ｋ）＋ ｋ
＝ １
１になっているじゃろ
OAベクトルとOBベクトルの係数の和は１ってことなんじゃ。
え？じゃあ逆に、たとえば、３点A, B, Cが一直線上にあって
OC = x OA + yOB
と書けたとしたら、
ｘ＋ｙ＝１
になるってことですか？
そのとおりじゃ
この性質は、ベクトルと図形の融合問題でよく出題されるんじゃ。
このような関係が、図形の中にあったとしたら、
（OXベクトル）＝（１－ｋ）（OAベクトル）＋ｋ（OBベクトル）
または、
（OXベクトル）＝ k1（OAベクトル）＋k2（OBベクトル）
（ただし、k1 ＋ k2 ＝ １）
という関係式を用いることができるわけじゃ。
図形とベクトルの問題で役に立つんですネ！
そのとおりじゃ
というわけで、今回の内容は以上じゃ。
ありがとうございました！
お～い、ザピエルくん、あとはお願い！
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というわけで、ザピエルくん、あとはお願い！
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