【数学】「ベクトル」を使って、「直線」を表現するには、どうすればいいの?【高校数学 数B ベクトル】

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回は、「ベクトル」で、「直線」を表現するには?

 

という内容です。

 

では先生、お願いします!

 

数学おじさん
数学おじさん

ザピエルくんありがとう

 

今回は、

 

ベクトルで、直線を表すには?

 

について解説しようと思う。

 

前回は、表したい直線上に、基本ベクトルがある場合の解説をしたんじゃ

 

シャンシャン
シャンシャン

先生、おはようございます~

 

前回の解説のことですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

シャンシャンくん、おはよう

 

今回の内容は、前回の内容が基礎になってるんじゃ。

 

もし読んでないあなたは、目を通しておいてもらうと、

 

今回の内容の理解がスムーズじゃ。

 

お~い、にゃんこくん、教えてくれる!?

数学おじさん
数学おじさん

にゃんこくん、ありがとう

 

前回と今回の違いをサクッというと、

 

今回のは、

 

表現したい直線が、基本ベクトルと同一直線上にない場合

 

を解説するんじゃ。

 

数学おじさん
数学おじさん

それを理解するためには、前回の、

 

基本ベクトルが、同一直線上にある場合

 

が必要なんじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほどです!前回のも見てみますネ!

 

秘書ザピエル
秘書ザピエル

今回の記事をよむと、

 

「ベクトルを使った直線の表し方」を理解することができる

 

わけですね!

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ベクトルが苦手なあなたも、1つひとつ解説するから、

 

シッカリ理解できるはずじゃ。

 

では、はじめるかのぉ!

【数学】「ベクトル」を使って、「直線」を表現するには、どうすればいいの?【高校数学 ベクトル】

 

数学おじさん
数学おじさん

まずは、前回の復習をかねて、

 

表現したい直線と基本ベクトルが、「同一直線上にある」場合を

 

やってみるかのぉ

 

表現したい直線と基本ベクトルが、「同一直線上にある」場合

 

ベクトルによる直線の表現(数学おじさん@oj3math)

ベクトルによる直線の表現(数学おじさん@oj3math)

 

数学おじさん
数学おじさん

表現したい直線上に、基本ベクトルのOAベクトルがある場合じゃ。

 

このとき、直線上の点Xは、基本ベクトルを使って、

 

(OXベクトル)= k × (OAベクトル)

 

のように書けるんじゃ。

 

は、さまざまな実数で、kが変化することで、

 

OXベクトルが示す点Xは、さまざまな点をとる。

 

それらを集めると「直線」になる、というわけじゃな。

 

シャンシャン
シャンシャン

基本ベクトルの「実数倍」で、直線が表せるってことですね!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ではこれをふまえて、

 

直線が、基本ベクトルと「同一直線上にない」場合を考えてみようかのぉ

 

表現したい直線と基本ベクトルが、「同一直線上にない」場合

数学おじさん
数学おじさん
まず、状況の確認をすると、以下じゃ
ベクトルと直線 非同一直線上(数学おじさん@oj3math)

ベクトルと直線 非同一直線上(数学おじさん@oj3math)

 

数学おじさん
数学おじさん

今回考えておるのは、

 

表現したい直線と、基本ベクトルOAは同一直線上にない場合じゃ。

 

なので、(1)のように、

 

直線について、点Aは通るが、点Oは通らないものとして考えることにする。

ベクトルと直線 (数学おじさん@oj3math)

 

数学おじさん
数学おじさん

求めたい直線は、直線上の点Xのあつまりじゃ。

 

なので(2)のように、点Xをあらわすベクトルを、基本ベクトルであらわそう!

 

と考えるわけじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

なるほどです!

 

線は点のあつまり、

 

点をベクトルとして、基本ベクトルを使って表現する

 

ということですね!

 

でも、この先、どうすればいいんですか?

数学おじさん
数学おじさん

そうじゃな。

 

じつはいまあるOAベクトルだけでは、

 

OXベクトルを表現することはできないんじゃ。

 

というわけで、ここで新しいアイデアを解説しよう

 

数学おじさん
数学おじさん

いま、点O, 点A, 点Xの3つの点は、同一直線上にはないんじゃ。

 

しかし、同一「平面上」にはある。

 

つまり、2次元の世界を考えておる。

 

シャンシャン
シャンシャン

2次元っていうのが関係あるんですか?

数学おじさん
数学おじさん

あるんじゃよ。

 

2次元にあるベクトルは、どんなベクトルも、


2種類の基本ベクトルで、ただ1通りに、表すことができる
んじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

平面(2次元)にあるベクトルは、

 

2つの基本ベクトルを用意すれば、

 

どんなベクトルも、1通りに表せるってことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

ただし2つの条件があるんじゃ。

 

①、2つの基本ベクトルは、どちらもゼロベクトルじゃない

 

②、2つの基本ベクトルは、たがいに平行でない

 

この2つを満たすような基本ベクトルなら、上のことが成り立つんじゃ

ベクトルと直線 (数学おじさん@oj3math)

ベクトルと直線 (数学おじさん@oj3math)

数学おじさん
数学おじさん

上の図(2)では、基本ベクトルはOAの1つだけなので、

 

2次元の点Xを表現するには、

 

もう1つ基本ベクトルが必要だと考えられるわけじゃ。

 

数学おじさん
数学おじさん

そこで2つめの基本ベクトル、OBベクトルを付け加えたんじゃ。

 

これで、点O, A ,B平面にある任意のベクトルを表現することができるわけじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

2つの基本ベクトル(OAベクトルとOBベクトル)を使えば、

 

OXベクトルを表現することができるってことですね!

 

でも、どうやって表現するのですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

ここで、前回の内容が役に立つんじゃ

ベクトルを直線(数学おじさん@oj3math)

ベクトルを直線(数学おじさん@oj3math)

 

数学おじさん
数学おじさん

ここで新しいベクトル AXベクトル(赤)を考えるんじゃ。

 

すると、知りたいOXベクトルは、

 

(OXベクトル)=(OAベクトル)+(AXベクトル)

 

と書けるわけじゃ。

 

OXベクトルを

 

基本ベクトル(OAベクトル、OBベクトル)を使って書くのが目的なので、

 

あとは、AXベクトルを、基本ベクトルで書ければいいわけじゃ。

 

数学おじさん
数学おじさん

ではどうするかじゃな。

 

A、X、Bは同一線上の3点じゃ。

 

だから、

 

(AXベクトル)= k ×(ABベクトル)

 

と書くことができる。

 

よくわからないなぁ~

 

という方は、こちらの記事を読むとわかるようになるはずじゃ

 

 

 

数学おじさん
数学おじさん

ABベクトルは、「ベクトルの分解」を使って、

 

このように書き換えることができる

 

(ABベクトル)=(OBベクトル)-(OAベクトル)

 

じゃあ、これらを使って、OXベクトルを基本ベクトルで書いてみてごらん

 

シャンシャン
シャンシャン

最初のOXベクトルを、書きかえていけばいいんですね!

 

(OXベクトル)

 

=(OAベクトル)+(AXベクトル)

 

=(OAベクトル)+ k(ABベクトル)

 

=(OAベクトル)+ k{(OBベクトル)-(OAベクトル)}

 

=(OAベクトル)+ k(OBベクトル)- k(OAベクトル)

 

=(1-k)(OAベクトル)+k(OBベクトル)

 

となりました!

 

数学おじさん
数学おじさん

これでOXベクトルを、

 

基本ベクトル(OAベクトルとOBベクトル)で書きたのぉ。

シャンシャン
シャンシャン

はい!うれしいです!

 

数学おじさん
数学おじさん

よくできたのぉ

 

さて最後に、1つ重要なことを、解説しておこうかのぉ

シャンシャン
シャンシャン

なんですか?

ベクトルと直線 (数学おじさん@oj3math)

ベクトルと直線 (数学おじさん@oj3math)

数学おじさん
数学おじさん

(3)のように、3点が一直線上にあるときには、

 

2つのベクトルで、もう1つのベクトルを表現することができるんじゃ

 

今回、Xを、AとBで表現するとすると、(上でやったように)

 

(OXベクトル)=(1-k)(OAベクトル)+k(OBベクトル)

 

と書くことができる。

 

ここで、OAベクトルと、OBベクトルの係数をみてほしいんじゃ

 

1-k と k

 

になっておるじゃろ。

シャンシャン
シャンシャン

はい、でもこれがどうしたんですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

これらを足してみてごらん

 

(1-k)+ k

 

= 1

 

1になっているじゃろ

 

OAベクトルとOBベクトルの係数の和は1ってことなんじゃ。

 

シャンシャン
シャンシャン

え?じゃあ逆に、たとえば、3点A, B, Cが一直線上にあって

 

OC = x OA + yOB

 

と書けたとしたら、

 

x+y=1

 

になるってことですか?

 

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

この性質は、ベクトルと図形の融合問題でよく出題されるんじゃ。

数学おじさん
数学おじさん

このような関係が、図形の中にあったとしたら、

 

(OXベクトル)=(1-k)(OAベクトル)+k(OBベクトル)

 

または、

 

(OXベクトル)= k1(OAベクトル)+k2(OBベクトル)

 (ただし、k1 + k2 = 1)

 

という関係式を用いることができるわけじゃ。

シャンシャン
シャンシャン

図形とベクトルの問題で役に立つんですネ!

数学おじさん
数学おじさん

そのとおりじゃ

 

というわけで、今回の内容は以上じゃ。

シャンシャン
シャンシャン

ありがとうございました!

数学おじさん
数学おじさん

お~い、ザピエルくん、あとはお願い!

秘書ザピエル
秘書ザピエル

は~い、先生、おつかれまでした

 

数学おじさん、秘書のザピエルです。

 

ここまで読んでくださった方、ありがとうございました!

 

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